1. No category

Lukion
Calculus
3
MAA6 Todennäköisyys ja tilastot
Paavo Jäppinen
Alpo Kupiainen
Matti Räsänen
Otava
PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN
TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN
Todennäköisyys ja tilastot (MAA6) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut
1
Pikatesti (MAA6)
1.
a) Autoliikkeessä tilastoitiin vuoden aikana myytyjen käytettyjen autojen merkki,
rekisteröintivuosi ja hinta. Mille asteikkotyypeille mainitut muuttujat soveltuvat?
b) Liike myi tietyn merkkistä, saman vuosimallin autoa kunnosta ja ajokilometrimäärästä riippuen vaihtelevaan hintaan seuraavasti:
hinta (€)
määrä (%)
14 000
13
14 800
22
15 200
38
16 000
19
17 000
8
Laske keskihinta ja hinnan keskihajonta.
Ratkaisu:
a) automerkki: luokitteluasteikko
rekisteröintivuosi: luokitteluasteikko, järjestysasteikko
hinta: luokitteluasteikko, järjestysasteikko, suhdeasteikko
b) Keskihinta on 15 250 € ja hinnan keskihajonta 780 €.
2.
Valitse populaatiosta {17, 18, 19, 22, 23, 24, 25, 26} neljän alkion otos niin, että sen
keskihajonta on mahdollisimman suuri. Kuinka suuri tämä keskihajonta on?
Ratkaisu:
Populaation {17, 18, 19, 22, 23, 24, 25, 26} keskiarvo on 21,75 ja otoskeskihajonta
3,15. Populaation alkioiden suurin poikkeaman itseisarvo on luvuilla 17, 26, 18 ja 25.
Samat luvut käyvät otoksen luvuiksi.
Otos on {17, 18, 25, 26}. Sen keskiarvo on 21,5 ja otoskeskihajonta σ n −1 = 4,65.
3.
Erään lukion opiskelijoista oli tyttöjä 62 %. Heidän historian arvosanojensa keskiarvo
oli 8,2. Pojilla vastaava keskiarvo oli 7,6. Mikä oli kaikkien opiskelijoiden historian
arvosanojen keskiarvo?
Ratkaisu:
Koko lukion historian keskiarvo oli
4.
62 ⋅ 8,2 + 38 ⋅ 7,6
≈ 8,0 .
100
Kuinka monta kolmekirjaimista "sanaa" voidaan muodostaa kahdeksasta vokaalista,
joissa vokaali a a) ei esiinny kertaakaan, b) esiintyy ainakin kerran?
Ratkaisu:
a) Käytetään vain 7 vokaalia. Niistä saa 73 = 343 ”sanaa”.
b) Sanoja kaikkiaan on 83 = 512. Sanoja, joissa ei ole yhtään vokaalia a, on 343. Siis
sanoja, joissa on ainakin yksi a, on 512 – 343 = 169.
5.
Ryhmässä on 8 poikaa ja 6 tyttöä. Heistä arvotaan nelihenkinen toimikunta, jossa on
kaksi tyttöä. Kuinka monta erilaista toimikuntaa on mahdollista muodostaa?
© Lukion Calculus 3
2
Todennäköisyys ja tilastot (MAA6) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut
Ratkaisu:
⎛6⎞
Kuuden tytön joukosta voidaan valita kahden tytön ryhmiä ⎜⎜ ⎟⎟ = 15 ja kahdeksan
⎝ 2⎠
⎛8 ⎞
pojan joukosta kahden pojan ryhmiä ⎜⎜ ⎟⎟ = 28 . Tuloperiaatteen mukaan nelihenkisiä
⎝ 2⎠
toimikuntia, joissa on kaksi tyttöä on 15 · 28 = 420.
6.
Heitetään kolmea kolikkoa. Millä todennäköisyydellä kaikki antavat kruunan tai
kaikki antavat klaavan?
Ratkaisu:
1 1 1 1 1 1 1
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = .
2 2 2 2 2 2 4
Toisin: Yksi kolikoista antaa kruunan tai klaavan. Todennäköisyys, että muut kaksi
1 1 1
kolikkoa antavat sen saman kuin äskeinen kolikko, on ⋅ = .
2 2 4
P(kaikki antavat kruunan tai kaikki antavan klaavan) =
7.
Opintoryhmään kuuluu 15 poikaa ja 8 tyttöä. Ryhmän edustajiksi arvotaan kaksi
opiskelijaa. Millä todennäköisyydellä ainakin toinen edustaja on tyttö?
Ratkaisu:
⎛15 ⎞
⎜2⎟
148
P(ainakin toinen on tyttö) = 1 – P(molemmat ovat poikia) = 1 − ⎝ ⎠ =
≈ 0,58
⎛ 23 ⎞ 253
⎜2⎟
⎝ ⎠
15 14 148
Toisin: P(ainakin toinen on tyttö) = 1 –
⋅
=
≈ 0,58
23 22 253
8.
Juha-Pekka tietää kokemuksesta osuvansa tikanheitossa kymppiin kahdeksan prosentin todennäköisyydellä. Juha-Pekka heittää viisi tikkaa. Millä todennäköisyydellä hän
osuu kymppiin täsmälleen yhdellä tikalla?
⎛ 5⎞
Ratkaisu: P(täsmälleen yksi kymppi) = ⎜ ⎟ ⋅ 0,081 ⋅ 0,92 4 ≈ 0,29
⎝1⎠
9.
Nopan kolmella sivutahkolla on silmäluku 1 ja lopuilla silmäluku 3. Noppaa heitetään kolmasti. Olkoon x saatujen silmälukujen summa. Määritä E(x).
Ratkaisu:
x voi saada arvot 3, 5, 7 ja 9. Oheinen taulukko sisältää x:n jakauman.
x
3
5
7
9
p
1
8
3
8
3
8
1
8
© Lukion Calculus 3
Odotusarvo on E ( x) =
1
3
3
1
⋅3+ ⋅5 + ⋅7 + ⋅9 = 6.
8
8
8
8
Todennäköisyys ja tilastot (MAA6) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut
10.
3
Oletetaan, että kevytjuuston rasvaprosentti on normaalijakautunut. Liike tilaa valmistajalta kevytjuustoa, jonka rasvapitoisuus on keskimäärin 15 %. Kuinka suuri hajonta
saa rasvan prosenttiluvussa enintään olla, jotta todennäköisyys saada rasvapitoisuudeltaan yli 17 %:n juustoa olisi pienempi kuin 5 %?
Ratkaisu:
Jos rasvan prosenttiluku x ∼ N(15, σ), niin z =
P (z >
17 − 55
σ
x − 15
∼ N(0, 1). P ( x > 17) =
σ
2
2
) = 1 − Φ ( ) < 0,05 , josta Φ ( ) > 0,95 ja taulukon mukaan
σ
σ
2
> 1,6449 . Tästä σ < 1,22 . Keskihajonta saa olla enintään 1,2 prosenttiyksikköä.
σ
Kertauskoe 1 (MAA6)
1.
Laske ryhmän keski-ikä ja iän keskihajonta. Piirrä histogrammi.
ikä (a)
11-15
frekvenssi
3
16-20
26
21-25
10
26-30
29
31-35
13
Ratkaisu:
Luokkaan 11–15 kuuluvat ne, jotka ovat täyttäneet 11
mutta eivät vielä 16. Niinpä ensimmäisen luokan leveys on 5 ja luokkakeskus 13,5 vuotta. Vastaavat arvot saadaan muille luokille. Käytetään luokkakeskuksia 13,5; 18,5; 23,5; 28,5; 33,5; 38,5 ja 43,5. Keskiarvoksi tulee x ≈ 28,7 ja keskihajonnaksi σ ≈ 8,4 .
2.
36-40
19
41-45
8
f
25
20
15
10
5
11 16 21 26 31 36 41 46
a
Tiedetään, että x ∼ N(0, 1). Määritä a) P ( x ≤ 1) , b) P ( x ≥ −1) , c) P (−0,2 < x < 0,4) .
Ratkaisu:
a) P ( x ≤ 1) = Φ(1) ≈ 0,8413
b) P ( x ≥ −1) = P ( x ≤ 1) ≈ 0,8413
c) P (−0,2 < x < 0,4) ≈ 0,6554 − 1 + 0,5793 = 0,2347
3.
Yhtiössä on 80 työntekijää. Joka vuosi yhtiö järjestää arpajaiset, joissa 4 työntekijää
voittaa etelänmatkan. Työntekijöistä seitsemän on suunnittelijoita. Millä todennäköisyydellä kaikki neljä voittajaa ovat suunnittelijoita?
Ratkaisu:
⎛7⎞
⎜ 4⎟
35
1
P(kaikki voittajat suunnittelijoita) = ⎝ ⎠ =
=
≈ 22 ⋅ 10 −6
80
⎛ ⎞ 1 581 580 45 188
⎜4⎟
⎝ ⎠
© Lukion Calculus 3
4
4.
Todennäköisyys ja tilastot (MAA6) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut
a) Häissä n henkilöä kättelee toinen toisiaan. Kuinka monta kättelyä suoritetaan?
b) Kirjahyllyyn asetetaan umpimähkään kuusi erilaista romaania. Laske todennäköisyys sille, että kirjat ovat vasemmalta oikealle nimien mukaisessa aakkosjärjestyksessä.
Ratkaisu:
a) Tervehtijät muodostavat kahden henkilön osajoukkoja. Kättelyitä on 2-kombinaan!
n( n − 1)
n
tioiden lukumäärä eli ⎛⎜ ⎞⎟ =
.
=
2
⎝ 2 ⎠ 2!⋅( n − 2)!
b) P(aakkosjärjestys) =
5.
1 1 1 1 1
1
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅1 =
6 5 4 3 2
720
Opiskelijan koulumatkalla on liikennevalot kolmessa risteyksessä. Liikennevalot on
ohjelmoitu niin, että ensimmäisessä risteyksessä palaa jalankulkijoille punainen valo
65 %, toisessa 75 % ja kolmannessa 70 % ajasta. Oletetaan, että punaiset valot palavat toisistaan riippumatta. Millä todennäköisyydellä eräänä päivänä opiskelijan koulumatkalla ainakin yhdessä risteyksessä palaa punainen valo?
Ratkaisu:
P(ainakin yhdessä risteyksessä palaa punainen valo) = 1 – P(punainen ei pala missään risteyksessä) = 1 – 0,35 · 0,25 · 0,30 ≈ 0,97 .
6.
Matematiikan opetusryhmässä on 17 poikaa ja 11 tyttöä. Kaksi opiskelijaa valitaan
arvalla retkitoimikuntaan. Satunnaismuuttujana on toimikuntaan valittujen poikien
lukumäärä. Muodosta todennäköisyysjakauma ja kertymäfunktio. Laske odotusarvo.
Ratkaisu:
Poikien lukumäärä x voi saada arvot 0, 1 ja 2. Vastaavat pistetodennäköisyydet ovat
11 10
55
17 11 187
17 16 136 68
, 2⋅ ⋅
ja
.
⋅
=
=
⋅
=
=
28 27 378
28 27 378
28 27 378 189
Kertymäfunktio F(x) = 0, kun x < 0, F ( x) =
1 ≤ x < 2 , ja F(x) = 1, kun x ≥ 2 .
Odotusarvo on E ( x) =
7.
55
242
, kun
, kun 0 ≤ x < 1 , F ( x) =
378
378
55
187
136
3
⋅0 +
⋅1 +
⋅ 2 = 1 ≈ 1,2 .
378
378
378
14
Suomalaisten naisten pituudet noudattavat likimain normaalijakaumaa niin, että keskipituus on 162 cm ja keskihajonta 6 cm. Kuinka paljon on yli 175-senttisiä naisia,
kun 5,2 miljoonasta suomalaisesta on 51 prosenttia naisia?
Ratkaisu:
175 − 162
≈ 2,17) = 1 − P ( z ≤ 2,17) = 1 − Φ(2,17) ≈ 1 − 0,9850
6
= 0,015 . Suomalaisista on naisia 0,51 · 5 200 000 = 2 652 000 ja heistä pituudeltaan
yli 175 cm 0,015 · 2652 000 = 39 780 ≈ 40 000.
P ( x > 175) = P ( z >
© Lukion Calculus 3
Todennäköisyys ja tilastot (MAA6) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut
8.
5
Eräs tiedonsiirtojärjestelmä välittää nollista ja ykkösistä koostuvia seitsemän merkin
pituisia "sanoja". Satunnaisten, toisistaan riippumattomien häiriöiden vuoksi 0 vääristyy 1:ksi todennäköisyydellä 0,005, kun taas 1 vääristyy 0:ksi todennäköisyydellä
0,010. Mikä on todennäköisyys, että lähetetty sana 0010111 saapuu vastaanottimeen
siten, että enintään yksi merkki on virheellinen? (yo-teht. K90/8)
Ratkaisu:
P(enintään yksi merkki virheellinen) = P(kaikki merkit oikein) + P(yksi 0 virheellinen ja kaikki 1:t oikein) + P(kaikki 0:t oikein ja yksi 1 virheellinen)
⎛ 3⎞
⎛ 4⎞
= 0,995 3 ⋅ 0,99 4 + ⎜ ⎟ ⋅ 0,005 ⋅ 0,995 2 ⋅ 0,99 4 + 0,995 3 ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ 0,01 ⋅ 0,99 3 ≈ 0,9988
⎝1⎠
⎝1⎠
Kertauskoe 2 (MAA6)
1.
Lukion opiskelijoista saatiin seuraava taulukko:
pituus (cm) 154
pojat f
tytöt f
3
159
164
9
2
29
169
6
36
174
13
25
179
28
12
184
21
2
189
11
1
194
199
5
2
Määritä laskimella pituuksien keskiarvo ja keskihajonta a) pojille, b) tytöille.
Ratkaisu:
Luokan 150–154 keskus on 152 laskettuna näillä tai todellisilla ala- ja ylärajoilla.
Muut luokkakeskukset ovat vastaavasti 157, 162, 167, 172, 177, 182, 187, 192 ja
197.
a) pojat: x ≈ 179 cm, σ n ≈ 7,2 cm, σ n−1 ≈ 7,3 cm
b) tytöt: x ≈ 167 cm, σ n ≈ σ n−1 ≈ 6,5 cm
2.
Korttipakasta vedetään neljä korttia. Laske todennäköisyys, että ne kaikki ovat samaa
maata.
Ratkaisu:
P(kaikki samaa maata) = 1 ⋅
3.
12 11 10
44
⋅ ⋅
=
≈ 0,011 .
51 50 49 4 165
Arvioi hehkulampun palamisajan kertymäfunktion kuvaajasta, millä todennäköisyydellä
lamppu palaa a) enintään 750 tuntia, b) vähintään 1000 tuntia, c) 500 - 1250 tuntia.
1
500
1000
Ratkaisu:
a) P ( x ≤ 750) = F (750) ≈ 0,5
b) P ( x ≥ 1 000) = 1 − P ( x < 1 000) = 1 − F (1 000 ) ≈ 1 − 0,6 = 0,4
c) P (500 < x < 1 250) = F (1 250) − F (500) ≈ 0,7 − 0,4 = 0,3
1500
2000
t
h
© Lukion Calculus 3
6
4.
Todennäköisyys ja tilastot (MAA6) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut
Noppaa heitetään kuusi kertaa. Mikä on todennäköisyys sille, että
a) viimeisellä heitolla tulee ensimmäinen kuutonen,
b) viimeisellä heitolla tulee kolmas kuutonen?
Ratkaisu:
5
⎛5⎞ 1
a) P(viimeisellä heitolla tulee ensimmäinen kuutonen) = ⎜ ⎟ ⋅ ≈ 0,067
⎝6⎠ 6
2
3
5 ⎛1⎞ ⎛5⎞ 1
b) P(viimeisellä heitolla tulee kolmas kuutonen) = ⎛⎜ ⎞⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ≈ 0,027
⎝ 2⎠ ⎝ 6 ⎠ ⎝ 6 ⎠ 6
5.
Yhtälön 4x + 2 = kx – 3 kerroin k määrätään nopanheitolla. Millä todennäköisyydellä
yhtälön juuri on positiivinen?
Ratkaisu:
−5
−5
. Ehtona on, että
> 0 , josta k > 4.
4−k
4−k
Siis vain k:n arvot 5 ja 6 käyvät. Yhtälön juuri on positiivinen todennäköisyydellä
2 1
= .
6 3
Yhtälön 4x + 2 = kx – 3 ratkaisu on x =
6.
Kahteentoista korttiin on kirjoitettu numerot niin, että kahdessa kortissa on numero 0,
kolmessa numero 1, yhdessä numero 2, neljässä numero 3 ja kahdessa numero 4.
Nostetaan umpimähkään kaksi korttia. Satunnaismuuttujana on saatujen numeroarvojen summa. Määritä todennäköisyysjakauma ja odotusarvo.
Ratkaisu:
Korttien numerot ovat 0, 0, 1, 1, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4. Numeroiden summa x voi saada
arvot 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ja 8. Seuraava taulukko sisältää todennäköisyysjakauman.
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
p
1
66
6
66
5
66
11
66
16
66
10
66
8
66
8
66
1
66
Esimerkiksi summa 3 tulee numeroista 1 ja 2 (3 valintatapaa) ja numeroista 0 ja 3
12
(8 valintatapaa). Valintatapoja kaikkiaan on ⎛⎜ ⎞⎟ = 66 . Vastaavasti summa 6 tulee
⎝2⎠
pareista 3 ja 3 (4 yli 2:n eli 6 valintatapaa) sekä pareista 2 ja 4 (2 valintatapaa).
Odotusarvo on
1
6
5
11
16
10
8
8
1
1
E(x) =
⋅0 +
⋅1 +
⋅2+
⋅3+
⋅4+
⋅5 +
⋅6+
⋅7 +
⋅8 = 4 .
66
66
66
66
66
66
66
66
66
6
© Lukion Calculus 3
Todennäköisyys ja tilastot (MAA6) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut
7.
7
1
⎧
⎪kx + , kun 0 ≤ x ≤ 2,
Määritä positiivinen vakio k niin, että funktio f(x) = ⎨
on jatku4
⎪⎩0 muualla,
van satunnaismuuttujan x tiheysfunktio. Piirrä tiheysfunktion kuvaaja ja laske toden1
1
näköisyys P ( ≤ x < 1 ) .
2
2
Ratkaisu:
Ehto f ( x ) ≥ 0 toteutuu aina, sillä välillä [0, 2] on kx +
1 1
≥ > 0 , koska oletuksen
4 4
mukaan k > 0. Muualla f(x) = 0.
y
1
1
Koska f (0) = ja f (2) = 2k + , on kuvion puoli4
4
1
4
1
1
+ 2k +
x
2
4 ⋅ 2 . Tämä ala on 1, kun
suunnikkaan ala 4
2
1
⎧1
1
⎪ x + , kun 0 ≤ x ≤ 2,
k = , joten tiheysfunktio f ( x) = ⎨ 4
4
4
⎪⎩0 muualla.
1
1
Todennäköisyys P ( ≤ x < 1 ) saadaan puolisuunnikkaan pinta-alana tiheysfunkti2
2
1
1 3 5
1
1
1
1
1
on kuvaajan alta: P ( ≤ x < 1 ) = ( f ( ) + f (1 )) ⋅ 1 = ( + ) ⋅ 1 =
2
2
2
2 8 8
2
2
2
8.
Sijoittaja voi tallettaa pääoman 4,60 prosentin korolla koko vuodeksi tai 4,40 prosentin korolla puoleksi vuodeksi ja sitten kertyneen rahasumman p prosentin korolla lopuksi vuotta. Jos kaikki prosentit välillä [4,00; 4,90] ovat yhtä todennäköisiä, niin
mikä on todennäköisyys sille, että jälkimmäinen tapa on edullisempi? (yo-teht.
K95/7)
Ratkaisu:
Olkoon sijoitettava pääoma k. Kun pääoma sijoitetaan 4,60 prosentin korolla koko
vuodeksi, se kasvaa arvoon 1,046k. Jos pääoma on 4,40 prosentin korolla puoli vuotp ⎞⎛ 4,40 ⎞
⎛
ta ja lopun vuotta p:n prosentin korolla, se kasvaa arvoon ⎜1 +
⎟⎜1 +
⎟k =
200 ⎠
⎝ 200 ⎠⎝
(1,022+0,00511p)k. Jälkimmäinen tapa on edullisempi, kun epäyhtälö
0,024
≈ 4,697 . Toden(1,022 + 0,00511 p ) k > 1,046 k toteutuu. Näin käy, kun p >
0,00511
4,90 − 4,697
näköisyys on
≈ 0,23 .
4,90 − 4,00
© Lukion Calculus 3