1. No category

Värähtelymekaniikka
6.1
6 USEAN VAPAUSASTEEN SYSTEEMIN LIIKEYHTÄLÖT
6.1 Johdanto
Usean vapausasteen systeemin liiketilan kuvaamiseen tarvitaan kaksi tai useampia
koordinaatteja. Koordinaatteina voivat olla sekä translaatiot että rotaatiot. Vapausasteiden lukumäärä tarkoittaa riippumattomien koordinaattien lukumäärää, joka tarvitaan ilmoitettaessa systeemin liiketila mielivaltaisella hetkellä.
Usean vapausasteen systeemin analysointi edellyttää sen liikeyhtälöiden tuntemista.
Liikeyhtälöihin sisältyvät systeemin massa-, vaimennus- ja jäykkyysominaisuudet
sekä ulkoiset kuormitukset. Tehtävät luokitellaan sen mukaan, millaisia kuormitustermejä liikeyhtälössä on. Jos kuormitukset tunnetaan ajan funktiona, on kuormitus
deterministinen ja seurauksena oleva liiketila on deterministinen. Mikäli kuormitus on
satunnainen, seurauksena olevaa liiketilaa voidaan tarkastella vain satunnaisena
suureena tilastomatematiikalla. Tässä tarkastellaan vain deterministisiä kuormituksia.
Jos liikeyhtälöissä ei ole kuormitustermejä, kyseessä ovat ominaisvärähtelyn liikeyhtälöt. Ominaisvärähtely on systeemin vapaata värähtelyä ilman kuormitusten vaikutusta ja se riippuu vain systeemin massa-, vaimennus- ja jäykkyysominaisuuksista
sekä alkuehdoista. Ominaisvärähtelyn liikeyhtälöistä ratkeavat systeemin ominaistaajuudet ja -muodot. Jos vapausasteiden määrä on n, on ominaistaajuuksiakin n kappaletta. Kutakin ominaistaajuutta vastaa systeemin värähtelymuoto, jota kutsutaan
ominaismuodoksi tai normaalimuodoksi. Matematiikassa vastaavat käsitteet esiintyvät yleisempinä ja niitä sanotaan ominaisarvoiksi ja ominaisvektoreiksi.
Kun usean vapausasteen systeemiin vaikuttaa kuormituksia, sanotaan sille syntyvää
liiketilaa pakotetuksi. Yksinkertaisin kuormitus on tietyllä taajuudella vaihteleva harmoninen kuormitus, jolloin syntyvä liike on harmonista pakkovärähtelyä herätteen
taajuudella. Jos herätteen taajuus on sama kuin systeemin jokin ominaistaajuus, seurauksena on resonanssi, jolloin värähtelyamplitudit kasvavat suuriksi. Tavallinen
kuormitustapaus sovelluksissa on jaksollinen eli säännöllisin väliajoin samanlaisena
toistuva kuormitus. Jaksollinen kuormitus voidaan jakaa harmonisiin komponentteihin, jonka jälkeen voidaan soveltaa harmonisen herätteen teoriaa ja yhteenlaskuperiaatetta. Lyhytkestoisista tai äkillistä kuormituksista aiheutuu systeemiin lyhytkestoisia
värähtelyitä maksimiamplitudin ollessa vastaavaa staattista siirtymää suurempi.
Systeemissä esiintyvät erityyppiset kitkavaikutukset aiheuttavat vaimennusta, joka
pienentää värähtelyjen amplitudia ja transienttikuormituksien aiheuttamia maksimi
siirtymiä. Vaimennuksen analyyttinen käsittely on usean vapausasteen systeemeissä
hankalaa johtuen vaimennusilmiön mutkikkaasta luonteesta. Usein vaimennus käsitellään likimääräisesti olettamalla eri ominaismuotojen vaimennukset kytkemättömiksi
tai käyttämällä Rayleighin suhteellisen vaimennuksen mallia, jolloin oletetaan vaimennuksen olevan yhteydessä systeemin massa- ja jäykkyysominaisuuksiin.
Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöt
© Matti Lähteenmäki
Värähtelymekaniikka
6.2
Pakotetun liiketilan analysointi edellyttää yleensä vastaavan ominaisvärähtelytehtävän ratkaisun tuntemista. Tärkeimmät ratkaisumenetelmät ovat normaalimuotomenetelmä ja suorat aikaintegrointimenetelmät. Normaalimuotomenetelmässä ratkaisu
muodostetaan ominaismuotojen lineaarikombinaationa. Aikaintegrointimenetelmissä
liikeyhtälöille etsitään likiratkaisu diskreetteinä ajan hetkinä pieniä aika-askeleita käyttäen. Riittävään tarkkuuteen pääseminen vaatii tarpeeksi pientä aika-askelta ja ratkaisun tehokkuuden kannalta aika-askel ei saa olla liian pieni. Sopivan aika-askeleen
valinnassa voidaan käyttää hyväksi systeemin pienintä ominaisvärähdysaikaa.
Seuraavassa esitetään liikeyhtälöiden kirjoittamiseen käytettävissä olevat menetelmät ja niiden ratkaisemiseen oleellisesti vaikuttavat ominaisuudet.
6.2 Newtonin lakien käyttö
Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöt voidaan johtaa käyttämällä suoraan Newtonin lakeja perusmuodossa. Tällöin systeemin osista laaditaan sopiva määrä vapaakappalekuvia, joista kirjoitetaan tarpeellinen määrä voima- ja momenttiliikeyhtälöitä ja
lopuksi yhtälöt sievennetään ja järjestetään koordinaattien mukaisesti yhtälöryhmäksi. Liikeyhtälöryhmässä on vapausasteiden lukumäärän osoittama määrä yhtälöitä.
Lineaarisen systeemin liikeyhtälöryhmässä on vain koordinaattien ja niiden aikaderivaattojen (nopeudet ja kiihtyvyydet) ensimmäisen asteen lausekkeita. Epälineaarisen
systeemin liikeyhtälöt sisältävät koordinaattien ja/tai niiden aikaderivaattojen epälineaarisia termejä, jolloin ratkaiseminen on oleellisesti hankalampaa. Tässä tarkastellaan vain lineaarisia systeemejä. Seuraavassa esitetään esimerkkejä usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden kirjoittamisesta Newtonin lakeja käyttäen, kun vapausasteita on vain muutamia.
6.2.1
Esimerkki 1
x1
k1
k2
F1
F1
k3
F2
m1
f1
x3
x2
F3
m3
m2
f2
m1
f2
F2
f3
F3
m3
m2
&x&1
f3
&x&2
&x&3
Tarkastellaan kuvan 6.1 (a) kolmen vapausasteen jousi-massa
systeemiä. Sen tilaa kuvaaviksi
koordinaateiksi valitaan massojen asemat x1 , x 2 ja x 3 mitattuna tasapainoasemasta, jossa
jouset ovat venymättömiä. Kuvassa 6.1 (b) on vapaakappalekuvat, joista voidaan kirjoittaa
kullekin massalle vaakasuunnassa liikeyhtälö. Tulokseksi saadaan liikeyhtälöryhmä
Kuva 6.1 Esimerkki 1.
Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöt
© Matti Lähteenmäki
Värähtelymekaniikka
6.3
⎧ F1 + f2 − f1 = m1 &x&1
⎪
⎨ F2 + f3 − f2 = m 2 &x& 2
⎪F −f
= m 3 &x& 3
⎩ 3 3
(6.1)
Jousivoimien lausekkeet ovat koordinaattien avulla esitettyinä
f1 = k 1 x 1
f2 = k 2 ( x 2 − x 1 )
f3 = k 3 ( x 3 − x 2 )
(6.2)
Sijoittamalla jousivoimat liikeyhtälöihin ja järjestelemällä termejä seuraa tulos
⎧ m1 &x&1 + ( k 1 + k 2 ) x 1 − k 2 x 2 = F1( t )
⎪
⎨ m 2 &x& 2 − k 2 x 1 + ( k 2 + k 3 ) x 2 − k 3 x 3 = F2 ( t )
⎪ m &x& − k x + k x = F ( t )
3 2
3 3
3
⎩ 3 3
(6.3)
jotka ovat systeemin liikeyhtälöt. Tarkasteltavana on kolmen vapausasteen systeemi,
joten liikeyhtälöiksi tulee kolmen tavallisen differentiaaliyhtälön ryhmä. Siinä esiintyy
tuntemattomien siirtymien x1 , x 2 ja x 3 kertaluvun nolla ja kaksi aikaderivaattoja ensimmäisessä potenssissa, joten kyseessä on toisen kertaluvun lineaarinen differentiaaliyhtälöryhmä. Kirjoittamalla liikeyhtälöryhmä matriisimuotoon saadaan
⎡m1 0
⎢0 m
2
⎢
⎢⎣ 0
0
0 ⎤
0 ⎥⎥
m 3 ⎥⎦
⎧ &x&1 ⎫ ⎡k 1 + k 2
⎪&& ⎪ ⎢
⎨x 2 ⎬ + ⎢ − k 2
⎪&x& ⎪ ⎢ 0
⎩ 3⎭ ⎣
− k2
k2 + k3
− k3
0 ⎤
− k 3 ⎥⎥
k 3 ⎥⎦
⎧ x 1 ⎫ ⎧F1( t ) ⎫
⎪ ⎪ ⎪
⎪
⎨x 2 ⎬ = ⎨F2 ( t )⎬
⎪x ⎪ ⎪F ( t )⎪
⎩ 3⎭ ⎩ 3 ⎭
(6.4)
tai tiiviimmin kirjoitettuna
[ M] { &x&} + [ K ] { x} = {F(t )}
(6.5)
[ M] on systeemin massamatriisi, [ K ] jäykkyysmatriisi, {&x&} kiihtyvyysvektori { x} siirtymävektori ja {F( t )} kuormitusvektori. Liikeyhtälöistä (6.5) nähdään, että massamatriisi on lävistäjämatriisi, mutta jäykkyysmatriisin ei ole, joten liikeyhtälöt ovat jäykkyysmatriisin kautta kytkettyjä. Tällaista kytkentää sanotaan staattiseksi kytkennäksi.
6.2.2 Esimerkki 2
Tarkastellaan kuvan 6.2 (a) kahden vapausasteen systeemiä, jossa kuormituksena
on alustan vaakaliike tunnetun funktion u(t) mukaisesti. Koordinaatit x 1 ja x 2 ilmaisevat massojen absoluuttiset asemat vaakatasolla. Määritellään suhteelliset koordinaatit z1 ja z 2 yhtälöillä
z1 = x 1 − u
z2 = x2 − u
Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöt
⇒
x 1 = z1 + u
x2 = z2 + u
(6.6)
© Matti Lähteenmäki
Värähtelymekaniikka
6.4
jolloin ne ovat massojen asemat alustaan nähden. Vapaakappalekuvista 6.2
(b) saadaan liikeyhtälöt
⎧− f1 − d1 + f2 + d2 = m1 &x&1
⎨
⎩− f2 − d2 = m 2 &x& 2
(6.7)
Määritelmästä (6.6) seuraa absoluuttisille nopeuksille ja kiihtyvyyksille lausekkeet
x& 1 = z& 1 + u&
&x&1 = &z&1 + u
&&
Kuva 6.2 Esimerkki 2.
x& 2 = z& 2 + u&
&x& 2 = &z& 2 + u
&&
(6.8)
Jousi- ja vaimennusvoimille voidaan kirjoittaa koordinaattien avulla lausekkeet
f1 = k 1 ( x 1 − u ) = k 1 z1
d1 = c 1 ( x& 1 − u& ) = c 1 z& 1
f2 = k 2 ( x 2 − x 1 ) = k 2 ( z 2 − z1 )
d2 = c 2 ( x& 2 − x& 1 ) = c 2 ( z& 2 − z& 1 )
(6.9)
Sijoittamalla tulokset (6.8) ja (6.9) kaavaan (6.7) saadaan
&& )
⎧ − k 1 z1 − c 1 z& 1 + k 2 ( z 2 − z1 ) + c 2 ( z& 2 − z& 1 ) = m1 ( &z&1 + u
⎨
&& )
⎩ − c 2 ( z& 2 − z& 1 ) − k 2 ( z 2 − z1 ) = m 2 ( &z& 2 + u
(6.10)
Termejä järjestelemällä liikeyhtälöt menevät muotoon
&&
⎧ m1 &z&1 + c 1 z& 1 + k 1 z1 − c 2 ( z& 2 − z& 1 ) − k 2 ( z 2 − z1 ) = − m1 u
⎨
&&
⎩ m 2 &z& 2 + c 2 ( z& 2 − z& 1 ) + k 2 ( z 2 − z1 ) = − m 2 u
(6.11)
joka voidaan laittaa seuraavaan matriisimuotoon
⎡m1 0 ⎤
⎢0 m ⎥
2⎦
⎣
⎧ &z&1 ⎫ ⎡c 1 + c 2
⎨&& ⎬ + ⎢
⎩z 2 ⎭ ⎣ − c 2
− c2 ⎤
c 2 ⎥⎦
⎧ z& 1 ⎫ ⎡k 1 + k 2
⎨& ⎬ + ⎢
⎩z 2 ⎭ ⎣ − k 2
− k2 ⎤
k 2 ⎥⎦
&& ⎫
⎧ z 1 ⎫ ⎧ − m1 u
=
⎨ ⎬ ⎨
&&⎬⎭
⎩z 2 ⎭ ⎩− m 2 u
(6.12)
eli tiiviimmin kirjoitettuna
[ M] {&z&} + [ C] { z& } + [ K ] { z} = {F(t)}
(6.13)
Yhtälössä (6.13) [ C] on vaimennusmatriisi ja { &z&}, { z& } ja { z} suhteellinen kiihtyvyys-,
nopeus- ja siirtymävektori. Suhteellisia koordinaatteja käytettäessä kuormitusvekto&& , joka on helpompi mitata kuin u tai u& .
rissa {F( t )} esiintyy vain alustan kiihtyvyys u
Liikeyhtälöt ovat sekä jäykkyys- että vaimennusmatriisin kautta kytketyt eli staattisen
kytkennän lisäksi niissä on vaimennuskytkentä.
Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöt
© Matti Lähteenmäki
Värähtelymekaniikka
6.5
6.2.3 Esimerkki 3
Tarkastellaan kuvan 6.3 (a) laskentamallia, jolla voidaan tutkia maaperän liikkeestä
u(t) aiheutuvaa rakennuksen värähtelyä. Laskentamallissa rakennusta kuvataan jäykällä kappaleella B2 ja perustusta partikkelilla B1. Koordinaateiksi valitaan perustuksen absoluuttinen vaaka-asema x(t) ja rakennuksen kulma-asema θ( t ) , jolloin kyseessä on kahden vapausasteen malli. Oletetaan vielä liikkeiden olevan pieniä.
B2
θ
IG
&y&G
&θ&
Ay
MA
B1
&x&G
θ
Ax
f1
f1
d1
d1
MA
&x&
Ax
Ay
Kuva 6.3 Esimerkki 3.
Perustuksen vapaakappalekuvasta 6.3 (b) saadaan vaakasuuntainen liikeyhtälö
→ − 2 f1 − 2 d1 + A x = m &x&
(6.14)
Perustuksen pystysuuntaista liikeyhtälöä ei jatkossa tarvita. Rakennuksen vapaakappalekuvasta 3 (c) saadaan seuraavat kolme liikeyhtälöä
→
− A x = M &x& G
↑
A y − M g = M &y& G
4G: − M A + A y a sin θ + A x a cos θ = IG &θ&
(6.15)
(6.16)
Jousivoimalle, vaimennusvoimalle ja kierukkajousen momentille pätevät lausekkeet
f1 =
k
( x − u)
2
d1 =
c
( x& − u& )
2
MA = K θ
(6.17)
Koska kulma θ on pieni, voidaan käyttää arvioita sin θ ≈ θ ja cos θ ≈ 1 . Massakeskiön
asemakoordinaatit x G ja y G voidaan lausua koordinaattien x ja θ avulla
x G = x + a sin θ ≈ x + a θ
y G = a cos θ ≈ a
Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöt
⇒
&x& G = &x& + a &θ&
&y& G = 0
(6.18)
© Matti Lähteenmäki
Värähtelymekaniikka
6.6
Ottamalla edellä esitetyt tulokset huomioon perustuksen liikeyhtälössä (6.14) ja rakennuksen momenttiliikeyhtälössä (6.16) saadaan liikeyhtälöpari
⎧⎪− k ( x − u ) − c ( x& − u& ) − M ( &x& + a &θ& ) = m &x&
⎨
⎪⎩− Kθ + M g a θ − M ( &x& + a &θ& ) a = IG &θ&
(6.19)
eli matriisimuodossa
M a ⎤ ⎧ &x& ⎫ ⎡ c 0 ⎤ ⎧ x& ⎫ ⎡ k
0
⎡M+m
⎤ ⎧ x ⎫ ⎧c u& + k u⎫
⎨ & ⎬+ ⎢
⎬
⎢ M a I + M a 2 ⎥ ⎨ && ⎬ + ⎢
⎥
⎥⎨ ⎬ = ⎨
G
⎣
⎦ ⎩ θ ⎭ ⎣ 0 0 ⎦ ⎩ θ ⎭ ⎣ 0 K − M g a⎦ ⎩ θ ⎭ ⎩ 0 ⎭
(6.20)
tai lyhyemmin kirjoitettuna
[ M] { &y&} + [ C] { y& } + [ K ] { y} = {F( t ) }
(6.21)
Alustan liike näkyy liikeyhtälössä (6.20) oikealla puolella olevana kuormitusvektorina
{F(t)} . Absoluuttisia koordinaatteja käytettäessä kuormitusvektorissa esiintyvät alustan asema u ja nopeus u& . Liikeyhtälöt ovat sekä massa- että vaimennusmatriisin
kautta kytketyt. Massamatriisin kautta syntyvää kytkentää sanotaan dynaamiseksi.
6.3 Liikeyhtälöiden yleinen muoto
Edellä esitetyistä esimerkeistä nähdään, että n vapausastetta omaavan lineaarisen
mekaanisen systeemin liikeyhtälöt voidaan esittää matriisimuodossa
[ M] { &x&} + [ C] { x& } + [ K ] { x} = {F}
[ M]
[ C]
[K]
{&x&}
{ x& }
{ x}
{F}
(6.22)
n × n − massamatriisi, sisältää systeemin inertiaominaisuudet
n × n − vaimennusmatriisi, sisältää systeemin vaimennusominaisuudet
n × n − jäykkyysmatriisi, sisältää systeemin jäykkyysominaisuudet
n ×1 − kiihtyvyysvektori, alkiot ovat kiihtyvyyksiä tai kulmakiihtyvyyksiä
n ×1 − nopeusvektori, alkiot ovat nopeuksia tai kulmanopeuksia
n ×1 − asemavektori, alkiot ovat asemia ja kulma-asemia
n ×1 − pakkovoimavektori, alkiot ovat ulkoisia kuormituksia
Liikeyhtälöryhmä (6.22) voidaan muodostaa sopivien vapaakappalekuvien avulla
Newtonin lakeja käyttäen, kuten edellisen kohdan esimerkeistä ilmeni. Toinen mahdollisuus on energiaperiaatteen käyttö, kuten myöhemmin esitetään.
Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöt
© Matti Lähteenmäki
Värähtelymekaniikka
6.7
Yhtälöryhmässä (6.22) on systeemin vapausasteiden mukainen määrä yhtälöitä.
Nämä yhtälöt ovat yleensä kytkettyjä eli ainakin joissakin yhtälöissä esiintyy useampia kuin yksi koordinaateista. Yhtälöitä (6.4) ei siis voi ratkaista erillisinä, vaan ratkaisu on suoritettava yhtälöryhmänä. Kyseessä on tavallisten toisen kertaluvun lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ryhmä, joten yksikäsitteisen ratkaisun löytäminen edellyttää myös systeemin alkuehtojen tuntemista. Tämä merkitsee sitä, että on tunnettava jokaisen koordinaatin ja sen ensimmäisen aikaderivaatan alkuarvo.
Jos liikeyhtälöiden (6.22) oikealla puolella oleva kuormitusvektori {F} on nollavektori,
on kyseessä ominaisvärähtelyiden liikeyhtälöryhmä ja muuten pakotetun liikkeen yhtälöryhmä. Ominaisvärähtelyjen liikeyhtälöryhmästä ratkeaa systeemin vapausasteiden mukainen määrä ominaistaajuuksia ja kuhunkin ominaistaajuuteen liittyvä ominaismuoto. Ominaistaajuuksien tunteminen on tärkeää pyrittäessä välttämään värähtelyongelmia. Ominaisvärähtelytehtävän ratkaisua voidaan hyödyntää pakotetun liikkeen ratkaisemisessa. Normaalimuotomenetelmässä ominaisvärähtelytehtävän ratkaisu on välttämätön ja muissakin ratkaisutavoissa voidaan sitä käyttää hyväksi.
6.4 Liikeyhtälöiden kytkentä
Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöryhmä on yleensä kytketty. Matriisimuotoon kirjoitetussa yhtälöryhmässä tämä tarkoittaa sitä, että vähintään yksi systeemin
perusmatriiseista [ M] , [ C] ja [ K ] ei ole lävistäjämatriisi. Jos systeemin massamatriisi
[ M] ei ole lävistäjämatriisi, sanotaan systeemin olevan dynaamisesti kytketty. Jos
taas jäykkyysmatriisi [ K ] ei ole lävistäjämatriisi, on kytkentä staattinen. Kytkentä voi
esiintyä myös vaimennusmatriisissa [ C] , jolloin systeemissä on vaimennuskytkentä.
Kytkentään vaikuttavien tekijöiden selvittämiseksi tarkastellaan vaimenematonta omia
b
naisvärähtelyä kuvan 6.4 esimerkin avulla.
A
B
Esimerkissä tutkitaan jäykkää palkkia AB,
G
jonka massakeskiö G ei ole palkin keskellä
eli a ≠ b . Palkki on tuettu kahdella jousella,
k1
k2
mg
joiden jousivakiot ovat k1 ja k2. Palkin massa
on m ja hitausmomentti massakeskiön suhKuva 6.4 Palkki.
teen IG. Kyseessä on jäykän kappaleen tasoliike, joten vapausasteita on kaksi eli palkin liiketilan kuvaamiseen tarvitaan kaksi koordinaattia.
1. Valitaan aluksi koordinaateiksi massakeskiön pystysiirtymä x G ja palkin rotaatiokulma θ mitattuna palkin staattisesta tasapainoasemasta kuvan 6.5 mukaisesti,
jolloin jousien staattisiin pituudenmuutoksiin liittyvät voimat kumoavat painovoiman
vaikutuksen liikeyhtälöissä. Oletetaan lisäksi siirtymät pieniksi, jolloin sin θ ≈ θ . Jousivoimien lausekkeet ovat
Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöt
© Matti Lähteenmäki
Värähtelymekaniikka
A
f A = k 1 ( x G − a θ)
st. tasap.
G
xG
&θ&
&x&G
fA
6.8
(6.23)
fB = k 2 ( x G + b θ )
B
θ
Kuvasta 6.5 saadaan liikeyhtälöt
fB
↓
m &x& G = − f A − fB
4 G: − IG &θ& = − f A a + fB b
Kuva 6.5. Koordinaatit x G ja θ .
(6.24)
(6.25)
Sijoittamalla jousivoimat liikeyhtälöihin ja järjestelemällä termejä saadaan
m &x& G + ( k 1 + k 2 ) x G + ( − k 1 a + k 2 b ) θ = 0
I &θ& + ( − k a + k b ) x + ( k a 2 + k b 2 ) θ = 0
G
1
2
G
1
(6.26)
2
jotka voidaan kirjoittaa matriisimuotoon
⎡ m 0 ⎤ ⎧ &x& G
⎢ 0 I ⎥ ⎨ &&
G ⎦⎩ θ
⎣
− k1 a + k 2 b ⎤ ⎧ x G ⎫ ⎧ 0 ⎫
⎫ ⎡ k1 + k 2
⎬+ ⎢
⎬=⎨ ⎬
2
2 ⎥⎨
⎭ ⎣− k 1 a + k 2 b k 1 a + k 2 b ⎦ ⎩ θ ⎭ ⎩ 0 ⎭
(6.27)
Havaitaan, että liikeyhtälöillä (6.27) on staattinen kytkentä.
2. Palkilta AB löytyy piste C, johon sijoitetusta staattisesta pistevoimasta F aiheutuu
palkille pelkästään translaatiosiirtymä Δ kuvan 6.6 mukaisesti. Tällöin palkin momenttitasapainosta pisteen C suhteen seuraa, että k 1 c = k 2 d .
c
A
C
F
Δ
G
e
k1Δ
B
staattisesta tasapainoasemasta. Jousivoimien lausekkeet ovat
k 2Δ
A
fA = k1 ( x C − c θ )
&x&C
xG
θ
&θ&
(6.28)
fB = k 2 ( x C + d θ )
B
xC
fA
Valitaan koordinaateiksi pisteen C pystysiirtymä x C ja palkin rotaatiokulma θ mitattuna
d
fB
Kuva 6.6 Koordinaatit x C ja θ .
Palkin pystysuuntainen voimaliikeyhtälö ja
momenttiliikeyhtälö pisteen C suhteen ovat
↓
m &x& G = − f A − fB
4 C: − IG &θ& − m &x& G e = − f A c + fB d
(6.29
(6.30)
Kuvan 6.6 perusteella pienillä siirtymillä on
x C = x G − e θ , josta seuraa x G = x C + e θ ja &x& G = &x& C + e &θ& . Steinerin säännön mukaan on IC = IG + m e 2 . Sijoittamalla nämä tiedot liikeyhtälöihin (6.29) ja (6.30) ja ottamalla huomioon yhteys k 1 c = k 2 d saadaan liikeyhtälöille seuraava matriisimuoto
Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöt
© Matti Lähteenmäki
Värähtelymekaniikka
⎡ m m e ⎤ ⎧ &x& C ⎫ ⎡ k 1 + k 2
⎢ m e I ⎥ ⎨ && ⎬ + ⎢ 0
C ⎦ ⎩ θ ⎭ ⎣
⎣
6.9
⎤ ⎧ xC ⎫ ⎧ 0 ⎫
⎨
⎬=⎨ ⎬
k 1 c 2 + k 2 d2 ⎥⎦ ⎩ θ ⎭ ⎩ 0 ⎭
0
(6.31)
Liikeyhtälöillä (6.31) on dynaaminen, mutta ei staattista kytkentää.
3. Kirjoitetaan vielä palkin liikeyhtälöt, kun koordinaateiksi valitaan pisteen A pystysiirtymä x A ja rotaatiokulma θ mitattuna staattisesta tasapainoasemasta kuvan 6.7
mukaisesti. Jousivoimien lausekkeet ovat
fA = k1 x A
A
B
xA
fA
&x& A
xG
θ
&θ&
(6.32)
fB = k 2 [ x A + ( a + b ) θ ]
Palkin pystysuuntainen voimaliikeyhtälö ja
momenttiliikeyhtälö pisteen A suhteen ovat
fB
Kuva 6.7. Koordinaatit x A ja θ .
↓
m &x& G = − f A − fB
4 A: − IG &θ& − m &x& G a = fB ( a + b )
(6.33)
(6.34)
Lisäksi on voimassa x A = x G − a θ , josta seuraa x G = x A + a θ ja &x& G = &x& A + a &θ& sekä
I A = IG + m a 2 . Kun otetaan huomioon nämä tiedot, saadaan liikeyhtälöt koordinaattien x A ja θ avulla matriisimuotoon
k2 (a + b) ⎤ ⎧ xA ⎫ ⎧ 0 ⎫
⎡ m m a ⎤ ⎧ &x& A ⎫ ⎡ k 1 + k 2
⎬=⎨ ⎬
⎢ m a I ⎥ ⎨ && ⎬ + ⎢ k ( a + b ) k ( a + b ) 2 ⎥ ⎨
A ⎦⎩ θ ⎭ ⎣ 2
2
⎣
⎦⎩ θ ⎭ ⎩0⎭
(6.35)
Yhtälöillä (6.35) on sekä dynaaminen että staattinen kytkentä.
Esimerkistä näkyy, että kytkentä ei ole systeemin ominaisuus, vaan seuraus valituista
koordinaateista. Voidaan osoittaa, että on mahdollista valita koordinaatit siten, että
systeemissä ei ole staattista eikä dynaamista kytkentää, jolloin sekä jäykkyys- että
massamatriisi ovat lävistäjämatriiseja. Näitä koordinaatteja sanotaan normaalikoordinaateiksi ja niillä on suuri merkitys värähtelyanalyysissä. Normaalikoordinaatteja ei
voi keksiä suoraan, niiden löytäminen vaatii ominaiskulmataajuuksien ja -muotojen
määrittämistä.
Myös vaimennetusta systeemistä voidaan poistaa staattinen ja dynaaminen kytkentä
siirtymällä normaalikoordinaatteihin, mutta vaimennuskytkennän poistaminen näin on
mahdollista vain erityistapauksissa tai käyttämällä tiettyjä oletuksia vaimennuksen
luonteesta. Esimerkiksi suhteellisen vaimennuksen mallin tai Rayleighin vaimennusmallin käyttö tekee mahdolliseksi vaimennuskytkennän poistamisen.
Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöt
© Matti Lähteenmäki
Värähtelymekaniikka
6.10
6.5 Energiaperiaatteen käyttö
Kirjoitettaessa liikeyhtälöitä suoraan Newtonin laeista käytetään systeemistä irrotettujen osien tai osakokonaisuuksien vapaakappalekuvia, jolloin osien välillä vaikuttavat
voimat ja momentit tulevat aluksi mukaan yhtälöihin. Lopullisiin liikeyhtälöihin pääseminen vaatii näiden sisäisten vaikutusten eliminointia, mikä saattaa olla työlästä.
Liikeyhtälöiden kirjoittaminen on toisinaan yksinkertaisempaa, jos käytetään Newtonin lakien sijaista jotakin energiaperiaatetta. Tällöin tarkastellaan systeemin liike- ja
potentiaalienergiaa ja ulkoisten kuormitusten työtä, joihin systeemin sisäiset voimat ja
momentit eivät vaikuta. Seuraavassa tarkastellaan Lagrangen yhtälöitä, jotka ovat
dynamiikan tehtävissä useimmiten energiaperiaatteiden käyttökelpoisin muoto.
6.5.1 Konservatiivisen systeemin Lagrangen yhtälöt
Dynamiikassa osoitetaan, että n vapausastetta omaavalle konservatiiviselle systeemille ovat voimassa Lagrangen yhtälöt
d ⎛ ∂T
⎜
dt ⎜⎝ ∂ x& k
⎞ ∂T
∂V
⎟⎟ −
+
=0
⎠ ∂ xk ∂ xk
k = 1, 2 ,L, n
(6.36)
Kaavassa (6.36) T on systeemin liike-energia ja V potentiaalifunktio hetkellä t . Potentiaalifunktio V sisältää systeemin kimmoenergian ja ulkoisten konservatiivisten
kuormitusten työn. Yhtälöitä (6.36) on n kappaletta ja ne muodostavat systeemin
liikeyhtälöryhmän.
Liike-energia voi riippua asemakoordinaateista x k ja niiden ensimmäisistä aikaderivaatoista x& k (nopeudet ja kulmanopeudet) ja potentiaalifunktio koordinaateista x k eli
T = T( x 1, x 2 , ... , x n , x& 1, x& 2 , ... , x& n )
V = V( x 1, x 2 , ... , x n )
(6.37)
Funktioissa (2) on 2 n kappaletta muuttujia, sillä koordinaattien aikaderivaattoja x& k
pidetään tässä riippumattomina muuttujina.
Lagrangen yhtälöitä (6.37) voidaan käyttää myös epälineaaristen systeemien liikeyhtälöiden johtamiseen. Tässä rajoitutaan lineaaristen systeemien värähtelyiden tarkasteluun, jolloin Lagrangen yhtälöt antavat kaavan (6.22) mukaisen liikeyhtälöryhmän.
Konservatiivisella systeemillä liikeyhtälöryhmässä ei ole vaimennustermejä. Lineaarisen värähtelymekaniikan sovelluksissa kineettinen energia ei riipu asemakoordinaateista x k eli T = T( x& 1, x& 2 , ... , x& n ) , jolloin Lagrangen yhtälöissä (6.36) on vasemman
puolen keskimmäinen termi nolla.
Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöt
© Matti Lähteenmäki
Värähtelymekaniikka
6.5.2
6.11
Epäkonservatiivisen systeemin Lagrangen yhtälöt
Tarkastellaan n vapausastetta omaavaa mekaanista systeemiä, jonka vapausasteisiin x 1, x 2 ,..., x n vaikuttavat epäkonservatiiviset kuormitukset Q1 , Q 2 , L , Q n . Koordinaatit ovat translaatio- tai rotaatiosiirtymiä, joten kuormitukset ovat voimia tai momentteja niin, että kuormituksen ja koordinaatin tulo edustaa työtä. Systeemin koordinaateissa tapahtuvia pieniä muutoksia δ x 1, δ x 2 , L , δ x n sanotaan virtuaalisiksi
siirtymiksi ja systeemi siirtyy niiden tapahtuessa alkuasemastaan uuteen asemaan
x 1 + δ x 1 , x 2 + δ x 2 , L , x n + δ x n , jolloin ulkoiset kuormitukset tekevät systeemiin virtuaalisen työn
n
δ W = ∑ Qi δ x i
(6.38)
i=1
Dynamiikassa osoitetaan, että tässä tapauksessa systeemin Lagrangen yhtälöt ovat
d ⎛ ∂T
⎜
dt ⎜⎝ ∂ x& k
⎞ ∂T
∂V
⎟⎟ −
+
= Qk
⎠ ∂ xk ∂ xk
k = 1, 2 ,L, n
(6.39)
Virtuaalisen työn avulla Lagrangen yhtälöitä voidaan käyttää yleisten epäkonservatiivisten voimavaikutusten huomioonottamiseen. Lineaarisessa värähtelymekaniikassa
epäkonservatiivisina voimina ovat yleensä viskoosit vaimennusvoimat ja niiden vaikutus voidaan ottaa kätevämmin huomioon dissipatiofunktion D avulla. Dissipatiofunktio muodostetaan analogisesti jousien kimmoenergian kanssa. Kun vaimennusvoima
on Fd = c x& , on sitä vastaava dissipatiofunktio D = c x& 2 / 2 . Koko systeemin dissipatiofunktio saadaan yhteenlaskuperiaatteella. Kun dissipatiofunktio on muodostettu,
saadaan termit Q k siitä kaavalla
Qk = −
∂D
∂ x& k
k = 1, 2 ,L, n
(6.40)
Yhtälöt (6.39) saavat dissipatiofunktiota käytettäessä muodon
d ⎛ ∂T
⎜
dt ⎜⎝ ∂ x& k
⎞ ∂T
∂D ∂ V
⎟⎟ −
+
+
=0
⎠ ∂ x k ∂ x& k ∂ x k
k = 1, 2 ,L, n
(6.41)
Lineaarisia värähtelyitä tarkasteltaessa kaavan (6.41) vasemman puolen toinen termi
on nolla ja kolmas termi antaa liikeyhtälöryhmän (6.22) vaimennustermin. Lisäksi
kaavan (6.41) vasemman puolen ensimmäinen termi antaa liikeyhtälöryhmän massatermin ja neljäs jäykkyystermin.
Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöt
© Matti Lähteenmäki
Värähtelymekaniikka
6.12
6.5.3 Esimerkkejä
x1
k1
F1
x3
x2
k2
m1
F2
Esimerkki 1
Johdetaan kuvan 1 vaimentamattoman kolmen vapausasteen
systeemin liikeyhtälöt käyttäen
Lagrangen yhtälöitä (6.36). Tämä esimerkkiä käsiteltiin kohdassa 6.2.1 Newtonin lakien
avulla. Liike-energia T ja potentiaalifunktio V ovat
k3
m2
F3
m3
Kuva 6.8. Esimerkki 1.
1
1
1
m1 x& 12 + m 2 x& 22 + m 3 x& 32
2
2
2
1
1
1
V = k 1 x12 + k 2 ( x 2 − x1 ) 2 + k 3 ( x 3 − x 2 ) 2 − F1 x1 − F2 x 2 − F3 x 3
2
2
2
T=
(6.42)
(6.43)
Liike-energia T riippuu vain nopeuksista x& k , joten Lagrangen yhtälöissä termit
∂T
∂ xk
ovat nollia. Lasketaan nollasta poikkeavat derivaatat
d ⎛ ∂T ⎞ d
⎜
⎟ = ( m1 x& 1 ) = m1 &x&1
d t ⎜⎝ ∂ x& 1 ⎟⎠ d t
∂V
= k 1 x 1 − k 2 ( x 2 − x 1 ) − F1
∂ x1
d ⎛ ∂T ⎞ d
⎜
⎟ = ( m 2 x& 2 ) = m 2 &x& 2
d t ⎜⎝ ∂ x& 2 ⎟⎠ d t
∂V
= k 2 ( x 2 − x 1 ) − k 3 ( x 3 − x 2 ) − F2
∂ x2
d ⎛ ∂T
⎜
d t ⎜⎝ ∂ x& 3
∂V
= k 3 ( x 3 − x 2 ) − F3
∂ x3
⎞ d
⎟⎟ = ( m 3 x& 3 ) = m 3 &x& 3
⎠ dt
(6.44)
Sijoittamalla saadut tulokset Lagrangen yhtälöihin, saadaan liikeyhtälöryhmä
⎧ m1 &x&1 + k 1 x 1 − k 2 ( x 2 − x 1 ) = F1
⎪
⎨ m 2 &x& 2 + k 2 ( x 2 − x 1 ) − k 3 ( x 3 − x 2 ) = F2
⎪ m &x& + k ( x − x ) = F
3
3
2
3
⎩ 3 3
(6.45)
Liikeyhtälöt menevät seuraavaan matriisimuotoon
⎡m1 0
⎢0 m
2
⎢
⎢⎣ 0
0
0 ⎤
0 ⎥⎥
m 3 ⎥⎦
⎧ &x&1 ⎫ ⎡k 1 + k 2
⎪&& ⎪ ⎢
⎨x 2 ⎬ + ⎢ − k 2
⎪&x& ⎪ ⎢ 0
⎩ 3⎭ ⎣
− k2
k2 + k3
− k3
0 ⎤
− k 3 ⎥⎥
k 3 ⎥⎦
⎧ x 1 ⎫ ⎧F1 ⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎨x 2 ⎬ = ⎨F2 ⎬
⎪x ⎪ ⎪F ⎪
⎩ 3⎭ ⎩ 3⎭
(6.46)
Tulos on sama kuin kohdassa 6.2.1 Newtonin lailla saatu liikeyhtälöryhmä.
Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöt
© Matti Lähteenmäki
Värähtelymekaniikka
6.13
Esimerkki 2
Tarkastellaan kuvan 6.9 epäkonservatiivista kahden vapausasteen systeemiä, jossa
koordinaatit x 1 ja x 2 ovat massojen absoluuttiset asemat ja koordinaatit z1 ja z 2
suhteelliset asemat tunnetun funktion u( t )
mukaisesti liikkuvaan alustaan nähden.
Tätä esimerkkiä käsiteltiin kohdassa 6.2.2
Newtonin lakien avulla. Liike-energia, dissipatiofunktio ja potentiaalifunktio ovat
Kuva 6.9. Esimerkki 2.
1
1
1
1
m1 x& 12 + m 2 x& 22 = m1 ( z& 1 + u& ) 2 + m 2 ( z& 2 + u& ) 2
2
2
2
2
1
1
1
1
D = c 1 ( x& 1 − u& ) 2 + c 2 ( x& 2 − x& 1 ) 2 = c 1 z& 12 + k 2 ( z& 2 − z& 1 ) 2
2
2
2
2
1
1
1
1
V = k 1 ( x1 − u ) 2 + k 2 ( x 2 − x1 ) 2 = k 1 z12 + k 2 ( z 2 − z1 ) 2
2
2
2
2
T=
(6.47)
(6.48)
(6.49)
Lagrangen yhtälöissä esiintyvät nollasta poikkeavat derivaatat ovat
d ⎛ ∂T ⎞ d
&& )
⎟ = [ m1 ( z& 1 + u& ) ] = m1 ( &z&1 + u
⎜
dt ⎜⎝ ∂ z& 1 ⎟⎠ dt
d ⎛ ∂T ⎞ d
&& )
⎟ = [ m 2 ( z& 2 + u& ) ] = m 2 ( &z& 2 + u
⎜
dt ⎜⎝ ∂ z& 2 ⎟⎠ dt
∂D
= c 1 z& 1 − c 2 ( z& 2 − z& 1 ) = ( c 1 + c 2 ) z& 1 − c 2 z& 2
∂ z& 1
∂D
= c 2 ( z& 2 − z& 1 ) = − c 2 z& 1 + c 2 z& 2
∂ z& 2
∂V
= k 2 ( z 2 − z1 ) = − k 2 z1 + k 2 z 2
∂ z2
(6.50)
Sijoittamalla tulokset (6.50) Lagrangen yhtälöihin (6.41) saadaan liikeyhtälöt
∂V
= k 1 z1 − k 2 ( z 2 − z1 ) = ( k 1 + k 2 ) z1 − k 2 z 2
∂ z1
&& ) + ( c 1 + c 2 ) z& 1 − c 2 z& 2 + ( k 1 + k 2 ) z1 − k 2 z 2 = 0
⎧ m1 ( &z&1 + u
⎨
&& ) − c 2 z& 1 + c 2 z& 2 − k 2 z1 + k 2 z 2 = 0
⎩ m 2 ( &z& 2 + u
(6.51)
joka on sama tulos kuin kohdassa 6.2.2 saatiin. Liikeyhtälöt ovat matriisimuodossa
⎡m1 0 ⎤
⎢0 m ⎥
2⎦
⎣
⎧ &z&1 ⎫ ⎡c 1 + c 2
⎨&& ⎬ + ⎢
⎩z 2 ⎭ ⎣ − c 2
− c2 ⎤
c 2 ⎥⎦
⎧ z& 1 ⎫ ⎡k 1 + k 2
⎨& ⎬ + ⎢
⎩z 2 ⎭ ⎣ − k 2
&& ⎫
− k 2 ⎤ ⎧ z 1 ⎫ ⎧ − m1 u
(6.52)
⎨ ⎬=⎨
⎥
&&⎬⎭
k 2 ⎦ ⎩z 2 ⎭ ⎩ − m 2 u
Käsitellään vaimennus vielä toisin virtuaalisen työn periaatetta käyttäen. Vaimennusvoimien virtuaalinen työ on
δW = − c 1 ( x& 1 − u& ) δ ( x 1 − u ) − c 2 ( x& 2 − x& 1 ) δ ( x 2 − x 1 )
= − c 1 z& 1 δ z1 − c 2 ( z& 2 − z& 1 ) δ ( z 2 − z1 )
Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöt
⇒
(6.53)
© Matti Lähteenmäki
Värähtelymekaniikka
6.14
δW = − c 1 z& 1 δ z1 + c 2 ( z& 2 − z& 1 ) δ z1 − c 2 ( z& 2 − z& 1 ) δ z 2
(6.54)
= − [ ( c 1 + c 2 ) z& 1 − c 2 z& 2 ] δ z1 − [ − c 2 z& 1 + c 2 z& 2 ] δ z 2 = Q1 δ z1 + Q 2 δ z 2
josta seuraa kuormituksiksi sama tulos kuin edellä saatiin dissipatiofunktion avulla eli
Q1 = − [ ( c 1 + c 2 ) z& 1 − c 2 z& 2 ]
Q 2 = − [ − c 2 z& 1 + c 2 z& 2 ]
(6.55)
Esimerkki 3
B2
IG
θ
B1
Kuva 6.10. Esimerkki 3.
Tarkastellaan kuvan 6.10 mallia, jolla voidaan tutkia
esimerkiksi alustan tunnetusta liikkeestä u(t) johtuvaa
rakennuksen värähtelyä. Laskentamallissa rakennusta
on kuvattu jäykällä kappaleella B2 ja sen perustusta
partikkelilla B1. Koordinaateiksi valitaan perustuksen
absoluuttinen asema x ja rakennuksen kulma-asema
θ . Rajoitutaan lisäksi pieniin värähtelyihin. Tätä esimerkkiä käsiteltiin kohdassa 6.2.3 Newtonin lakien
avulla. Pienien värähtelyiden tapauksessa energioita
laskettaessa käytetään approksimaatioita sin θ ≈ θ ja
cos θ ≈ 1. Painovoiman tekemän työn laskennassa on
kuitenkin käytettävä approksimaatiota cos θ ≈ 1 − θ 2 / 2 ,
jotta kaikki ensimmäisen kertaluvun vaikutukset tulevat
mukaan. Rakennuksen massakeskiön koordinaatit
ovat x G = x + a sin θ ≈ x + aθ y G = a cos θ ≈ a
⇒ x& G ≈ x& + a θ& y& G ≈ 0 .
Liike-energia,
dissipatiofunktio ja potentiaalifunktio ovat
1 &2 1
1
1c
1c
IG θ + M ( x& + a θ& ) 2 + m x& 2
D=
( x& − u& ) 2 +
( u& − x& ) 2
2
2
2
22
22
1
1k
1k
V = K θ2 +
( x − u )2 +
( u − x )2 − M g a θ 2 / 2
22
2
22
T=
(6.56)
Lasketaan Lagrangen yhtälöissä tarvittavat derivaatat
[
]
d ⎛∂T⎞ d
⎜
⎟=
M ( x& + a θ& ) + m x& = ( M + m ) &x& + M a &θ&
d t ⎜⎝ ∂ x& ⎟⎠ d t
[
]
d ⎛∂T⎞ d
⎜⎜
⎟⎟ =
IG θ& + M ( x& + a θ& ) a = Ma &x& + ( IG + M a 2 ) &θ&
&
dt ⎝ ∂ θ ⎠ dt
(6.57)
c
∂D c
= ( x& − u& ) − ( u& − x& ) = c x& − c u&
&
2
∂x 2
∂D
=0
∂ θ&
k
∂V k
= ( x − u) − (u − x ) = k x − ku
2
∂x 2
∂V
= K θ − Mga θ = ( K + Mga ) θ
∂θ
Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöt
© Matti Lähteenmäki
Värähtelymekaniikka
6.15
Sijoittamalla lasketut derivaatat Lagrangen yhtälöihin (6.41) saadaan liikeyhtälöt
( M + m ) &x& + M a &θ& + c x& + k x = k u + c u&
Ma &x& + ( I + M a 2 ) &θ& + ( K + M g a ) θ = 0
(6.58)
G
joka on sama tulos kuin kohdassa 6.2.32 saatiin. Liikeyhtälöt ovat matriisimuodossa
M a ⎤ ⎧ &x& ⎫ ⎡ c 0 ⎤ ⎧ x& ⎫ ⎡ k
0
⎡M+m
⎤ ⎧ x ⎫ ⎧c u& + k u⎫
+
⎨
⎬
⎬
⎢ M a I + M a 2 ⎥ ⎨ && ⎬ + ⎢
⎥ &
⎢
⎥⎨ ⎬ = ⎨
G
⎣
⎦ ⎩ θ ⎭ ⎣ 0 0 ⎦ ⎩ θ ⎭ ⎣ 0 K − M g a⎦ ⎩ θ ⎭ ⎩ 0 ⎭
Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöt
(6.59)
© Matti Lähteenmäki