Mekaniikka
0.0. Tietoja kurssista
1/122
Mekaniikka
Fysa210 (5 op) Kevät 2015, Fysiikan laitos, Jyväskylän yliopisto
Luennot Juha Merikoski 12.1.–4.3.2015 ma-ke 14-16 (8 viikkoa)
Laskuharjoitukset Pyry Rahkila, 8 kertaa, ke, max 12 p (voimassa vuoden)
Tehtävien palautus Aulan laatikkoon tiistaina klo 12 mennessä
1. tentti Perjantaina 13.3.2015, max 48 p
2. tentti Perjantaina 17.4.2015
Yleinen tenttipäivä Perjantaina 12.6.2015
Laboratoriotyöt Arvosteltava työ ja lapputyö, max 12 p
Kurssin suoritus Teoriaosasta (harjoitukset ja tentti) vähintään 30 pistettä
sekä laboratoriotöistä vähintään 6 pistettä.
Oletetut esitiedot F1-F2, M1-M5 (osin)
Kurssikirja Marion&Thornton:
Classical Mechanics of Particles and Systems
Muuta kirjallisuutta Goldstein: Classical Mechanics
Landau&Lifshitz: Mechanics
Taulukkokirjat Alan Jeffrey tai Schaum’s tai...
Päivitetty luentomateriaali ja uusimmat tehtävät suoraan Kopasta:
https://koppa.jyu.fi/kurssit/169000/materiaali/Luennot.pdf
https://koppa.jyu.fi/kurssit/169000/harjoitukset/Tehtavat.pdf
Muu materiaali (malliratkaisuja yms) Kopassa salasanan takana.
Mekaniikka
0.1. Kurssin tavoitteet
0.1. Kurssin tavoitteet
Kurssi sisältää seuraavia asioita:
§ 1,7 Newtonin mekaniikan kertausta ja tukevoittamista (kirja §2,9)
§2
Vaimennettu ja pakotettu värähtely (kirja §3)
§ 3,4 Hamiltonin periaate ja Lagrangen liikeyhtälöt (kirja §6,7)
§ 5,6 Gravitaatio ja liike keskeisvoimakentässä (kirja §5,8)
§8
§9
Epäinertiaaliset (pyörivät) koordinaatistot (kirja §10)
Jäykän kappaleen dynamiikka (kirja §11)
§ 10 Kytketyt värähtelyt ja normaalimoodit (kirja §11)
Kurssin keskeisenä tavoitteena on erityisesti oppia perusteet klassisen
mekaniikan Hamiltonin periaatteeseen pohjautuvasta formuloinnista ja
pystyä soveltamaan sitä erilaisiin ongelmiin.
Kurssi on ensimmäinen varsinainen fysiikan aineopintokurssi ja tahti on
varsin tiukka. Epäselviksi mahdollisesti jääneet tai muuten vaikeat asiat
kannattaa siten selvittää aina saman tien.
Tämä esitys perustuu Marionin&Thorntonin kirjaan, josta tietyt luvut ovat
vakiintuneet kurssin sisällöksi. Mikä tahansa kirjan painos soveltuu kurssin
seuraamiseen, tehtäviä tulee 4-5. painoksista, osa prujun kuvistakin on siitä.
Kirja on mukava lukea: siinä on paljon hyvää tekstiä yhtälöiden ympärillä.
2/122
Mekaniikka
1.1. Newtonin lait
3/122
1. Newtonin mekaniikkaa sovellettuna yhden hiukkasen dynamiikkaan
1.1. Newtonin lait
Tavallisimmin Newtonin lait esitetään oleellisesti seuraavassa muodossa:
(N1) Kappale pysyy levossa tai tasaisessa liikkeessä, ellei siihen vaikuta
mikään voima.
(N2) Kappale, johon vaikuttaa voima, liikkuu siten, että sen liikemäärän
muutos ajan yksikköä kohti on yhtäsuuri kuin kyseinen voima.
(N3) Kahden (vuorovaikuttavan) kappaleen toisiinsa kohdistamat voimat
ovat yhtäsuuret ja vastakkaissuuntaiset.
Keskeisiä käsitteitä ovat aika t, paikka r, nopeus v, kiihtyvyys a, voima F ja
massa m. N1:n mukaisessa tilanteessa olevaa kappaletta kutsutaan vapaaksi
kappaleeksi. N1 kertoo voimasta jotain kvalitatiivista. N2:ssa voima tulee
määritellyksi kvantitatiivisesti, jos liikemäärän p määritelmässä
p = mv = m
dr
≡ mṙ
dt
(1.1)
voimme olettaa massan määritellyksi, jolloin N2 voidaan kirjoittaa muodossa
F=
Mekaniikka
dp
d
=
(mv).
dt
dt
(1.2)
1.1. Newtonin lait
4/122
Massan m ollessa vakio N2 saa tutuimman muotonsa
F = ma ≡ mv̇ ≡ mr̈.
(1.3)
Yhtälöissä (1.1,1.3) olemme ottaneet käyttöön lyhennysmerkinnän, jossa
piste suureen päällä tarkoittaa derivointia ajan suhteen ja kaksi pistettä
kahdesti derivointia ajan suhteen. Siis kiihtyvyys a = v̇ = r̈.
N1 ja N2 ovat siis lähinnä määritelmiä tai postulaatteja. Sanomme, että N2
postuloi voiman käsitteen. N3 taas on laki, joka pätee silloin kun voimat ovat
keskeisvoimia1 eli kun niiden suunta on pitkin kappalten välistä suoraa viivaa
ja kun ne eivät riipu kappalten nopeuksista.
N3 voidaan keskeisvoimien tapauksessa laajentaa siten, että massa (massojen
suhteet) tulee määritellyksi:
(N3’) Jos kaksi kappaletta, joiden massat ovat m1 ja m2 , muodostaa eristetyn
järjestelmän, niiden kiihtyvyydet a1 ja a2 ovat kaikilla ajan hetkillä
vastakkaissuuntaiset ja niille pätee m1 |a1 | = m2 |a2 |.
Näin tulee määritellyksi hidas massa. Myöhemmin määritellään painava massa.
Hidas massa ja painava massa ovat ekvivalenssiperiaatteen mukaan samat.
Kirjoittamalla (N3’) muodossa dp1 /dt = −dp2 /dt saadaan d(p1 + p2 )/dt = 0
eli liikemäärän säilyminen kahden kappaleen tapauksessa.
1
Muunlaisia voimia esiintyy elektrodynamiikassa ja suhteellisuusteoriassa.
Mekaniikka
1.2. Inertiaalikoordinaatistot
5/122
1.2. Inertiaalikoordinaatistot
Inertiaalikoordinaatistoksi kutsumme sellaista koordinaatistoa, jossa Newtonin
lait pätevät. Erityisesti: Jos kappale, johon ei vaikuta mikään voima, aina
liikkuu tasaisella nopeudella (tai pysyy levossa) jossain koordinaatistossa
havainnoiden, niin kyseinen koordinaatisto on inertiaalikoordinaatisto.
Jos Newtonin lait pätevät jossain koordinaatistossa, niin ne pätevät missä
tahansa muussa koordinaatistossa, joka on kyseisen koordinaatiston suhteen
tasaisessa liikkeessä. Galilei-muunnoksessa r → r + Vt, missä V on
vakio(vektori), kiihtyvyys r̈ → r̈ + 0 = r̈, joten yhtälö F = mr̈ eli muutu.
Suhteellisuusteoriassa absoluuttinen nopeus tai levossaolo eivät ole hyvin
määriteltyjä käsitteitä. Newtonin lakien (joissakin) käytännön sovelluksissa
koordinaatistoja verrataan ns. kiintotähtien määräämään koordinaatistoon,
joka valitaan absoluuttiseksi (approksimatiiviseksi) inertiaalikoordinaatistoksi.
Kuvatessamme vapaan kappaleen liikettä jossain inertiaalikoordinaatistossa
vaadimme, että kappaleen liikeyhtälö ei riipu koordinaattisysteemin origon
tai suunnan valinnasta. Vaadimme myös, että vapaan kappaleen nopeus ei
riipu ajasta. Vaadimme siis avaruuden homogeenisuuden ja isotrooppisuuden
sekä ajan homogeenisuuden – näistä vaatimuksista johdamme myöhemmin
klassisen mekaniikan säilymislait.
Esim 1.1 Pyörivä koordinaatisto ei ole inertiaalikoordinaatisto.
Mekaniikka
1.3. Hiukkasen liikeyhtälö
6/122
1.3. Hiukkasen liikeyhtälö
Olettaen massa vakioksi yhden pistemäisen hiukkasen liikeyhtälö
F = mr̈
(1.4)
on toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö, josta hiukkasen liike ajan funktiona,
r = r(t), voidaan (periaatteessa) ratkaista, jos funktio F tunnetaan. Yleisessä
tapauksessa F = F(r, v, t). Toisen asteen yhtälölle tarvitaan kaksi alkuehtoa,
esimerkiksi r(0) = r0 ja ṙ(0) = v0 , jotka kiinnittävät kaksi integrointivakiota.
Tämä liikeyhtälö pätee myös äärelliselle kappaleelle, jonka asento liikkeen
aikana ei ole oleellinen. Peruskurssilla lienee käyty läpi seuraavat esimerkit:
Esim 1.2 Kappale kitkattomalla kaltevalla tasolla: painovoima ja tukivoima.
Esim 1.3 Kappale kitkaisella kaltevalla tasolla: lepokitka, kitkakerroin µs .
Esim 1.4 Kappale kitkaisella kaltevalla tasolla: liikekitka, kitkakerroin µk .
v
Esim 1.5 Kappale väliaineessa: vastusvoima Fd = −mkv n , missä n = 1, 2.
v
Kun liike ei ole suoraviivaista (esim. heittoliike ilmassa), liikeyhtälölle ei aina
löydy siistiä äärellisellä määrällä alkeisfunktioita esitettävissä olevaa ratkaisua
ja on turvauduttava approksimaatioihin tai numeriikkaan.
Mekaniikka
1.4. Säilymislait yhdelle hiukkaselle
7/122
1.4. Säilymislait yhdelle hiukkaselle
Seuraavaksi johdamme säilymislait yhdelle pistemäiselle hiukkaselle,2 jonka
massa on m, lähtien Newtonin laeista.3
Klassisen mekaniikan kolme suurta säilymislakia ovat liikemäärän säilyminen,
pyörimismäärän säilyminen ja energian säilyminen.
Yhtälöstä (1.2), jos hiukkaseen ei vaikuta mikään voima, saamme ṗ = 0 eli
liikemäärän säilymislain:
(I) Ellei hiukkaseen vaikuta mikään voima, sen liikemäärä p säilyy,
Liikemäärä on vektorisuure, joten säilymislaki pätee sen komponenteille.
Yleisemmin: Jos s on vakiovektori ja F · s = 0, niin
ṗ · s = F · s = 0,
(1.5)
josta integroimalla ajan suhteen
p · s = VAKIO.
(1.6)
Sanallisesti ilmaisten: Liikemäärän komponentti eli p · s/|s| sellaiseen suuntaan
ês = s/|s|, johon voiman komponentti on nolla, on vakio.
2
3
Mekaniikka
Emme tässä mene äärellisen kappaleen pyörimiseen.
Myöhemmin yleiselle hiukkassysteemille yleisemmistä lähtökohdista.
1.4. Säilymislait yhdelle hiukkaselle
8/122
Hiukkasen pyörimismäärä L origon suhteen on
L = r × p,
(1.7)
missä r on hiukkasen paikkavektori origosta mitaten. Voiman momentti N on
N = r × F,
(1.8)
missä r on origosta voiman vaikutuspisteeseen mitattu paikkavektori.
Pyörimismäärän aikaderivaatta on
d
L̇ =
(r × p) = ṙ × p + r × ṗ,
dt
mihin sijoittaen ṙ × p = mṙ × ṙ = 0 saamme
L̇ = r × ṗ = N,
(1.9)
missä viimeinen yhtäsuuruus seuraa siitä, että N2:sta N = r × F = r × ṗ.
Täten (1.9):n perusteella L on vakio(vektori), kun hiukkaseen ei vaikuta
mikään momentti eli kun N = 0. Pyörimismäärän säilymislaki on siis:
(II) Hiukkasen, johon ei kohdistu momentti, pyörimismäärä L säilyy.
Huom Pyörimismäärää koskevissa tarkasteluissa/lausumissa on muistettava,
että pyörimismäärää ja momenttia tarkastellaan aina jonkin tietyn pisteen
suhteen, yllä origon.
Huom Vasta liikkeen kuvailussa tarvitsemme kulmanopeuden ω käsitettä.
Mekaniikka
1.4. Säilymislait yhdelle hiukkaselle
9/122
Voiman F hiukkaseen tekemä työ hiukkasen siirtyessä tilasta 1 tilaan 2, missä
hiukkasen tilan määräävät sen sijainti r ja nopeus v, on
Z 2
F · dr.
(1.10)
W12 =
1
Jos F on hiukkaseen vaikuttava kokonaisvoima, niin
dv dr
dv
F · dr = m
·
dt = m
· v dt
dt dt
dt
m d 2
m d
(v · v) dt =
(v ) dt = d( 12 mv 2 ),
=
2 dt
2 dt
mikä on eksakti differentiaali, joten voiman hiukkaseen tekemä työ on
Z 2
.2
2
1
d( 2 mv ) = ( 12 mv 2 ) = 12 m(v22 − v12 ) ≡ T2 − T1 ,
W12 =
1
missä T =
(1.11)
1
1
mv 2
2
on hiukkasen kineettinen energia eli liike-energia.4
Jos kokonaisvoima F on sellainen, että integraali (1.10) ei riipu hiukkasen
reitistä vaan ainoastaan hiukkasen sijainnista alku- ja lopputiloissa 1 ja 2,
voimme liittää siihen potentiaalienergian U siten, että
Z 2
F · dr = U1 − U2 .
(1.12)
1
4
Pistemäisellä hiukkasella ei ole pyörimiseen liittyvää liike-energiaa.
Mekaniikka
1.4. Säilymislait yhdelle hiukkaselle
10/122
Yhtälö (1.12) toteutuu, jos
F = −∇U,
(1.13)
sillä tällöin
Z
2
1
F · dr =
Z
2
1
(−∇U) · dr = −
Z
2
1
dU = U1 − U2 .
Tavallisimmin tällä kurssilla5 on U = U(r), mutta voi olla myös U = U(r, t).
Jos potentiaalienergia ei riipu ajasta eli U = U(r) ja (1.12) pätee kaikille
siirtymille 1 → 2, sanomme että voimakenttä F on konservatiivinen.
Määritelmän (1.13) perusteella funktioon U voidaan lisätä mikä tahansa vakio,
sillä ∇(U + VAKIO) = ∇U. Potentiaalienergian absoluuttisella arvolla ei täten
ole merkitystä, ainoastaan potentiaalienergiaeroilla.
Hiukkasen nopeus riippuu valitusta inertiaalikoordinaatistosta, joten myöskään
kineettiselle energialle ei voida määrittää absoluuttista arvoa.
Hiukkasen kokonaisenergia E on määritelmän mukaan
E = T + U.
(1.14)
Energiallakaan ei ole absoluuttista arvoa, oleellisia ovat muutokset/säilyminen.
5
Nopeudesta riippuvat potentiaalit kuuluvat elektrodynamiikan kurssille.
Mekaniikka
1.4. Säilymislait yhdelle hiukkaselle
11/122
Lasketaan sitten kokonaisenergian E aikaderivaatta:
Ensinnäkin, F · dr = d( 12 mv 2 ) = dT , joten
dT
dr
= F · ṙ
=F·
dt
dt
Toiseksi, jos on U = U(r, t), niin
X ∂U dxi
∂U
∂U
dU
+
= (∇U) · ṙ +
.
=
dt
∂x
∂t
∂t
i dt
i
Yhdistämällä nämä saamme
dE
∂U
dT
dU
∂U
=
=
,
+
= (F + ∇U) · ṙ +
dt
dt
dt
∂t
∂t
missä viimeisessä välivaiheessa vaadimme, että F = −∇U. Täten, jos F on
konservatiivinen, niin ∂U/∂t = 0, ja saamme energian säilymislain:
(III) Konservatiivisessa voimakentässä hiukkasen kokonaisenergia E on vakio.
Johtamamme säilymislait (I,II,III) siis pätevät, jos (N1) ja (N2) ovat voimassa.
Muissakin tilanteissa, esimerkiksi elektrodynamiikassa ja modernissa fysiikassa,
(kokemuksemme perusteella) uskomme säilymislakien pätevän, kunhan niissä
esiintyvät suureet on oikein formuloitu. Näin säilymislaeista tulee luonnonlakeja,
jotka rajoittavat fysikaalisesti mahdollisia teorioita uusille ilmiöille.
Mekaniikka
1.5. Energia 1D:ssa yhdelle hiukkaselle
1.5. Energia 1D:ssa yhdelle hiukkaselle
Tarkastellaan seuraavaksi pistemäisen hiukkasen yksiulotteista liikettä, jolloin
hiukkasen hetkellisen tilan määräävät ’koordinaatit’ (x, v ). Olettaen lisäksi
voimakenttä konservatiiviseksi hiukkasen kokonaisenergia on
E (x, v ) = 12 mv 2 + U(x) = E = VAKIO,
josta voimme ratkaista nopeuden v = dx/dt:
p
dx
= ± 2[E − U(x)]/m.
dt
Tulkitsemme tämän differentiaaliyhtälöksi (alkuarvo-ongelmaksi), jonka
muodollinen ratkaisu on (separoituva DY kun E on vakio)
Z x
dx
p
t − t0 = ±
,
(1.15)
2[E − U(x)]/m
x0
missä alkuhetkellä t0 hiukkasen paikka on x(t0 ) = x0 . Mikäli osaamme laskea
integraalin annetulle potentiaalille ja käsitellä oikein etumerkin, tulos t = t(x)
voidaan ainakin rajatussa alueessa kääntää ja saamme ratkaisun x = x(t).
Esim 1.6 Harmoninen värähtelijä: U(x) = 12 kx 2 , missä k > 0 on vakio.
Esim 1.7 Liike gravitaatiokentässä: U(x) = −GMm/x, missä G > 0 on vakio.
12/122
Mekaniikka
1.5. Energia 1D:ssa yhdelle hiukkaselle
13/122
Oletetaan sitten U(x) jatkuvaksi ja äärettömän monta kertaa derivoituvaksi
funktioksi. Se voidaan kehittää Taylorin sarjaksi valitun pisteen x0 ympärillä:
2 3 dU
1
1
2 d U
3 d U
U(x) = U0 + (x − x0 )
+ (x − x0 )
+ (x − x0 )
+...
dx 0 2!
dx 2 0 3!
dx 3 0
Yllä alaindeksi 0 tarkoittaa derivaatan arvioimista pisteessä x0 .
dU
Tasapainopisteeksi kutsumme pistettä x0 , jossa
= 0 ⇒ F = 0.
dx 0
2 1
2 d U
.
Tasapainopisteen läheisyydessä U(x) ≈ U0 + (x − x0 )
2
dx 2 0
Tasapaino on joko stabiili (potentiaalienergian lokaali minimi),
2 d U
> 0,
dx 2 0
tai epästabiili (potentiaalienergian lokaali maksimi),
2 d U
< 0.
dx 2 0
2 d U
= 0, on tutkittava korkeammanasteisia
Jos jossain pisteessä x0 on
dx 2 0
derivaattoja; esimerkki tällaisesta tapauksesta on U(x) = κ(x − x0 )4 .
Jos potentiaali on x0 :n ympäristössä vakio, tasapaino on neutraali.
Mekaniikka
1.6. Newtonin fysiikan rajoituksia
1.6. Newtonin fysiikan rajoituksia
Kerrataan tässä Modernin fysiikan kurssilta (fysa116) tuttuja Newtonin fysiikan
soveltuvuusaluetta koskevia havaintoja.
Erityisesti Newtonin fysiikan rajoitukset liittyvät käsitteisiin aika, paikka ja
liikemäärä. Kahteen jälkimmäiseen liittyen, hiukkasen sijaintia ja liikemäärää ei
voida samanaikaisesti mitata mielivaltaisella tarkkuudella, vaan niihin liittyvien
epätarkkuuksien tuloa ∆x∆p Heisenbergin epätarkkuusperiaatteen mukaisesti
rajoittaa alhaaltapäin vakio, oleellisesti Planckin vakio. SI-yksiköissä sen arvo
on suuruusluokkaa 10−34 Js, joten makroskooppisten kappaleiden liikkeen
havainnointiin ja kuvailuun tämä epätarkkuus ei käytännössä vaikuta.
Toisaalta atomaarisessa ja subatomaarisessa fysiikassa on välttämätöntä
siirtyä klassisesta mekaniikasta kvanttimekaniikkaan.
Aiemmin on jo mainittu, että Newtonin mekaniikan lähtökohtana oleva
absoluuttisen ajan käsite ei ole toimiva tilanteissa, joissa pitää käyttää
suhteellisuusteoriaa, erityisesti kun hiukkasten nopeudet ovat valon
nopeuden suuruusluokkaa. Valon nopeus tyhjiössä antaa ylärajan
sille, kuinka nopeasti informaatio tai vuorovaikutus voi edetä.
Vielä yksi, käytännönläheisempi rajoitus Newtonin mekaniikalle on, että
yleisessä tapauksessa useamman kuin kahden keskenään vuorovaikuttavan
kappaleen ongelma on ratkaisematon. Tällöin tarvitaan ongelmasta riippuen
approksimaatioita tai tilastollista lähestymistapaa eli statistista fysiikkaa.
14/122
Mekaniikka
2.1. Hooken laki
15/122
2. Värähtelyt
2.1. Hooken laki
Sivulla 13 kehitimme yksiulotteiseen liikkeeseen liittyvän potentiaalienergian
Taylorin sarjana. Oletetaan nyt, että potentiaalienergialla on lokaali minimi
pisteessä x = 0 ja valitaan U0 = 0, jolloin minimin lähellä approksimatiivinen
potentiaalienergia on
U(x) = 12 kx 2 ,
k = (d 2 U/dx 2 )0 .
Vastaava voima on (1.13):sta yksiulotteisessa tapauksessa F = −dU/dx eli
F (x) = −kx.
(2.1)
Samanmuotoiseen tulokseen päädymme kehittämällä voima F sarjaksi
tasapainopisteen x = 0 ympärillä ja ottamalla mukaan ensimmäinen
nollasta eroava termi:
dF
1 2 d 2F
+ x
+ ...
F (x) = F0 + x
dx 0 2
dx 2 0
missä vastaavasti k = −(dF /dx)0 ja tasapainopisteessä F = F0 = 0.
Muoto (2.1) on niin yleinen ja toimiva approksimaatio monissa tilanteissa, että
kutsumme sitä nimellä Hooken laki.
Mekaniikka
2.2. Harmoninen värähtelijä 1D:ssa
16/122
2.2. Harmoninen värähtelijä 1D:ssa
Newtonin toinen laki 1D:ssa, F = mẍ, tuottaa voiman (2.1) vaikuttaessa
m-massaiselle hiukkaselle liikeyhtälön
−kx = mẍ.
Kirjoitamme sen ensin mukavampaan muotoon
ẍ + ω02 x = 0,
ω02 = k/m.
(2.2)
Tämän täydellinen ratkaisu voidaan (M3 tai kurssikirjan liite) esittää kummassa
tahansa seuraavista muodoista:
x(t) = A sin(ω0 t − δ)
x(t) = A cos(ω0 t − δ)
(2.3)
(2.4)
Käytämme muotoa (2.3). Alkuehdot määräävät amplitudin A ja vaiheen δ.
Värähtelijän liike-energia T = 12 mẋ 2 on
T = 12 kA2 cos2 (ω0 t − δ),
(2.5)
U = 12 kA2 sin2 (ω0 t − δ).
(2.6)
missä käytimme tietoa mω02 = k. Värähtelijän potentiaalienergia U = 12 kx 2 on
Mekaniikka
2.2. Harmoninen värähtelijä 1D:ssa
17/122
Kokonaisenergiaksi (joka säilyy) saamme summaamalla tulokset (2.5,2.6)
E = T + U = 12 kA2 = VAKIO.
(2.7)
Tässä kannattaa huomata, että kokonaisenergia on verrannollinen amplitudin A
neliöön. Tämä pätee monenlaisille (lineaarisille) värähtelijöille, aaltoliikkeellekin.
Värähtelyn jakson τ0 saamme muistamalla, että ωτ = 2π, joten ω02 = k/m ⇒
p
τ0 = 2π m/k
(2.8)
ja taajuus ν0 ja kulmataajuus ω0 ovat
p
ν0 = k/m/2π
ω0 = 2πν0 =
p
k/m.
(2.9)
Esim 2.8 Venyvälle ja kokoonpuristuvalle jouselle F = −kx pätee hyvin.
Esim 2.9 Tasoheilurin liikeyhtälöksi todetaan myöhemmin θ̈ + ω02 sin θ = 0,
josta olettamalla heilahdukset pieniksi eli heilahduskulma θ pieneksi sinin
sarjakehitelmä sin θ = θ − 16 θ3 + . . . antaa approksimatiiviseksi liikeyhtälöksi
p
harmonisen värähtelijän liikeyhtälön θ̈ + ω02 θ = 0, missä ω0 = g /ℓ.
Esim 2.10 Havaitsemme myöhemmin, että toisiinsa kytkettyjen värähtelijöiden
kytketyt liikeyhtälöt voidaan pienten värähtelyjen tapauksessa koordinaattimuunnoksella palauttaa toisistaan riippumattomiksi harmonisiksi värähtelijöiksi.
Harmonista approksimaatiota käytetään myös kiinteän aineen kidevärähtelyille.
Mekaniikka
2.3. Harmoninen värähtelijä 2D:ssa
18/122
2.3. Harmoninen värähtelijä 2D:ssa
Olkoon nyt värähtelevän hiukkasen paikka r = (x, y ) ja vaikuttava voima
F = −kr.
(2.10)
Liikeyhtälöt koordinaattiakseleiden suuntaan ovat täten
ẍ + ω02 x = 0
ÿ + ω02 y = 0,
(2.11)
missä ω02 = k/m. Yhtälöiden yleinen ratkaisu r(t) = (x(t), y (t)) on
x(t) = A cos(ω0 t − α)
y (t) = B cos(ω0 t − β).
(2.12)
Liike on siis yksinkertaisen harmonisen värähtelijän liikettä kummassakin
suunnassa.
Hiukkasen liikerata xy -tasossa on kiinnostavampi. Ensinnäkin on ilmeistä, että
se riippuu erotuksesta δ = α − β eli x- ja y -suuntaisen liikkeen välisestä
vaihe-erosta. Kirjoitetetaanpa siksi y (t) uudelleen:
y (t) = B cos(ω0 t − α + δ) = B cos(ω0 t − α) cos(δ) − B sin(ω0 t − α) sin(δ).
Huomataan sitten, että cos(ω0 t − α) = x/A, jolloin ylläoleva saa muodon
p
Ay − Bx cos δ = ±B A2 − x 2 sin δ,
jonka neliöinti puolittain ja termien uudelleenjärjestely antaa
B 2 x 2 − 2ABxy cos δ + A2 y 2 = A2 B 2 sin2 δ.
(2.13)
Mekaniikka
2.3. Harmoninen värähtelijä 2D:ssa
19/122
Riippuen vakioista A, B, δ yhtälön (2.13) mukaiset 2D värähtelijän ratakäyrät
(x(t), y (t)) ovat xy -tasossa ympyröitä tai ellipsejä.
Esimerkiksi tapauksessa A = B ja δ = ±π/2 saadaan ympyrä
x 2 + y 2 = A2 .
Jos A 6= B ja δ = ±π/2, tuloksena on ellipsi
x 2 /A2 + y 2 /B 2 = 1.
Kun A = B, muut δ:n valinnat tuottavat xy -tasossa vinossa olevia ellipsejä,
ääritapauksena suora viiva vaihe-eron ollessa δ = π, 2π. Ensimmäisessä
kuvassa kiertosuunta on myötäpäivään, entä muissa?
δ=90o
δ=120o
δ=150o
δ=180o
δ=240o
δ=270o
δ=300o
δ=360o
Mekaniikka
2.3. Harmoninen värähtelijä 2D:ssa
20/122
Vielä yleisempi 2D värähtelijä on sellainen, jolle kx 6= ky , jolloin ratkaisu on
x(t) = A cos(ωx t − α)
y (t) = B cos(ωy t − β).
Nyt ratakäyrät ovat monimutkaisempia kuvioita, jotka tunnetaan Lissajousin
käyrinä. Nämä käyrät ovat sulkeutuvia eli liike itseään toistavaa, jos ωx /ωy
on rationaaliluku. Jos taasen ωx /ωy on irrationaaliluku, hiukkasen liikerata
vähitellen täyttää xy -tason suorakaiteen [−|A|, |A|] × [−|B|, |B|]. Voidaan
nimittäin osoittaa, että tällöin ratakäyrä riittävän pitkän ajan kuluessa käy
mielivaltaisen lähellä mitä tahansa kyseisen suorakaiteen pistettä. Kuvassa
alla on ratakäyriä (x(t), y (t)) joillakin parametrisaatioilla (kaikissa A=B).
Tämä on esimerkki tilanteesta, jossa pienikin muutos ongelman parametreissa,
tässä ωx ja ωy , voi tuottaa hyvin suuren kvalitatiivisen muutoksen ratakäyrissä.
Paljon tavallisempia tällaiset muutokset (ja erityisesti alkuarvoherkkyys) ovat
epälineaaristen yhtälöiden tapauksessa (hieman niistä myöhemmin).
ωy=2ωx δ=0
o
ωy=2ωx δ=60
o
ωy=2ωx δ=90
1/2
ωy=2
o
ωx δ=120
2.4. Faasiavaruus 1D liikkeelle∗
Mekaniikka
21/122
2.4. Faasiavaruus 1D liikkeelle∗
Tämä luku6 käy johdatukseksi ideaan, jolle on monessa yhteydessä käyttöä.
Palataan takaisin 1D liikkeeseen. Hiukkasen tilan kullakin ajan hetkellä määrää
kaksi lukua, paikka ja nopeus eli lukupari (x, v ). Näiden kahden ’koordinaatin’
sanomme muodostavan faasiavaruuden, jonka dimensio on 2.
Tästä esimerkkinä 1D harmoniselle värähtelijälle §2.2:sta
x(t) = A sin(ω0 t − δ)
Neliöimällä nämä saamme
v (t) = Aω0 cos(ω0 t − δ).
v2
x2
+
= 1,
A2
A2 ω02
joka voidaan käyttämällä tietoja E = 12 kA2 ja ω02 = k/m kirjoittaa muodossa
x2
v2
+
= 1.
2E /k
2E /m
Täten 1D harmonisen värähtelijän faasiavaruusrata ovat ellipsi,
√
jonka pääakselien pituuksia (x, v )-tasossa skaalaa
kerroin
E
p
ja jonka pääakselien pituuksien suhteen antaa k/m.
6
Merkitsemme ∗:lla tämän prujun lukuja, jotka ovat tärkeitä ideoiden
tasolla, mutta joiden aiheet käydään tällä kurssilla vain tiivistetysti läpi.
Mekaniikka
2.4. Faasiavaruus 1D liikkeelle∗
Käytämme sitten (vaihtoehtoisesti) M3:lla (ehkä) esitettyä kikkaa:
Toisen kertaluvun DY
d 2x
+ ω02 x = 0
dt 2
voidaan ekvivalentisti esittää kahtena ensimmäisen kertaluvun DY:nä:
dv /dt = −ω02 x.
dx/dt = v
Jakamalla jälkimmäinen DY puolittain ensimmäisellä saamme
dv /dx = −ω02 x/v ,
mikä on (x, v )-tason ellipsin differentiaaliyhtälö! Päädyimme näin elliptiseen
faasiavaruusrataan toista tietä, ratkaisematta alkuperäistä liikeyhtälöä.
1D harmonisen värähtelijän faasiavaruusratoja on kuvassa alla kiinteillä k ja m.
Uloimmat radat vastaavat suurempia energian E arvoja. Alkuehdot x(0) = x0
ja v (0) = v0 asetetaan valitsemalla tason piste (x0 , v0 ) liikkeen alkutilaksi.
v(t)
x(t)
22/122
Mekaniikka
2.5. Vaimennettu harmoninen värähtelijä
23/122
2.5. Vaimennettu harmoninen värähtelijä
Oletamme nyt, että värähtelijään vaikuttaa sen nopeuteen verrannollinen
vastusvoima Fd = −bv . Värähtelijän liikeyhtälöön (2.2) tulee tästä lisätermi:
mẍ + b ẋ + kx = 0,
jonka kirjoitamme muotoon
ẍ + 2β ẋ + ω02 x = 0,
(2.14)
missä vaimennusparametri β = b/2m ja ω02 = k/m antaa vaimentamattoman
värähtelijän taajuuden.Yhtälö (2.14) on toisen kertaluvun homogeeninen
vakiokertoiminen DY, joka ratkeaa yritteellä x = e rt . Yritteen sijoittaminen
tuottaa karakteristisen yhtälön r 2 + 2βr + ω02 = 0, jonka juuret ovat
q
r1,2 = −β ± β 2 − ω02 .
Liikeyhtälön (2.14) ratkaisu, kun β 2 6= ω02 , on siten (kurssi M3)
x(t) = e
−βt
h
A1 exp
q
β2
−
ω02
q
i
t + A2 exp − β 2 − ω02 t ,
(2.15)
p
Tästä päädytään erityyppisiin ratkaisuihin riippuen siitä onko kerroin β 2 − ω02
imaginaarinen vai reaalinen. Kertoimet A1 ja A2 kiinnittyvät alkuehdoista.
Mekaniikka
2.5. Vaimennettu harmoninen värähtelijä
(a) Alivaimennettu värähtely:
Merkitsemällä
ω12
≡
ω02
ω02
>β
24/122
2
2
− β ratkaisusta (2.15) tulee
x(t) = e −βt [A1 e iω1 t + A2 e −iω1 t ],
ω1 ∈ R, A1,2 ∈ C.
Muistaen, että e iφ = cos φ + i sin φ, ja käyttämällä trigonometrisia kaavoja
x(t) = Ae −βt cos(ω1 t − δ),
(2.16)
missä kaksi alkuehtojen kautta määräytyvää reaalista vakiota ovat A ja δ.
Tämä ratkaisu on amplitudiltaan eksponentiaalisesti vaimeneva värähtelijä,
jossa hetkellistä amplitudia rajoittavat verhokäyrät xen (t) = ±Ae −βt .
Vastusvoimasta johtuva energian dissipaatio dE /dt < 0 ei ole monotoninen
ajan funktio. Liikesuunnan kääntyessä on v = 0 ⇒ dE /dt = 0. Nopeuden
lokaalissa maksimissa lähellä tasapainoasemaa on −dE /dt suurimmillaan.
x
t
t
dE/dt
Mekaniikka
2.5. Vaimennettu harmoninen värähtelijä
25/122
(b) Kriittisesti vaimennettu värähtely: ω02 = β 2
Tämä on DY:n kannalta erikoistapaus, jonka ratkaisu on7
x(t) = (A + Bt)e −βt ,
A, B ∈ R.
(2.17)
missä ’ylimääräinen’ aikariippuvuus tekijässä Bt antaa sellaisen (oikean)
ratkaisun, joka on kahden lineaarisesti riippumattoman ratkaisun summa.
Tässä tapauksessa vaimennus juuri ja juuri riittää estämään värähtelyn.
Huomattavaa on, että kriittisesti vaimennetussa tapauksessa tasapainotilaa
(x, v ) = (0, 0) lähestytään nopeammin kuin ali- tai ylivaimennetuissa.
Kuvassa alla kvalitatiivisesti yli- ja alivaimennettu sekä kriittinen tapaus.
Kussakin tapauksessa alkuehtona on x(0) = 1 ja v (0) = 0.
x
kr
yli
t
ali
7
Tähän muotoon päätyy (2.15):stakin, kun 0 <
Mekaniikka
p
β 2 − ω02 t ≪ 1.
2.5. Vaimennettu harmoninen värähtelijä
(c) Ylivaimennettu värähtely:
Merkitsemällä
ω22
2
≡β −
ω02
ω02
<β
26/122
2
ratkaisusta (2.15) tulee
x(t) = e −βt [A1 e ω2 t + A2 e −ω2 t ].
(2.18)
Tässä ratkaisussa ei ole oskilloivaa osaa, sillä ω2 ∈ R. Myös A1,2 ∈ R.
Riippuen nopeuden alkuehdosta v (0) = v0 saadaan kolme tasapainotilaa eri
tavoin lähestyvää aikariippuvuutta:
x
x
x
t
t
v >0
v
t
v <0
0
v
t
v <0
0
v
t
0
t
Mekaniikka
2.6. Pakotettu harmoninen värähtelijä: sinimuotoinen ajava voima
27/122
2.6. Pakotettu harmoninen värähtelijä: sinimuotoinen ajava voima
Olkoon seuraavassa ulkoinen ajava voima sinimuotoinen eli
F = −kx − b ẋ + F0 cos ωt,
missä ω on ajavan voiman taajuus. Merkitsemällä A = F0 /m ja muuten
aiemmin merkinnöin pakotetun värähtelijän liikeyhtälö on
ẍ + 2β ẋ + ω02 x = A cos ωt
(2.19)
eli toisen kertaluvun vakiokertoiminen epähomogeeninen DY. Tämän ratkaisu
on vastaavan homogeenisen yhtälön (2.14) ratkaisun ja täydellisen yhtälön
(2.19) erityisratkaisun summa. Siis
x(t) = xc (t) + xp (t).
(2.20)
Homogeenisen yhtälön ratkaisu on edellisestä luvusta (2.15) eli
h
i
p
p
xc (t) = e −βt A1 exp( β 2 − ω02 t) + A2 exp(− β 2 − ω02 t) .
(2.21)
Täydellisen yhtälön erityisratkaisun antaa yrite
xp (t) = D cos(ωt − δ).
(2.22)
Tämän yritteen sijoittaminen (2.19):iin antaa D:lle ja δ:lle lausekkeet
.q
(ω02 − ω 2 )2 + 4ω 2 β 2
tan δ = 2ωβ/(ω02 − ω 2 ).
D=A
Mekaniikka
2.6. Pakotettu harmoninen värähtelijä: sinimuotoinen ajava voima
28/122
Pitkän ajan rajalla termi xc (t) vaimenee ja jäljelle jää vain x(t) ≈ xp (t).
Alkuehto [xc (t)] siis vähitellen ’unohtuu’ ajavan voiman ottaessa hallinnan.
Etsimme sitten ω:n arvon, jolla xp (t):n kerroin D maksimoituu:
dD = 0.
dω ω=ωR
Tästä saatavaa arvoa ωR kutsumme amplitudin resonanssitaajuudeksi:
p
ωR = ω02 − 2β 2 .
(2.23)
Resonanssi eli D:n lokaali maksimi on mahdollinen vain kun ω02 > 2β 2 .
Resonanssitaajuus ωR pienenee vaimennuskertoimen β kasvaessa.
Resonanssia on tapana kuvata myös hyvyystekijällä eli Q-tekijällä
Q = ωR /2β,
Q:n kasvaessa kasvaessa vaimennus heikkenee, D:n resonanssipiikki terävöityy
ja sen huipun kohta siirtyy kohti ω0 :aa. Kuvassa alla Q = 0, 1, 2, 4, 6, 8, ∞.
D
δ
ω
o
ω
ωo
ω
Mekaniikka
2.6. Pakotettu harmoninen värähtelijä: sinimuotoinen ajava voima
29/122
Lasketaan vielä liike-energian odotusarvo yli jakson, kun x(t) ≈ xp (t).
Hetkellisesti
ẋ(t) ≈ ẋp (t) = −Dω sin(ωt − δ),
josta liike-energia on
T (t) = 12 mD 2 ω 2 sin2 (ωt − δ).
Tämän keskiarvo yli jakson on
Z 2π/ω
ω
1
mD 2 ω 2 sin2 (ωt − δ)dt.
hT i =
2
2π 0
Funktion sin2 x kerkiarvoarvo yli jakson on π, joten D auki kirjoittaen
mA2
ω2
hT i =
.
4 (ω02 − ω 2 )2 + 4ω 2 β 2
(2.24)
Tämän funktion maksimikohta ωE saadaan derivoimalla:
dhT i =0
⇒
ωE = ω0 .
(2.25)
dω ω=ωE
p
Amplitudiresonanssi oli taajuudella ωR = ω02 − 2β 2 , mikä on samalla
keskimääräisen potentiaalienergian resonanssitaajuus, koska potentiaalienergia
on verrannollinen amplitudin neliöön. Ero ωE > ωR on mahdollinen, koska
systeemin saamaa energiaa dissipoidaan jatkuvasti vastusvoiman kautta ja
järjestelmä ei siten ole konservatiivinen.
Mekaniikka
2.7. Pakotettu harmoninen värähtely yleisemmällä ajavalla voimalla∗
30/122
2.7. Pakotettu harmoninen värähtely yleisemmällä ajavalla voimalla∗
Kurssikirjassa esitellään yleinen ratkaisumenetelmä, joka sallii mielivaltaisen
pakkovoiman F (t). Etsimällä ongelmaa vastaava ns. Greenin funktio G (t, t ′ )
saadaan ratkaisu kirjoitettua integraalina
Z t
x(t) =
F (t ′ )G (t, t ′ )dt ′ .
(2.26)
−∞
Funktio G sisältää informaation homogeenisen yhtälön rakenteesta sekä
alkuehdoista. Jos oletetaan värähtelijän olevan levossa tasapainossa ennen
kuin voima F alkaa vaikuttaa, on (kirjassa johdettu)
(
′
e −β(t−t ) sin[ω1 (t − t ′ )]/mω1 , kun t ≥ t ′
′
G (t, t ) =
0, kun t < t ′ ,
missä ω12 ≡ ω02 − β 2 kuten alivaimennetun värähtelijän tapauksessa aiemmin.
Tätä voi soveltaa erilaisiin tilanteisiin. Yksinkertaisin on F (t ′ ) = Aδ(t ′ − t0 ),
missä pakkovoima on hetkellä t = t0 vaikuttava lyhyt ’impulssi’, jota tässä
kuvataan Diracin δ-funktiolla. Tällöin yhtälön ratkaisu on
x(t) = AG (t, t0 ).
Tässä itse asiassa onkin Greenin menetelmän juoni: Greenin funktio kuvaa
vastetta hetkelliseen impulssiin. Pidempikestoinen voima F (t) käsitellään
’summaamalla’ (2.26):ssa peräkkäisten hetkellisten impulssien vaikutus.
2.8. Ajettu epälineaarinen värähtelijä∗
Mekaniikka
31/122
2.8. Ajettu epälineaarinen värähtelijä∗
Tarkastellaan vielä esimerkinomaisesti pakotettua 1D värähtelijää, jonka
liikeyhtälössä ensimmäisen asteen termin kerroin on negatiivinen ja johon
on lisätty epälineaarinen kolmannen asteen termi:
ẍ(t) + 2β ẋ(t) − x(t) + [x(t)]3 = A cos ωt.
Paikasta riippuvan voiman potentiaalienergia on nyt U(x) = − 12 x 2 + 14 x 4 .
Tällä on stabiilit tasapainopisteet x = ±1 ja epästabiili tasapainopiste x = 0.
Kirjoitetaan tämä toisen asteen DY kahden ensimmäisen asteen DY:n avulla:
dx
=v
dt
dv
= −2βv + x − x 3 − A cos ωt.
dt
Seuraavan sivun (x, v )-faasiavaruuskaavioissa ja x(t)-kuvissa on esitetty tämän
yhtälöparin ratkaisuja muutamalla A:n arvolla, kun β = 0, 125 ja ω = 1, 2.8
Tulosta kuvataan sanoilla kaaos, alkuarvoherkkyys, aperiodisuus,...
Välillä 0, 4 < A < 0, 6 (noin) liike on kaoottista ja ’ennustaminen’ ei ole
mahdollista. Pienemmillä ja suuremmillakin A:n arvoilla saadaan (miksi?)
luonteeltaan periodisia oskillaatioita.
Huom Lähtökohtana oli kuitenkin täysin deterministinen yhtälö.
8
Arvot teoksesta Jordan&Smith: Nonlinear ordinary differential equations.
2.8. Ajettu epälineaarinen värähtelijä∗
Mekaniikka
1
x(t)
v(t)
0.5
0
0.5
1
A!=!0.2
1
0
32/122
1
0.5
0
0.5
1
1
0
20
40
x(t)
1
x(t)
v(t)
0.5
0
0.5
1
A!=!0.37
1
0
1
0
1
x(t)
v(t)
0
0.5
A!=!0.5
0
x(t)
100
20
40
60
80
100
60
80
100
t
0.5
1
80
1
0.5
0
0.5
1
x(t)
1
60
t
1
1
0.5
0
0.5
1
0
20
40
t
Kussakin tapauksessa alkutila on merkitty tähdellä. Nyt vasemmalla olevat
faasiavaruusradat (x(t), v (t)) selvästikin antavat enemmän informaatiota
liikkeen luonteesta kuin oikealla olevat ratkaisufunktiot x = x(t).
2.9. Tasoheiluri∗
Mekaniikka
33/122
2.9. Tasoheiluri∗
Jäykällä varrella varustetun tasoheilurin liikeyhtälö on
θ̈ + ω02 sin θ = 0,
ω02 = g /ℓ.
Tämä DY on selvästi epälineaarinen9 eikä sille ole äärellisen monen
alkeisfunktion avulla kirjoitettavissa olevaa eksaktia ratkaisua.
Ensimmäinen askel on etsiä approksimatiivinen ratkaisu linearisoimalla: Pienillä
heilahduskulman θ arvoilla sin θ ≈ θ + o(θ3 ), joten linearisoitu liikeyhtälö on
θ̈ + ω02 θ = 0
Tämä on yksiulotteisen harmonisen värähtelijän yhtälön muotoa, joten §2.2:n
tulokset pätevät. Heilurin jakson ajalle saamme tästä approksimaation
p
τ0 = 2π ℓ/g .
Eteenpäin: Periaatteessa tarkempaa ratkaisua voisi hakea tarkentamalla
approksimaatiota lineaarisen ratkaisun ympärillä. Edetään kuitenkin toisin:
Jos θ0 on kulma, josta heiluri lasketaan levosta liikkeelle, on
E = 2mg ℓ sin2 (θ0 /2)
ja
U(θ) = 2mg sin2 (θ/2)
Liike-energia T = 12 mℓ2 θ̇2 . Käyttämällä tietoa E = T + U saamme
p
p
θ̇ = dθ/dt = 2 g /ℓ sin2 (θ0 /2) − sin2 (θ/2),
9
Mekaniikka
Ulkoisella voimalla ajettu heiluri on kaoottinen systeemi myös.
2.9. Tasoheiluri∗
jonka voi integroida ajan suhteen neljäsosajakson yli, jolloin [vrt. (1.15)]
s Z
ℓ θ0
dθ
p 2
τ =2
g 0
sin (θ0 /2) − sin2 (θ/2)
Tämä on ensimmäisen lajin elliptinen integraali, joka ei integroidu siististi.
Merkiten k = sin(θ0 /2) ja tehden muuttujanvaihto z = sin(θ/2)/ sin(θ0 /2)
s Z
i−1/2
ℓ 1h
(1 − z 2 )(1 − k 2 z 2 )
dz.
τ =4
g 0
Käytetään sarjakehitelmää (1 − k 2 z 2 )−1/2 = 1 + 12 k 2 z 2 + 83 k 4 z 4 + . . . ja
integroidaan termeittäin, jolloin saamme
s
i
1 2
ℓh
9 4
k + ... .
τ = 2π
1+ k +
g
4
64
Tämä voidaan palauttaa θ0 :n avulla ilmaistuksi. Tulos on
s
i
1 2
ℓh
11 4
θ0 +
θ0 + . . . .
1+
τ = 2π
g
16
3072
Huom Tämä myös on dimensionalyysin mukainen tulos: Dimensiottomat
p
ryhmät ovat τ 2 g /ℓ ja θ0 , joten F (τ 2 g /ℓ, θ0 ) = 0 ⇒ τ = ℓ/g f (θ0 ).
Huom θ0 → π ⇒ k → 1 ⇒ τ → ∞.
34/122
Mekaniikka
3.1. Ongelmanasettelu
35/122
3. Hieman variaatiolaskentaa
3.1. Ongelmanasettelu
Ääriarvoperiaatteet ovat monella fysiikan alalla keskeisiä. Tunnetuin lienee
Fermat’n periaate optiikassa. Statistisessa fysiikassa järjestelmän tasapainotila
on sellainen joka (annetuilla ehdoilla) maksimoi suljetun systeemin entropian
tai (avoimille systeemeille) minimoi vapaan energian. Kvanttimekaanisen
monihiukkasjärjestelmän minimienergiaa voi hakea variaatiomenetelmällä.
Tarkastelemme nyt yksinkertaista variaatiolaskennan ongelmaa: Etsittävänä on
funktio y = y (x), joka annetulla f = f (y (x), y ′ (x); x) minimoi integraalin
Z x2
J=
f (y (x), y ′ (x); x)dx.
(3.1)
x1
Tehtävän ratkaisu on sellainen funktio y = y (x), että mikä tahansa ’sitä lähellä
oleva’ funktio tuottaa integraalille (3.1) suuuremman arvon. Parametrisoimme
sitten näitä optimaalista ratkaisua y = y (x) lähellä olevia funktioita ỹ (α, x)
yhdellä parametrilla α siten, että J minimoituu, kun α = 0. Kirjoitamme
ỹ (α, x) = y (x) + αη(x),
(3.2)
missä η(x) on jokin mv. jatkuvasti derivoituva funktio, jolle η(x1 ) = 0 = η(x2 ).
Tällöin minimoitavasta integraalista J tulee parametrin α funktio:
Z x2
(3.3)
J(α) =
f (ỹ (α, x), ỹ ′ (α, x); x)dx.
x1
Mekaniikka
3.2. Eulerin yhtälö
36/122
3.2. Eulerin yhtälö
Ääriarvoehto (3.3):lle on δJ = 0, tarkoittaen yo. määritelmin että
∂J = 0.
(3.4)
∂α α=0
Koska integrointirajat ovat kiinteät, derivointi voidaan viedä integraalin sisään:
Z x2 h
n ∂ Z x2
o
∂f ∂ ỹ ′ i
∂f ∂ ỹ
∂J ′
+
=
f (ỹ , ỹ ; x)dx
=
dx.
∂α α=0
∂α x1
∂ ỹ ∂α
∂ ỹ ′ ∂α α=0
α=0
x1
Nyt (3.2):sta ∂ ỹ (α, x)/∂α = η(x) ja ∂ ỹ ′ (α, x)/∂α = dη(x)/dx, joten
Z x2 h
∂J ∂f
∂f dη i
=
η(x) +
dx.
∂α α=0
∂y
∂y ′ dx
x1
Jälkimmäinen termi hoituu osittaisintegroinnilla:
Z x2
Z x2
.x2 ∂f
∂f dη
d ∂f η(x)
−
η(x)dx.
dx
=
′
′
∂y ′
x1 ∂y dx
x1 dx ∂y
x1
Sijoitustermi on nolla, koska η(x1 ) = 0 = η(x2 ). Täten
Z x2 h
∂J ∂f
d ∂f i
=
η(x)dx,
−
∂α α=0
∂y
dx ∂y ′
x1
kun α-riippuvuus oli funktioissa ỹ = ỹ (α, x) ja ỹ ′ = d ỹ (α, x)/dx.
(3.5)
Mekaniikka
3.2. Eulerin yhtälö
37/122
Ääriarvopisteessä derivaatta (3.5) häviää kaikilla η(x), kun α = 0.
Koska η(x) on mielivaltainen funktio, jolle η(x1 ) = 0 = η(x2 ),
täytyy hakasulkeissa olevan lausekkeen olla nolla, kun α = 0. !!!
Täten variaatio-ongelman ratkaisufunktio y = y (x) toteuttaa Eulerin yhtälön
d ∂f
∂f
−
= 0.
∂y
dx ∂y ′
(3.6)
Reunahuom Funktion f derivointi antaa
∂f
df
∂f dy
∂f dy ′
∂f
∂f
∂f
=
+
+
= y′
+ y ′′ ′ +
′
dx
∂y dx
∂y dx
∂x
∂y
∂y
∂x
h
i
d
∂f
∂f
d ∂f
∂f
≡
+
y′ ′ + y′
−
′
dx
∂y
∂y
dx ∂y
∂x
Nyt hakasuluissa oleva lauseke on (3.6):n perusteella nolla, joten saamme
Eulerin yhtälön toisen muodon
d ∂f ∂f
−
f − y ′ ′ = 0.
∂x
dx
∂y
Tämä on käytännöllinen muoto silloin, kun f = f (y , y ′ ) eli kun f ei riipu
suoraan x:stä, koska tällöin ensimmäinen termi on nolla ja jäljelle jäävän
termin voimme integroida suoraan tuloksena
∂f
f − y ′ ′ = VAKIO, kun ∂f /∂x = 0.
∂y
Mekaniikka
3.3. Eulerin yhtälö useamman muuttujan tapauksessa
38/122
3.3. Eulerin yhtälö useamman muuttujan tapauksessa
Mekaniikassa tulee usein vastaan ongelmia, joissa minimoitavan integraalin
sisällä oleva funktio f riippuu useammasta muuttujasta:
f = f (y1 (x), y1′ (x), y2 (x), y2′ (x), . . . , yn (x), yn′ (x); x)
Kirjoittamalla nyt kaikilla i = 1, 2, ..., n
ỹi (α, x) = yi (x) + αηi (x),
päädymme yleistämällä aiemman laskun (3.5):a vastaavaan yhtälöön
Z x2 X h
∂J d ∂f i
∂f
ηi (x)dx.
=
−
′
∂α α=0
∂y
dx
∂y
i
x1
i
i
(3.7)
Koska variaatiot ηi (x) ovat toisistaan riippumattomia, tulee jokaisen suluissa
olevan lausekkeen erikseen hävitä, joten saamme Eulerin yhtälöt kullekin
funktiolle yi = yi (x):
∂f
d ∂f
−
= 0, i = 1, 2, . . . , n.
∂yi
dx ∂yi′
(3.8)
Tässä kannattaa huomata, että esimerkiksi derivointi y1 :n suhteen voi noukkia
yhtälöön i = 1 mukaan funktion y2 eli yhtälöt (3.8) voivat kytkeytyä toisiinsa.
Tällaisessa tapauksessa voidaan pyrkiä tekemään muunnos yi → qi siten, että
Eulerin yhtälöt muuttujille qi eivät kytkeydy toisiinsa (tästä myöhemmin).
Mekaniikka
3.4. Sidosehtojen käsittely
39/122
3.4. Sidosehtojen käsittely
Tarkastellaan kahden muuttujan, y1 (x) ≡ y (x) ja y2 (x) ≡ z(x), tapausta
jossa f = f (yi , yi′ , ; x) = f (y , y ′ , z, z ′ ; x). Tällöin n = 2 ja (3.7):sta tulee
Z x2 h
h ∂f
d ∂f i ∂y
d ∂f i ∂z ∂J ∂f
=
−
+
−
dx.
(3.9)
∂α α=0
∂y
dx ∂y ′ ∂α
∂z
dx ∂z ′ ∂α
x1
Olkoon nyt muuttujien y = y (x) ja z = z(x) välillä sidosehto muotoa
g (y , z; x) = 0.
(3.10)
Tällöin (3.9):ssa hakasuluissa olevia lausekkeita ei voida puhua toisistaan
riippumatta nolliksi, koska variaatiot ∂y /∂α ≡ η(x) ja ∂z/∂α ≡ ζ(x) eivät
ole riippumattomat. Koska dg = 0 ja dx/dα = 0, on oltava
∂g
∂g
η(x) +
ζ(x) = 0 ⇒
∂y
∂z
ζ(x)
∂g /∂y
=−
,
η(x)
∂g /∂z
joten
Z x2 nh
o
h ∂f
d ∂f i
d ∂f i
∂f
∂J −
−
=
η(x) +
ζ(x) dx
∂α α=0
∂y
dx ∂y ′
∂z
dx ∂z ′
x1
Z x2 nh
∂f
d ∂f i h ∂f
d ∂f i ∂g /∂y o
=
η(x)dx.
−
−
−
∂y
dx ∂y ′
∂z
dx ∂z ′ ∂g /∂z
x1
Mekaniikka
3.4. Sidosehtojen käsittely
40/122
Viimeisessä muodossa on enää yksi variaatio η(x), joten aaltosuluissa olevan
lausekkeen on oltava nolla. Pienellä uudelleenjärjestelyllä tästä seuraa
−1 h
−1
h ∂f
∂f
d ∂f i ∂g
d ∂f i ∂g
−
−
=
.
∂y
dx ∂y ′ ∂y
∂z
dx ∂z ′ ∂z
Kumpikin puoli on x:n funktio, jota merkitsemme −λ(x):llä, tuloksena
∂f
d ∂f
∂g
−
=0
+ λ(x)
′
∂y
dx ∂y
∂y
d ∂f
∂f
∂g
−
= 0.
+ λ(x)
′
∂z
dx ∂z
∂z
Nyt tuntemattomia funktioita on kolme: y (x), z(x) ja λ(x).
Ne määräytyvät kolmesta yhtälöstä: (3.10), (3.11) ja (3.12).
Funktio λ(x) on määräämätön Lagrangen kertoja.
(3.11)
(3.12)
Tarkastelu ja tulos yllä yleistyy useammalle muuttujalle ja useammalle
sidosehdolle. Yleisessä tapauksessa on ratkaistava yhtälöt
X
d ∂f
∂gj
∂f
−
+
λj (x)
= 0,
′
∂yi
dx ∂yi
∂y
i
j
gj (y1 , . . . , yn ; x) = 0,
(3.13)
missä on yhtälö kullekin yi (i = 1, . . . , n) ja m sidosehtoa (j = 1, . . . , m).
Sidosehdot gj (yi ; x) = 0 voidaan ilmaista myös differentiaaliyhtälöin:
X ∂gj
dyi = 0.
(3.14)
∂yi
i
Mekaniikka
4.1. Hamiltonin periaate
41/122
4. Lagrangen ja Hamiltonin dynamiikka
4.1. Hamiltonin periaate
Newtonin mekaniikan, erityisesti voiman käsitteen, yksi etu on, että voimat ovat
yksinkertaisesti komponenteittain summattavissa kokonaisvoimaksi. Monissa
käytännön tilanteissa hiukkasten/kappalten liike on kuitenkin sidosehtojen
rajoittamaa ja sidosehtoihin liittyvien tukivoimien käsittely hankalaa. Tämä
on käytännön motivaatio etsiä toisenlaista klassisen mekaniikan formulointia.
Newtonin laeissa postuloitiin voiman käsite. Klassisen mekaniikan perusteet
voidaan kuitenkin kehittää toisista lähtökohdista. Klassisen ja vielä enemmän
modernin fysiikan keskeinen käsite on energia, jonka kautta myös hiukkasten
vuorovaikutukset voidaan määritellä.
Vaihtoehtoinen lähtökohta on Hamiltonin periaate: Kaikista tavoista, joilla
dynaaminen systeemi voisi tietyn ajan kuluessa siirtyä tilasta toiseen, valikoituu
se, joka minimoi liike-energian ja potentiaalienergian erotuksen aikaintegraalin.
Hamiltonin periaate johtaa variaatio-ongelmaan
Z t2
δ
(T − U)dt = 0,
(4.1)
t1
missä δ on lyhennysmerkintä ehdolle (3.4). Ehto (4.1) ei sinänsä vaadi minimiä,
vaan maksimikin kelpaisi, mutta tavallisesti mekaniikassa päädytään minimiin.
Mekaniikka
4.1. Hamiltonin periaate
42/122
Yhdelle hiukkaselle, joka liikkuu konservatiivisessa voimakentässä, on
T = T (ẋi )
U = U(xi ),
missä käytämme lyhennysmerkintää: hiukkasen liikkeelle 3D:ssa
T (ẋi ) ≡ T (ẋ1 (t), ẋ2 (t), ẋ3 (t))
U(xi ) ≡ U(x1 (t), x2 (t), x3 (t)).
Määritellään sitten Lagrangen funktio L = L(xi , ẋi ) näiden erotuksena
L = T − U,
(4.2)
missä xi = xi (t) ja ẋi = ẋi (t), jolloin Hamiltonin periaate saa muodon
Z t2
L(xi , ẋi )dt = 0.
δ
(4.3)
t1
Tämän variaatio-ongelman ratkaisu toteuttaa Eulerin yhtälöt (3.8), joita tässä
yhteydessä kutsutaan Lagrangen yhtälöiksi hiukkasen koordinaateille:
d ∂L
∂L
−
= 0,
∂xi
dt ∂ ẋi
i = 1, 2, 3.
(4.4)
Huom Jälkivisaasti voidaan todeta, että Lagrangen yhtälöiden tulee johtaa ja
ne johtavat samaan dynamiikkaan kuin Newtonin toinen laki.
Huom : Merkinnät §3
§4: yi (x)
xi (t) ja x
t.
Mekaniikka
4.1. Hamiltonin periaate
43/122
Esim 4.11 Lagrangen yhtälöiden käyttöä valaisee tuttu sovellusesimerkki:
Harmoniselle värähtelijälle 1D:ssa
T = 12 mẋ 2
∂L
= −kx
∂x
Sijoittamalla nämä (4.4):ään,
U = 12 kx 2
L(x, ẋ) = 12 mẋ 2 − 12 kx 2
∂L
d ∂L
= mẋ
= mẍ
∂ ẋ
dt ∂ ẋ
joka 1D:ssä on vain yksi yhtälö, saamme
mẍ + kx = 0,
mikä on sama kuin Newtonin toisen lain antama liikeyhtälö (2.2).
Yllä kannattaa huomata, että emme todellakaan käyttäneet voiman käsitettä.
Lagrangen liikeyhtälöiden yksi keskeinen etu on vapaus muuttujien valinnassa:
Esim 4.12 Tasoheilurille, jonka varren pituus on ℓ, Lagrangen funktio on
L(θ, θ̇) = 12 mℓ2 θ̇2 − mg ℓ(1 − cos θ),
josta
∂L
∂L
d ∂L
= −mg ℓ sin θ
= mℓ2 θ̇
= mℓ2 θ̈,
∂θ
dt
∂ θ̇
∂ θ̇
minkä sijoittaminen (4.4):ään antaa §2.9:stä tutun likeyhtälön
g
θ̈ + sin θ = 0.
ℓ
Mekaniikka
4.2. Yleistetyt koordinaatit
4.2. Yleistetyt koordinaatit
Tarkastelemme seuraavassa n keskenään vuorovaikuttavan pistemäisen
hiukkasen muodostamaa systeemiä, joista jotkut voivat olla kytketyt
toisiinsa tai liikkumattomiin kappaleisiin.
Hiukkasten paikkoja kuvaamaan tarvitaan 3n suuretta eli koordinaattia.
Jos systeemissä on sidosehtoja, jotka kytkevät joitakin koordinaatteja toisiinsa
tai ympäristöön, kaikki koordinaatit eivät ole toisistaan riippumattomia.
Jos systeemissä on m sidosehtoa, on vain 3n − m riippumatonta koordinaattia.
Sanomme tällöin, että systeemillä on s = 3n − m vapausastetta.
Hiukkasten paikkoja kuvaavien s = 3n − m koordinaattien ei tarvitse olla
suorakulmaisia koordinaatteja – mitkä tahansa s lukua, jotka täydellisesti
määräävät hiukkasten paikat, käyvät. Ne voivat olla esim. käyräviivaisia
koordinaatteja, kuten pallokoordinaatteja.
Kutsumme tällaisia valittuja koordinaatteja yleistetyiksi koordinaateiksi.
Teoreettisessa kontekstissa niitä on tapana merkitä: q1 , q2 , . . ..
Yleistettyjen koordinaattien lisäksi voimme tarpeen mukaan määritellä niihin
liittyvät yleistetyt nopeudet eli aikaderivaatat q̇1 , q̇2 , . . .
Joissain tilanteissa voi olla mielekästä käyttää useampaa kuin s koordinaattia ja
ottaa sidosehdot huomioon käyttämällä määräämättömiä Lagrangen kertojia,
jotka määrittelimme §3.4:ssa.
44/122
Mekaniikka
4.2. Yleistetyt koordinaatit
45/122
Jos indeksoimme hiukkasia α:lla ja niiden karteesisia koordinaatteja i:llä,
muunnosyhtälöt karteesisten ja yleistettyjen koordinaattien välillä ovat
xα,i = xα,i (q1 , q2 , . . . , qs , t),
missä α = 1, 2, . . . , n ja i = 1, 2, 3. Huomaa, että yleisessä tapauksessa
muunnokset voivat riippua eksplisiittisesti ajasta. Lyhyemmin kirjoittaen
xα,i = xα,i (qj , t),
(4.5)
missä j = 1, 2, . . . , s indeksoi yleistettyjä koordinaatteja.
Muunnokset nopeuksien ja yleistettyjen nopeuksien välillä voivat sisältää myös
riippuvuutta qi :sta:
ẋα,i = ẋα,i (qj , q̇j , t).
(4.6)
Vastaavat käänteiset muunnokset ovat
qj = qj (xα,i , t)
(4.7)
q̇j = q̇j (xα,i , ẋα,i , t).
(4.8)
Kiinnitetään vielä merkintätapa mahdollisille sidosehdoille:
fk (xα,i , t) = 0,
(4.9)
missä k = 1, 2, . . . , m.
Mekaniikka
4.3. Lagrangen yhtälöt yleistetyissä koordinaateissa
46/122
4.3. Lagrangen yhtälöt yleistetyissä koordinaateissa
Hamiltonin periaatteen mukaan dynaamisen systeemin (toteutuva)
aikakehitys jollain aikavälillä minimoi Lagrangen funktion aikaintegraalin.
Lagrangen funktio on systeemin liike- ja potentiaalienergian erotus.
Jatkon kannalta ratkaisevan tärkeä on havainto, että energia ei ole vektorivaan skalaarisuure. Siten se on invariantti koordinaatistomuunnoksissa.
Tämä mahdollistaa sujuvan siirtymisen yleistettyihin koordinaatteihin.
On myös muunnoksia, jotka muuttavat Lagrangen funktiota, mutta eivät
lopulta vaikuta liikeyhtälöihin. Esimerkki tällaisesta on muunnos tyyppiä
L → L + df /dt, missä funktiolla f = f (qi , t) on jatkuvat toisen kertaluvun
osittaisderivaatat.
Yleistettyjä koordinaatteja käyttäen Lagrangen funktio on
L(qj , q̇j , t) = T (qj , q̇j , t) − U(qj , t)
ja Hamiltonin periaate
δ
Z
(4.10)
t2
L(qj , q̇j , t)dt = 0,
(4.11)
t1
josta seuraavat Eulerin-Lagrangen tai Lagrangen yhtälöt ovat
d ∂L
∂L
−
=0
∂qj
dt ∂ q̇j
j = 1, 2, . . . , s.
(4.12)
Mekaniikka
4.3. Lagrangen yhtälöt yleistetyissä koordinaateissa
47/122
Lagrangen yhtälöiden (4.12) käyttämiseksi vaadimme seuraavat ehdot:
1. Systeemiin vaikuttavat voimat ovat – sidosehtoihin liittyviä voimia
lukuunottamatta – saatavissa potentiaalista tai potentiaaleista.
2. Sidosehtojen on oltava muodoltaan sellaisia, että ne kytkevät toisiinsa
hiukkasten koordinaatteja. Sidosehdot ovat siis muotoa
fk (xα,i , t) = 0.
(4.13)
Tarkastelemme systeemejä, joissa vaikuttavat voimat ovat konservatiivisia,
jolloin ne saadaan potentiaalifunktioista. Tällöin ehto 1 toteutuu. Edelleen,
rajoitumme tilanteeseen, jossa ehto 2 toteutuu; sen mukaisia sidosehtoja
kutsutaan holonomisiksi. Todettakoon, että Hamiltonin periaate ja siis
Lagrangen mekaniikka voidaan yleistää siten, ettei ehtoja 1-2 vaadita.
Esimerkkejä, jotka joko helpottuvat tai eivät Lagrangen mekaniikkaa käyttäen:
Esim 4.13 Yleistetyt koordinaatit liikkeelle puolipallon pinnalla.
Esim 4.14 Koordinaattimuunnokset tasoheilurille.
Esim 4.15 Ammuksen liike gravitaation vaikuttaessa.
Esim 4.16 Liike kartion pinnalla gravitaation vaikuttaessa.
Esim 4.17 Tasoheiluri kiihtyvässä junanvaunussa.
Mekaniikka
4.4. Lagrangen yhtälöt sidosehdoin
48/122
4.4. Lagrangen yhtälöt sidosehdoin
(a) Nopeuksia sisältävät sidosehdot
Yleinen nopeuksista riippuva sidosehto on muotoa
f (xα,i , ẋα,i , t) = 0.
(4.14)
Tietyissä tapauksissa tällainen ehto palautuu holonomiseksi. Esimerkiksi ehto
X
Ai ẋi + B = 0,
i = 1, 2, 3
(4.15)
i
tapauksessa, jossa
Ai = ∂f /∂xi
B = ∂f /∂t
voidaan kirjoittaa muodossa
X ∂f ∂xi
∂f
+
=0
∂xi ∂t
∂t
i
⇒
f = f (xi , t),
(4.16)
df
= 0,
dt
(4.17)
joka on suoraan integroitavissa, tuloksena holonominen muoto
f (xi , t) − VAKIO = 0.
Yleisemmin: Ehdot, jotka ovat saatettavissa muotoon
X ∂fk
df
∂fk
dqj +
dt = 0
⇔
= 0,
∂qj
∂t
dt
j
ovat ekvivalentteja muodon (4.13) kanssa ja siis holonomisia.
(4.18)
(4.19)
Mekaniikka
4.4. Lagrangen yhtälöt sidosehdoin
49/122
(b) Tavanomaiset holonomiset sidosehdot
Luvun §3.4 perusteella sidosehdot, jotka ovat ilmaistavissa muodossa
X ∂fk
dqj = 0,
∂qj
j
(4.20)
missä j = 1, 2, . . . , s ja k = 1, 2, . . . , m, ovat suoraan käsiteltävissä
määräämättömien Lagrangen kertojien avulla, jolloin (4.12):n asemasta
X
d ∂L
∂fk
∂L
−
+
λk (t)
= 0.
∂qj
dt ∂ q̇j
∂qj
(4.21)
k
Huom Joissakin sovelluksissa, esimerkiksi rakenteiden kestävyyttä mietittäessä,
on tarpeen tietää sidosehtoihin liittyvät voimat. Nämä voimat saadaan suoraan
λk (t):sta. Sidosehtoihin liittyvät yleistetyt voimat Qj ovat
Qj =
X
λk
k
∂fk
.
∂qj
(4.22)
Esim 4.18 Kaltevaa tasoa alas vierivä kiekko.
Esim 4.19 Puolipallon päältä levosta lähtevä hiukkanen: irtautumiskohta.
Mekaniikka
4.5. Lagrangen ja Newtonin liikeyhtälöiden ekvivalenssi
50/122
4.5. Lagrangen ja Newtonin liikeyhtälöiden ekvivalenssi
Ekvivalenssi karteesisessa koordinaatistossa (Lagrangesta Newtoniin)
Yhden hiukkasen tapauksessa, olettaen T = T (ẋi ) ja U = U(xi ) on
∂T
=0 ⇒
∂xi
∂L
∂U
=−
,
∂xi
∂xi
∂U
=0 ⇒
∂ ẋi
∂L
∂T
=
,
∂ ẋi
∂ ẋi
joten Lagrangen yhtälö (4.4) saa muodon
−
∂U
d ∂T
=
.
∂xi
dt ∂ ẋi
(4.23)
Tämän vasen puoli on konservatiiviselle kentälle (1.13):sta
−
∂U
= Fi
∂xi
ja oikea puoli on
3
d ∂ X1
d
d ∂T
mẋi = ṗi ,
=
mẋj2 =
2
dt ∂ ẋi
dt ∂ ẋi j=1
dt
joten Lagrangen yhtälö (4.23) tuottaa Newtonin toisen lain kullekin i = 1, 2, 3:
Fi = ṗi
⇔
F = ṗ.
Mekaniikka
4.5. Lagrangen ja Newtonin liikeyhtälöiden ekvivalenssi
51/122
Ekvivalenssi yleistetyissä koordinaateissa (Newtonista Lagrangeen)
Otetaan lähtökohdaksi koordinaattien muunnos
X ∂xi
X ∂ ẋi
∂xi
∂xi
xi = xi (qj , t)
⇒
ẋi =
q̇j +
q̇j +
=
.
∂q
∂t
∂
q̇
∂t
j
j
j
j
Yleistetyn voiman saamme tarkastelemalla työtä:
X ∂xi
X
Fi dxi =
Fi
dqj ,
dW =
∂qj
i
i,j
joten koordinaattiin qj liittyvä yleistetty voima on konservatiivisuus olettaen
X ∂xi
∂U
Qj =
Fi
=−
,
(4.24)
∂q
∂q
j
j
i
mikä on ensimmäinen Lagrangen yhtälöiden rakennuspalikka.
Lasketaan nyt toinen rakennuspalikka:
X
X
∂T
∂ ẋi
∂xi
=
mẋi
=
mẋi
,
∂ q̇j
∂
q̇
∂q
j
j
i
i
jonka aikaderivaatta on ketjusäännön perusteella [huom: xi = xi (qj , t)]
X
X hX
∂xi
∂ 2 xi
∂ 2 xi i
d ∂T
.
=
mẍi
+
mẋi
q̇k + mẋi
dt ∂ q̇j
∂q
∂q
∂q
j
j ∂qk
j ∂t
i
i
k
Mekaniikka
4.5. Lagrangen ja Newtonin liikeyhtälöiden ekvivalenssi
52/122
Ensimmäinen termi oikealla puolella P
on Qj , koska Fi = mẍi . Toinen termi on
yksinkertaisesti ∂T /∂qj , koska T = i 12 mẋi2 jos xi = xi (qj , t). Siten
∂T
d ∂T
= Qj +
.
dt ∂ q̇j
∂qj
(4.25)
Täten voimme koota tuloksen: (4.24) ja (4.25) ja konservatiivisuus ⇒
d ∂T
∂U
∂T
=−
+
.
dt ∂ q̇j
∂qj
∂qj
Koska T ei riipu qj :sta eikä U riipu q̇j :sta, tässä viimeinen termi häviää ja muut
termit voimme lausua Lagrangen funktion L = T − U derivaattojen avulla ⇒
∂L
∂U
d ∂T
d ∂L
−
−
=0
⇒
−
=0
∂qj
dt ∂ q̇j
∂qj
dt ∂ q̇j
eli olemme johtaneet Lagrangen yhtälöt (4.12) Newtonin mekaniikasta.
Huom Johdossa käytimme koordinaattien muunnoskaavaa ja Newtonin toista
lakia konservatiivinen voimakenttä olettaen.
Huom Historiallisesti Lagrangen liikeyhtälöt johdettiin ennen kuin huomattiin
ottaa niiden lähtökohdaksi Hamiltonin periaate.
Huom Verrattuna Newtonin mekaniikkaan Lagrangen mekaniikka perustuu
skalaarisuureisiin, mikä mahdollistaa yleistettyjen koordinaattien sujuvan
käytön. Filosofisesti on kiinnostavaa, että Lagrangen mekaniikassa ei eritellä
syitä (vrt. Newtonin voimat) niistä seuraaviin liiketilan muutoksiin.
Mekaniikka
4.6. Säilymislait uudesta näkökulmasta
53/122
4.6. Säilymislait uudesta näkökulmasta
Johdamme seuraavaksi säilymislait symmetrioista ja Lagrangen yhtälöistä.
Energian säilyminen
Olettaen ajan homogeenisuus suljetun systeemin Lagrangen funktio ei voi
riippuua eksplisiittisesti ajasta, joten L(qj , q̇j , t) → L(qj , q̇j ) eli
X ∂L
X ∂L
dL
∂L
=
q̇j +
q̈j .
=0
⇒
∂t
dt
∂qj
∂ q̇j
j
j
Sijoitetaan tähän Lagrangen yhtälöt
∂L
d ∂L
=
∂qj
dt ∂ q̇j
⇒
X d ∂L
X ∂L
X d ∂L dL
d X ∂L =
q̇j
=
q̇j
+
q̈j =
q̇j
.
dt
dt ∂ q̇j
∂ q̇j
dt
∂ q̇j
dt j
∂ q̇j
j
j
j
Tästä saamme
d X ∂L
q̇j
− L = 0,
dt j
∂ q̇j
joten suluissa oleva lauseke on vakio. Lisäksi konservatiivisten voimien
tapauksessa ∂L/∂ q̇j = ∂T /∂ q̇j , joten
X ∂T
q̇j
− (T − U) = VAKIO.
H≡
∂ q̇j
j
Mekaniikka
(4.26)
4.6. Säilymislait uudesta näkökulmasta
54/122
Pienellä vaivalla on osoitettavissa (harjoitustehtävä) varsin yleisin oletuksin
X
j
q̇j
∂T
= 2T ,
∂ q̇j
(4.27)
jolloin (4.26):sta tulee
H = E = T + U = VAKIO.
(4.28)
Funktiota H kutsutaan systeemin Hamiltonin funktioksi ja se on sama kuin
systeemin kokonaisenergia E seuraavin edellytyksin:
1. Koordinaattimuunnoksessa (4.5) ei aikariippuvuutta: ∂xα,i /∂t = 0.
2. Potentiaalienergiassa ei nopeusriippuvuutta: ∂U/∂ q̇j = 0.
Erityisesti liikkuvassa koordinaattisysteemissä H ei ole sama kuin E ja päättely
yllä ei päde. Suljetun systeemin kokonaisenergia E joka tapauksessa säilyy.
Huom Vaatimuksesta 1 seuraa, että liike-energia on yleistettyjen nopeuksien q̇j
homogeeninen kvadraattinen funktio eli muotoa
X
ajk q̇j q̇k .
T =
j,k
Tästä muodosta seuraa yllä käyttämämme tulos (4.27) sekä H = H(qj , q̇j ).
Mekaniikka
4.6. Säilymislait uudesta näkökulmasta
55/122
Liikemäärän säilyminen
Olettaen avaruuden homogeenisuus suljetun systeemin Lagrangen funktio ei
muutu siirrettäessä koko systeemiä avaruudessa. Tutkitaan tällaista siirtoa
rα → rα + δr, jossa systeemin kaikkia hiukkasia α = 1, . . . , n siirretään
samaan suuntaan saman verran δr.
Käytetään karteesisia koordinaatteja, jolloin yhdelle hiukkaselle L = L(xi , ẋi ).
Seuraava tarkastelu yleistyy suoraan n hiukkaselle summaamalla kaikki
lausekkeet hiukkasten yli, joten yksinkertaisuuden
vuoksi tarkastellaan
P
yhden hiukkasen tapausta. Merkitään δr = i δxi êi , jolloin
X ∂L
∂L X ∂L
δxi +
δ ẋi =
δxi ,
δL =
∂xi
∂ ẋi
∂xi
i
i
missä otimme huomioon, että δx on kiinteä, joten δ ẋi = d(δxi )/dt = 0.
Avaruuden homogeenisuus ⇒ δL = 0 ∀ δx, joten
∂L
∂L
d ∂L
=0
⇒
=0
⇒
= VAKIO,
∂xi
dt ∂ ẋi
∂ ẋi
missä käytimme Lagrangen liikeyhtälöitä (4.4). Toisaalta
∂L
∂T
∂ X1
=
=
mẋj2 = mẋi = pi ,
∂ ẋi
∂ ẋi
∂ ẋi j 2
joten
pi = VAKIO
Mekaniikka
⇒
p = VAKIO.
(4.29)
4.6. Säilymislait uudesta näkökulmasta
Pyörimismäärän säilyminen
Olettaen avaruuden isotrooppisuus suljetun systeemin Lagrangen funktio ei
muutu käännettäessä koko systeemiä avaruudessa. Tutkitaan tällaista kääntöä
rα → rα + δθ × rα . Voimme jälleenrajoittua tarkastelemaan yhtä hiukkasta:
δr = δθ × r
δṙ = δθ × ṙ.
Käytetään karteesisia koordinaatteja, jolloin L = L(xi , ẋi ), ja
X ∂L
∂L δL =
δxi +
δ ẋi
∂x
∂
ẋ
i
i
i
Nyt
∂L
∂L
ṗi =
,
∂ ẋi
∂xi
missä jälkimmäinen on Lagrangen liikeyhtälö (4.4). Täten δL = 0 ⇒
X
δL =
(ṗi δxi + pi δ ẋi ) = 0
⇔
ṗ · δr + p · δṙ = 0.
pi =
i
Kirjoitetaan tämä kääntökulman δθ avulla:
ṗ · (δθ × r) + p · (δθ × ṙ) = 0
⇔
δθ · (r × ṗ + ṙ × p) = 0.
56/122
Mekaniikka
4.6. Säilymislait uudesta näkökulmasta
57/122
Viimeinen sulkulauseke on yksinkertaisesti tulon derivaatta, joten
δθ ·
d
(r × p) = 0.
dt
Koska δθ oli mielivaltaisesti valittu, on
d
(r × p) = 0
dt
⇒
L = VAKIO.
(4.30)
Säilymislait koottuna
Säilymislait seuraavat inertiaalikoordinaatiston symmetrioista ja niihin liittyvistä
Lagrangen funktion ominaisuuksista:
Symmetria
Aika homogeeninen
Avaruus homogeeninen
Avaruus isotrooppinen
Lagrangen funktio
Ei explisiittinen ajan funktio
Translaatioinvariantti
Rotaatioinvariantti
Säilyvä suure
Kokonaisenergia
Liikemäärä
Pyörimismäärä
Säilymislakien yhteys symmetria- ja invarianssiominaisuuksiin on hyvin yleinen
tulos eikä ole rajoitettu klassiseen mekaniikkaan – se kantaa modernin fysiikan
kenttäteorioihin ja alkeishiukkasfysiikkaan saakka. Matematiikan puolella tämä
yhteys tunnetaan Noetherin teoreemana.
Suljetulle systeemille johtamistamme säilymislaeista seuraa, että suljetulla
systeemillä on seitsemän liikevakiota (hiukkasten suhteen additiivisia):
energia (1) sekä liikemäärän ja pyörimismäärän komponentit (3+3).
Mekaniikka
4.7. Hamiltonin dynamiikka
58/122
4.7. Hamiltonin dynamiikka
Käytämme seuraavassa yleistettyjä koordinaatteja qj ja niihin liittyviä
yleistettyjä liikemääriä pj :
pj =
∂L
∂ q̇j
ṗj =
∂L
,
∂qj
(4.30 12 )
missä jälkimmäinen saadaan Lagrangen liikeyhtälöistä. Huom: Yleistetyille
liikemäärille käytetään samaa merkintää pj kuin tavallisille liikemäärille.
Tehdään sitten Legendren muunnos [vrt. (4.26)]
X
H(qk , pk , t) =
pj q̇j − L(qk , q̇k , t),
(4.31)
j
josta näemme Hamiltonin funktion H muuttujien olevan (qk , pk , t).
Lausumalla H:n differentiaali H:n derivaatojen ja toisaalta L:n derivaattojen
avulla toteamme, että (huom: kaksi termiä kumoutuu)
X
dH
∂H
∂L
∂L
dt
=
=−
dH =
(q̇k dpk − ṗk dqk ) −
∂t
dt
∂t
∂t
k
ja saamme Hamiltonin liikeyhtälöt
q̇k =
∂H
∂pk
ṗk = −
∂H
.
∂qk
(4.32)
Mekaniikka
4.7. Hamiltonin dynamiikka
59/122
Hamiltonin liikeyhtälöiden kauniin symmetrian ansiosta niitä kutsutaan myös
kanonisiksi liikeyhtälöiksi. H säilyy, jos ∂H/∂t = 0 eli jos H = H(qk , pk ).
Hamiltonin yhtälöitä (kukin 1. kertalukua) on 2s kpl, missä kuten aiemmin
s = 3n − m. Lagrangen yhtälöitä (kukin 2. kertalukua) taasen oli s kpl.
Hamiltonin formuloinnille on paljon käyttöä monihiukkasfysiikassa, erityisesti
statistisessa fysiikassa. Kvanttifysiikassa teorian perustana Hamiltonin funktion
korvaa Hamiltonin operaattori, jota vastaava obsevaabeli on energia.
Huom∗ Jos olemme kiinnostuneita jonkin suureen A(qk , pk , t) aikakehityksestä,
yksi lähtökohta teoriantekoon on Hamiltonin liikeyhtälöistä seuraava
dA
∂A
= {A, H} +
,
dt
∂t
missä ns. Poissonin sulkusuure määritellään
X ∂g ∂h
∂g ∂h .
{g , h} =
−
∂qk ∂pk
∂pk ∂qk
k
Edellä oleva voidaan kirjoittaa kompaktisti Liouvillen operaattorin avulla
dA
∂A
= iLA +
.
dt
∂t
Jos ∂A/∂t = 0, tämän (jopa käyttökelpoinen) muodollinen ratkaisu on
A(t) = e itL A(0).
Mekaniikka
4.7. Hamiltonin dynamiikka
Huom∗ Kvanttimekaniikassa H korvautuu Hamiltonin operaattorilla H ja
Poissonin sulkusuure kommutaattorilla: Jos kiinnostuksen kohteena oleva
suure A ei riipu eksplisiittisesti ajasta, saadaan sen odotusarvolle
dhAi
= h[A, H]i.
dt
Tässä klassinen mekaniikka lienee lähimmillään kvanttimekaniikkaa.
i~
Energia on lopulta klassisen ja modernin fysiikan keskeinen suure. Ja mitä on
energia? Kuuluisissa luennoissaan Richard Feynman vastasi kysymykseen näin:
There is a fact, or if you wish, a law governing all natural phenomena that are
known to date. There is no known exception to this law – it is exact so far as we
know. The law is called the conservation of energy. It states that there is a certain
quantity, which we call energy, that does not change in the manifold changes that
nature undergoes. That is a most abstract idea, because it is a mathematical
principle; it says there is a numerical quantity which does not change when
something happens. It is not a description of a mechanism, or anything concrete; it
is a strange fact that when we calculate some number and when we finish watching
nature go through her tricks and calculate the number again, it is the same... we
have no knowledge of what energy is... however, there are formulas for calculating
some numerical quantity...
Mikä sitten on fyysikko? Fyysikko on se, joka tietää tai keksii miten energia
tarkasteltavassa tilanteessa mitataan tai lasketaan.
60/122
Mekaniikka
5.1. Newtonin gravitaatiolaki
61/122
5. Gravitaatio
5.1. Newtonin gravitaatiolaki
Newtonin gravitaatiolaki sanoo, että maailmankaikkeuden jokainen massallinen
hiukkanen vetää puoleensa jokaista muuta massallista hiukkasta voimalla, joka
on kullekin hiukkasparille suoraan verrannollinen hiukkasten massojen tuloon ja
kääntäen verrannollinen niiden etäisyyden neliöön.
Siis hiukkanen, jonka massa on m, kokee hiukkasen, jonka massa on M ja joka
on etäisyydellä r , aiheuttaman voiman
F = −G
mM
êr ,
r2
(5.1)
missä yksikkövektorin êr suunta on massasta M kohti massaa m ja
gravitaatiovakion G arvo on 6, 6726 × 10−11 Nm2 /kg2 .
Jatkuvan massajakauman m-massaiseen hiukkaseen kohdistama voima on
F = −Gm
Z
V
ρ(r′ )
êr dv ′ ,
2
r
(5.2)
missä integroidaan yli tilavuudessa V olevan paikkariippuvan massatiheyden
ρ(r′ ), r on hiukkasen etäisyys pisteestä r′ ja êr on yksikkövektori pisteessä r′
olevasta tilavuuselementistä dv ′ kohti hiukkasta (kuva seuraavalla sivulla).
Mekaniikka
5.1. Newtonin gravitaatiolaki
62/122
x’
2
r
dv’
r’
m
er
V
x’1
x’
3
Gravitaatiokenttä g eli massan M tuottama voima kohteena olevan hiukkasen
massayksikköä kohti on (5.1):stä
g=
F
M
= −G 2 êr
m
r
(5.3)
tai jatkuvan massajakautuman tuottama voima massayksikköä kohti (5.2):stä
Z
ρ(r′ )
g = −G
(5.4)
êr dv ′ .
2
r
V
Mekaniikka
5.2. Gravitaatiopotentiaali
63/122
5.2. Gravitaatiopotentiaali
Gravitaatiokentän etäisyysriippuvuus on muotoa 1/r 2 , joten kenttä on
pyörteetön ja voidaan kirjoittaa gravitaatiopotentiaalin Φ gradienttina:
g = −∇Φ.
(5.5)
M-massaisen hiukkasen etäisyydellä r aiheuttama potentiaali on siten
Φ = −G
M
r
(5.6)
ja jatkuvan massajakautuman aiheuttama potentiaali
Φ = −G
Z
V
ρ(r′ ) ′
dv .
r
(5.7)
Hiukkasen siirtämiseen tarvittava työ massan yksikköä kohti on
dW ′ = −g · dr = (∇Φ) · dr = dΦ
ja m-massaisen hiukkasen gravitaatioon liittyvä potentiaalienergia
U = mΦ,
missä yleensä valitaan kaikista (muista) massoista äärettömän kaukana olevan
hiukkasen potentiaalienergia nollaksi.
Mekaniikka
5.2. Gravitaatiopotentiaali
Esim 5.20 Lasketaan M-massaisen pallosymmetrisen massajakauman


0, r > a
′
ρ(r ) = ρ, b < r < a


0, r < b
eli pallokuoren tuottama gravitaatiopotentiaali etäisyydellä R sen keskipisteestä:
Z 2π Z π Z a
Z
ρ(r ′ ) ′
1 ′2 ′
Φ = −G
dv = −G ρ
r dr sin θ dθ dϕ.
r
0
0
b r
V
Geometriasta
r 2 = r ′2 + R 2 − 2r ′ R cos θ ⇒ 2r dr = 2r ′ R sin θ dθ
Z
Z
sin θ
dr
2πρG a ′ r2
r
dr dr ′ .
⇒
dθ = ′
⇒ Φ=−
r
r R
R
b
r1
64/122
Mekaniikka
5.2. Gravitaatiopotentiaali
65/122
Yllä integrointiväli [r1 , r2 ] riippuu tarkastelupisteen sijainnista:
(
[R − r ′ , R + r ′ ], R > a
[r1 , r2 ] =
[r ′ − R, r ′ + R], R < b.
Sijoittamalla nämä päädymme lausekkeisiin

3
3

−4πρG (a − b )/3R, R > a
Φ(R) = −2πρG (a2 − b 2 ), R < b


−4πρG (R 3 − b 3 )/3R − 2πρG (a2 − R 2 ), b < R < a.
yllä kolmas lauseke saatiin korvaamalla ensimmäisessä a → R ja toisessa
b → R ja summaamalla tulokset. Tästä voimme tehdä joitakin havaintoja:
◦ Symmetrian vuoksi Φ riippuu vain R:stä.
◦ R > a ⇒ Φ on a- ja b-säteisten pallojen potentiaalien erotus.
◦ R < b ⇒ Φ = VAKIO.
◦ b < R < a ⇒ Φ:n määrää R:n sisäpuolella oleva osa pallokuoresta.
◦ Potentiaali on jatkuva ja jatkuvasti derivoituva ⇒ g on äärellinen.

3
3
2
2

−4πρG (a − b )/3R = −GM/R , R > a
dΦ
= 0, R < b
g =−

dR

−4πρG (R 3 − b 3 )/3R 2 , b < R < a.
Mekaniikka
5.2. Gravitaatiopotentiaali
Huom Edellä olevan esimerkkilaskun tulos on tuttu ennestään: Kurssilla F5
laskettiin samanlaisen varausjakautuman tuottama sähkökenttä ja potentiaali.
Helpoiten se sujui hyödyntämällä Gaussin lausetta ja tilanteen symmetriaa.
Analogisesti sähköisen vuorovaikutuksen tarkastelun kanssa voimme määritellä
gravitaatiokentän vuon valitun pinnan läpi. Jos tilavuutta V rajoittaa suljettu
pinta S, niin10
Z
I
S
g · n̂ da = −4πG
ρ dv ,
V
missä n̂ on pinnan lokaalin normaalin suuntainen yksikkövektori (ulospäin)
pinta-alaelementin da kohdalla. Massasta tulee näin gravitaatiokentän lähde.
Käyttämällä vasempaan puoleen divergenssilausetta (kurssilta M4) on
Z
Z
∇ · g dv = −4πG
ρ dv ,
V
V
joten kaikkialla pätee11 ∇ · g = −4πG ρ, josta (5.5) tuottaa Poissonin yhtälön
∇2 Φ = 4πG ρ.
Alueessa, jossa ρ = 0, pätee Laplacen yhtälö ∇2 Φ = 0. Näihin yhtälöihin
perustuu moni laskennallinen menetelmä, esimerkiksi pistevarausta vastaava
tiheysjakautuma ρ(r) = Mδ(r) vie Greenin funktioihin (kurssi M6).
10
11
Sähköopin 1/4πεo korvautuu G :llä.
Vrt. Maxwellin ensimmäinen yhtälö tyhjiössä: ∇ · E = ρq /εo .
66/122
Mekaniikka
6.1. Redusoitu massa
67/122
6. Liike keskeisvoimakentässä
6.1. Redusoitu massa
Tarkastelemme seuraavaksi liikettä, jossa kahden hiukkasen tai kappaleen välillä
vaikuttaa keskeisvoima eli niiden keskipisteiden kautta kulkevaa viivaa pitkin
suuntautuva voima. Tällaisia voimia tai vuorovaikutuksia on fysiikassa paljon,
esimerkiksi käy kahden hiukkasen tai kahden pallosymmetrisen kappaleen
välinen gravitaatiovoima.
Olkoon kahden hiukkasen sijainnit r1 ja r2 ja niiden massat m1 ja m2 . Oletetaan
dynamiikka kitkattomaksi ja potentiaalienergia vain hiukkasten etäisyydestä
riippuvaksi eli U = U(r ) = U(|r1 − r2 |). Systeemin Lagrangen funktio on tällöin
L = 12 m1 |ṙ1 |2 + 12 m2 |ṙ2 |2 − U(r ).
Koordinaattien r1 ja r2 asemasta voimme käyttää systeemin massakeskipisteen
(mkp) sijaintia R ja hiukkasten välistä etäisyysvektoria r = r1 − r2 . Valitsemme
koordinaatiston, jossa R = 0, jolloin m1 r1 + m2 r2 = 0 ja
m2
m1
r
r2 = −
r.
r1 =
m1 + m2
m 1 + m2
Määrittelemällä redusoitu massa µ Lagrangen funktio saa yksinkertaisen
muodon
m1 m2
µ=
.
(6.1)
L = 12 µ|ṙ|2 − U(r ),
m1 + m2
Mekaniikka
6.2. Säilymislait ja liikevakiot
68/122
6.2. Säilymislait ja liikevakiot
Jatketaan edellisen luvun mallisysteemin parissa: Palautimme kahden hiukkasen
ongelman yhden µ-massaisen hiukkasen ongelmaksi.
Suljetulle systeemille pyörimismäärä L = r × p = VAKIO ⇒
Sekä r että p pysyvät vektoria L vastaan kohtisuorassa tasossa.
Tasossa voimme siirtyä napakoordinaatteihin: rx = r cos θ ja ry = r sin θ, mistä
r˙x = r˙ cos θ − r θ̇ sin θ ja r˙y = r˙ sin θ + r θ̇ cos θ. Siten (6.1) on
L = 21 µ(r˙2 + r 2 θ̇2 ) − U(r ).
(6.2)
Periaatteessa L = L(r , r˙, θ, θ̇), mutta nyt ∂L/∂θ = 0, joten Lagrangen yhtälöstä
∂L
d ∂L
d ∂L
=0
⇒
=0
⇒
µr 2 θ̇ = VAKIO.
−
∂θ
dt ∂ θ̇
dt ∂ θ̇
Olemme näin saaneet ensimmäisen, L:n säilymistä vastaavan liikevakion:
ℓ = µr 2 θ̇ = VAKIO.
(6.3)
Vektori r täten ajan kuluessa pyyhkäisee pinta-alan A, jolle
dA/dt = 12 r 2 dθ/dt = ℓ/2µ = VAKIO.
(6.4)
Planeettaliikkeeseen sovellettuna tämä tulos tunnetaan Keplerin toisena lakina.
Mekaniikka
6.2. Säilymislait ja liikevakiot
69/122
Kuva: Pyörimismäärä (vas) sekä siirtyminen mkp-koordinaatteihin (oik).
L
r1
r1
r
r=r1 r2
mkp
mkp!!R=0
r2
r2
R
r
p
Huom Saimme edellä johdettua Keplerin toisen lain olettamatta mitään
vuorovaikutuspotentiaalin U(r ) muodosta; riitti että kyseessä on keskeisvoima.
Liikemäärän säilyminen ei tuota mitään uutta massakeskipistekoordinaatistossa,
joten toisen liikevakion saamme energian säilymisestä:
E = T + U = VAKIO.
Nyt E = 12 µ(r˙2 + r 2 θ̇2 )+U(r ), toisin kirjoittaen
E = 12 µr˙2 + 12 ℓ2 /µr 2 + U(r ) = VAKIO.
Mekaniikka
(6.5)
6.3. Liikeyhtälöt
70/122
6.3. Liikeyhtälöt
Haemme seuraavaksi liikeyhtälöiden ratkaisua r = r (t) ja liikerataa θ = θ(r ).
Edellä käsitellyn parusteella ongelman vakioparametreja ovat µ, ℓ ja E
sekä vuorovaikutuspotentiaalia U(r ) kuvaavat parametrit.
Ratkaisemalla yhtälöstä (6.5) r˙:n saamme liikeyhtälön
s
ℓ2
dr
2
=±
[E − U(r )] − 2 2 .
dt
µ
µ r
(6.6)
Tämän separoituvan differentiaaliyhtälön ratkaisu on funktio t = t(r ), joka
periaatteessa voidaan kääntää tuloksena r = r (t).
Liikerataan θ(r ) pääsemme käsiksi kirjoittamalla
dθ =
θ̇
dr ,
r˙
johon sijoittaen (6.3) ja (6.6) ja integroimalla
Z
±(ℓ/r 2 ) dr
p
.
θ(r ) =
2µ[E − U(r ) − ℓ2 /2µr 2 ]
(6.7)
(6.8)
Yhtälö (6.3) kertoo myös, että θ̇ = ℓ/µr 2 ei voi vaihtaa merkkiään eli θ(t) on
monotoninen funktio; siis ’kiertosuunta’ säilyy.
Mekaniikka
6.3. Liikeyhtälöt
71/122
Yksi tärkeä vuorovaikutusluokka ovat konservatiiviset voimat muotoa
F (r ) ∝ r n .
(6.9)
Fysikaalisesti kiinnostavimpia ovat tapaukset n = 1 (harmoninen oskillaattori)
ja n = −2 (gravitaatio ja sähkökenttä).
Tutkitaan nyt Lagrangen yhtälöä radiaalimuuttujalle:
d ∂L
∂L
−
= 0.
∂r
dt ∂ r˙
Nyt (6.2):sta ensimmäinen termi on µr θ̇2 − ∂U/∂r ja toinen −µ¨
r ⇒
µ(¨
r − r θ̇2 ) = F (r ) = −∂U/∂r .
Muuttujanvaihdolla u = 1/r ja käyttämällä tietoa θ̇ = ℓ/µr 2 pienellä vaivalla
saadaan
µ
d 2u
+ u = − 2 2 F (1/u)
(6.10)
2
dθ
ℓ u
tai r :n avulla lausuttuna
d2 1
1
µ 2
+
=
−
r F (r ).
dθ2 r
r
ℓ2
(6.11)
Tämä on kokeellista fyysikkoa kiinnostava yhtälö: Jos rata r = r (θ) on mitattu,
voidaan tämän avulla selvittää voiman F (r ) tyyppi.
Esim 6.21 Logaritminen spiraali r = ke aθ .
Mekaniikka
6.3. Liikeyhtälöt
Palataan vielä liikeyhtälöön (6.6). Kohdissa, joissa juurilauseke on nolla eli
ℓ2
E − U(r ) −
= 0,
2µr 2
on r˙ = 0 eli radiaalimuuttujalla on käännepiste. Käännepisteessä r saavuttaa
minimi- tai maksimiarvonsa eli hiukkasten etäisyys on välillä rmin ≤ r ≤ rmax .
Ympyräradalla on rmin = rmax eli r = VAKIO. Ympyrärata on mahdollinen millä
tahansa attraktiivisella potentiaalilla.
Voidaan osoittaa, että sulkeutuva muun kuin ympyrän muotoinen rata on
potentiaalilla U ∝ r n+1 mahdollinen vain n:n kokonaislukuarvoilla 1 ja –2
sekä joillakin murtolukuarvoilla [vrt. (6.9)]. Tapaus n=1 käsiteltiin §2.3:ssa.
Sulkeutuva rata voi vaatia sulkeutuakseen useampia kuin yhden kierroksen.
Ehdon radan sulkeutuvuudelle saa integroimalla (6.8):ssa rmin :sta rmax :iin ja
vaatimalla, että tulos on π×rationaaliluku.
72/122
Mekaniikka
6.4. Efektiivinen potentiaali
73/122
6.4. Efektiivinen potentiaali
Yhtälössä (6.6) ja muissa tarkasteluissa esiintyi tekijä
ℓ2
,
V (r ) ≡ U(r ) +
2µr 2
(6.12)
jonka voimme tulkita r :n kokemaksi efektiiviseksi potentiaaliksi, missä
termiä ℓ2 /2µr 2 toisinaan kutsutaan keskipakoisvoimaa12 Fc = ℓ2 /µr 3
vastaavaksi potentiaaliksi.
Jos nyt voima on gravitaation kaltainen eli
F (r ) = −
k
r2
⇔
k
U(r ) = − ,
r
(6.13)
missä vakio k > 0, niin efektiivisella potentiaalilla
V (r ) = −
k
ℓ2
+
r
2µr 2
(6.14)
on minimi, jonka ympärillä muuttuja r ’värähtelee’, kun kokonaisenergia
on Vmin < E < 0. Jos taas E > 0, niin liike on rajoittamatonta siten, että
hiukkaset lopulta erkanevat rajatta toisistaan.
12
Näennäisvoima; asiaan palataan.
Mekaniikka
6.5. Planeettaliike
74/122
6.5. Planeettaliike
Lasketaan nyt (6.8) gravitaatiopotentiaalille U = −k/r eli
Z
±(ℓ/r 2 ) dr
p
θ(r ) =
.
2µ[E + k/r − ℓ2 /2µr 2 ]
Tässä selvästikin kannattaa tehdä muuttujanvaihto u = 1/r . Jos vielä
vaaditaan rmin = r (θ=0), saadaan tulos
i.h
h ℓ2 1
2E ℓ2 i1/2
−1
1+
.
cos θ =
µk r
µk 2
Määritellen vakio α ja eksentrisyys ε
h
ℓ2
2E ℓ2 i1/2
α=
ε= 1+
µk
µk 2
ratayhtälö r = r (θ) on tapana kirjoittaa muotoon
α/r = 1 + ε cos θ.
Tämä on kartioleikkauksen yhtälö ja radan muoto on
Ympyrä
Ellipsi
Paraabeli
Hyperbeli
ε=0
0<ε<1
ε=1
ε>1
E = Vmin
Vmin < E < 0
E =0
E >0
(6.15)
(6.16)
Mekaniikka
6.5. Planeettaliike
75/122
Keskitytään nyt planeettaliikkeeseen ja todetaan,
että (6.16):stä p
tulee ellipsi,
p
kun 0 < ε < 1. Napakoordinaateissa r = x 2 + y 2 ja cos θ = x/ x 2 + y 2 ⇒
x 2 + y 2 = α2 − 2αεx + ε2 x 2 .
Täydentämällä x-osa neliöksi saadaan
(1 − ε2 )x 2 + 2αεx + α2 ε2 /(1 − ε2 ) + y 2 = α2 + α2 ε2 /(1 − ε2 )
Kun 0 < ε < 1, neliöjuuri tekijästä (1 − ε2 ) on reaalinen ⇒ ellipsi:
p
p
p
[ 1 − ε2 x + αǫ/ 1 − ε2 ]2 + y 2 = α2 [1 + (αε/ 1 − ε2 )2 ]
[x + αε/(1 − ε2 )]2
y2
√
+
= 1.
[α/(1 − ε2 )]2
[α/ 1 − ε2 ]2
⇒
(6.17)
Jos nyt m2 ≫ m1 , niin (6.1):sta r1 ≈ r = (x, y ) ja kappaleen 1 rata on hyvänä
approksimaationa ellipsi ja kappale 2 pysyy origossa eli r2 ≈ 0, joka on ellipsin
toinen polttopiste. Näin on todettu Keplerin ensimmäinen laki.
Ellipsin puoliakseleiden pituudet ovat
a = α/(1 − ε2 ) = k/2|E |
b = α/
p
1 − ε2 = ℓ/
p
2µ|E |.
(6.18)
Tässä voi kiinnittää huomiota siihen, että a > b ja että a riippuu vain E :stä,
kun taas b riippuu sekä E :stä että ℓ:stä.
Mekaniikka
6.5. Planeettaliike
76/122
Johdetaan vielä Keplerin kolmas laki: Integroidaan (6.4) jakson yli ⇒
τ = 2µA/ℓ = 2πµab/ℓ,
missä täydelle ellipsille A = πab. Nyt (6.18):stä b =
τ 2 = 4π 2 a3 µ/k,
√
αa, joten
k = Gm1 m2 .
Tämä on Keplerin kolmas laki τ 2 ∝ a3 , kunhan eri planeetoille hyvänä
approksimaationa m1 + m2 ≈ m2 , missä m2 on auringon massa, jolloin
τ 2 /a3 ≈ 4π 2 /Gm2 .
(6.19)
Nyt voimme koota Keplerin lait suunnilleen niiden alkuperäisessä muodossa:
I. Planeettaradat ovat ellipsejä, joiden toisessa polttopisteessä on aurinko.
II. Auringosta planeettaan piirretty säde piirtää yhtä pitkissä ajoissa yhtä
suuret pinta-alat.
III. Eri planeettojen kiertoaikojen neliöt suhtautuvat toisiinsa kuten niiden
Auringosta mitattujen keskietäisyyksien kuutiot.
Huom Mietipä miten paljon ’käsityötä’ on vaatinut löytää Keplerin lait
aurinkoa kiertävän planeetan pinnalta kerätystä mittausdatasta. Sen, että
planeetojen radat ovat ellipsejä eivätkä ympyröitä, Kepler päätteli (yleisti)
ensin Marsin liikkeistä. Taivaanmekaniikka on oma tieteenhaaransa.
Esim 6.22 Halleyn komeetta.
Mekaniikka
6.6. Planeettaratojen kiertyminen∗
77/122
6.6. Planeettaratojen kiertyminen∗
Tarkat mittaukset osoittavat, että planeettojen ratojen isoakselit kiertyvät
hitaasti. Merkuriuksen tapauksessa perihelikiertymä on 574 kaarisekuntia
vuosisadassa. Suurin osa tästä, 531 kaarisekuntia vuosisadassa, selittyy
muiden planeettojen aiheuttamilla häiriöillä.
Newtonin mekaniikan puitteissa jää tästä selittämättä 43,11 kaarisekuntia.
Kirjassa esitetään lähtien ratayhtälöstä (6.10) ryyditettynä suhteellisuusteoreettisella korjauksella,
d 2u
+ u = Gm2 M/ℓ2 + 3GMu 2 /c 2 ,
dθ2
missä massan m ajatellaan liikkuvan massan M tuottamassa gravitaatiokentässä, lasku jonka tulos perihelikiertymälle yhdellä ratakierroksella on
∆≈
6πGM
.
− ε2 )
ac 2 (1
Sijoittamalla tähän Merkuriuksen radan parametrit saadaan teoreettiseksi
ennusteeksi 43,03 kaarisekuntia vuosisadassa, mikä on mittaustarkkuuden
puitteissa yhtäpitävä havaintojen kanssa!
Maan tapauksessa mitattu ylimääräinen perihelikiertymä on noin viisi
kaarisekuntia vuosisadassa, ylläolevan kaavan ennustaessa noin neljä.
Mekaniikka
7.1. Hiukkassysteemin massakeskipiste
78/122
7. Hiukkassysteemien dynamiikkaa
7.1. Hiukkassysteemin massakeskipiste
Tarkastellaan hiukkasten α = 1, 2, . . . , n systeemiä, jossa hiukkasten massat
ovat mα ja paikkavektorit rα . Systeemin kokonaismassa M on
X
mα
(7.1)
M=
α
ja massakeskipisteen (mkp) paikka R on
1 X
R=
m α rα .
M α
(7.2)
Massakeskipisteen paikkavektori on siis hiukkasten paikkavektoreiden massoilla
painotettu keskiarvo. Jatkuvalle massajakautumalle (klassinen idealisaatio)
tämä yleistyy muotoon
Z
Z
1
1
R=
r dm =
r ρ(r) dv ,
(7.3)
M
M
missä dm on massaelementti ja dv tilavuuselementti.
Systeemin massakeskipiste on yksikäsitteisesti määrätty, mutta sen sijainti R
riippuu valitusta koordinaatistosta.
Esim 7.23 Tasa-aineisen puolipallon massakeskipiste.
Mekaniikka
7.2. Hiukkassysteemin liikemäärä
79/122
7.2. Hiukkassysteemin liikemäärä
Merkitään fαβ :lla hiukkasen β hiukkaseen α kohdistamaa voimaa. Newtonin
kolmannen lain mukaan fαβ = −fβα . Oletamme lisäksi, että hiukkasten välisten
voimien suunta on niiden yhdysjanaa pitkin.13 Tällä jälkimmäisellä oletuksella
kyseessä on N3:n ns. vahva muoto.
Merkitään hiukkaseen α muiden hiukkasten kohdistamaa kokonaisvoimaa fα :lla.
(e)
Lisäksi siihen voi vaikuttaa ulkoisia voimia; merkitään niiden summaa Fα :llä.
Näillä määrittelyillä hiukkaseen α vaikuttava kokonaisvoima Fα on
β6=α
Fα =
F(e)
α
+ fα =
F(e)
α
+
X
fαβ .
(7.4)
β
Summan rajaus toisin ilmaisten: fαα = 0. Newtonin toisen lain mukaan
mα r̈α = F(e)
α + fα .
(7.5)
Olettaen hiukkasten massat vakioiksi ja summaamalla hiukkasten yli saamme
=α
X (e) X β6X
d2 X
M R̈ = 2
m α rα =
Fα +
fαβ .
dt
α
α
(7.6)
β
13
Oletamme täten, että esim. liikkuviin varattuihin hiukkasiin magneettikentästä aiheutuvat voimat qα vα × B voidaan jättää huomiota.
Mekaniikka
7.2. Hiukkassysteemin liikemäärä
Merkitään sitten kaikkien ulkoisten voimien summaa F:lla eli
X (e)
Fα
F=
80/122
(7.7)
α
ja huomataan, että
=α
X β6X
α
β
fαβ =
X
(fαβ + fβα ) =
α<β
X
α<β
(fαβ − fαβ ) = 0.
Newtonin toinen laki (7.6) pelkistyy täten muotoon
M R̈ = F.
Sanallisesti ilmaisten: Systeemin massakeskipiste liikkuu ikäänkuin se olisi
yksi hiukkanen, jonka massa on sama kuin systeemin kokonaismassa, ja
johon vaikuttava voima on hiukkasiin vaikuttavien ulkoisten voimien summa.
Systeemin kokonaisliikemäärä P on kokonaismassan ja mkp:n nopeuden tulo:
X
d X
d
mα ṙα =
m α rα =
(7.8)
P=
(MR) ⇒ P = M Ṙ.
dt
dt
α
α
Newtonin toinen laki sille kirjoitettuna on
Ṗ = F.
(7.9)
Jos ulkoisten voimien summa on nolla, niin systeemin kokonaisliikemäärä säilyy.
Mekaniikka
7.3. Hiukkassysteemin pyorimismäärä
81/122
7.3. Hiukkassysteemin pyorimismäärä
Hiukkasen α paikkavektori voidaan ilmaista muodossa
′
rα = R + r α
,
(7.10)
′
on hiukkasen sijainti suhteessa massakeskipisteeseen.
missä rα
Hiukkasen pyörimismäärä origon suhteen on Lα = rα × pα . Koko systeemille
X
X
′
′
Lα =
(R + rα
) × mα (Ṙ + ṙα
)
L=
α
=
X
α
α
′
′
′
′
mα [(R × Ṙ) + (rα
× Ṙ) + (R × ṙα
) + (rα
× ṙα
)].
Summattaessa
yli α:n kaksi keskimmäistä termiä häviää, sillä
P
′
ja α mα ṙα = 0, joten L yksinkertaistuu muotoon
L=R×P+
X
α
P
α
′
m α rα
=0
′
rα
× p′α .
(7.11)
Siis: Systeemin kokonaispyörimismäärä origon suhteen on mkp:n pyörimismäärä
origon suhteen plus systeemin pyörimismäärä mkp:n suhteen.
Mekaniikka
7.3. Hiukkassysteemin pyorimismäärä
82/122
Systeemin pyörimismäärän aikaderivaatta on
L̇ =
X
α
rα × ṗα =
X
α
rα ×
F(e)
α
+
=α
X β6X
α
β
rα × fαβ .
Jälkimmäinen termi on nolla, sillä se on N3:a käyttäen (fαβ = −fβα )
X
(rα − rβ ) × fαβ ,
α<β
missä vektori rα − rβ on samansuuntainen kuin voima fαβ , kunhan voimme
(edelleen) olettaa keskeisvoimat. Täten niiden ristitulo on nolla.
⇒
L̇ =
X
α
rα × F(e)
α =
X
(e)
N(e)
α = N ,
(7.12)
α
missä N(e) on kaikkien ulkoisten voimien momenttien summa.
Siis: Systeemin kokonaispyörimismäärä pysyy vakiona, jos ulkoisten voimien
momenttien summa on nolla.
Lisäksi osoitimme, että: Hiukkasten välisten voimien ollessa keskeisvoimia
systeemin sisäisten voimien momentit summautuvat nolliksi. Siten eristetyn
hiukkassysteemin kokonaispyörimismäärä voi muuttua ainoastaan ulkoisten
voimien vaikutuksesta.
Mekaniikka
7.4. Hiukkassysteemin energia
83/122
7.4. Hiukkassysteemin energia
Luvun §1.4 kanssa analogisesti tarkastelemme energiaa ja sen säilymistä, nyt
useammalle hiukkaselle. Jos Fα on hiukkaseen α vaikuttava kokonaisvoima, niin
hiukkassysteemiin tehty työ sen siirtyessä konfiguraatiosta 1 konfiguraatioon 2
XZ 2
XZ 2
Fα · drα =
d( 12 mα vα2 ) = T2 − T1 ,
(7.13)
W12 =
1
α
α
1
missä systeemin kineettinen energia valitussa koordinaatistossa on
X
X
1
T =
Tα =
m v2.
2 α α
α
α
Nopeuksille (7.10):sta
′
ṙα = Ṙ + ṙα
,
(7.14)
missä pilkulliset muuttujat viittaavat massakeskipistekoordinaatistoon, joten
′
′
vα2 = ṙα · ṙα = (Ṙ + ṙα
) · (Ṙ + ṙα
) = V 2 + 2(ṙα · Ṙ) + vα′2 .
P
′
Tästä systeemin liike-energia on (ristitermi häviää, sillä nytkin α mṙα
= 0)
X
1
T = 12 MV 2 +
m v ′2 .
(7.15)
2 α α
α
Siis: Systeemin liike-energia on M-massaisen nopeudella V liikkuvan hiukkasen
liike-energia plus yksittäisten hiukkasten liike-energiat suhteessa mkp:een.
Mekaniikka
7.4. Hiukkassysteemin energia
84/122
Jaetaan kokonaisvoima ulkoisiin (e) ja sisäisiin (i) voimiin, jolloin työ on
W12 =
XZ
α
2
F(e)
α
1
· drα +
=α Z
X β6X
α
β
2
1
fαβ · drα ≡ W (e) + W (i) .
Oletetaan sitten, että kaikki voimat saadaan potentiaaleista:
F(e)
α = −∇α Uα
fαβ = −∇α Ũαβ ,
missä ∇α tarkoittaa gradienttia rα :n suhteen. Tällöin tehdyn työn W12
ensimmäinen termi on
XZ 2
X
(e)
W =−
(∇α Uα ) · drα = −
(Uα,2 − Uα,1 )
α
1
α
ja jälkimmäinen termi on N3:a käyttäen (fαβ = −fβα )
XZ 2
XZ 2
(i)
W =
(fαβ · drα + fβα · drβ ) =
fαβ · (drα − drβ ).
α<β
1
α<β
1
Vuorovaikutuspotentiaalin Ũαβ = Ũαβ (rα , rβ ) = Ũαβ (|rα − rβ |) differentiaali on
d Ũαβ = (∇α Ũαβ ) · drα + (∇β Ũαβ ) · drβ = −fαβ · (drα − drβ ),
sillä Ũαβ = Ũβα ja fβα = −fαβ .
Mekaniikka
7.4. Hiukkassysteemin energia
85/122
Täten sisäisten voimien tekemä työ on
XZ 2
X
(i)
W =−
d Ũαβ = −
(Ũαβ,2 − Ũαβ,1 ).
α<β
1
α<β
Systeemin potentiaalienergia on
U=
X
Uα +
α
X
Ũαβ
(7.16)
α<β
ja tehty työ edellä olevan laskun perusteella
W12 = −(U2 − U1 ).
(7.17)
Yhdistämällä tämä tietoon (7.13) saamme
T2 − T1 = −(U2 − U1 )
⇔
T 1 + U 1 = T2 + U 2
⇔
E1 = E2
(7.18)
eli: Konservatiivisen systeemin kokonaisenergia on vakio.
Liikemäärään, pyörimismäärään ja energiaan liittyviä esimerkkejä:
Esim 7.24 Toisesta päästä irti päästetyn tasapaksun roikkuvan narun jännitys.
Esim 7.25 Kevyellä narulla yhdistettyjen pallojen heittäminen.
Esim 7.26 Tasapaksun narun kelautuminen pois pyörivältä sylinteriltä.
7.5. Kahden hiukkasen elastinen törmäys∗
Mekaniikka
86/122
7.5. Kahden hiukkasen elastinen törmäys∗
Olkoon hiukkasten 1 ja 2 massat mα , nopeudet ennen törmäystä uα
laboratoriokoordinaatistossa ja vα massakeskipistekoordinaatistossa sekä
′
vastaavasti törmäyksen jälkeen u′α ja vα
. Pilkuttomat suureet mitataan
lab-koordinaatistossa ja pilkulliset mkp-koordinaatistossa.
Jatkossa u2 = 0 eli hiukkanen 2 on aluksi levossa lab-koordinaatistossa.
Olkoon liike-energia alussa T0 ja T0′ , hiukkaselle 1 lopussa T1 ja T1′
sekä hiukkaselle 2 lopussa T2 ja T2′ .
Olkoon mkp:n nopeus laboratoriokoordinaatistossa V.
Lisäksi tarvitsemme kulmat
ψ = kulma, johon hiukkanen 1 siroaa lab-koorinaatistossa,
ζ = kulma, johon hiukkanen 2 siroaa lab-koordinaatistossa ja
θ = kulma, johon hiukkaset 1 ja 2 siroavat mkp-koorinaatistossa.
Massakeskipisteelle
m1 r1 + m2 r2 = MR
joten olettaen u2 = 0
m 1 u1
V=
m1 + m2
u2′ = V =
m1 u1 + m2 u2 = MV,
m1 u 1
m1 + m2
u′2 = −V.
7.5. Kahden hiukkasen elastinen törmäys∗
Mekaniikka
87/122
Liikemäärän ja energian säilymisestä seuraa, että mkp-nopeuksille pätee
u1′ = v1′
u2′ = v2′
u1′ + u2′ = v1′ + u2′ = u1 ,
joten
v2′ =
m1 u 1
m1 + m2
v1′ =
m2 u 1
m1 + m2
V /v1′ = m1 /m2 .
Tarkastellaan sitten kulmia: Kun V < v1′ , on
v1′ sin θ = v1 sin Ψ
v1′ cos θ + V = v1 cos ψ.
Tästä ylläolevia relaatioita käyttäen saamme hiukkasen 1 sirontakulmalle
tan ψ =
sin θ
.
cos θ + m1 /m2
Tärkeitä erikoistapauksia sirontakokeiden kannalta ovat:
ψ ≈ θ, kun m1 ≪ m2
ja
ψ = 12 θ, kun m1 = m2 .
Vastaavaan tapaan saadaan hiukkasen 2 sirontakulmalle
tan ζ = cot 12 θ.
Samanmassaisille hiukkasille saamme edelleen
ψ + ζ = 12 π, kun m1 = m2 .
7.5. Kahden hiukkasen elastinen törmäys∗
Mekaniikka
88/122
Edelleen hyödyntäen nopeuksien välisiä relaatioita, voidaan liike-energiat
mkp-koordinaatistossa lausua energian T0 = 12 m1 u12 avulla:
T0′
m2
=
T0
m1 + m2
2
m
T1′
2
=
T0
m1 + m2
T2′
m1 m2
=
.
T0
(m1 + m2 )2
Hieman enemmän työtä teettävät lab-koordinaatiston liike-energiat, tuloksena
T1
2m1 m2
=1−
(1 − cos θ)
T0
(m1 + m2 )2
T2
4m1 m2
=
cos ζ.
T0
(m1 + m2 )2
Aina pätee T1 /T0 + T2 /T0 = 1. Samanmassaisille hiukkasille saamme:
T1
T2
= cos2 ψ ja
= sin2 ψ, kun m1 = m2 .
T0
T0
Liike-energia on suhteellisen helposti mitattavissa oleva suure, joten näille
relaatioille on käyttöä kokeellisessa fysiikassa.
Lisäksi voidaan osoittaa esimerkiksi, että
sin(π − θ)
sin 2ζ
=
tan ψ =
m1 /m2 − cos 2ζ
m1 /m2 − cos(π − θ)
sin ζ =
r
m 1 T1
sin ψ.
m 2 T2
Huom Tällä kurssilla jätämme väliin sironnan vaikutusalan ja siihen liittyvät
tulokset sekä epäelastiset törmäykset. Niihin törmätään syventävillä kursseilla.
Mekaniikka
8.1. Pyörivät koordinaatistot
89/122
8. Liike epäinertiaalikoordinaatistossa
8.1. Pyörivät koordinaatistot
Tähän mennessä olemme tarvinneet inertiaalikoordinaatistoja sekä
massakeskipisteen mukana liikkuvaa (mahdollisesti kiihtyvää) koordinaatistoa.
Seuraavassa käytetään inertiaalikoordinaatistoa (fix) ja sen suhteen liikkuvaa,
erityisesti pyörivää koordinaatistoa (rot).
Aiemmasta poiketen merkitään pilkullisilla suureilla fix-koordinaatiston suureita
ja pilkuttomilla rot-koordinaatiston suureita. Idea on, että kuvittelemme
olevamme pyörivässä koordinaatistossa ja selitämme siinä tekemiämme
havaintoja soveltamalla Newtonin lakeja intertiaalikoordinaatistossa.
Hetkellisesti avaruuden jonkin pisteen P koordinaatit ovat
r′ = R + r,
missä vektori R on rot-koordinaatiston origon paikka fix-koordinaatistossa.
Jos nyt rot-koordinaatisto kääntyy kulman δθ ja piste P siirtyy sen mukana,
(dr)fix = dθ × r,
missä merkinnällä ’fix’ kerromme suuretta mitattavan fix-koordinaatistossa.
Mekaniikka
8.1. Pyörivät koordinaatistot
90/122
Koska dθ/dt = ω, saamme rot-koordinaatiston mukana pyörivälle pisteelle
dr
= ω × r.
(8.1)
dt fix
Jos piste P lisäksi liikkuu pyörivässä koordinaatistossa, on oltava
dr
dr
=
+ ω × r.
dt fix
dt rot
(8.2)
Tämä yleistyy mielivaltaiselle vektorisuureelle Q:
dQ
dt
=
fix
dQ
dt
rot
+ ω × Q.
Täten kulmakiihtyvyys ω̇ on sama molemmissa koordinaatistoissa:
dω
dω
=
+ ω × ω = ω̇.
dt fix
dt rot
Nopeuksille saamme tästä
′
dR
dr
dR
dr
dr
=
+
=
+
+ ω × r.
dt fix
dt fix
dt fix
dt fix
dt rot
(8.3)
(8.4)
Mekaniikka
8.1. Pyörivät koordinaatistot
91/122
Kirjoitamme tämän tuloksen lyhyemmin
vf = V + vr + ω × r,
(8.5)
missä otimme käyttöön jatkossa hyödylliset merkinnät
vf = nopeus fix-koordinaatistossa
V = liikkuvan koordinaatiston origon nopeus fix-koordinaatistossa
vr = nopeus rot-koordinaatistossa
ω = pyörivän koordinaatiston akseleiden kulmanopeus
ω × r = rot-akseliston pyörimisestä aiheutuva nopeus.
Esim 8.27 Olkoon fix- ja rot-koordinaatistoilla sama origo. Tällöin
rot-koordinaatiston vektorin r = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 aikaderivaatta
fix-koordinaatistossa saadaan seuraavasti:
X
X
dr
=
(ẋi ei + xi ėi ) = vr +
xi ėi .
dt fix
i
i
Koska (8.1):sta ėi = ω × ei , saamme tästä
X
dr
= vr +
ω × (xi ei ) = vr + ω × r.
dt fix
i
Mekaniikka
8.2. Keskipakoisvoima ja Coriolis-voima
92/122
8.2. Keskipakoisvoima ja Coriolis-voima
Newtonin toinen laki F = ma on voimassa vain inertiaalikoordinaatistoissa,
dvf
F = maf = m
,
(8.6)
dt fix
missä derivointi tapahtuu fix-koordinaattien suhteen. Derivoidaan sitten (8.5):
dV
dvr
dvf
dr
=
+
+ ω̇ × r + ω ×
.
(8.7)
dt fix
dt fix
dt fix
dt fix
Oikealla puolella olevista termeistä:
dV
≡ R̈f
dt fix
dvr
dvr
=
+ ω × vr ≡ ar + ω × vr
dt fix
dt rot
dr
dr
ω×
=ω×
+ ω × (ω × r) ≡ ω × vr + ω × (ω × r),
dt fix
dt rot
joten saamme keräämällä ja yhdistelemällä termit N2:n muotoon
F = maf = mR̈f + mar + mω̇ × r + mω × (ω × r) + 2mω × vr .
(8.8)
Mekaniikka
8.2. Keskipakoisvoima ja Coriolis-voima
93/122
Tulos (8.8) antaa voiman fix-koordinaatistossa: F = maf . Kuitenkin
rot-koordinaatiston mukana liikkuva havaitsija havaitsee kiihtyvyyden ar
ja voi tulkita sen seuraukseksi efektiivisestä voimasta: Feff = mar . (8.8) ⇒
Feff = mar = F − mR̈f − mω̇ × r−mω × (ω × r)−2mω × vr .
(8.9)
Tässä F on hiukkaseen inertiaalikoordinaatistossa vaikuttava kokonaisvoima.
Termit −mR̈f − mω̇ × r seuraavat liikkuvan koordinaatiston (mahdollisista)
kiihtyvyydestä ja kulmakiihtyvyydestä.
Kiinnostavia ovat kaksi viimeistä termiä: −mω × (ω × r) on keskipakoisvoima
ja −2mω × vr on Coriolis-voima. Ne ovat koordinaatiston pyörimisestä johtuvia
näennäisvoimia, eivät todellisia voimia.
Keskipakoisvoima suntautuu pyörimisakselilta kohtisuoraan ulospäin. Jos ω ⊥ r,
niin sen suuruus on mω 2 r , peruskurssilta tuttu keskihakuisvoiman lauseke.
Coriolis-voima ollakseen nollasta poikkeava edellyttää hiukkasen liikkuvan
pyörivässä koordinaatistossa. Jos kyseessä on liike maapallon pinnalla,14
pohjoisella pallonpuoliskolla Coriolis-voima pyrkii kääntämään liikettä
oikealle, eteläisellä pallonpuoliskolla vasemmalle.
Esim 8.28 Liike karusellissa: keskipakoisvoima ja Coriolis-voima.
Esim 8.29 Liike suhteessa maahan: heiluri, tuulet ja kosmiset hiukkaset.
14
Maapallon pyöriminen: Vektori ω osoittaa akselia pitkin pohjoiseen.
Mekaniikka
8.2. Keskipakoisvoima ja Coriolis-voima
94/122
Kuvat tällä sivulla:
◦ Ristituloaskartelua: Keskipakoisvoiman −mω × (ω × r) suunta on
poispäin pyörimisakselista.
◦ Coriolis-voiman −2mω × vr vaikutus: Kitkaton 2D liike vastapäivään
pyörivässä (ω:n suunta katsojaa kohti) karusellissa eri alkuehdoilla
nopeudelle vr (0) karusellin mukana pyörivässä koordinaatistossa rastin
osoittaessa liikkeen alkukohdan. Rata kääntyy (siis kiihtyy) karusellin
mukana pyörivässä koordinaatistossa aina oikealle (kuten pohjoisella
pallonpuoliskolla). Kiinteässä koordinaatistossa liike on suoraviivaista.
Nopeudet yksiköissä ωR, missä ω ja R ovat karusellin parametrit.
◦ Jos vf (0) = 0 kiinteässä koordinaatistossa, mikä on rata karusellin
mukana pyörivässä koordinaatistossa?
Vastaus: Ympyrä. Tällöin on vr (0) = 1/2.
v(0)=1,5
v(0)=0,8
v(0)=0,45
v(0)=0,328
v(0)=0,47
v(0)=0,283
ω ×!r
r
ω
ω ×!(ω ×!r)
Mekaniikka
9.1. Hitausmomenttitensori
95/122
9. Jäykän kappaleen liike
9.1. Hitausmomenttitensori
Tarkastelemme seuraavassa kiinteää kappaletta, joka muodostuu n hiukkasesta,
joiden hetkelliset nopeudet fix-koordinaatistossa15 ovat vα .
Kappale pyörii hetkellisellä kulmanopeudella ω jonkin rot-koordinaatiston eli
kappaleen koordinaatiston pisteen ympäri ja lisäksi kyseinen piste liikkuu
hetkellisellä nopeudella V fix-koordinaatiston suhteen.
Yhdelle hiukkaselle yhtälöstä (8.5) on vα = V + vα,r + ω × rα Kappale on
kiinteä ⇒ hiukkaset pysyvät rot-koordinaatistossa paikoillaan16 eli vα,r = 0 ⇒
vα = V + ω × r α .
(9.1)
Yhden hiukkasen liike-energia on 12 mα vα2 , joten koko kappaleen liike-energia on
T =
1
2
n
X
α=1
mα (V + ω × rα )2 .
(9.2)
Yleistetään seuraavaksi F2-kurssilta tuttu tulos, että T on rotaation (rot ↔ ω)
ja translaation (trans ↔ V) liike-energioiden summa – tietyllä ehdolla.
15
16
Kevennämme merkintöjä siten, että jätämme fix- ja f -alaindeksit pois.
Kiteen atomit värähtelevät pysyen kidehilassa keskimäärin paikoillaan.
Mekaniikka
9.1. Hitausmomenttitensori
Puretaan (9.2):ssä esiintyvä neliö:
X
X
mα V 2 +
mα V · ω × rα +
T = 12
α
1
2
α
X
α
96/122
mα (ω × rα )2 .
(9.3)
Tämä lauseke on riippumaton rα -koordinaatiston origon valinnasta.
Ensimmäinen termi on yksinkertaisesti mkp-liikkeen kineettinen energia
X
X
2
1
1
V 2 ≡ 12 MV 2 .
m
V
=
m
α
α
2
2
α
α
Valitaan
Psitten rot-koordinaatiston origoksi kappaleen massakeskipiste (∗),
jolloin α mα rα ≡ MR = 0, joten (9.3):n keskimmäinen termi häviää:
X
X
mα V · ω × rα = V · ω ×
mα rα = 0.
α
α
Täten ehdolla (∗) on fix-koordinaatistossa mitaten
T = Ttrans + Trot
(9.4)
Ttrans = 12 MV 2
(9.5)
Trot =
1
2
n
X
α=1
mα (ω × rα )2 .
(9.6)
Mekaniikka
9.1. Hitausmomenttitensori
2
2
2
97/122
2
Käytetään sitten tietoa (A × B) = A B − (A · B) , jolloin (9.6):sta tulee
X
mα [ω 2 rα2 − (ω · rα )2 ].
Trot = 12
α
P
P
Kirjoitetaan tämä toisin: ω 2 = ω12 + ω22 + ω32 ja
ωi = j δij ωi , joten
X
X
X
2
Trot = 12
ωi ωj
mα δij
xα,k
− xα,i xα,j ,
α
ij
k
missä voimme kirjoittaa rα = (xα,1 , xα,2 , xα,3 ) siten, että xα,i = rα,i kappaleen
koordinaatistossa (kun koordinaatistot ’päällekkäin’). Päädymme muotoon
Trot =
1
2
3
3 X
X
Iij ωi ωj ,
(9.7)
i=1 j=1
missä hitausmomenttitensorin {I} alkiot (9 kpl) rot-koordinaatistossa ovat
Iij =
n
X
α=1
3
X
2
mα δij
xα,k
− xα,i xα,j .
(9.8)
k=1
Yksinkertaisimmassa erikoistapauksessa tämä saa tutun muodon
Trot = 12 I ω 2 .
Mekaniikka
9.1. Hitausmomenttitensori
98/122
Käyttöä varten {I} alkioittain: Merkiten (xα , yα , zα ) = (xα,1 , xα,2 , xα,3 ) on
P

P
P
mα (yα2 + zα2 ) P
− α mα x α y α
− P α mα x α z α 
 αP
− Pα mα xα yα
mα (xα2 + zα2 ) P
− α mα y α z α
(9.9)
{I} =
αP

2
2 
− α mα x α z α
− α mα y α z α
α mα (xα + yα )
eli merkiten vielä rα2 = xα2 + yα2 + zα2 on
P
P
mα (rα2 − xα2 ) P
− α mα x α y α
 αP
−
mα x α y α
mα (rα2 − yα2 )
{I} =
αP
 Pα
− α mα x α z α
− α mα y α z α

P
− P α mα x α z α 
− α mα y α z α
.
P
2
2 
α mα (rα − zα )
(9.10)
Näissä (matriisi)esityksissä kannattaa huomata symmetriat, erityisesti
Iij = Iji .
(9.11)
Käytännön laskujen kannalta tästä seuraa, että {I}:ssa on vain kuusi
riippumatonta alkiota. Toinen havainto on, että {I} on additiivinen
hiukkasindeksin suhteen.
Jatkuvan massajakautuman tapauksessa summat yli α:n yhtälöissä (9.8–9.10)
korvautuvat totuttuun tapaan integraaleilla ja esimerkiksi (9.8):sta tulee
Iij =
Z
ρ(r) δij
V
3
X
k=1
xk2
− xi xj dv .
(9.12)
Mekaniikka
9.2. Jäykän kappaleen pyörimismäärä
99/122
9.2. Jäykän kappaleen pyörimismäärä
Tarkastellaan pyörivän jäykän kappaleen pyörimismäärää L jonkin
kappaleen
koordinaatistossa paikallaan pysyvän pisteen O suhteen:
P
L = α rα × pα . Pisteen O valinta riippuu tarkasteltavasta ongelmasta:
(a) Jos kappaleen yksi tai useampi piste on kiinnitetty fix-koordinaatistossa,
valitaan jokin niistä.
(b) Jos mikään kappaleen piste ei ole kiinnitetty fix-koordinaatistossa,
valitaan massakeskipiste.
Pisteen O suhteen hiukkasen α liikemäärä on pα = mα vα = mα ω × rα .
Käyttämällä vektori-identiteettiä A × (B × A) = A2 B − A(A · B) on
X
mα [rα2 ω − rα (rα · ω)].
L=
α
Samaan tapaan kuin edellisessä luvussa saamme
X
X X
2
ωj
mα δij
xα,k − xα,i xα,j .
Li =
j
α
(9.13)
k
Summa yli α:n on hitausmomenttitensorin alkio Iij , joten
X
Iij ωj .
L = (L1 , L2 , L3 ), missä Li =
(9.14)
j
Mekaniikka
9.2. Jäykän kappaleen pyörimismäärä
100/122
Huom Havaitsemme (9.14):stä, että pyörimismäärävektori L ei yleisesti ole
samansuuntainen kulmanopeusvektorin ω tapauksessa. Samansuuntaisuus
edellyttää tilanteelta jonkinlaisia symmetrioita. Siis koulusta tuttu relaatio
L = I ω pätee vain erikoistapauksissa, kuten esim. tasa-aineisen pallon tai
ympyräkiekon pyörimiselle akselinsa ympäri.
Huom Pyöriviin koordinaatistoihin ja pyöriviin kappaleisiin liittyvät havainnot ja
tulokset yllättävät toisinaan. Tämä johtuu siitä, että ihmisellä ei ole juurikaan
arkikokemusta (riittävän nopeasta) pyörimisestä. Liikuntaharrastukset kuten
luistelu, voimistelu ja uimahypyt voivat opettaa jotain.
Reunahuom Yhtälöt (9.7) ja (9.14) voidaan kirjoittaa tensorinotaation avulla
koordinaatistosta riippumattomassa muodossa:
Trot = 12 ω · L = 12 ω · {I} · ω
L = {I} · ω.
Tästä voimme todeta, että tensori ({I}) on kuvaus, joka kuvaa kaksi vektoria
(tässä ω ja ω) skalaariksi (Trot ) ja yhden vektorin (ω) vektoriksi (L). Tensoreita
voidaan tarkastella myös niiden koordinaatistomuunnosminaisuuksien kautta.
Tällä kurssilla jätämme tensorinotaation kehittelyn tähän ja laskemme
kaiken valitussa koordinaatistossa tensorin matriisiesitystä käyttäen.
Esim 9.30 Käsipainon hitausmomentti, kulmanopeus ja pyörimismäärä.
Esim 9.31 Kuution hitausmomentti, osa 1.
Mekaniikka
9.3. Hitausmomentin pääakseliesitys
101/122
9.3. Hitausmomentin pääakseliesitys
Elämä yksinkertaistuu huomattavasti sellaisessa koordinaatistossa, jossa
hitausmomenttitensorissa nollasta poikkeavia elementtejä ovat vain
diagonaalielementit. Jos


I1 0 0 
Iij = δij Ii
⇔
{I} = 0 I2 0 ,


0 0 I3
niin (9.7) ja (9.14) ovat yksinkertaisesti
X 2
Ii ω i
Trot = 12
Li = Ii ωi .
i
Lähdemme nyt hakemaan kappaleen koordinaatistolle sellaisia akseleita, että
tämä toteutuu, jolloin kyseisiä akseleita kutsutaan päähitausmomenttiakseleiksi.
Erityisesti, jos kappale pyörii yhden päähitausmomenttiakselinsa, jota vastaa
hitausmomentti I , ympäri niin tällöin on voimassa vielä vahvempi ehto
L = Iω
⇔
(9.15)


L1 = I ω1 = I11 ω1 + I12 ω2 + I13 ω3
L2 = I ω2 = I21 ω1 + I22 ω2 + I23 ω3


L3 = I ω3 = I31 ω1 + I32 ω2 + I33 ω3 .
Mekaniikka
9.3. Hitausmomentin pääakseliesitys
102/122
Tämä voidaan kirjoittaa kurssilta M5 tuttuun, ominaisarvoyhtälön muotoon:


(I11 − I )ω1 + I12 ω2 + I13 ω3 = 0
(9.16)
I21 ω1 + (I22 − I )ω2 + I23 ω3 = 0


I31 ω1 + I32 ω2 + (I33 − I )ω3 = 0.
Ymmärtäen tämä yhtälöryhmäksi vektorin ω komponenteille, epätriviaali
ratkaisu on olemassa, jos kerroindeterminantti häviää eli
I11 − I
I12
I13 I21
I22 − I
I23 = 0.
(9.17)
I31
I32
I33 − I Determinantti laskemalla saadaan karakteristinen polynomi P(I ) ja I :lle
kolmannen asteen yhtälö P(I ) = 0. Sen kukin juuri voidaan erikseen sijoittaa
yhtälöryhmään (9.16), jolloin kutakin juurta vastaten saadaan suhdeluvut
ω1 : ω2 : ω3 eli sellainen vektorin ω suunta, että ehto (9.15) toteutuu.
Näin saatavat pääakselien suunnat ovat keskenään ortogonaaliset ja saadaan
kiertämällä alkuperäistä akselistoa, jonka suhteen Iij :t olivat määritetyt.
Huom Symmetriselle kappaleelle, esim. pallolle päähitausmomenttiakseleiksi
käyvät mitkä tahansa kolme keskenään ortogonaalista vektoria.
Esim 9.32 Jatkoa aiemmalle: kuution päähitausmomenttiakselit.
Mekaniikka
9.4. Hitausmomentit eri koordinaattisysteemeissä
103/122
9.4. Hitausmomentit eri koordinaattisysteemeissä
Huom Tarkastellaan xi -koordinaatiston, jonka origo on pisteessä O, lisäksi
toista, Xi -koordinaatistoa, jonka origo on pisteessä Q siten, että niiden
kaikille vektoreille r ja R pätee
R=a+r
⇔
Xi = a i + xi .
jollakin vakiovektorilla a. Koordinaatistojen orientaatiot siis pysyvät samoina.
Hitausmomenttitensorin alkioita uusissa koordinaateissa merkitsemme Jij :llä:
Jij =
n
X
mα δij
α=1
3
X
k=1
2
Xα,k
− Xα,i Xα,j .
(9.18)
Sijoitetaan tähän (9.18) ja kaivetaan esiin Iij :n lauseke (9.8):
X
X
mα δij
(xα,k + ak )2 − (xα,i + ai )(xα,j + aj )
Jij =
α
=
X
α
k
X
X
2
mα δij
xα,k
− xα,i xα,j +
mα δij
ak2 − ai aj
α
k Xk X
mα 2δij
xα,k ak − xα,i ai − xα,j aj .
+
X
α
Mekaniikka
k
9.4. Hitausmomentit eri koordinaattisysteemeissä
104/122
Viemällä viimeisessä termissä α-summauksen sisimmäksi se tulee muotoon
X
X
X X
2δij
mα xα,k ak −
mα xα,i ai −
mα xα,j aj .
k
α
α
Kun piste O on kappaleen massakeskipiste, on
joten koko viimeinen termi on nolla.
α
P
α
mα xα,k = 0 kaikilla k,
Ensimmäinen termi P
on (9.8):ssa määritelty
P 2 Iij . 2Toinen termi yksinkertaistuu
käyttämällä tietoja α mα = M ja k ak = a . Uudelleenjärjestelyllä saamme
Iij = Jij − M(a2 δij − ai aj ).
(9.19)
Tämän tuloksen käyttö: Joskus on helpointa laskea (tai ehkä tiedetään)
hitausmomenttitensori muussa kuin massakeskipistekoordinaateissa, tässä
erityisesti koordinaateissa, joita on siirretty vakiovektorin a verran. Näin
saaduista Jij saadaan mkp-koordinaatteja vastaava Iij kaavalla (9.19).
Huom Kurssilla F2 on johdettu tämän erikoistapaus: I11 = J11 − M(a22 + a32 ).
Esim 9.33 Jatkoa aiempaan: kuution hitausmomenttitensori siirrettäessä
referenssipiste kärkipsteestä massakeskipisteeseen.
Esim 9.34 Kuutio vielä kerran: kiertomatriiseja käyttäen.
Mekaniikka
9.5. Eulerin kulmat
105/122
9.5. Eulerin kulmat
Muunnos koordinaatteja kiertämällä voidaan esittää matriisiyhtälönä
x = λx′ .
(9.20)
Merkitsemme fix-koordinaatteja xi′ :llä ja kappaleen koordinaatteja xi :llä.
Yleisessä tapauksessa tarvitaan kolme kulmaa kaikkien kierroilla toisistaan
saatavien koordinaatistojen välisten muunnosten kuvaamiseen. Matriisilla λ
on siis kolme parametria, joiksi valitsemme Eulerin kulmat φ, θ ja ψ.
1. Rotaatio kulman φ verran vastapäivään akselin x3′ ympäri:


cos φ
sin φ 0
x′′ = λφ x′
λφ = − sin φ cos φ 0
0
0
1
2. Rotaatio kulman θ verran vastapäivään akselin x1′′ ympäri:


1
0
0
sin θ 
λθ = 0 cos θ
x′′′ = λθ x′′
0 − sin θ cos θ
3. Rotaatio kulman ψ verran vastapäivään akselin x3′′′ ympäri:


cos ψ
sin ψ 0
x = λψ x′′′
λψ = − sin ψ cos ψ 0
0
0
1
Mekaniikka
9.5. Eulerin kulmat
106/122
Mekaniikka
9.5. Eulerin kulmat
107/122
Yhdistämällä nämä kolme kiertoa on
x = λx′ = λψ λθ λφ x′ = λψ λθ x′′ = λψ x′′′
(9.21)
eli matriisi λ on kolmen matriisin tulo.
Haluamme liittää kuhunkin kierroista kulmanopeusvektorit seuraavasti:
ω φ = φ̇
ω θ = θ̇
ω ψ = ψ̇.
Komponenttiesitykset saamme laskemalla ω = φ̇ + θ̇ + ψ̇ = φ̇ê′3 + θ̇ê′′1 + ψ̇ê′′′
3 :
φ̇ = φ̇ (sin θ sin ψ, sin θ cos ψ, cos θ)
θ̇ = θ̇ (cos ψ, − sin ψ, 0)
ψ̇ = ψ̇ (0, 0, 1).
Näistä pääsemme kappaleen koordinaatistossa ilmaistun kulmanopeusvektorin
ω komponentteihin seuraavasti:
ω1 = φ̇1 + θ̇1 + ψ̇1 = φ̇ sin θ sin ψ + θ̇ cos ψ
(9.22)
ω2 = φ̇2 + θ̇2 + ψ̇2 = φ̇ sin θ cos ψ − θ̇ sin ψ
(9.23)
ω3 = φ̇3 + θ̇3 + ψ̇3 = φ̇ cos θ + ψ̇.
(9.24)
Näille sinänsä tylsille relaatioille tulee käyttöä tuotapikaa.
Huom Kierroista kaksi tehtiin kolmosakselin ympäri. Kierrot voitaisiin valita
muillakin tavoilla. Yllä tehdyt valinnat 1-3 ovat tavallisin tapa.
Mekaniikka
9.6. Eulerin yhtälöt jäykälle kappaleelle
108/122
9.6. Eulerin yhtälöt jäykälle kappaleelle
(a) Vapaasti pyörivä kappale (Lagrangen mekaniikalla)
Jos kappaleeseen ei vaikuta mikään
voima, sen Lagrangen funktio
Pulkoinen
2
1
sisältää vain liike-energian T = 2 i Ii ωi , missä koordinaatiston akseleiksi on
valittu päähitausmomenttiakselit. Valitaan yleistetyiksi koordinaateiksi Eulerin
kulmat, jolloin Lagrangen yhtälö kulmalle ψ on
d ∂T
∂T
= 0.
−
∂ψ
dt ∂ ψ̇
(9.25)
Haluamme päästä käyttämään (9.22-9.24):a. Kirjoitetaan edelläoleva muotoon
X ∂T ∂ωi
d X ∂T ∂ωi
−
= 0.
∂ω
dt
∂ω
i ∂ψ
i ∂ ψ̇
i
i
Derivoimalla (9.22-9.24):a ja T :n lauseketta saamme


∂ω1 /∂ψ = φ̇ sin θ cos ψ − θ̇ sin ψ = ω2
∂ω2 /∂ψ = −φ̇ sin θ sin ψ − θ̇ cos ψ = −ω1


∂ω3 /∂ψ = 0


∂T /∂ω1 = I1 ω1
∂ω1 /∂ ψ̇ = 0
∂ω2 /∂ ψ̇ = 0
∂T /∂ω2 = I2 ω2


∂ω3 /∂ ψ̇ = 1
∂T /∂ω3 = I3 ω3 .
Mekaniikka
9.6. Eulerin yhtälöt jäykälle kappaleelle
109/122
Täten (9.25) tuottaa yhtälön
(I1 − I2 )ω1 ω2 − I3 ω̇3 = 0.
Muidenkin ω:n komponenttien on toteutettava samanmuotoiset yhtälöt, joten
permutoimalla indeksejä saamme Eulerin yhtälöt vapaalle pyörimiselle:


I1 ω̇1 − (I2 − I3 )ω2 ω3 = 0
(9.26)
I2 ω̇2 − (I3 − I1 )ω3 ω1 = 0


I3 ω̇3 − (I1 − I2 )ω1 ω2 = 0.
Vaikka kolmas yhtälö onkin Lagrangen yhtälö ψ:lle, kaksi muuta eivät ole
muille Eulerin kulmille φ ja θ. Valitsimme ψ:ssä helpoimman tien.
(b) Voimakentässä pyörivä kappale (Newtonin mekaniikalla)
Jos kappaleeseen vaikuttaa jonkin voiman momentti, saamme yhtälöstä (8.3)
(dL/dt)kpl + ω × L = N
⇒
L̇3 + ω1 L2 − ω2 L1 = N3 .
Pysyen pääakseliesityksessä Li = Ii ωi , joten saamme tästä yhtälöt (kolmannen
ja muut kaksi permutoimalla)


I1 ω̇1 − (I2 − I3 )ω2 ω3 = N1
(9.27)
I2 ω̇2 − (I3 − I1 )ω3 ω1 = N2


I3 ω̇3 − (I1 − I2 )ω1 ω2 = N3 .
Esim 9.35 Jatkoa aiempaan: käsipainon pyörimisen vaatima momentti.
Mekaniikka
9.7. Eulerin yhtälöiden sovelluksia
9.7. Eulerin yhtälöiden sovelluksia
Seuraavassa esitetään joitakin keskeisiä esimerkkejä Eulerin yhtälöiden
soveltamisesta. Laskut käydään tarkemmin läpi luennolla.
Esim 9.36 Symmetrisen hyrrän vapaa pyöriminen
Olkoon I1 = I2 > I3 . Merkiten Ω = ω3 (I3 − I1 )/I1 Eulerin yhtälöt antavat


ω̇1 + Ωω2 = 0
ω̇2 − Ωω1 = 0


ω̇3 = 0.
Derivoimalla toinen yhtälö ja sijoittamalla se ensimmäiseen saamme
ω̈2 + Ωω2 = 0 ja samaan tapaan ω̈1 + Ωω1 = 0. Ratkaisu on täten


ω1 (t) = A cos Ωt
ω2 (t) = A sin Ωt


ω3 = VAKIO.
p
Täten |ω| = A2 + ω32 = VAKIO eli vektori ω kiertää x3 -akselia taajuudella Ω
ja x3 -akseli kiertää x3′ -akselia (kts. kuvat). Ilmiö on nimeltään prekessio.
Liike-energia on vakio, josta Trot = 12 ω · L = VAKIO. Täten ω:n ja L:n välinen
kulma on vakio. Koska L = VAKIO, on L koko ajan x3′ -akselin suuntainen.
110/122
Mekaniikka
9.7. Eulerin yhtälöiden sovelluksia
111/122
Kuvat tällä sivulla:
◦ Kulmanopeuden prekessio kappaleen koordinaatistossa x3 -akselin ympäri
vapaasti pyörivälle symmetriselle hyrrälle.
◦ Kulmanopeuden prekessio kiinteässä koordinaatistossa x3′ -akselin ympäri
ja kappaleen koordinaatistossa x3 -akselin ympäri. Akselit x3′ ja x3 sekä ω
pysyvät samassa x3′ -akselin ympäri pyörivässä tasossa.
◦ Kuvan kartiokonstruktiossa kiinteän koordinaatiston kartio on paikallaan
kappaleen koordinaatteihin ’kiinnitetyn’ kartion rullatessa sen pinnalla.
Hyrrän fysikaalisen akselin suunta x3 prekessoi x3′ −akselin ympäri.
◦ Jos I1 = I2 < I3 , niin hyrrän kartio rullaa kiinteän kartion sisäpinnalla.
Mekaniikka
9.7. Eulerin yhtälöiden sovelluksia
112/122
Esim 9.37 Tuetun symmetrisen hyrrän pyöriminen
Tarkastellaan hyrrää, jonka alempi kärki pysyy paikallaan origossa x = x′ = 0,
gravitaatiopotentiaalissa Mgh, missä x3′ = h on hyrrän painopisteen korkeuskoordinaatti fix- eli x′ -koordinaatistossa. Edelleen I1 = I2 .
Lagrangen funktio on tällöin
L = T − U = 12 I1 (φ̇2 sin2 θ + θ̇2 ) + 12 I3 (φ̇ cos θ + ψ̇)2 − Mgh cos θ.
Liikevakioita ovat
∂L/∂ φ̇
∂L/∂ ψ̇
E =T +U
ω3
E ′ = E − 12 I3 ω32 .
Nyt E ′ = . . . = 12 I1 θ̇2 + V (θ), missä V (θ) on effektiivinen potentiaali, jolla
on minimi jollakin θ = θ0 . Jos θ = θ0 ja hyrrä pyörii nopeasti eli ω3 on suuri,
saadaan prekessiolle kaksi mahdollista taajuutta, kun θ0 < π/2:
φ̇+ =
I3 ω 3
I1 cos θ0
φ̇− =
Mgh
.
I3 ω 3
Tavallisesti näistä pienempi eli φ̇− havaitaan.
Jos sallitaan muut θ:n arvot ja φ̇ ei vaihda merkkiään, prekessio on tasaista.
Lisäksi x3 -akselin kulma θ oskilloi jollain välillä θ1 < θ < θ2 . Tämä ilmiö on
nutaatio. Jos φ̇ vaihtaa merkkiään, x3 -akselin liike on mutkikkaampaa.
Mekaniikka
9.7. Eulerin yhtälöiden sovelluksia
113/122
Kuva tällä sivulla: Kärkipisteestään kiinnitetyn hyrrän liikkeeseen liittyvät
laskuissa käytetyt koordinaatit.
◦ Prekessio on kulman φ tasaista kasvamista.
◦ Nutaatio on kulman θ oskillaatio.
◦ Lisäksi ψ̇ = VAKIO − φ̇ cos θ.
Mekaniikka
9.7. Eulerin yhtälöiden sovelluksia
Esim 9.38 Kiinteän kappaleen vapaan pyörimisen stabiilius
Oletetaan aluksi, että kappale pyörii päähitausmomenttiakselinsa, x1 -akselin
ympäri, jolloin ω = ω1 ê1 . Sallitaan sitten pieni häiriö:
ω = ω1 ê1 + λω2 ê2 + µω3 ê3 ,
missä häiriöparametrit λ ja µ ovat alussa pieniä. Eulerin yhtälöt johtavat
välittömästi λ:lle liikeyhtälöön (ja µ:lle samanlaiseen)
p
Ω1 = (I1 − I3 )(I1 − I2 )/I2 I3 .
λ̈ + Ω21 λ = 0
Oletetaan, että I1 < I2 < I3 . Tarkastelemalla myös häirittyä pyörimistä x2 - ja
x3 -akseleiden ympäri saadaan häiriöille taajuusparametrit

p

Ω1 = p(I1 − I3 )(I1 − I2 )/I2 I3 reaalinen
Ω2 = (I2 − I1 )(I2 − I3 )/I1 I3 imaginaarinen

p

Ω3 = (I3 − I2 )(I3 − I1 )/I1 I2 reaalinen.
Näistä reaalisissa tapauksissa seuraa häiriön liikeyhtälössä oskillaatio ja
imaginaarisessa tapauksessa ajan funktiona kasvava häiriö. Päättelemme,
että pyöriminen on stabiilia vain suurinta ja pienintä hitausmomenttia
vastaavien päähitausmomenttiakseleiden suunnassa.
Jos I1 = I2 , vastaavanlainen analyysi osoittaa, että vain pyöriminen I3 :a
vastaavan akselin ympäri on stabiilia.
114/122
Mekaniikka
10.1. Kaksi kytkettyä värähtelijää
115/122
10. Kytketyt värähtelyt
10.1. Kaksi kytkettyä värähtelijää
Tarkastellaan kahta värähtelijää, jotka on kytketty jousella (jousivakio κ12 = κ̃)
toisiinsa sekä kumpikin erikseen seinään jousilla (jousivakiot κ1 = κ2 = κ)
1D:ssa. Olkoon kummankin värähtelijän massa m1 = m2 = M.
Kun muita voimia kuin harmoniset jousivoimat ei vaikuta, liike on yksiulotteista
ja tasapainoasemassa värähtelijöiden koordinaatit olkoot x1 = 0 = x2 . Niiden
kytketyt liikeyhtälöt N2:sta ovat
(
M ẍ1 + (κ + κ̃)x1 − κ̃x2 = 0
M ẍ2 + (κ + κ̃)x2 − κ̃x1 = 0.
Odotamme saavamme ratkaisuksi värähtelyjä, joten tarjoamme tähän yritettä
x1 (t) = B1 e iωt
x2 (t) = B2 e iωt .
Sijoittamalla yrite ja supistamalla e ωt :t pois saamme yhtälöparin
(
(κ + κ̃ − Mω 2 )B1 − κ̃B2 = 0
−κ̃B1 + (κ + κ̃ − Mω 2 )B2 = 0.
Tämä on tavallinen menettely: Sopivalla yritteellä kahden differentiaaliyhtälön
ryhmä muuttuu tavalliseksi algebralliseksi yhtälöryhmäksi.
Mekaniikka
10.1. Kaksi kytkettyä värähtelijää
Koska kyseessä on hogeeninen yhtälöpari,17 epätriviaali ratkaisu saadaan, kun
κ + κ̃ − Mω 2
−κ̃
2 = 0.
−κ̃
κ + κ̃ − Mω
Siis on oltava κ + κ̃ − Mω 2 = ±κ̃, josta
p
ω1,2 = (κ + κ̃ ± κ̃)/M.
2
⇒ ±ω1,2 )
Differentiaaliyhtälöparin ratkaisu on täten (huom: ω 2 = ω1,2
(
− −iω1 t
− −iω2 t
+ iω1 t
+ iω2 t
x1 (t) = B11
e
+ B11
e
+ B12
e
+ B12
e
− −iω1 t
− −iω2 t
+ iω1 t
+ iω2 t
x2 (t) = B21 e
+ B21 e
+ B22 e
+ B22 e
,
missä amplitudit Bij± eivät ole toisistaan riippumattomia. Sijoittamalla18 ω1,2
±
±
±
±
yhtälöpariin saamme B11
= −B21
, kun ω = ω1 ja B12
= B22
, kun ω = ω2 ⇒
(
x1 (t) = B1+ e iω1 t + B1− e −iω1 t + B2+ e iω2 t + B2− e −iω2 t
x2 (t) = −B1+ e iω1 t − B1− e −iω1 t + B2+ e iω2 t + B2− e −iω2 t ,
mikä on differentiaaliyhtälöparin täydellinen ratkaisu.
17
18
Yhtalöpari on myös ominaisarvo-ongelman muotoa.
Kyseessä oleellisesti ominaisvektoreiden ratkaiseminen.
116/122
Mekaniikka
10.1. Kaksi kytkettyä värähtelijää
117/122
Havaitsemme ratkaisusta (10.1), että systeemin käyttäytymistä hallitsee kaksi
taajuutta, joita kutsumme ominaistaajuuksiksi. Tämä saa meidät etsimään
yleistettyjä koordinaatteja, joissa toinen koordinaatti värähtelee taajuudella ω1
ja toinen taajuudella ω2 . Arvataan, että tällaiset koordinaatit ovat
η1 = x 1 − x 2
η2 = x 1 + x 2
⇒
x2 = 12 (η2 − η1 ).
x1 = 12 (η2 + η1 )
Sijoitetaan nämä alkuperäiseen yhtälöpariin (10.1), mistä pienellä järjestelyllä
η̈1 + ω12 η1 = 0
η̈2 + ω22 η2 = 0.
(10.1)
Nyt uudet koordinaatit ovat toisistaan riippumattomat (”irti kytketyt”) ja
(
η1 (t) = C1+ e iω1 t + C1− e −iω1 t
(10.2)
η2 (t) = C2+ e iω2 t + C2− e −iω2 t .
Täten koordinaatit η1,2 ovat ongelman normaalikoordinaatit (jotka riippuvat
alkuehdoista) ja niihin liittyviä värähtelyjä kutsutaan normaalimoodeiksi.
Alkuehdoilla x1 (0) = −x2 (0) ja ẋ1 (0) = −ẋ2 (0) on η2 (t) = 0 kaikilla t
ja värähtelijät x1,2 värähtelevät vastakkaisissa vaiheissa taajuudella ω1 .
Tämä on antisymmetrinen moodi.
Alkuehdoilla x1 (0) = x2 (0) ja ẋ1 (0) = ẋ2 (0) on η1 (t) = 0 kaikilla t
ja värähtelijät x1,2 värähtelevät samassa vaiheessa taajuudella ω2 .
Tämä on symmetrinen moodi.
Mekaniikka
10.2. Kaksi kytkettyä värähtelijää: havaintoja
10.2. Kaksi kytkettyä värähtelijää: havaintoja
(a) Ominaistaajuuksista
Jos edellä pitäisimme
p massan m2,1 liikkumattomana, massa m1,2 värähtelisi
taajuudella ω0 = (κ + κ̃)/M. Havaitsemme nyt, että ominaismoodien
taajuuksille pätee ω2 < ω0 < ω1 ja voimme ajatella, että värähtelyjen
kytkennän johdosta taajuus ω0 hajoaa kahdeksi taajuudeksi ω1,2 .
Tämä havainto yleistyy useammalle kytketylle värähtelijälle: Parilliselle
määrälle, 2n värähtelijälle on n taajuutta ω0 pienempää ominaistaajuutta ja
n suurempaa. Parittomalle määrälle 2n + 1 on lisäksi yksi ominaistaajuus ω0 .
(b) Heikko kytkentä ja huojunta
Oletetaan sitten κ̃ ≪ κ eli heikosti kytketyt värähtelijät. Merkiten ε = κ̃/κ
p
ω0 = (1 + ε) κ/M
ω1 ≈ (1 + ε)ω0
ω2 ≈ (1 − ε)ω0 .
Alkuehdoilla x1 (0) = D ja x2 (0) = 0 = ẋ1 (0) = ẋ2 (0) seuraa (10.1):sta
B1+ = B1− = B2+ = B2− = D/4 ⇒ x1 (t) = . . . ja vastaavasti x2 (t):lle:
x1 (t) ≈ D cos[εω0 t] cos[ω0 t]
x2 (t) ≈ D sin[εω0 t] sin[ω0 t].
Kummassakin tapauksessa hidas taajuus moduloi nopeaa taajuutta, tuloksena
kurssilta F2 tuttu ilmiö: huojunta.
118/122
Mekaniikka
10.3. Kytketyt värähtelyt: yleinen tapaus
119/122
10.3. Kytketyt värähtelyt: yleinen tapaus
Otamme lähtökohdaksi jotkin yleistetyt koordinaatit qk , k = 1, 2, . . . , n. Emme
enää oleta kytkettyjen värähtelijöiden systeemin olevan yksiulotteinen.
Tasapainoasemassa pätee
qk = qk0
q̇k = 0
q̈k = 0
eli
∂T ∂U ∂L =
−
= 0.
∂qk 0 ∂qk 0 ∂qk 0
Oletamme liike-energian olevan yleistettyjen nopeuksien homogeeninen
kvadraattinen funktio eli
X
∂T ∂U T (q̇1 , . . . , q̇n ) = 12
mjk q̇j q̇k
⇒
⇒
=0
= 0.
∂qk 0
∂qk 0
jk
Tästä seuraa, että potentiaalienergian Taylorin kehitelmässä tasapainoaseman
ympärillä lineaarinen termi häviää. Lisäksi voimme valita vakiotermin nollaksi:
U(q1 , . . . , qn ) =
1
2
X
Ajk qj qk
Ajk =
jk
Liike- ja potentiaalienergia ovat täten samaa muotoa.
Mekaniikka
∂2U .
∂qj ∂qk 0
10.3. Kytketyt värähtelyt: yleinen tapaus
Lagrangen yhtälöt
d ∂L
∂L
−
=0
∂qk
dt ∂ q̇k
⇒
120/122
∂U
d ∂T
−
=0
∂qk
dt ∂ q̇k
johtavat tällöin k liikeyhtälöön (k = 1, . . . , n)
X
(Ajk qj + mjk q̈j ) = 0.
(10.3)
j
Tässäkin tapauksessa yrite qj (t) = aj e i(ωt−δ) johtaa homogeeniseen lineaariseen
yhtälöryhmään
X
(Ajk − ω 2 mjk )aj = 0.
(10.4)
j
Nytkin epätriviaalit ratkaisut edellyttävät kerroindeterminantin häviämistä:
A11 − ω 2 m11 A12 − ω 2 m12 · · · A1n − ω 2 m1n A12 − ω 2 m12 A22 − ω 2 m22 · · · A2n − ω 2 m2n (10.5)
= 0,
..
..
..
.
.
.
A1n − ω 2 m1n A2n − ω 2 m2n · · · Ann − ω 2 mnn missä on oletettu Ajk = Akj ja mjk = mkj . Tämä on n:nnen kertaluvun yhtälö
muuttujalle ω 2 . Sen ratkaisut ωr ovat systeemin ominaistaajuuksia ja kullakin
ωr liikeyhtälö (10.3) tuottaa amplitudien suhteet a1 : a2 : . . . : an .
Kutakin ωr vastaavat ar = (a1r , . . . , anr ) ovat ominaisvektorit.
Mekaniikka
10.3. Kytketyt värähtelyt: yleinen tapaus
Liikeyhtälöiden fysikaalinen ratkaisu on tällöin
X
X
ajr e i(ωt−δr ) =
ajr cos(ωr t − δr ),
q̃j (t) = Re qj (t) = Re
r
121/122
(10.6)
r
missä fysikaalinen ratkaisu q̃j (t) saatiin ottamalla huomioon vain reaaliosa.
Huom: Parametrin δr ansiosta riittää ottaa vain toinen ratkaisuista ωr = ±ω.
Huom Tarkkaan ottaen lisätyötä on tehtävä, jos jotkin ominaistaajuudet ωr
ovat samoja eli degeneroituneita. Tällöin on kannettava huolta ominaisvektoreiden ortogonaalisuudesta. Tässä riittäköön sen toteaminen, että
X
mjk ajr aks = 0, kun r 6= s,
jk
ja normitus
eli mjk :lla painotettu ortogonaalisuusehto
X
mjk ajr akr = 1.
jk
Näistä seuraa
X
mjk ajr aks = δrs .
jk
Tämä on painotettu sisätulo, joten vektorit ar = (a1r , . . . , anr ) muodostavat
ortonormitetun joukon. Huom: Nyt ar ovat alkuehdoista riippumattomat.
Sivuutimme yllä myös sen, että voi olla (puhuttavissa pois pienille värähtelyille)
X ∂xα,i ∂xα,j
X
mjk = mjk (q1 , . . . , qn ) =
mα
.
∂qj ∂qk
α
i
Mekaniikka
10.4. Kytketyt värähtelyt: normaalikoordinaatit
122/122
10.4. Kytketyt värähtelyt: normaalikoordinaatit
Kukin ratkaisu (10.6):ssa voidaan kertoa vakiolla eli skaalatekijällä αr .
Jos lisäksi merkitsemme βr = αr e −iδr , on
X
ajr βr e iωr t .
qj (t) =
r
Määrittelemällä edelleen
ηr (t) = βr e iωr t
(10.7)
X
(10.8)
on
qj (t) =
ajr ηr (t).
r
Alkuehtoriippuvuus on nyt kertoimissa βr ∈ C. Määritelmän mukaan
muuttujat ηr kukin oskilloivat yhdellä taajuudella ωr toteuttaen yhtälön
η̈r + ωr2 ηr = 0.
Kutsumme ηr :iä systeemin (alkuehtoriippuviksi) normaalikoordinaateiksi.
Esim 10.39 Kaksi kytkettyä värähtelijää uudelleen.
Esim 10.40 Kaksi kytkettyä heiluria.
Esim 10.41 Molekyylien värähtelyt: hiilidioksidi.