1. No category

Analyysin perusteet
kauppatieteilijöille
800118P
Luentomoniste
Kari Myllylä
Niina Korteslahti
Topi Törmä
Oulun yliopisto
Matemaattisten
tieteiden laitos
Kevät 2015
Sisältö
1 Derivaatta
1.1 Määritelmä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Derivaatan geometrinen tulkinta . . . . . . . . . . . . .
1.3 Derivoimissääntöjä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Eksponentti- ja logaritmifunktion derivaatta . . . . . .
1.5 Yhdistetyn funktion derivaatta . . . . . . . . . . . . .
1.6 Käänteisfunktion derivaatta . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Jatkuvuus ja derivoituvuus . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8 Logaritminen derivointi . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9 Korkeammat derivaatat . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10 L’Hospitalin sääntö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11 Implisiittinen derivointi . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.12 Differentiaali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.13 Differentiaalilaskennan väliarvolause . . . . . . . . . . .
1.14 Taylorin sarjakehitelmä . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.15 Ensimmäisen derivaatan taloustieteellisiä sovellutuksia
1.15.1 Kustannusfunktio . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.15.2 Tulofunktio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.15.3 Jousto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.15.4 Kansantulo, kulutus ja säästäminen . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
3
4
6
6
7
7
8
9
9
10
10
11
13
14
16
16
17
18
19
2 Trigonometriset funktiot
21
3 Usean muuttujan funktiot
3.1 Yleistä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Osittaisderivaatat . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Osittaisderivaattojen määrääminen . . .
3.3 Kokonaisdifferentiaali . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Yhdistetyn funktion derivointi . . . . . . . . . .
3.5 Osittaisderivaatan taloustieteellisiä sovellutuksia
3.5.1 Rajakustannusfunktiot . . . . . . . . . .
3.5.2 Kysyntäfunktiot . . . . . . . . . . . . . .
3.5.3 Tuotantofunktiot . . . . . . . . . . . . .
3.6 Korkeammista osittaisderivaatoista . . . . . . .
3.7 Implisiittinen derivointi . . . . . . . . . . . . . .
28
28
30
31
32
33
34
34
35
36
37
37
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
4 Integraalilaskenta
4.1 Johdanto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Integraalifunktio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Integrointi osamurtokehitelmän avulla . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Integrointi sijoitusmenetelmää käyttäen . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Määräämätön integraali taloustieteessä . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1 Kustannusfunktiot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.2 Tulofunktiot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.3 Kansantulo, kulutus ja säästäminen . . . . . . . . . . . . .
4.5.4 Pääoman muodostus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Määrätty integraali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.1 Määrätty integraali ja pinta-ala . . . . . . . . . . . . . . .
4.7 Määrätyn integraalin ominaisuuksista . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8 Pinta-alan määritys integraalin avulla . . . . . . . . . . . . . . . .
4.9 Osittaisintegrointi, osamurtokehitelmä ja sijoitus määrätyssä integraalissa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.10 Määrätyn integraalin taloustieteellisiä sovelluksia . . . . . . . . .
4.10.1 Kuluttajan ylijäämä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.10.2 Tuottajan ylijäämä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.10.3 Kokonaisvoitto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
38
38
44
45
47
47
48
49
50
51
51
53
58
5 Kompleksiluvut
69
6 Differentiaaliyhtälöt
6.1 Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö . . . . . . . . . .
6.1.1 Separoituvat differentiaaliyhtälöt . . . . . . . . . . . .
6.1.2 Ensimmäisen kertaluvun lineaarinen differentiaaliyhtälö
6.1.3 Lineaarisen differentiaaliyhtälön erikoistapaus . . . . .
6.1.4 Homogeeniset differentiaaliyhtälöt . . . . . . . . . . . .
6.1.5 Eksaktit differentiaaliyhtälöt . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
71
71
71
72
75
75
76
.
.
.
.
.
.
78
78
78
79
79
79
80
7 Differenssiyhtälöt
7.1 Ensimmäisen kertaluvun differenssiyhtälöt . .
7.1.1 Homogeenisen muodon ratkaiseminen:
7.1.2 Täydellisen muodon ratkaiseminen: . .
7.2 Toisen kertaluvun differenssiyhtälöt . . . . . .
7.2.1 Homogeenisen muodon ratkaiseminen:
7.2.2 Täydellisen muodon ratkaiseminen: . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
61
63
63
64
66
2
1
Derivaatta
1.1
Määritelmä
Olkoon funktio f (x) määritelty välillä ]a, b[ ja x0 ∈]a, b[. Lauseketta
f (x) − f (x0 )
x − x0
sanotaan funktion f (x) erotusosamääräksi kohdassa x0 ja se ilmoittaa funktion
arvon muutoksen suhteessa muuttujan muutokseen eli funktion f muutosnopeuden välillä [x0 , x]. Näin ollen erotusosamäärä kuvaa keskimääräistä muutosnopeutta välillä [x0 , x].
Jos raja-arvo
f (x) − f (x0 )
x→x0
x − x0
on olemassa äärellisenä, sanotaan, että funktio f (x) on derivoituva kohdassa x0 .
lim
Raja-arvo
f (x) − f (x0 )
x→x0
x − x0
on funktion f (x) derivaatta kohdassa x0 . Derivaatta merkitsee funktion f (x)
muutosnopeuden raja-arvoa, kun muuttujan x muutos lähenee nollaa.
f 0 (x0 ) = lim
Derivaatta kuvaa siis funktion hetkellistä muutosnopeutta kohdassa x0 .
Esimerkki 1.1. Määritä funktion f (x) derivaatta pisteessä x0 = 0, kun
a) f (x) = c
b) f (x) = x
c) f (x) = |x|.
Funktio f on derivoituva välillä ]a, b[, jos sen derivaatta on olemassa välin jokaisessa pisteessä. Lisäksi f on derivoituva funktio, jos sillä on derivaatta olemassa
jokaisessa määrittelyjoukkonsa pisteessä.
Derivaattafunktio:
Olkoon f (x) derivoituva välillä ]a, b[ eli
f 0 (x0 ) = lim
x→x0
f (x) − f (x0 )
x − x0
3
on olemassa kaikilla x0 ∈]a, b[. Korvaamalla saadussa derivaatassa f 0 (x0 ) muuttuja x0 muuttujalla x (x0 ∈]a, b[ on mielivaltainen), saadaan funktio f 0 (x), joka
on funktion f derivaattafunktio.
Funktion y = f (x) derivaattaa merkitään:
f 0 (x),
Df (x),
df (x)
,
dx
y0,
dy
.
dx
Esimerkki 1.2. Määrää funktion f (x) = 2x2 + 3x − 1 derivaattafunktio f 0 (x).
Olkoot funktiot f ja g derivoituvia pistessä x. Tällöin myös funktiot f + g, f − g,
cf (c vakio), f · g ja fg (g(x) 6= 0) ovat derivoituvia pisteessä x.
Funktiot, joille esitetään derivoimissäännöt, ovat derivoituvia määrittelyalueessaan ilman eri tutkimista.
1.2
Derivaatan geometrinen tulkinta
Suoraa, joka sivuaa käyrää y = f (x) pisteessä x0 , kutsutaan käyrälle y = f (x)
pisteeseen x0 piirretyksi tangenttisuoraksi.
Erotusosamäärä
f (x) − f (x0 )
x − x0
on pisteiden P = (x0 , f (x0 )) ja Q = (x, f (x)) kautta kulkevan suoran L kulmakerroin. Kun x → x0 , niin piste Q liikkuu pitkin käyrää y = f (x) kohti pistettä
P . Samalla pisteiden P ja Q kautta kulkeva suora L lähenee käyrän y = f (x)
pisteeseen P piirrettyä tangenttisuoraa T .
Vastaavasti pisteiden P ja Q kautta kulkevan suoran L kulmakerroin lähenee
pisteeseen P asetetun tangentin T kulmakerrointa. Siis
f 0 (x0 ) = lim
x→x0
f (x) − f (x0 )
x − x0
on käyrän y = f (x) pisteeseen (x0 , f (x0 )) piirretyn tangentin T kulmakerroin.
4
Koska derivaatta on raja-arvona yksikäsitteinen, niin funktiolla voi olla kohdassa
x0 vain yksi derivaatan arvo f 0 (x0 ). Siten geometrisesti derivaatan olemassaolo
edellyttää, että käyrän pisteeseen (x0 , f (x0 )) voidaan piirtää täsmälleen yksi tangentti. Näin ollen jos funktio on derivoituva välillä ]a, b[, sen kuvaajassa ei saa
olla tällä välillä kulmia (vrt. funktio f (x) = |x|).
5
1.3
Derivoimissääntöjä
D1) Dc = 0, kun c on vakio
D2) Dxn = nxn−1 , kun n ∈ R ja n 6= 0
D3) D(f (x))n = n(f (x))n−1 · f 0 (x), kun n ∈ R ja n 6= 0
D4) D(f (x) ± g(x)) = Df (x) ± Dg(x)
D5) D(cf (x)) = cDf (x)
D6) D(f (x) · g(x)) = f 0 (x) · g(x) + f (x) · g 0 (x)
f (x)
f 0 (x) · g(x) − f (x) · g 0 (x)
D7) D
=
, kun g(x) 6= 0
g(x)
(g(x))2
Esimerkki 1.3.
a) D(4x7 + 5)
d) D
1.4
b) D(2x2 + 5x)
√ e) D x
x2 + 2
2x − 1
c) D[(x2 + 2)(2x + 5)]
Eksponentti- ja logaritmifunktion derivaatta
Eksponenttifunktion derivaatta:
D8) D ex = ex
D9) D ef (x) = ef (x) · f 0 (x)
D10) D ax = ax · ln a
D11) D af (x) = af (x) · ln a · f 0 (x)
Logaritmifunktion derivaatta:
D12) D ln x =
1
x
1
x · ln a
1
f 0 (x)
D14) D ln f (x) =
· f 0 (x) =
f (x)
f (x)
D13) D(loga x) =
D15) D loga f (x) =
1
f 0 (x)
· f 0 (x) =
f (x) · ln a
f (x) · ln a
6
Esimerkki 1.4.
√
a) D ln x + x2 + 2
1.5
b) D 3
√
5
x−1
c) D
√
3
1
x3 + 2
Yhdistetyn funktion derivaatta
Oletetaan, että funktio g(x) on derivoituva kohdassa x0 ja funktio f (x) on derivoituva kohdassa g(x0 ) ja lisäksi Rg ⊂ Df . Tällöin yhdistetty funktio f ◦ g on
derivoituva kohdassa x0 ja
D16) (f ◦ g)0 (x) = [f (g(x))]0 = f 0 (g(x)) · g 0 (x).
Tähän perustuen voidaan johtaa derivoimissäännöt D3, D9, D11, D14 ja D15.
1.6
Käänteisfunktion derivaatta
Olkoon f (x) reaalifunktio, jolla on olemassa käänteisfunktio f −1 . Jos f (x) on
aidosti kasvava (aidosti vähenevä), niin myös f −1 on aidosti kasvava (aidosti vähenevä). Lisäksi, jos f (x) on jatkuva, niin myös f −1 on jatkuva. Samoin, jos f (x)
on derivoituva, niin f −1 on derivoituva.
Käänteisfunktion f −1 derivaattafunktio voidaan määrätä seuraavasti ilman käänteisfunktion määräämistä:
f −1 (y) = x
f (f −1 (y)) = f (x)
⇒
−1
⇒
f (f
⇒
f 0 (f −1 (y)) · (f −1 )0 (y) = 1
Siis
D17) (f −1 )0 (y) =
(y)) = y
(f −1 )0 (y) =
⇒
1
f 0 (x)
d
dy
0 −1
: f (f (y))
1
f 0 (f −1 (y))
,
missä x = f −1 (y) eli f (x) = y ja f 0 (x) 6= 0.
√
Esimerkki 1.5. Määrää funktion f (x) = 2x + 1 käänteisfunktion derivaatta
pisteessä y = 2.
7
1.7
Jatkuvuus ja derivoituvuus
Lause 1.1. Jos funktio f (x) on derivoituva kohdassa x0 , niin f (x) on myös
jatkuva kohdassa x0 .
Perustelu: Mikäli funktio f (x) ei olisi jatkuva kohdassa x0 eli lim f (x) 6= f (x0 ),
x→x0
niin erotusosamäärän
f (x) − f (x0 )
x − x0
raja-arvoa ei olisi olemassa kohdassa x0 . Tällöin funktio f (x) ei olisi myöskään
derivoituva kohdassa x0 .
Lause 1.2. Oletetaan, että funktio f (x) on jatkuva kohdassa x0 ja derivoituva
kohdan x0 ympäristössä. Jos lim f 0 (x) on olemassa eli lim− f 0 (x) = lim+ f 0 (x),
x→x0
x→x0
x→x0
niin f (x) on derivoituva kohdassa x0
Huomautus. Jos funktio f (x) on jatkuva kohdassa x0 , niin f (x) ei välttämättä ole derivoituva kohdassa x0 . Jos f (x) ei ole jatkuva kohdassa x0 , ei se ole
derivoituvakaan kohdassa x0 .
Funktion f (x) derivoituvuuden tutkiminen kohdassa x0 :
1. Onko f (x) jatkuva kohdassa x0 ?
2. Onko lim f 0 (x) olemassa?
x→x0
Esimerkki 1.6. Tutki funktion f (x) jatkuvuutta ja derivoituvuutta, kun
(
x,
x≥0
f (x) = |x| =
−x, x < 0
8
1.8
Logaritminen derivointi
Kun derivoitava funktio on muotoa h(x)g(x) , missä h(x) ja g(x) eivät ole vakiofunktioita, voidaan käyttää logaritmista derivointia.
Koska
D ln f (x) =
1
· Df (x),
f (x)
niin
Df (x) = f (x) · D ln f (x).
Näin ollen jos f (x) = h(x)g(x) , niin
D(h(x)g(x) ) = h(x)g(x) · D ln h(x)g(x) = h(x)g(x) · D(g(x) ln h(x)).
Esimerkki 1.7. Derivoi funktio xx .
1.9
Korkeammat derivaatat
Olkoon f : X → Y derivoituva funktio. Tällöin funktion f (x) derivaattafunktio
on f 0 (x). Jos f 0 (x) on edelleen derivoituva, sen derivaattaa (f 0 )0 (x) sanotaan
funktion f (x) toiseksi derivaataksi ja merkitään f 00 (x). Siten
f 00 (x) = lim
x→x0
f 0 (x) − f 0 (x0 )
.
x − x0
Käytetään myös merkintöjä y 00 , D2 f (x),
d2 f (x)
d2 y
ja
.
dx2
dx2
Esimerkki 1.8. Olkoon f (x) = 2ex + ln x2 . Määrää f 00 (1).
2
Funktion f (x) n. derivaatta saadaan samoin derivoimalla funktio f (x) n kertaa.
Sitä merkitään f (n) (x). Siis
f (1) (x) = f 0 (x),
f (2) (x) = f 00 (x),
f (3) (x) = f 000 (x) jne.
Pilkkumerkintää käytetään yleensä, kun n ≤ 2. Lisäksi sovitaan, että
f (0) (x) = f (x). Muut merkintätavat vastaavasti kuin f 00 (x):llä.
Esimerkki 1.9. Olkoon f (x) = xm , m ∈ Z+ . Määrää f (k) (x) kaikilla k ∈ Z+
9
1.10 L’Hospitalin sääntö
f (x)
.
x→a g(x)
Tarkastellaan raja-arvoa lim
Olkoon
tai
lim f (x) = 0
ja
lim f (x) = ±∞
ja
x→a
x→a
lim g(x) = 0
x→a
lim g(x) = ±∞.
x→a
0
f (x)
∞
f (x)
=
tai lim
= ± , jotka eivät ole määriteltyjä.
x→a g(x)
x→a g(x)
0
∞
Tällöin lim
f 0 (x)
= A on olemassa, niin
x→a g 0 (x)
Jos nyt lim
f (x)
f 0 (x)
= lim 0
= A.
x→a g(x)
x→a g (x)
lim
Esimerkki 1.10.
x3 − 27
a) lim 2
x→3 x − 9
x
1
b) lim 1 +
x→∞
x
1.11 Implisiittinen derivointi
Edellä on käsitelty muodossa y = f (x) annetun funktion derivointia. Joskus
funktio y = y(x) voidaan kuitenkin esittää ns. implisiittimuodossa F (x, y) = 0
eli muodossa, jossa y ei ole muuttujan x suhteen ratkaistuna. On mahdollista, että
muuttujaa y ei edes kyetä ratkaisemaan muuttujan x funktiona, mutta kuitenkin
dy
y riippuu muuttujasta x. Derivaatta dx
voidaan silti usein määrätä implisiittinen
derivoinnin avulla. Edellytyksenä on, että y on muuttujan x suhteen derivoituva.
dy
Tällöin derivaatta dx
sisältää yleensä sekä muuttujaa x että funktion arvon y.
Implisiittisessä derivoinnissa lauseke F (x, y) = 0 derivoidaan puolittain muuttujan x suhteen ja muuttujaa y käsitellään muuttujan x funktiona. Saadusta
dy
lausekkeesta ratkaistaan dx
tai y 0 .
dy
Esimerkki 1.11. Määrää dx
eli tutki y:n muutosnopeutta x:n suhteen pisteessä
9
3
3
x = 1, kun x + y − 2 xy = 0 ja y = f (x).
Esimerkki 1.12. Määrää
dy
d2 y
ja 2 , kun ey − xex = 0 ja y = f (x).
dx
dx
10
1.12 Differentiaali
Olkoon f (x) derivoituva funktio kohdassa x0 . Asetetaan
u(x) =
f (x) − f (x0 )
− f 0 (x0 ),
x − x0
kun x ∈ Df ja x 6= x0 .
(1)
Tällöin
lim u(x) = lim
x→x0
x→x0
f (x) − f (x0 )
0
− f (x0 ) = f 0 (x0 ) − f 0 (x0 ) = 0.
x − x0
Kun kerrotaan yhtälö (1) puolittain lausekkeella x − x0 , saadaan funktion f (x)
differentiaalikehitelmä.
Differentiaalikehitelmä:
∆f (x) = f (x) − f (x0 ) = f 0 (x0 )(x − x0 ) + u(x)(x − x0 ),
(2)
missä, u(x) → 0, kun x → x0 .
Kun merkitään ∆x = x − x0 ja ∆y = f (x) − f (x0 ), saadaan yhtälö (2) muotoon
∆y = ∆f (x) = f 0 (x0 )∆x + u(x)∆x,
(3)
missä u(x) → 0, kun ∆x → 0.
Differentiaalikehitelmä (3) kuvaa muuttujan x muutosta ∆x vastaavaa todellista
funktion f arvon muutosta ∆f .
Nyt termi f 0 (x0 )∆x on funktion y = f (x) muuttujan lisäystä ∆x vastaava differentiaali kohdassa x0 ja sitä merkitään
dy = df (x0 ) = f 0 (x0 )∆x.
(4)
Koska u(x) → 0, kun ∆x → 0, niin differentiaali df arvioi hyvin funktion f (x)
arvon muutosta ∆f (= f (x) − f (x0 )) kohdan x0 läheisyydessä.
11
Geometrisesti funktion arvon todellisen muutoksen ∆f (x) korvaamista differentiaalilla df (x) vastaa käyrän y = f (x) korvaaminen sen pisteeseen (x0 , f (x0 ))
piirretyllä tangentilla.
Huomautus. Mitä voimakkaammin funktio y = f (x) muuttuu kohdan x0 ympäristössä, sitä huonommin differentiaali df kuvaa funktion todellista muutosta
∆f .
Jos f (x) = x, niin f 0 (x) = 1 aina, kun x ∈ R. Täten dx = df = f 0 (x)·∆x = 1·∆x
eli dx = ∆x. Näin saadaan differentiaalille lauseke
dy = df (x) = f 0 (x)dx.
(5)
1
Esimerkki 1.13. Mikä on funktion f (x) = x2 muuttujan lisäystä 10
vastaava
differentiaali df kohdassa x0 = 2. Mikä on tällöin ∆f ?
√
Esimerkki 1.14. Olkoon kulutusfunktio C(x) = 5 + 0.6x + 0.2 x, missä x on
kokonaistulo. Jos x = 25 ja muuttujan x maksimaalinen virhemahdollisuus 0.3,
niin arvioi kulutuksen maksimaalista ja suhteellista virhettä.
Ratkaisu: Kulutuksen maksimaalista virhettä voidaan arvioida kulutusfunktion
0.1
C(x) differentiaalilla dC = C 0 (x)dx = (0.6 + √
)dx. Kun x = 25 ja dx = 0.3,
x
saadaan kulutuksen maksimaaliseksi virheeksi
0.1
dC = (0.6 + √ ) · 0.3 = 0.62 · 0.3 = 0.186.
25
12
Suhteellinen virhe on tällöin
dC
0.186
0.186
0.186
√ =
=
=
= 0.008857 ≈ 0, 9%.
C(25)
5 + 15 + 1
21
5 + 0.6 · 25 + 0.2 · 25
1.13 Differentiaalilaskennan väliarvolause
Tarkastellaan aluksi seuraavaa kuviota:
Pisteiden A = (a, f (a)) ja B = (b, f (b)) kautta kulkevan suoran kulmakerroin on
f (b) − f (a)
.
b−a
Kuvion mukaan käyrällä y = f (x) on olemassa piste C, johon asetettu tangenttisuora on pisteiden A ja B kautta kulkevan suoran suuntainen.
Tangentin kulmakerroin pisteessä C on f 0 (c). Siten
f 0 (c) =
f (b) − f (a)
.
b−a
13
Lause 1.3 (Differentiaalilaskennan väliarvolause). Olkoon funktio f jatkuva välillä [a, b] ja derivoituva välillä ]a, b[. Silloin on olemassa ainakin yksi sellainen
piste c ∈]a, b[, että
f (b) − f (a)
f 0 (c) =
.
b−a
Esimerkki 1.15. Olkoon f (x) = x3 − 1. Määrää c ∈] − 2, 2[ se.
f 0 (c) =
f (2) − f (−2)
.
2 − (−2)
Seuraus 1.4. Olkoon y = f (x) derivoituva funktio ja olkoot x1 ja x2 (x1 <
x2 ) funktion f nollakohtia. Tällöin väliarvolauseen nojalla on olemassa sellainen
x0 ∈]x1 , x2 [, jolle
f 0 (x0 ) =
0−0
f (x2 ) − f (x1 )
=
= 0.
x2 − x1
x2 − x1
Siis jatkuvan ja derivoituvan funktion f (x) kahden nollakohdan välillä on funktion
derivaatalla nollakohta.
1.14 Taylorin sarjakehitelmä
Olkoon n ∈ Z+ . Lukua n! = 1 · 2 · 3 · . . . · n sanotaan n-kertomaksi. Lisäksi
asetetaan, että 0! = 1.
Olkoon f (k) (a) funktion f (x) k. derivaatta kohdassa x = a.
Lause 1.5 (Taylorin lause). Oletetaan, että funktiolla f (x) on kaikkien kertalukujen derivaatat määrittelyjoukossaan ja a ∈ Df . Tällöin
f (x) =
∞
X
f (k) (a)
k=0
k!
(x − a)k
f 00 (a)
f (3) (a)
(x − a)2 +
(x − a)3 + . . .
2!
3!
f 00 (a)
f (n−1) (a)
= f (a) + f 0 (a)(x − a) +
(x − a)2 + . . . +
(x − a)n−1
2!
(n − 1)!
= f (a) + f 0 (a)(x − a) +
+ Rn (x), missä Rn (x) → 0, kun n → ∞.
Yo. sarjaa kutsutaan funktion f (x) Taylorin sarjakehitelmäksi kohdassa x = a.
14
Kun funktion f (x) Taylorin sarjakehitelmä katkaistaan sopivan termin kohdalta,
saadaan polynomi, joka approksimoi funktiota f (x).
Huomautus.
Rn (x) =
∞
X
f (k) (a)
k=n
Esimerkki 1.16. Laske funktion
k = 4.
x2
x+1
k!
(x − a)k
Taylorin sarjakehitelmä tarkkuudella
Ratkaisu: Valitaan a = 14 . Tällöin
x2
f (x) =
x+1
f 0 (x) =
f 00 (x) =
=
f (3) (x) =
f (4) (x) =
2x(x + 1) − x2
x2 + 2x
=
(x + 1)2
(x + 1)2
(2x + 2)(x + 1)2 − (x2 + 2x)2(x + 1)
(x + 1)4
2x + 2
2(x + 1)
2
=
=
4
4
(x + 1)
(x + 1)
(x + 1)3
−6
−2 · 3(x + 1)2
=
6
(x + 1)
(x + 1)4
(−6) · (−4) · (x + 1)3
24
=
8
(x + 1)
(x + 1)5
1
1
1
f
= 16
5 =
4
20
41
+1
9
1
f0
= 16 5 2 2 =
4
25
(4)
128
1
2
f
= 5 3 =
4
125
( )
4
1
1536
−6
f (3)
= 5 4 =−
4
625
(4)
24576
24
1
f (4)
= 5 5 =
4
3125
(4)
00
···
f
(n)
(−1)n · n!
(x) =
(x + 1)n+1
f
(n)
1
(−1)n · n!
=
4
( 54 )n+1
Siten
2
x2
1
9
1
128
1
x−
+
≈
+
· x−
x+1
20 25 · 1!
4
125 · 2!
4
3
4
1536
1
24576
1
−
· x−
+
· x−
625 · 3!
4
3125 · 4!
4
15
1.15 Ensimmäisen derivaatan taloustieteellisiä sovellutuksia
Keskimääräinenmuutos(-nopeus) ilmaisee funktion y = f (x) muutoksen suhteessa muuttujan x muutokseen, kun x muuttuu jonkin välin verran.
Rajamuutos merkitsee funktion y = f (x) muutosnopeuden raja-arvoa, kun muuttujan x muutos lähenee nollaa eli rajamuutos on funktion f (x) muutosnopeus
jollain hetkellä ts. funktion f (x) derivaatta f 0 (x).
1.15.1 Kustannusfunktio
Oletetaan, että tavaramäärän x tuottamisesta ja markkinoinnista aiheutuvat kokonaiskustannukset C(x) voidaan ilmaista funktiona C = C(x). Tällöin keskimääräiset yksikkökustannukset AC(x) (ts. kustannukset/tuote) ovat
AC(x) =
C(x)
.
x
Rajakustannusfunktio M C(x) on kokonaiskustannusfunktion C(x) derivaatta
C 0 (x) ja se ilmaisee kokonaiskustannusten hetkellisen muutosnopeuden suhteessa
tuotantomäärän x muutokseen. Keskimääräiset kustannukset ja rajakustannukset riippuvat yleensä aina tuotannon tasosta jolla ollaan.
Keskimääräiset kustannukset ovat minimissään, kun funktion AC(x) derivaatta
on nolla (ks. ääriarvot). Tällöin
C(x)
C 0 (x) · x − C(x)
0
(AC) (x) = D
=0
=
x
x2
⇔
⇔
⇔
⇔
C 0 (x) · x − C(x) = 0
C 0 (x) · x = C(x)
|:x
C(x)
C 0 (x) =
x
M C(x) = AC(x).
Keskimääräiset kustannukset AC(x) ovat siis minimissään, kun ne ovat yhtäsuuret kuin rajakustannukset M C(x).
Esimerkki 1.17. Olkoot kokonaiskustannukset C(x) = 2x2 + 3x + 1, missä x on
tuotannon määrä yksikkönä miljoonaa kappaletta. Määrää keskimääräiset kustannukset ja rajakustannukset. Milloin keskimääräiset kustannukset ovat minimissään?
16
Ratkaisu: Nyt
AC(x) =
C(x)
2x2 + 3x + 1
1
=
= 2x + 3 +
x
x
x
ja
M C(x) = C 0 (x) = 4x + 3.
Keskimääräiset kustannukset ovat minimissään, kun AC(x) = M C(x) eli
1
· x 6= 0
2x + 3 + = 4x + 3
x
⇔
⇔
⇔
2x2 + 3x + 1 = 4x2 + 3x
2x2 = 1
1
x = ± √ ≈ ±0, 707.
2
Koska x > 0, ratkaisu on x = √12 ≈ 0, 707. Siispä keskimääräiset kustannukset
ovat minimissään, kun tuotannon määrä on 707 000 kappaletta.
1.15.2 Tulofunktio
Olkoon kysyntäfunktio y = f (x), missä y on tavaran yksikköhinta ja x on kysynnän suuruus (tavaramäärä).
Kokonaistulo R(x) on tällöin R(x) = xy = x · f (x).
Rajatulo on
dR(x)
= R0 (x),
dx
joka on siis kokonaistulon muutosnopeus kysynnänmäärän x suhteen.
M R(x) =
Huomautus. Keskimääräinen tulo
kysyntäfunktio.
R(x)
x
= f (x), joten se on sama funktio kuin
Funktion R(x) arvo on aina positiivinen, sillä x ja f (x) = y ovat positiivisia.
Rajatulo M R(x) voi olla myös negatiivinen, sillä kokonaistulo voi sekä lisääntyä
että vähentyä kysynnän kasvaessa.
Kokonaistulofunktio on suurimmillaan kohdassa, jossa rajatulofunktio saa arvon
0 (ks. ääriarvot).
17
Esimerkki 1.18. Olkoon kysyntäfunktio y = −x + 3 , missä y on yksikköhinta
ja x on kysynnän määrä. Määrää kokonaistulo, rajatulo ja keskimääräinen tulo.
Milloin kokonaistulo on suurimmillaan?
Ratkaisu: Nyt kokonaistulo on
R(x) = x · y = x(−x + 3) = −x2 + 3x,
rajatulo
M R(x) = R0 (x) = −2x + 3
ja keskimääräinen tulo
R(x)
= y = −x + 3.
x
Kokonaistulo on suurimmillaan, kun M R(x) = −2x + 3 = 0 eli x = 32 .
1.15.3 Jousto
Funktion y = f (x) jousto Ef (x) kohdassa x on
Ef (x) =
∆f (x)
f (x)
∆x
x
=
x
∆f (x)
x
·
=
· f 0 (x)
f (x)
∆x
f (x)
Jousto on funktion f (x) suhteellisen muutoksen muutosnopeus muuttujan x suhteellisen muutoksen suhteen. Jousto mittaa, kuinka herkästi funkto f (x) reagoi
muuttujan x muutoksiin. Jousto kertoo, kuinka monta prosenttia funktion arvo
muuttuu, kun muuttujan arvo muuttuu yhden prosentin verran. Funktion arvo
muuttuu suhteessa hitaammin, kun |Ef (x)| < 1. Joustoa käytetään tutkittaessa
kysyntää, tarjontaa, kustannuksia ja tuottavuutta.
18
Huomautus. Joustolla ei ole yksikköä!
Esimerkki 1.19. Tarkastellaan kustannusfunktiota C(x) = 2x2 + 3x + 1. Laske
funktion C(x) jousto EC(x).
Ratkaisu: Nyt
EC(x) =
x
x
4x2 + 3x
· C 0 (x) = 2
· (4x + 3) = 2
.
C(x)
2x + 3x + 1
2x + 3x + 1
1.15.4 Kansantulo, kulutus ja säästäminen
Kulutusfunktio C(x) ilmaisee käytettävissä olevan (kokonais)kansantulon x ja
kansallisen (kokonais)kulutuksen välisen suhteen.
Yksinkertaisissa malleissa kulutusfunktion C(x) oletetaan kasvavan, kun kansantulo kasvaa, ja vähenevän , kun kansantulo vähenee, kuitenkin siten, että kansantulon muuttuessa kulutus ei muutu yhtä paljon.
Rajakulutusalttius tarkoittaa kulutusfunktion muutosnopeutta, kun kansantulo
muuttuu. Rajakulutusalttius on suurempi kuin nolla, mutta pienempi kuin yksi.
Olkoon kulutusfunktio C = C(x), missä C(x) on kansallinen kulutus, x on kansantulo sekä C ja x samaa yksikköä.
Rajakulutusalttius on
dC(x)
= C 0 (x).
dx
Yksinkertaisissa malleissa käytettävissä oleva tulo = kulutus + säästäminen.
Siis
x = C(x) + S(x),
missä S(x) on säästöt, kun kansantulo on x.
Siten säästämisfunktio
S(x) = x − C(x)
ja rajasäästämisalttius
S 0 (x) =
dS(x)
dC(x)
= 1 − C 0 (x) = 1 −
.
dx
dx
19
Kansantuloanalyysissä investoinnit käsitetään pääoman muodostukseksi, eli
I = I(x) = S(x) = x − C(x),
ja ne edustavat lisäystä reaalipääomaan.
Investoinnin ja kulutuksen oletetaan olevan suhteessa toisiinsa siten, että tietty
(rahamääräinen) lisäys investointeihin voi tuottaa rahamäärältään moninkertaisen lisäyksen kansantuloon. Täsmällinen ilmaisu tälle riippuvuudelle annetaan
kertoimen k avulla. Tämä kerroin kuvaa suurimman mahdollisen tulonlisäyksen
suhdetta sen aiheuttaneeseen investointilisäykseen. Merkitään
k · ∆I = ∆x.
Siis
k=
∆x
1
dx
1
1
1
=
=
=
=
=
dI
d(x − C(x))
∆I
dI
1 − C 0 (x)
S 0 (x)
dx
dx
√
Esimerkki 1.20. Olkoon kulutusfunktio C(x) = 10 + 0, 8x + 0, 5 x, missä x on
ja dS
sekä kerroin k.
kansantulo. Määrää S(x), dC
dx
dx
Ratkaisu: Nyt säästämisfunktio on
√
√
S(x) = x − C(x) = x − (10 + 0, 8x + 0, 5 x) = −10 + 0, 2x − 0, 5 x,
rajakulutusalttius
dC
1
0, 25
= C 0 (x) = 0, 8 + 0, 5 · √ = 0, 8 + √ ,
dx
2 x
x
rajasäästämisalttius
dS
0.25
0, 25
= S 0 (x) = 1 − C 0 (x) = 1 − (0, 8 + √ ) = 0, 2 − √
dx
x
x
ja kerroin k
k=
1
S 0 (x)
=
1
0, 2 −
.
0,25
√
x
20
2
Trigonometriset funktiot
Huomautus. Asteiden sijasta käytetään yleensä radiaaneja:
360o = 2π (rad)
2π
1o =
(rad)
360
αo =
α
· 2π (rad),
360
eli π = 180o ,
180o = π (rad)
360o
1 (rad) =
2π
π
= 90o ,
2
2π = 360o jne.
Yksikköympyrä:
Kulman α = ∠AOB suuruus radiaaneissa on kulmaa vastaavan yksikköympyrän
kaaren AB pituus. Kulma lasketaan positiiviseksi x-akselista vastapäivään eli positiiviseen kiertosuuntaan ja negatiiviseksi myötäpäivään eli negatiiviseen kiertosuuntaan. Yksikköympyrässä ei tarvitse rajoittaa kulman α suuruutta, vaan se
voi olla mikä tahansa reaaliluku, myös negatiivinen.
Olkoon piste (x, y) kulmaa α vastaava yksikköympyrän kehäpiste. Tällöin trigonometriset funktiot määritellään seuraavasti:
21
Trigonometriset funktiot
sin α = y
(−1 ≤ sin α ≤ 1),
cos α = x (−1 ≤ cos α ≤ 1),
tan α =
sin α
y
=
,
x
cos α
cot α =
x
cos α
1
=
=
,
y
sin α
tan α
α 6=
π
+ nπ, missä n ∈ Z,
2
α 6= nπ, missä n ∈ Z.
Siten
cos 0 =
3π
=
2
sin 0 =
cos
sin
3π
=
2
, cos
π
=
2
, cos 2π =
π
, sin =
2
, cos π =
,
, sin π =
,
, sin 2π =
22
Suorakulmainen kolmio:
a
b
b
sin α = , cos α = , tan α = ,
c
c
a
b
a
α = sin−1 = cos−1
c
c
a2 + b2 = c2 (Pythagoraan lause)
Muistikolmiot:
Huomautus. Trigonometristen funktioiden potensseille käytetään merkintöjä:
(sin x)n = sinn x,
(cos x)n = cosn x,
(tan x)n = tann x.
23
Kaavoja:
sin2 x + cos2 x = 1 (Pythagoraan lauseesta)
(
sin (π − x) = sin x
cos (π − x) = − cos x
(
sin ( π2 − x) = cos x
cos ( π2 − x) = sin x
(
cos x = cos (x + n · 2π), n ∈ Z
sin x = sin (x + n · 2π), n ∈ Z
(
cos (−x) = cos x
sin (−x) = − sin x
sin (x ± y) = sin x · cos y ± cos x · sin y
cos (x ± y) = cos x · cos y ∓ sin x · sin y
sin 2x = 2 · sin x · cos x
cos 2x = cos2 x − sin2 x = 1 − 2 sin2 x = 2 cos2 x − 1
sin x
=1
lim
x→0 x
24
Trigonometristen funktioiden kuvaajat:
Kuvaajista nähdään, että
•
•
•
•
sin x on bijektio [− π2 , π2 ] → [−1, 1],
cos x on bijektio [0, π] → [−1, 1],
tan x on bijektio [− π2 , π2 ] → R,
cot x on bijektio [0, π] → R.
Trigonometristen funktioiden käänteisfunktiot:
π π
arcsin : [−1, 1] → [− , ],
y = sin x
2 2
arccos : [−1, 1] → [0, π],
y = cos x
π π
arctan : R → [− , ],
y = tan x
2 2
arccot : R → [0, π],
y = cot x
Esimerkki 2.1. Määritä arctan 1 ja arcsin
⇔
x = arcsin y = sin−1 y
⇔
x = arccos y = cos−1 y,
⇔
x = arctan y = tan−1 y
⇔
x = arccot y = cot−1 y
√
3
.
2
Koska tan π4 = √1, niin arctan 1√= π4 .
Koska sin π3 = 23 , niin arcsin 23 = π3 .
Esimerkki 2.2. Ratkaise yhtälö sin 2x = cos x.
25
Derivoimiskaavat:
D sin x = cos x
D sin f (x) = cos f (x) · f 0 (x)
D cos x = − sin x
D cos f (x) = − sin f (x) · f 0 (x)
1
= 1 + tan2 x
2
cos x
1
· f 0 (x) = [1 + tan2 f (x)] · f 0 (x)
D tan f (x) =
cos2 f (x)
D tan x =
−1
= −(1 + cot2 x)
sin2 x
−1
D cot f (x) =
· f 0 (x) = −[1 + cot2 f (x)] · f 0 (x)
2
sin f (x)
D cot x =
1
, x 6= ±1
1 − x2
1
D arcsin f (x) = p
· f 0 (x) ,
1 − f (x)2
D arcsin x = √
1
, x 6= ±1
1 − x2
1
D arccos f (x) = − p
· f 0 (x) ,
2
1 − f (x)
f (x) 6= ±1
D arccos x = − √
D arctan x =
1
1 + x2
D arctan f (x) =
Darccot x =
f (x) 6= ±1
1
· f 0 (x)
1 + f (x)2
−1
1 + x2
Darccot f (x) =
−1
· f 0 (x)
1 + f (x)2
26
Esimerkki 2.3. Määrää seuraavat derivaatat
a)
b)
c)
d)
e)
D sin (2x2 )
D arctan (2x2 )
D arcsin (2x2 )
D tan (x2 )
D tan2 x
27
3
Usean muuttujan funktiot
3.1
Yleistä
Joukko Rn , missä n ∈ N, määritellään seuraavasti:
R1 = R,
R2 = {(x1 , x2 ) | x1 , x2 ∈ R}, . . . ,
Rn = {(x1 , . . . , xn ) | x1 , . . . , xn ∈ R}, kun n ≥ 2.
Siis esimerkiksi
R2 = {(x, y) | x, y ∈ R} ja
R3 = {(x, y, z) | x, y, z ∈ R}
R4 = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) | x1 , x2 , x3 , x4 ∈ R}.
Olkoon Df ⊂ Rn ja f : Df → R funktio. Funktio f on n muuttujan reaaliarvoinen
funktio. Merkintä y = f (x1 , . . . , xn ) tarkoittaa, että y on funktion f arvo pisteessä
(x1 , . . . , xn ) ∈ Df .
Esimerkki 3.1.
a) z = f (x, y) = x2 + y 2
b) f (x, y, z) = x + y − z
Kahden muuttujan reaaliarvoista funktiota f : Df → R, Df ⊂ R2 , voidaan
havainnollistaa pinnan z = f (x, y) avulla xyz–koordinaatistossa. Tämä pinta on
funktion f kuvaaja.
Esimerkki 3.2. Olkoon f : X → R funktio, missä määrittelyjoukko
X = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 ≤ 1},
ja f (x, y) = 3 kaikilla (x, y) ∈ X. Tällöin määrittelyehto x2 + y 2 ≤ 1 antaa 1–
säteisen ympyrän sisältämän alueen. Koska f (x, y) = 3 kaikilla (x, y) ∈ X, niin
funktion kuvaaja xyz-koordinaatistossa on xy-tason suuntainen ympyrä, jonka
säde on 1 ja keskipiste (0, 0, 3).
28
Huomautus. Joskus funktion y = f (x1 , . . . , xn ) kukin muuttuja xi saa arvoja
jollakin välillä Ii .
Esimerkki 3.3.
f (x, y, z) = x2 − 2y + z,
0 ≤ x ≤ 1, 1 ≤ y < 2, 0 ≤ z < 3.
Siis Df = {(x, y, z) ∈ R3 | x ∈ [0, 1], y ∈ [1, 2[, z ∈ [0, 3[}.
Jos funktion määrittelyjoukkoa ei ole annettu, määrittelyjoukoksi ajatellaan kaikki ne pisteet, joissa funktion arvo voidaan määritellä.
Raja-arvo
Funktion f : Rn → R raja-arvolla pisteessä (a1 , a2 , . . . , an ) tarkoitetaan sitä lukua
b, jota funktion f arvot f (x1 , x2 , . . . , xn ) lähestyvät, kun piste (x1 , x2 , . . . , xn )
lähestyy pistettä (a1 , a2 , . . . , an ). Tällöin merkitään
lim
(x1 ,...,xn )→(a1 ,...,an )
f (x1 , . . . , xn ) = b,
mikäli tämä raja-arvo on olemassa.
Raja-arvo voi olla myös ∞, mikä tarkoittaa sitä, että funktion f arvot kasvavat rajatta, kun piste (x1 , x2 , . . . , xn ) lähestyy pistettä (a1 , a2 , . . . , an ). Vastaavasti rajaarvo on −∞, jos funktion f arvot pienenevät rajatta, kun piste (x1 , x2 , . . . , xn )
29
lähestyy pistettä (a1 , a2 , . . . , an ). Tällöin käytetään merkintöjä
lim
(x1 ,...,xn )→(a1 ,...,an )
f (x1 , . . . , xn ) = ∞ ja
lim
(x1 ,...,xn )→(a1 ,...,an )
f (x1 , . . . , xn ) = −∞.
Raja-arvossa lähestyttävä piste (a1 , a2 , . . . , an ) on yleensä sellainen, että funktion
f arvoa ei voida määrittää pisteessä (a1 , a2 , . . . , an ). On myös mahdollista, että
jotkin muuttujista xi lähestyvät ääretöntä tai miinus ääretöntä.
Jatkuvuus
Funktio f (x1 , . . . , xn ) on jatkuva pisteessä (a1 , . . . , an ), jos
lim
(x1 ,...,xn )→(a1 ,...,an )
f (x1 , . . . , xn ) = f (a1 , . . . , an ).
Kaksiulotteisessa tapauksessa funktion f (x, y) jatkuvuus pisteessä (a, b) merkitsee geometrisesti sitä, että pinta z = f (x, y) on jatkuva eikä sisällä hyppäystä
pisteessä (a, b).
Esimerkki 3.4.
a) Määrää
y
(x,y)→(0,1) x2
lim
b) Onko funktio f (x, y) = x2 + y 2 jatkuva pisteessä (1, 1)?
c) Onko funktio f (x, y) = |x| + y 2 jatkuva?
3.2
Osittaisderivaatat
Olkoon y = f (x1 , . . . , xn ) n muuttujan funktio. Tutkitaan funktion f derivaattaa
muuttujan xi suhteen pisteessä (a1 , a2 , . . . , an ). Asettamalla
x1 = a1 , x2 = a2 , . . . , xi−1 = ai−1 , xi+1 = ai+1 , . . . , xn = an
saadaan yhden muuttujan xi funktio y = f (a1 , a2 , . . . , ai−1 , xi , ai+1 , . . . , an ). Jos
tämä funktio f (a1 , a2 , . . . , ai−1 , xi , ai+1 , . . . , an ) on derivoituva kohdassa xi = ai ,
eli raja-arvo
lim
xi →ai
f (a1 , a2 , . . . , ai−1 , xi , ai+1 , . . . , an ) − f (a1 , a2 , . . . , ai−1 , ai , ai+1 , . . . , an )
x i − ai
30
on olemassa ja äärellinen, niin sitä sanotaan funktion y = f (x1 , . . . , xn ) osittaisderivaataksi muuttujan xi suhteen pisteessä (a1 , . . . , an ).
Tällöin merkitään
∂f
f (a1 , . . . , xi , . . . , an ) − f (a1 , . . . , ai , . . . , an )
(a1 , . . . , an ) = lim
.
xi →ai
∂xi
x i − ai
Joskus käytetään myös merkintää f1 (a1 , . . . , an ).
Huomautus. Funktion osittaisderivaatta muuttujan xi suhteen kuvaa funktion
hetkellistä muutosnopeutta muuttujan xi suhteen.
Esimerkki 3.5. Määrää funktion f (x, y) = x2 + xy + 1 osittaisderivaatat muuttujien x ja y suhteen pisteessä (1, 3).
Osittaisderivaattafunktio:
Olkoon f (x1 , . . . , xn ) derivoituva muuttujan xi suhteen mielivaltaisessa pisteessä
∂f
(a1 , . . . , an ) on olemassa. Korvaamalla saadussa derivaatassa
(a1 , . . . , an ) eli ∂x
i
∂f
(a1 , . . . , an ) mielivaltainen piste (a1 , . . . , an ) muuttujalla (x1 , . . . , xn ) saadaan
∂xi
∂f
funktio ∂x
(x1 , . . . , xn ), joka on funktion f osittaisderivaattafunktio muuttujan
i
xi suhteen.
Funktion f (x1 , . . . , xn ) osittaisderivaattafunktiota muuttujan xi suhteen merkitään:
∂f
, fxi , fi .
∂xi
3.2.1 Osittaisderivaattojen määrääminen
Jos funktion y = f (x1 , . . . , xn ) osittaisderivaatta muuttujan xi suhteen on olemassa funktion määrittelyjoukon jokaisessa pisteessä, funktion kyseinen osittaisderivaattafunktio saadaan derivoimalla funktiota y = f (x1 , . . . , xn ) muuttujan xi
suhteen ja pitämällä muut muuttujat vakiona.
Huomautus. Funktiot, joille on annettu derivoimissäännöt, ovat derivoituvia määrittelyjoukossaan Df . Jos funktio ei ole jatkuva, ei se ole derivoituvakaan.
31
Lause 3.1. Olkoon funktio f jatkuva pisteessä (a1 , . . . , an ). Tällöin funktio f
∂f
on derivoituva muuttujan xi suhteen pisteessä (a1 , . . . , an ) eli ∂x
(a1 , . . . , an ) on
i
olemassa, jos
∂f
lim
(x1 , x2 , . . . , xn )
(x1 ,...,xn )→(a1 ,...,an ) ∂xi
on olemassa.
Esimerkki 3.6. Onko funktio f (x, y) = |x| + y 2 derivoituva?
Funktion y = f (x1 , . . . , xn ) osittaisderivaatta muuttujan xi suhteen pisteessä
∂f
(a1 , . . . , an ) saadaan sijoittamalla funktion f osittaisderivaattafunktioon ∂x
i
piste (a1 , . . . , an ).
Esimerkki 3.7. Määrää funtion f (x, y, z) = xex+y + z 2 x + xyz osittaisderivaattafunktiot muuttujien x, y ja z suhteen. Laske näiden arvo pisteessä (1, 0, 2).
3.3
Kokonaisdifferentiaali
Olkoon funktion z = f (x, y) osittaisderivaatat
Df .
∂f
∂x
ja
∂f
∂y
jatkuvia ja olkoon (a, b) ∈
Tällöin
∆f = f (x, y) − f (a, b)
(6)
∂f
∂f
=
(a, b) · (x − a) +
(a, b) · (y − b) + u1 (x, y)(x − a) + u2 (x, y)(y − b),
∂x
∂y
missä u1 → 0 ja u2 → 0, kun x → a ja y → b.
Tämä on funktion f differentiaalikehitelmä.
Funktion f (x, y) differentiaali kohdassa (a, b) on
dz = df (a, b) =
∂f
∂f
(a, b) · dx +
(a, b) · dy,
∂x
∂y
missä dx = ∆x ja dy = ∆y.
Differentiaali dz = df (a, b) arvioi funktion z = f (x, y) todellista muutosta
∆z = ∆f = f (x, y) − f (a, b) hyvin pisteen (a, b) läheisyydessä.
32
Geometrisesti suureen ∆z korvaaminen suureella dz vastaa pinnan z = f (x, y)
korvaamista pisteeseen (a, b, f (a, b)) piirretyllä tangenttitasolla zt (x, y), joka saadaan yhtälöstä
zt − f (a, b) =
∂f
∂f
(a, b) · (x − a) +
(a, b) · (y − b).
∂x
∂y
Huomautus. Jokainen muotoa ax + by + cz + d = 0, missä a, b, c, d ∈ R, oleva
yhtälö on avaruuden R3 jonkin tason yhtälö. Jos d = 0, niin taso kulkee origon
kautta.
Lause 3.2. Kokonaisdiffentiaali n muuttujan funktiolle y = f (x1 , . . . , xn ) on
df =
∂f
∂f
∂f
· dx1 +
· dx2 + . . . +
· dxn .
∂x1
∂x2
∂xn
Esimerkki 3.8. Olkoon f (x, y) = x3 + 3y 2 . Määrää funktion f muuttujan x muutosta 21 ja muuttujan y muutosta 31 vastaava kokonaisdifferentiaali ja todellinen
muutos kohdassa (2, 3).
3.4
Yhdistetyn funktion derivointi
∂f
∂f
ovat
Oletetaan, että funktion y = f (x1 , . . . , xn ) osittaisderivaatat ∂x
, . . . , ∂x
n
1
olemassa eli funktio on derivoituva muuttujien suhteen. Oletetaan lisäksi, että
kukin x1 , x2 , . . . , xn on edelleen muuttujan t funktio, ts. x1 = x1 (t), . . . , xn =
xn (t).
Tällöin myös funktio f on muuttujan t funktio ja funktion f (kokonais)derivaatta
muuttujan t suhteen saadaan lausekkeesta
∂f dx1
∂f dxn
df
=
·
+ ... +
·
,
dt
∂x1 dt
∂xn dt
kun muuttujat xi ovat derivoituvia muuttujansa t suhteen.
Funktion f (kokonais)derivaatta voidaan laskea myös sijoittamalla muuttujien xi
lausekkeet muuttujan t suhteen funktion f lausekkeeseen ja derivoimalla saatu
lauseke muuttujan t suhteen.
Esimerkki 3.9. f (x, y) = x2 − 3xy 2 , missä x = 2t ja y = t2 . Määrää
df
.
dt
33
Jos funktio y = f (x1 , . . . , xn ) on derivoituva muuttujien xi suhteen ja kukin
muuttuja xi on muuttujien t1 , . . . , tm funktio (ts. x1 = x1 (t1 , . . . , tm ), . . . ,
xn = xn (t1 , . . . , tm )) ja lisäksi kukin xi on derivoituva muuttujiensa tj suhteen,
siis osittaisderivaatat
∂x1
∂xn
∂x1
∂xn
,...,
,...,
,...,
∂t1
∂t1
∂tm
∂tm
ovat olemassa.
Tällöin saadaan
∂f
∂f ∂x1
∂f ∂xn
=
·
+ ... +
·
∂t1
∂x1 ∂t1
∂xn ∂t1
..
.
∂f
∂f ∂x1
∂f ∂xn
=
·
+ ... +
·
∂tm
∂x1 ∂tm
∂xn ∂tm
Myös nämä osittaisderivaatat voidaan laskea suoraan sijoittamalla ensin muuttujien xi lausekkeet muuttujien tj suhteen funktion lausekkeeseen ja sen jälkeen
derivoimalla funktion lauseke muuttujien tj suhteen.
Esimerkki 3.10. Olkoon f (x, y) = x2 − 3xy 2 , missä x = u · v ja y = u2 + v 2 .
Määrää ∂f
ja ∂f
.
∂u
∂v
3.5
Osittaisderivaatan taloustieteellisiä sovellutuksia
3.5.1 Rajakustannusfunktiot
Oletetaan, että kahden hyödykkeen A ja B tuottamisesta koituvia kokonaiskustannuksia kuvaa funktio
C = C(x, y),
missä
x = hyödykkeen A tuotantomäärä,
y = hyödykkeen B tuotantomäärä.
Tällöin rajakustannusfunktiot ovat
∂C
= rajakustannus tuotantomäärän x suhteen,
∂x
∂C
= rajakustannus tuotantomäärän y suhteen.
∂y
34
Esimerkki 3.11. Olkoon kustannusfunktio C(x, y) = x · ln (5 + y). Tällöin rajax
kustannukset ovat ∂C
= ln (5 + y) ja ∂C
= 5+y
.
∂x
∂y
3.5.2 Kysyntäfunktiot
Oletetaan, että kahden hyödykkeen kysynnän määrät ovat x ja y ja vastaavat
hinnat p ja q ja että x = f (p, q) ja y = g(p, q). (Siis kysynnät x ja y riippuvat
vain hinnoista p ja q.)
Saadut funktiot
x = f (p, q)
ja
y = g(p, q)
ovat kysyntäfunktioita.
Kysyntäfunktioilla x = f (p, q) ja y = g(p, q) on seuraavat ominaisuudet
1. x, y, p, q, ≥ 0
2. Jos hinta q on vakio, niin kysyntä x on hinnan p suhteen vähenevä funktio.
Samoin, jos p on vakio, kysyntä y on hinnan q suhteen vähenevä funktio.
(
x = f (p, q)
3. Yhtälöryhmä
voidaan yksikäsitteisesti ratkaista hintojen
y = g(p, q)
p ja q suhteen eli on mahdollista määrätä käänteisfunktiot p = F (x, y) ja
q = G(x, y).
Kun kysyntäfunktiot ovat x = f (p, q) ja y = g(p, q), niin
∂x
∂p
∂x
∂q
∂y
∂p
∂y
∂q
on kysynnän x rajakysyntä hinnan p suhteen
on kysynnän x rajakysyntä hinnan q suhteen
on kysynnän y rajakysyntä hinnan p suhteen
on kysynnän y rajakysyntä hinnan q suhteen
Esimerkki 3.12. Olkoon kysyntäfunktiot x = 2eq−p ja y = 3ep−q . Tällöin rajakysyntäfunktiot ovat
∂x
= −2eq−p ,
∂p
∂x
= 2eq−p ,
∂q
∂y
= 3ep−q ,
∂p
∂y
= −3ep−q .
∂q
35
Määritellään nyt kysyntäfunktioiden x = f (p, q) ja y = g(p, q) osittaisjoustot:
p ∂x
·
x ∂p
q ∂x
Eq x(p=c2 ) = ·
x ∂q
p ∂y
Ep y(q=c3 ) = ·
y ∂p
q ∂y
Eq y(p=c4 ) = ·
y ∂q
Kysynnän x osittaisjousto hinnan p suhteen, kun q = c1
Ep x(q=c1 ) =
Kysynnän x osittaisjousto hinnan q suhteen, kun p = c2
Kysynnän y osittaisjousto hinnan p suhteen, kun q = c3
Kysynnän y osittaisjousto hinnan q suhteen, kun p = c4
3.5.3 Tuotantofunktiot
Olkoon hyödykkeen tuotantofunktio z = f (x, y), missä
z = hyödykkeen tuotantomäärä
x ja y = kahden tuotannontekijän käyttömäärät
(työ, maa, pääoma, materiaali, koneet).
Tällöin
∂z
∂x
∂z
∂y
on tuotannontekijän x rajatuottavuus
on tuotannontekijän y rajatuottavuus.
3
1
Esimerkki 3.13. Olkoon tuotantofunktio z = 4x 4 y 4 , missä x on työ ja y on
pääoma. Tällöin
1
1
1
1
∂z
3
= 4 · · x− 4 y 4 = 3x− 4 y 4
∂x
4
3
3
3
3
∂z
1
= 4x 4 · · y − 4 = x 4 y − 4
∂y
4
(työn rajatuottavuus)
(po:n rajatuottavuus)
36
3.6
Korkeammista osittaisderivaatoista
∂f
∂f
, . . . , ∂x
ovat edelleen deriJos funktion y = f (x1 , . . . , xn ) osittaisderivaatat ∂x
n
1
voituvia, saadaan funktion f toisen kertaluvun osittaisderivaatat:
∂
∂f
∂ 2f
f x1 x1 =
=
,
∂x1 ∂x1
∂x21
∂
∂f
∂ 2f
f x1 x2 =
=
,
∂x1 ∂x2
∂x1 ∂x2
...,
f xi xj
∂
=
∂xi
∂f
∂xj
=
∂ 2f
.
∂xi ∂xj
Vastaavasti määritellään vielä korkeammatkin osittaisderivaatat.
Esimerkki 3.14. Määrää funktion f (x, y) = x3 e3y toisen kertaluvun osittaisderivaatat.
3.7
Implisiittinen derivointi
Vastaavasti kuin yhden muuttujan tapauksessa funktio y = f (x1 , . . . , xn ) saatetaan joskus esittää ns. implisiittimuodossa F (x1 , . . . , xn , y) = 0 eli muodossa,
jossa y ei ole muuttujien x1 , . . . , xn suhteen ratkaistuna. On mahdollista, että
muuttujaa y ei edes kyetä ratkaisemaan muuttujien x1 , . . . , xn funktiona, mutta
∂y
voidaan silkuitenkin y riippuu muuttujista x1 , . . . , xn . Osittaisderivaatat ∂x
i
ti usein määrätä implisiittinen derivoinnin avulla. Edellytyksenä on, että y on
∂y
muuttujan xi suhteen derivoituva. Tällöin osittaisderivaatta ∂x
sisältää yleensä
i
sekä muuttujia x1 , . . . , xn että funktion arvon y.
Implisiittisessä derivoinnissa lauseke F (x1 , . . . , xn , y) = 0 derivoidaan puolittain
muuttujan xi suhteen ja muuttujaa y käsitellään muuttujien x1 , . . . , xn funktiona.
∂y
.
Saadusta lausekkeesta ratkaistaan ∂x
i
Esimerkki 3.15. Olkoon z 2 x − 2xyz + y = 0, missä z = f (x, y). Määrää
∂z
ja ∂y
(1, 1).
∂z
(1, 1)
∂x
37
4
Integraalilaskenta
4.1
Johdanto
Integrointi on derivoimisen käänteistoimitus. Siis
Z
f (x) dx = F (x) ⇔ D F (x) = f (x).
On siis määritettävä funktio F (x), kun sen derivaattafunktio f (x) tiedetään.
Taloustieteessä integrointia voidaan käyttää esimerkiksi seuraavissa tapauksissa:
• Hyötyfunktion selvittäminen, kun rajahyötyfunktio tunnetaan.
• Kustannusfunktion selvittäminen, kun rajakustannusfunktio tunnetaan.
• Tulofunktion selvittäminen, kun rajatulofunktio tunnetaan.
Määrätty integraali tarkoittaa integrointia yli jonkin välin ja sitä merkitään
Z b
f (x) dx.
a
Määrätyn integraalin avulla voidaan laskea käyrän rajoittaman pinnan ala.
Taloustieteessä määrättyä integraalia voidaan käyttää esimerkiksi seuraavissa tapauksissa:
• Kokonaistulo on rajatulofunktion rajoittaman pinnan ala.
• Kuluttajan ylijäämä on kysyntäkäyrän alapuolella jäävä pinta-ala.
• Tuottajan ylijäämä on tarjontakäyrän alapuolella jäävä pinta-ala.
4.2
Integraalifunktio
Pyritään määräämään funktio F (x), kun sen derivaattafunktio f (x) on annettu.
Funktio F on funktion f integraalifunktio, jos
F 0 (x) = f (x) ∀ x ∈ Df .
Merkitään
Z
f (x) dx = F (x).
38
Koska funktio F (x) on derivoituva on se myös jatkuva. Olkoon F (x) funktion
f (x) eräs integraalifunktio. Siis F 0 (x) = f (x). Toisaalta kun c on vakio, niin
D(F (x) + c) = DF (x) + Dc = F 0 (x) + 0 = F 0 (x) = f (x).
Siis jokainen funktio F (x) + c, missä c on vakio, on myös funktion f (x) integraalifunktio.
Lause 4.1. (Integraalilaskennan peruslause). Olkoon funktio f (x) jatkuva ja derivoituva välillä ]a, b[. Jos lisäksi f 0 (x) = 0 ∀ x ∈]a, b[, niin f (x) on vakiofunktio
tällä välillä.
Todistus. Vertaa f (x):n kasvunopeus.
Olkoon Df =]a, b[ ja olkoot F (x) ja G(x) molemmat funktion f (x) integraalifunktioita, eli F 0 (x) = f (x) ja G0 (x) = f (x).
Tällöin
D(G(x) − F (x)) = DG(x) − DF (x) = G0 (x) − F 0 (x) = f (x) − f (x) = 0.
Integraalilaskennan peruslauseen nojalla G(x) − F (x) on vakiofunktio, eli on olemassa c ∈ R siten, että
G(x) − F (x) = c ∀x ∈]a, b[ ⇔
G(x) = F (x) + c.
39
Lause 4.2. Olkoon f (x) funktio, jolle Df =]a, b[ ja F (x) on eräs funktion f (x)
integraalifunktio. Tällöin {F (x) + c | c ∈ R} on funktion f (x) kaikkien integraalifunktioiden joukko.
Kun annetaan yksi piste (x0 , y0 ), jonka kautta integraalifunktio kulkee, niin integraalifunktio saadaan täysin määrättyä:
F (x0 ) + c = y0
⇔
c = y0 − F (x0 ).
Lause 4.3. Olkoot f (x) ja g(x) funktioita, joilla Df = Dg =]a, b[. Oletetaan, että
F (x) on eräs funktion f(x) ja G(x) eräs funktion g(x) integraalifunktio. Tällöin
(i ) F (x) + G(x) on funktion f (x) + g(x) integraalifunktio
(ii ) aF (x) on funktion af (x) integraalifunktio (a ∈ R vakio)
Todistus.
(i) D(F (x) + G(x)) = F 0 (x) + G0 (x) = f (x) + g(x)
(ii) D(aF (x)) = aD(F (x)) = aF 0 (x) = af (x).
Funktion f (x) integraalifunktiota merkitään:
Z
f (x) dx = F (x) + c,
missä F (x) on funktion f (x) eräs integraalifunktio ja c on integroimisvakio. Lause
4.3 saadaan nyt muotoon
Z
Z
Z
(i)
(f (x) + g(x)) dx = f (x) dx + g(x) dx
Z
Z
(ii)
af (x) dx = a f (x) dx.
Derivoimiskaavoista saadaan seuraavat integroimiskaavat:
Z
(1)
a dx = ax + c, missä a ∈ R on vakio.
(2)
Z
xa dx =
xa+1
+ c,
a+1
a 6= −1, a ∈ R,
sillä D
xa+1
(a + 1)xa
=
= xa .
a+1
a+1
Jos a 6∈ Z, niin oltava x ≥ 0. (juuren alla posit.)
40
Z
1
dx = ln |x| + c, x 6= 0,
x

1

D ln x = ,
x
sillä D ln |x| =
1
1

D ln (−x) =
· (−1) = ,
−x
x
Z
(4)
ex dx = ex + c, sillä Dex = ex .
(3)
(5)
Z
ax dx =
ax
+ c,
ln a
sillä D
kun x > 0
kun x < 0.
ax
ax · ln a
=
= ax .
ln a
ln a
Olkoot funktiot g(x), f (x) ja f 0 (x) jatkuvia ja G(x) eräs funktion g(x) integraalifunktio. Tällöin
D G(f (x)) = G0 (f (x)) · f 0 (x) = g(f (x)) · f 0 (x).
Siis
(6)
Z
g(f (x)) · f 0 (x) dx = G(f (x)) + c.
Tämän avulla saadaan seuraavat integroimiskaavat:
Z
(f (x))a+1
(7)
(f (x))a · f 0 (x) dx =
+ c, a 6= −1,
a+1
sillä
D
(f (x))a+1
(a + 1)(f (x))a 0
=
· f (x) = f (x)a f 0 (x).
a+1
a+1
Olkoon nyt a 6= −1 ja f (x) 6= 0. Tällöin
Z 0
f (x)
dx = ln |f (x)| + c, f (x) 6= 0, sillä
(8)
f (x)

f 0 (x)
1


· f 0 (x) =
,
D ln f (x) =
f (x)
f (x)
D ln |f (x)| =
1
f 0 (x)


· −f 0 (x) =
,
D ln (−f (x)) =
−f (x)
f (x)
Z
(9)
ef (x) · f 0 (x) dx = ef (x) + c, sillä Def (x) = ef (x) · f 0 (x)
kun f (x) > 0
kun f (x) < 0.
41
(10)
Z
af (x) f 0 (x) dx =
sillä
D
af (x)
+ c,
ln a
af (x)
ln a · af (x) · f 0 (x)
=
= af (x) · f 0 (x)
ln a
ln a
Funktiota f (x) sanotaan integroituvaksi, jos sillä on olemassa integraalifunktio.
Jokainen jatkuva funktio on integroituva. Tällöin
f derivoituva
⇒
f jatkuva ⇒
f integroituva.
Huomaa, että päättelyketju ei päde toiseen suuntaan.
Olkoot funktiot f ja g derivaattoineen jatkuvia. Tällöin
D(f (x) · g(x)) = f 0 (x) · g(x) + f (x) · g 0 (x)
Z
⇒
(f 0 (x) · g(x) + f (x) · g 0 (x)) dx = f (x) · g(x) + c
Z
Z
0
⇔
f (x) · g(x) dx + f (x) · g 0 (x) dx = f (x) · g(x) + c
Tästä saadaan ns. osittaisintegroinnin kaava:
(11)
Z
Z
0
f (x) · g(x) dx = f (x) · g(x) −
f (x) · g 0 (x) dx + c.
Valitaan:
f 0 : voidaan (osataan) integroida
g : yksinkertaistuu enemmän derivoimalla
Esimerkki 4.1.
Z 1
x + 3
x
4
dx
Esimerkki 4.2. Määritä funktion f (x) = 8x3 − 2x
a) Kaikki integraalifunktiot
b) Se integraalifunktio F (x), jolle F (1) = 9.
Esimerkki 4.3.
√
Z √
x+ 3x+1
dx
x
42
Esimerkki 4.4.
Z
Esimerkki 4.5.
Z
Esimerkki 4.6.
23x + 22x
dx
2x
√
3x
dx
x2 + 1
Z
e−x x dx
Esimerkki 4.7.
Z
x2
dx
x3 + 1
Esimerkki 4.8.
Z
2
x ln x dx
Trigonometristen funktioiden integroimiskaavat:
Z
sin x dx = − cos x + C
Z
sin f (x) · f 0 (x) dx = − cos f (x) + C
Z
cos x dx = sin x + C
Z
cos f (x) · f 0 (x) dx = sin f (x) + C
Z
1
√
dx = arcsin x + C
2
1
−
x
Z
1
p
· f 0 (x) dx = arcsin f (x) + C
2
1 − f (x)
Z
1
dx = arctan x + C
1 + x2
Z
1
· f 0 (x) dx = arctan f (x) + C
1 + f (x)2
43
Esimerkki 4.9. Määrää seuraavat integraalit
Z
a)
cos (5x) dx
Z
1
√
b)
dx
2 − x2
Z
1
c)
dx
2 + x2
4.3
Integrointi osamurtokehitelmän avulla
R P (x)
, missä P (x) ja Q(x) ovat polynomeja.
On määrättävä Q(x)
Jos polynomi P (x) on jaollinen polynomilla Q(x), niin tehtävä palautuu polynomin integrointiin.
Jos polynomi P (x) = Q0 (x), niin tehtävä palautuu integroimiskaavaan (7).
Oletetaan nyt, että P (x) ei ole jaollinen polynomilla Q(x) eikä se ole sen derivaattafunktio. Olkoon lisäksi polynomi P (x) alempaa astetta kuin Q(x), muutoin
suoritetaan ensin jakaminen (katso esim. 4.10 jälkeinen teksti).
P (x)
Tällöin rationaalifunktio Q(x)
voidaan esittää osamurtolausekkeiden summana,
jotka kyetään integroimaan.
Menetelmä on seuraava:
1) Jaetaan nimittäjä Q(x) jaottomiin tekijöihin ratkaisemalla sen nollakohdat. Tekijät ovat muotoa ax + b (vastaa polynomin Q(x) reaalista nollakohtaa) tai ax2 + bx + c (tapaus, jossa nollakohta ei ole reaaliluku eli 2.
asteen tekijä ei jakaannu).
2) Kutakin polynomin Q(x) tekijää vastaa osamurtolauseke seuraavasti:
a) yksinkertainen lineaarinen tekijä ax + b
→
A
ax + b
b) n–kertainen lineaarinen tekijä (ax + b)n
→
A1
A2
An
+
+ ··· +
2
ax + b (ax + b)
(ax + b)n
c) yksinkertainen toisen asteen jaoton tekijä ax2 + bx + c
→
Ax + B
ax2 + bx + c
44
d) n–kertainen toisen asteen jaoton tekijä (ax2 + bx + c)n
→
A2 x + B2
A1 x + B1
An x + Bn
+
+
·
·
·
+
ax2 + bx + c (ax2 + bx + c)2
(ax2 + bx + c)n
missä A, B, A1 , . . . , An , B1 , . . . , Bn ovat vakioita, jotka pitää määrätä.
3) Vakiot määrätään seuraavasti:
P (x)
Lauseke Q(x)
esitetään osamurtolausekkeiden summana. Kerrotaan puolittain nimittäjällä Q(x), jolloin vasemmalle puolelle jää P (x) ja oikealle puolelle osamurtolausekkeiden vakioita sisältävä polynomi. Vertaamalla
kyseisen polynomin ja polynomin P (x) termien kertoimia, saadaan vakiot
määrättyä.
R P (x)
4) Integraali Q(x)
saadaan osamurtolausekkeiden integraalien summana.
Esimerkki 4.10.
Z
x+3
dx
+ 3x + 2
Jos P (x) on korkeampaa tai yhtä suurta astetta kuin Q(x), niin jaetaan:
x2
P (x)
P1 (x)
= R(x) +
,
Q(x)
Q(x)
missä jakojäännös P1 (x) on alempaa astetta kuin Q(x).
Siten
Z
P (x)
dx =
Q(x)
Esimerkki 4.11.
Z
Esimerkki 4.12.
Z
Z
Z
R(x) dx +
P1 (x)
dx.
Q(x)
x3 − 2x − 6
dx
x2 − 2x + 1
x4
x
dx
+ 6x2 + 5
4.4
Integrointi sijoitusmenetelmää käyttäen
R
Integraali f (x) dx voidaan muuttaa yksinkertaisempaan muotoon sopivalla sijoituksella x = g(t), missä t on apumuuttuja ja funktio g(t) on derivoituva bijektio (muuttujan t suhteen). Derivoimalla lauseke x = g(t) puolittain muuttujan t
suhteen saadaan
dx
= g 0 (t) eli dx = g 0 (t)dt.
dt
45
Täten saadaan sijoitusmenetelmän sääntö:
Z
Z
f (x) dx = f (g(t)) · g 0 (t) dt = F (t) + C
Siis sijoituksessa x = g(t) integraalissa korvataan x lausekkeella g(t) ja dx lausekkeella g 0 (t)dt. Integroinnin jälkeen palataan alkuperäiseen muuttujaan x sijoituksella t = g −1 (x).
Huomautus. Sijoitusmenetelmästä on hyötyä vain, jos se johtaa yksinkertaisempaan integraaliin! Yleensä korvataan jokin muuttujaa x sisältävä termi apumuuttujalla t.
Käyttökelpoisia sijoituksia:
1) Jos integroitavan funktion osana esiintyy termi ax + b tai
sijoittaa t = ax + b tai t = ax+b
.
cx+d
Esimerkki 4.13.
Z
√
ax+b
,
cx+d
voidaan
x
dx
2x + 1
2) Jos integroitavan funktion osana esiintyy termi
r
n
√
ax + b
n
n ax + b
n
ax + b, (ax + b) ,
tai
,
cx + d
cx + d
voidaan sijoittaa
t=
√
n
r
ax + b,
Esimerkki 4.14.
n
t = (ax + b) ,
Z
n
t=
ax + b
tai t =
cx + d
ax + b
cx + d
n
.
x2
√
dx
3
1 − 2x
3) Jos integroitava funktio f on rationaalinen muuttujan x murtolukupotenssien suhteen, saadaan integroitavasta rationaalinen muuttujan t suhteen
sijoituksella x = td , missä d on muuttujan x murtopotenssien nimittäjien
pienin yhteinen jaettava.
Esimerkki 4.15.
Z
1
x2
3
1 + x4
dx
46
4) Jos integroitava on rationaalinen termin (ax + b) murtolukupotenssien
suhteen, käytetään sijoitusta ax + b = td , missä d on termin (ax + b)
murtolukupotenssien nimittäjien pienin yhteinen jaettava.
Esimerkki 4.16.
Z
x
3
(1 + 2x) 2
dx
Huomautus. Pienin yhteinen jaettava tarkoittaa pienintä sellaista lukua, jonka
jotkut tietyt luvut jakavat tasan. Esimerkiksi lukujen 2 ja 3 pienin yhteinen jaettava on luku 6.
5) Jos integroitavassa funktiossa f esiintyy
ex
tai
ax
voidaan sijoittaa
t = ex
⇒
x = ln t
tai
t = ax
6) Tietyissä erikoistapauksissa sijoitus x =
Esimerkki 4.17.
4.5
Z
1
t
⇒
x = loga t.
on tehokas.
1
(x − x3 ) 3
dx
x4
Määräämätön integraali taloustieteessä
Taloustieteessä kuvataan jonkin muuttujan y vaihtelua toisen muuttujan x suhteen käyttäen keskimääräisen muutoksen ja rajamuutoksen käsitteitä. Rajamuutosfunktio saadaan alkuperäisestä funktiosta derivoimalla, joten alkuperäinen
funktio saadaan rajafunktiosta (vakiota vaille) integroimalla.
4.5.1 Kustannusfunktiot
Olkoon C = C(x) kokonaiskustannusfunktio, missä x on tuotannon määrä. Tällöin AC(x) = C(x)
on keskimääräisten kustannusten funktio ja M C(x) = C 0 (x)
x
on rajakustannusfunktio. Kokonaiskustannusfunktio C(x) saadaan siten integroimalla rajakustannusfunktio M C(x) eli
Z
C(x) = M C(x) dx.
47
Integroimisvakio c saadaan määrättyä jonkin alkuehdon avulla. Usein annetaan
kiinteät kustannukset, eli kustannukset tuotannon määrän x ollessa nolla.
Esimerkki 4.18. Olkoon rajakustannusfunktio M C(x) = 2 + 60x − 5x2 . Määrää kokonaiskustannusfunktio C(x) ja keskimääräiskustannusfunktio AC(x), kun
kiinteät kustannukset ovat 65.
Ratkaisu:
Z
Z
5
2 + 60x − 5x2 dx = 2x + 30x2 − x3 + c
3
5
C(0) = 65 ⇒ 2 · 0 + 30 · 02 − · 03 + c = 65 ⇒ c = 65
3
5
⇒ C(x) = 2x + 30x2 − x3 + 65
3
2
2x
+
30x
− 35 x3 + 65
5
65
C(x)
=
= 2 + 30x − x2 + .
AC(x) =
x
x
3
x
C(x) =
M C(x) dx =
4.5.2 Tulofunktiot
Kun y = f (x) on kysyntäfunktio, missä y on tavaran yksikköhinta ja x kysynnän
suuruus (määrä), niin
kokonaistulofunktio R(x) = xy = x · f (x)
dR(x)
ja rajatulofunktio M R(x) =
= f (x) + x · f 0 (x).
dx
Siten kokonaistulofunktio on rajatulon integraalifunktio, eli
Z
R(x) = M R(x) dx.
Integroimisvakio c määräytyy usein ehdosta, että kokonaistulo on nolla, kun kysyntä x on nolla eli R(0) = 0.
Keskimääräisten tulojen funktio
AR(x) =
R(x)
xf (x)
=
= f (x) = kysyntäfunktio.
x
x
48
Esimerkki 4.19. Olkoon rajatulofunktio M R(x) = 8 − 6x − 2x2 . Määrää kokonaistulofunktio R(x) ja kysyntäfunktio f (x), kun kysynnän määrällä nolla kokonaistulo on nolla.
Ratkaisu:
Z
Z
2
8 − 6x − 2x2 dx = 8x − 3x2 − x3 + c
3
2
R(0) = 0 ⇒ 8 · 0 − 3 · 02 − · 03 + c = 0 ⇒ c = 0
3
2 3
2
⇒ R(x) = 8x − 3x − x
3
8x − 3x2 − 32 x3
R(x)
2
f (x) =
=
= 8 − 3x − x2 .
x
x
3
R(x) =
M R(x) dx =
4.5.3 Kansantulo, kulutus ja säästäminen
Olkoon C = C(x) kulutusfunktio, missä C on kansallinen kokonaiskulutus ja x
kokonaiskansantulo. Rajakulutusalttius saadaan seuraavasti:
dC
= C 0 (x).
dx
Olettamalla, että x = C(x) + S(x), missä S(x) on säästöfunktio, saadaan rajasäästämisalttius seuraavasti:
dS(x)
dC(x)
S(x) = x − C(x) ⇒
=1−
dx
dx
Koska kansallinen kokonaiskulutus on rajakulutusalttiuden integraalifunktio, niin
C(x) on muotoa
Z
C(x) =
C 0 (x) dx.
Esimerkki 4.20. Olkoon rajakulutusalttius dC
= 56 + √16x (milj. euroa). Kun kandx
santulo on nolla, on kulutus 640 milj. euroa. Määrää kokonaiskulutusfunktio.
Ratkaisu:
√
16
56 + √ dx = 56x + 32 x + c
x
√
C(0) = 640 ⇒ 56 · 0 + 32 0 + c = 640 ⇒
√
⇒ C(x) = 56x + 32 x + 640
Z
0
Z
C (x) dx =
c = 640
49
4.5.4 Pääoman muodostus
Olkoon K(t) pääoman kokonaismäärä ajan hetkellä t ja K(t) on derivoituva
muuttujan t suhteen. Pääoman muodostuksen aste (nopeus) on tällöin
dK
= K 0 (t).
dt
Nyt pääoman muodostuksen aste K 0 (t) on yhtä suuri nettoinvestointivirran I(t)
kanssa. Saadaan yhtälöt
K 0 (t) = I(t)
Z
Z
0
⇒ K (t) dt = I(t) dt
Z
⇒K(t) = I(t) dt
Siten pääoman kokonaismäärä on pääoman muodostuksen asteen tai nettoinvestointivirran integraalifunktio. K(t) saadaan, kun em. integraaleissa määrätään
integroitumisvakio.
3
Esimerkki 4.21. Nettoinvestointivirta I(t) = 5t 7 . Määritä pääoman kokonaismäärä ajanhetkellä t, kun pääoman kokonaismäärä ajanhetkellä t = 0 on 30.
Ratkaisu:
Z
K(t) =
10
Z
I(t) dt =
3
7
5t dt =
5t 7
10
7
10
7t 7
+c=
+c
2
10
K(0) = 30
⇒
⇒
7·07
+ c = 30
2
⇒ c = 30
7 10
K(t) = t 7 + 30
2
50
4.6
Määrätty integraali
Olkoon y = f (x) välillä [a, b] jatkuva funktio ja F (x) sen jokin integraalifunktio.
Luku F (b) − F (a) on funktion f (x) määrätty integraali yli välin [a,b].
Merkitään:
Zb
f (x) dx =
F (x) = F (b) − F (a).
a
a
Esimerkki 4.22.
b
.
Z2
(2x3 + 5x) dx
0
4.6.1 Määrätty integraali ja pinta-ala
Oletetaan, että f (x) on jatkuva funktio ja f (x) ≥ 0 ∀ x ∈ Df . Tehtävänä on
määrittää käyrän y = f (x), x–akselin, y–akselin ja suoran x = x0 rajoittaman
alueen pinta-ala A(x0 ).
51
Alueen B2 B1 B6 B5 pinta-ala on ∆A = A(x) − A(x0 ).
Suorakulmion B2 B1 B4 B5 pinta-ala on (x − x0 ) · f (x).
Suorakulmion B2 B3 B6 B5 pinta-ala on (x − x0 ) · f (x0 ).
Vertaamalla alueen B2 B1 B6 B5 pinta-alaa suorakulmioiden B2 B1 B4 B5 ja B2 B3 B6 B5
pinta-aloihin saadaan
(x − x0 ) · f (x0 ) ≤ ∆A ≤ (x − x0 ) · f (x)
A(x) − A(x0 )
⇔
f (x0 ) ≤
≤ f (x).
x − x0
| : (x − x0 )
(7)
Kun x → x0 , saadaan
lim f (x0 ) = f (x0 ) ja
x→x0
lim f (x) = f (x0 ).
x→x0
Siten ottamalla raja-arvo puolittain yhtälöstä (7) saadaan:
f (x0 ) ≤ lim
x→x0
A(x) − A(x0 )
≤ f (x0 )
x − x0
⇔
A0 (x0 ) = f (x0 ).
Koska x0 on mielivaltainen, saadaan A0 (x) = f (x). Siten A(x) on funktion f (x)
eräs integraalifunktio.
52
Lasketaan seuraavaksi yllä olevan kuvan pinta-ala A = A(b) − A(a). Olkoon F (x)
mielivaltainen funktion f (x) integraalifunktio.
Tällöin
F (x) = A(x) + c,
c vakio.
Siis
F (b) − F (a) = (A(b) + c) − (A(a) + c) = A(b) − A(a) = A.
Lause 4.4. Jos funktio f (x) on välillä [a, b] jatkuva ja f (x) ≥ 0 ∀ x ∈ [a, b], niin
Rb
määrätty integraali a f (x) dx on käyrän y = f (x), x–akselin sekä suorien x = a
ja x = b rajoittaman alueen pinta-ala.
4.7
Määrätyn integraalin ominaisuuksista
Lause 4.5. Olkoot funktiot f (x) ja g(x) jatkuvia välillä [a, b] ja olkoon c ∈ R
vakio. Tällöin
Rb
Rb
(i ) cf (x) dx = c f (x) dx
a
(ii )
Rb
a
a
(f (x) + g(x)) dx =
Rb
a
f (x) dx +
Rb
g(x) dx
a
Todistus. Olkoot F (x) ja G(x) funktioiden f (x) ja g(x) eräät integraalifunktiot.
53
(i)
Zb
cf (x) dx =
b
.
cF (x) = cF (b) − cF (a) = c(F (b) − F (a))
a
a
=c
b
.
Zb
F (x) = c
a
f (x) dx
a
(ii)
Zb
(f (x) + g(x)) dx =
b
.
(F (x) + G(x)) = (F (b) + G(b)) − (F (a) + G(a))
a
a
= F (b) − F (a) + G(b) − G(a) =
b
.
F (x) +
a
Zb
=
(G(x)
a
Zb
f (x) dx +
a
Esimerkki 4.23.
b
.
Z2
g(x) dx
a
(x3 + 3x2 + 2) dx
−1
Lause 4.6. Jos funktio f (x) on jatkuva välillä [a, b] ja a < c < b, niin
Zb
Zc
f (x) dx =
a
Zb
f (x) dx +
a
f (x) dx.
c
Todistus. Olkoon F (x) eräs funktion f (x) integraalifunktio.
Zb
f (x) dx = F (b) − F (a) = (F (b) − F (c)) + (F (c) − F (a))
a
=
b
.
c
F (x) +
c
.
a
Zb
F (x) =
Zc
f (x) dx +
c
f (x) dx.
a
54
(
Esimerkki 4.24. Olkoon f (x) =
x2 − 1, x ≤ 0
x3 − x − 1, x > 0
. Määrää
R2
f (x) dx
−2
Lause 4.7. Myös tilanteessa a ≥ b
Zb
f (x) dx =
b
.
F (x) = F (b) − F (a).
a
a
Nyt
Za
f (x) dx =
a
a
.
F (x) = F (a) − F (a) = 0
a
ja
Zb
Za
f (x) dx = F (b) − F (a) = −(F (a) − F (b)) = −
a
f (x) dx.
b
Lause 4.8. Olkoot f (x) ja g(x) jatkuvia funktioita välillä [a, b].
Rb
(i ) Jos f (x) ≥ 0 välillä [a, b], niin f (x) dx ≥ 0.
a
(ii ) Jos f (x) ≤ g(x) välillä [a, b], niin
Rb
f (x) dx ≤
a
(iii ) Jos f (x) ≤ 0 välillä [a, b], niin
Rb
Rb
g(x) dx.
a
f (x) dx ≤ 0.
a
Todistus. Olkoon F (x) funktion f (x) integraalifunktio ja G(x) funktion g(x) integraalifunktio.
(i) F 0 (x) = f (x) ≥ 0 välillä [a, b] ⇔ F (x) on kasvava välillä [a, b]
⇔ F (b) ≥ F (a).
Rb
Näin ollen f (x) dx = F (b) − F (a) ≥ 0.
a
(ii) Koska f (x) ≤ g(x) välillä [a, b], niin g(x) − f (x) ≥ 0 välillä [a, b] ja kohdan
55
(i) nojalla
Zb
Zb
(g(x) − f (x)) dx ≥ 0 ⇔
a
Zb
g(x) dx −
f (x) dx ≥ 0
a
a
Zb
Zb
⇔
f (x) dx ≤
a
g(x) dx.
a
(iii) F 0 (x) = f (x) ≤ 0 välillä [a, b] ⇔ F (x) on vähenevä välillä [a, b]
⇔ F (b) ≤ F (a).
Rb
Näin ollen f (x) dx = F (b) − F (a) ≤ 0.
a
Lause 4.9 (Integraalilaskennan väliarvolause). Olkoon f (x) suljetulla välillä [a, b]
jatkuva funktio. Tällöin on olemassa ainakin yksi x0 ∈]a, b[, jolle
Zb
f (x) dx = f (x0 )(b − a).
a
Todistus. Olkoon f (x) suljetulla välillä [a, b] jatkuva funktio. Siten f (x) saavuttaa
tällä välillä suurimman arvon (= M ) ja pienimmän arvon (= m). Siis välillä [a, b]
on voimassa m ≤ f (x) ≤ M .
Lauseen 4.8 kohdan (ii) nojalla
Zb
Zb
m dx ≤
f (x) dx ≤
a
⇔
b
.
Zb
a
a
Zb
mx ≤
a
M dx
f (x) dx ≤
b
.
Mx
a
a
Zb
⇔ m(b − a) ≤
f (x) dx ≤ M (b − a) | : (b − a) (b > a)
a
⇔m≤
1
b−a
Zb
f (x) dx ≤ M.
a
56
Jatkuva funktio saa arvokseen jokaisen arvon minimin ja maksimin väliltä, joten
Rb
1
on olemassa sellainen x0 ∈]a, b[, että f (x0 ) = b−a
f (x) dx.
a
Geometrisesti:
Välillä ]a, b[ on sellainen kohta x0 , että pisteiden (a, 0), (a, f (x0 )), (b, f (x0 )) ja
(b, 0) määräämän suorakulmion pinta-ala on yhtä suuri kuin käyrän y = f (x),
x–akselin sekä suorien x = a ja x = b rajoittaman alueen A pinta-ala.
57
4.8
Pinta-alan määritys integraalin avulla
1o f (x) ≥ 0 välillä [a, b] ja jatkuva tällä välillä.
Nyt käyrän y = f (x), x–akselin sekä suorien x = a ja x = b rajoittaman alueen
pinta-ala
Zb
A = f (x) dx
a
Esimerkki 4.25. Määritä sen alueen pinta-ala, jota rajoittavat käyrä y =
x–akseli sekä suorat x = 1 ja x = 3.
1
,
x2
2o f (x) ≤ 0 välillä [a, b] ja jatkuva tällä välillä.
Määritetään käyrän y = f (x), x–akselin sekä suorien x = a ja x = b väliin jäävän
alueen pinta-ala A.
Käyrät y = f (x) ja y = −f (x) ovat symmetriset x–akselin suhteen.
58
Nyt −f (x) ≥ 0 ja siten käyrän −f (x), x–akselin sekä suorien x = a ja x = b
väliin jäävä pinta-ala
Zb
A1 = −f (x) dx.
a
Symmetrian perusteella tämä on myös x–akselin, käyrän y = f (x) sekä suorien
x = a ja x = b väliin jäävän alueen pinta-ala.
Siten kun f (x) ≤ 0 välillä [a, b], niin käyrän y = f (x), x–akselin sekä suorien
x = a ja x = b väliin jäävän alueen pinta-ala
Zb
−f (x) dx.
A=
a
Esimerkki 4.26.
a) Määrää välillä [0, 1] käyrän f (x) = x3 − x ja x–akselin väliin jäävän alueen
pinta-ala.
b) Määrää käyrän f (x) = x3 − x ja x–akselin rajoittaman alueen pinta-ala.
59
3o Kahden käyrän väliin jäävä pinta-ala.
Oletetaan, että f (x) ≥ g(x) välillä [a, b] . On määritettävä sen alueen pinta-ala,
jota rajoittavat käyrät y = f (x) ja y = g(x) sekä suorat x = a ja x = b. Nyt
funktiot f (x) ja g(x) voivat saada myös negatiivisia arvoja välillä [a, b].
Olkoon c niin suuri vakio, että g(x)+c ≥ 0 välillä [a, b]. Tällöin myös f (x)+c ≥ 0.
60
On selvä, että käyrien y = g(x) + c ja y = f (x) + c väliin jäävä alue on yhtä suuri
kuin käyrien f (x) ja g(x) väliin jäävä alue. Käyrien y = f (x) + c ja y = g(x) + c
väliin jäävän alueen pinta-ala on
Zb
Zb
(f (x) + c) dx −
A=
a
Zb
(f (x) − g(x)) dx.
(g(x) + c) dx =
a
a
Siispä käyrien y = f (x) ja y = g(x) sekä suorien x = a ja x = b rajoittaman
alueen pinta-ala on
Zb
A = (f (x) − g(x)) dx.
a
Esimerkki 4.27. Määritä sen alueen pinta-ala, jota rajoittavat suorat x = 0 ja
x = 2 sekä käyrät f (x) = ex ja g(x) = 2x − x2 .
Esimerkki 4.28. Määritä sen alueen pinta-ala, jota rajoittavat käyrä y 2 = 4x,
y–akseli ja suora y = 2.
√
√
Esimerkki 4.29. Laske käyrien y = 1 − x ja y = x − 2 sekä suorien y = 1 ja
y = 2 väliin jäävän alueen pinta-ala.
4.9
Osittaisintegrointi, osamurtokehitelmä ja sijoitus määrätyssä
integraalissa
Lause 4.10. Olkoot f 0 (x) ja g 0 (x) jatkuvia funktioita välillä [a, b]. Tällöin
Zb
f 0 (x) · g(x) dx =
a
b
.
a
Zb
f (x) · g(x) −
f (x) · g 0 (x) dx
a
Todistus. Merkitään
h(x) = f (x)g(x)
⇒
h0 (x) = f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x)
⇒
f 0 (x)g(x) = h0 (x) − f (x)g 0 (x).
61
Tällöin
Zb
Zb
Zb
Zb
b
.
0
0
0
f (x)g(x) dx = h (x) dx − f (x)g (x) dx = h(x) − f (x)g 0 (x), dx
a
=
a
a
a
b
.
Zb
f (x)g(x) −
a
a
f (x)g 0 (x) dx.
a
Esimerkki 4.30.
Ze
ln x dx
1
Lause 4.11. Osamurtokehitelmä pätee myös määrätylle integraalille.
Esimerkki 4.31 (vrt. esim. 4.10).
Z2
x2
x+3
dx
+ 3x + 2
1
Lause 4.12. Olkoon f (x) jatkuva välillä [a, b] ja g(t) sellainen välillä [α, β] määritelty bijektio, että
(i ) g 0 (t) jatkuva välillä [α, β]
(ii ) g(t) ∈ [a, b] aina, kun t ∈ [α, β]
(iii ) g(α) = a ja g(β) = b
Tällöin
Zβ
Zb
f (x) dx =
a
f (g(t)) · g 0 (t) dt.
α
Todistus. Olkoon F (x) jokin funktion f (x) integraalifunktio (f jatkuva). Tällöin
Zb
f (x) dx = F (b) − F (a) ja
a
D(F (g(t))) = F 0 (g(t)) · g 0 (t) = f (g(t)) · g 0 (t)
Z
eli
f (g(t)) · g 0 (t) dt = F (g(t)).
62
Siis
Zβ
Zb
f (x) dx = F (b) − F (a) = F (g(β)) − F (g(α)) =
a
f (g(t)) · g 0 (t) dt.
α
Menettely:
Kun halutaan laskea
Rb
f (x) dx käyttämällä sijoitusta x = g(t), missä g täyttää
a
vaaditut ehdot, niin korvataan funktio f (x) lausekkeella f (g(t)) ja dx lausekkeella
g 0 (t) dt. Uudet integroimisrajat α ja β on myös määritettävä eli
x=a
⇒
α = g −1 (a) ja x = b
⇒
β = g −1 (b).
Menetelmä ei vaadi takaisin sijoitusta niin kuin määräämättömässä integraalissa.
Esimerkki 4.32.
Z4
1
√ dx
1+ x
1
4.10 Määrätyn integraalin taloustieteellisiä sovelluksia
4.10.1 Kuluttajan ylijäämä
Kysyntäfunktio y = f (x) kuvaa hyödykkeen hinnan y riippuvuutta kaupaksi
käyvään määrään x. Kysyntäfunktiosta saadaan siis selville tuotteen kysynnän
määrä eri hinnoilla.
Jos markkinahinta on y0 ja vastaava kysyntämäärä x0 , niin ne kuluttajat, jotka
ovat valmiita maksamaan hyödykkeestä enemmän kuin markkinahinnan, hyötyvät siitä, että hinta on vain y0 ⇒ kuluttajan ylijäämä.
63
Kuluttajan ylijäämä on kysyntäkäyrän y = f (x) ja suoran y = y0 väliin jäävä
pinta-ala:
Kuluttajan ylijäämä =
Zx0
0
Zm0
f (x) dx − x0 y0 = g(y) dy,
y0
missä jälkimmäisessä kaavassa kysyntäfunktio on muodossa x = g(y) = f −1 (y)
ja m0 hinta, jolla ei kysyntää ole eli m0 = f (0).
Huomautus. Kuluttajan ylijäämän yksikkö on rahayksikkö.
Esimerkki 4.33. Olkoon kysyntäfunktio y = 32 − 4x − x2 . Määrää kuluttajan
ylijäämä kun
a) x0 = 2
b) y0 = 27.
Esimerkki 4.34. Monopolin haltija pyrkii määrittämään tuotteen hinnan ja myytävän määrän siten, että voitto maksimoituu. Määritä vastaava kuluttajan ylijäämä, kun kysyntäfunktio on y = 16 − x2 ja rajakustannusfunktio M C(x) = 6 + x.
4.10.2 Tuottajan ylijäämä
Tarjontafunktio y = f (x) kuvaa hyödykkeen hinnan y riippuvuutta tarjottuun
määrään x. Tarjontafunktiosta saadaan selville tuotteen tarjonnan määrä eri hinnoilla.
64
Jos tuotteen hinta on y0 ja vastaava tarjonnan määrä x0 , niin ne tuottajat, jotka
myisivät tuotteensa alle hinnan y0 hyötyvät siitä, että hinta on y0 .
Tuottajan ylijäämää on pinta-ala, joka jää tarjontakäyrän y = f (x) ja suoran
y = y0 väliin:
Tuottajan ylijäämä = x0 y0 −
Zy0
Zx0
f (x) dx =
0
g(y) dy,
M0
missä jälkimmäisessä kaavassa tarjontafunktio on muodossa x = g(y) = f −1 (y)
ja M0 on hinta, jolla tarjontaa ei ole eli M0 = f (0).
Huomautus. Tuottajan ylijäämän yksikkö on rahayksikkö.
Huomautus. Yleisesti markkinahinta määräytyy kysynnän ja tarjonnan tasapainosta (kysyntä=tarjonta).
Esimerkki 4.35. Määrää markkinahinta, kun kysyntäfunktio on y = 16 − x2 ja
tarjousfunktio y = 4 + x.
Ratkaisu:
Lasketaan millä hinnan y ja määrän x arvolla toteutuu kysyntä=tarjonta.
65
Siis
16 − x2 = 4 + x
⇔ x2 + x − 12 = 0
(
p
√
3
−1 ± 1 − 4 · 1 · (−12)
−1 ± 49
−1 ± 7
⇒ x=
=
=
=
2·1
2
2
−4 ei käy
⇒ x=3
⇒ y =4+3=7
Tuottajan ylijäämä = 3 · 7 −
3
Z
(4 + x) dx = 21 −
0
3 .
x2
4x +
2
0
2
3
9
9
= 21 − 4 · 3 +
− 0 = 21 − 12 − =
2
2
2
Z 3
3
.
x3
(16 − x2 ) dx − 3 · 7 =
16x −
Kuluttajan ylijäämä =
− 21
3
0
0
3
= 16 · 3 −
3
− 21 = 48 − 9 − 21 = 18
3
4.10.3 Kokonaisvoitto
Funktiota Π(x) = R(x) − C(x), missä R(x) on kokonaistulofunktio ja C(x) on
kokonaiskustannusfunktio, kutsutaan voittofunktioksi.
Yleisesti voitto maksimoituu (vapaan kilpailun olosuhteissa), kun
rajatulo=rajakustannus. Tämä seuraa siitä, että voittofunktio saa maksimiarvonsa derivaatan Π0 (x) = R0 (x) − C 0 (x) = M R(x) − M C(x) nollakohdassa eli
kun M R(x) = M C(x).
Integrointia voidaan useissa tapauksissa käyttää kokonaisvoiton tai kokonaisnettoansioiden määräämiseen, kun ei tiedetä voittofunktiota. (Tiedetään esimerkiksi
rajatulofunktio ja rajakustannusfunktio.)
Kokonaisvoitto saadaan rajatulofunktion M R(x) ja rajakustannusfunktion
M C(x), missä x tuotannon määrä, erotuksen integraalina yli välin [0, a], missä a
on tuotantomäärä, jolla voitto maksimoituu.
66
Esimerkki 4.36. Etsi tuotannon määrä, jolla voitto maksimoituu, ja kokonaisvoitto, kun rajatulo- ja rajakustannusfunktio ovat M R(x) = 25 − 5x − 2x2 ja
M C(x) = 15 − 2x − x2 .
Ratkaisu:
Nyt Π(x) = R(x) − C(x).
Voiton maksimointi:
dΠ
= M R(x) − M C(x) = 0
dx
⇔ M R(x) = M C(x)
⇔ 25 − 5x − 2x2 − 15 + 2x + x2 = 0
⇔ 10 − 3x − x2 = 0
| · (−1)
⇔ x2 + 3x − 10 = 0
(
p
−5
−3 ± 9 − 4 · 1 · (−10)
−3 ± 7
⇔ x=
=
=
2
2
2
Nyt lausekkeen (M R(x) − M C(x)) derivaatta on voittofunktion Π(x) 2. derivaatta, eli sen merkki ilmaisee saadaanko kohdassa x = 2 voiton maksimi vai
minimi.
d2 Π
d
=
(M R(x) − M C(x)) = −3 − 2x
2
dx
dx
67
Nyt
d2 Π
(2) = −7 < 0
dx2
⇒ maksimi
Siis voitto maksimoituu, kun x = 2.
Kokonaisvoitto =
Z2
[(25 − 5x − 2x2 ) − (15 − 2x − x2 )] dx
0
Z2
2
(10 − 3x − x ) dx =
=
0
= 20 − 6 −
2
.
0
1
3
(10x − x2 − x3 )
2
3
8
8
42 − 8
34
= 14 − =
= .
3
3
3
3
68
5
Kompleksiluvut
Kompleksiluku z on muotoa z = a + bi, missä a, b ∈ R.
• reaaliosa Re z = a, imaginaariosa Im z = b
• i on imaginaariyksikkö, jolle i2 = −1 eli i =
√
−1
• C = {a + bi | a, b ∈ R}, kompleksilukujen joukko
• R = {a + bi | a ∈ R ja b = 0}
• R⊂C
• itseisarvo |z| =
√
a2 + b 2
• liittoluku z̄ = a − bi
Olkoon z1 = a + bi ja z2 = c + di. Tällöin
• z1 = z2
a = c ja b = d
⇔
• z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i
• z1 · z2 = (a + bi) · (c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = (ac − bd) + (ad + bc)i
•
(a + bi)
(a + bi)(c − di)
(a + bi)(c − di)
z1 z̄2
z1
=
=
=
=
2
2
z2
(c + di)
(c + di)(c − di)
c +d
|z2 |2
Huomautus. Olkoon z = a + bi. Tällöin
• |z| = |z̄|
• z · z̄ = |z|2 = a2 + b2
Toisen asteen yhtälön ratkaiseminen:
2
ax + bx + c = 0
⇔
x=
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
Tapaus, jossa b2 − 4ac < 0 :
• ei reaalista ratkaisua
• ratkaisu kompleksilukujen joukossa C
Esimerkki 5.1. 9x2 − 12x + 5 = 0
69
Lause 5.1. Jokaisella n:nnen asteen yhtälöllä
an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 = 0
on joukossa C täsmälleen n juurta eli ratkaisua eli nollakohtaa.
Olkoon
Pn (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0
ja z1 , z2 , . . . , zn yhtälön Pn (x) = 0 juuret eli nollakohdat, missä zi ∈ C.
Tällöin
Pn (x) = an (x − z1 )(x − z2 ) · . . . · (x − zn ).
70
6
Differentiaaliyhtälöt
Differentiaaliyhtälö: yhtälö, jossa esiintyy tuntematon funktio derivaattoineen.
Differentiaaliyhtälön kertaluku: yhtälössä esiintyvän tuntemattoman funktion derivaattojen korkein kertaluku.
Differentiaaliyhtälö: F (x, y, y 0 , . . . , y (n) ) = 0,
6.1
y = y(x) ja y =?
Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö
F (x, y, y 0 ) = 0,
y = y(x) ja y =?
Normaalimuoto: y 0 = f (x, y)
Huomautus. Kaikki 1. kertaluvun differentiaaliyhtälöt eivät ole saatettavissa normaalimuotoon.
Differentiaaliyhtälön y 0 = f (x, y) ratkaisu välillä I = [a, b] on funktio y = y(x),
jolle y 0 (x) = f (x, y(x)) ∀ x ∈ I.
Yhtälön y 0 = f (x, y) yleinen ratkaisu on funktio y = y(x, c), joka jokaisella vakion
c arvolla on ko. yhtälön ratkaisu, ns. yksityisratkaisu.
Jos vaaditaan lisäksi jokin alkuehto y(x0 ) = y0 , niin c tulee täysin määrättyä ja
saadaan tietty yksityisratkaisu.
Seuraavaksi tarkastellaan erilaisia normaalimuotoisia differentiaaliyhtälöitä.
Normaalimuotoiset differentiaaliyhtälöt
y 0 = f (x, y)
(8)
Yhtälöllä on aina alkuehdon toteuttava ratkaisu.
6.1.1 Separoituvat differentiaaliyhtälöt
Separoituvassa differentiaaliyhtälössä muuttujat voidaan erottaa, ts. yhtälö on
muotoa
dy
= f (x) · g(y) = F (x, y).
dx
71
Ratkaisumenettely:
Erotetaan muuttujat:
dy
= f (x) dx
g(y)
Integroidaan:
Z
1
dy =
g(y)
(g(y) 6= 0)
Z
f (x) dx + c,
josta y = y(x) voidaan ratkaista.
Huomioi erikseen tilanne g(y) = 0
Esimerkki 6.1.
(y 0 )2 + y = 0
Esimerkki 6.2.
y 0 = −y 2
Etsi yleinen ratkaisu sekä sellainen yksityisratkaisu, joka toteuttaa ehdon
y(0) = 1.
Huomautus. Myös y(x) = 0 on yhtälön y 0 = −y 2 eräs ratkaisu.
Tätä ns. erikoisratkaisua ei saada yleensä yleisestä ratkaisusta millään vakion c
arvolla vaan se on huomioitava erikseen.
Esimerkki 6.3.
(1 + x2 ) ·
dy
+ x(1 + y) = 0
dx
6.1.2 Ensimmäisen kertaluvun lineaarinen differentiaaliyhtälö
dy
+ p(x)y = q(x),
dx
missä p(x) ja q(x) jatkuvia.
(9)
Homogeeninen tapaus
1. kertaluvun lineaarinen differentiaaliyhtälö on homogeeninen, jos q(x) = 0. Siis
dy
+ p(x)y = 0.
dx
(10)
72
Tämä on separoituva ja ratkaistaan kuten edellä:
⇔
⇔
⇔
dy
= −p(x) · y
dx
dy
= −p(x)dx (y 6= 0)
y
Z
Z
1
dy = − p(x) dx
y
Z
ln |y| = − p(x) dx + c0
⇔
eln |y| = e−
R
p(x) dx+c0
⇔
|y| = e−
R
p(x) dx
⇔
y(x) = Ce−
R
· ec
0
p(x) dx
yleinen ratkaisu
Esimerkki 6.4.
y 0 − 2y = 0
Täydellinen 1. kertaluvun lineaarinen differentiaaliyhtälö
dy
+ p(x)y = q(x)
dx
(11)
Lause 6.1. Jos y1 = y1 (x) on differentiaaliyhtälön (11) jokin ratkaisu (saatu
kokeilemalla) ja y0 = y0 (x) on yhtälöä (11) vastaavan homogeenisen tapauksen
(q(x) = 0) yleinen ratkaisu, niin yhtälön (11) yleinen ratkaisu on
y(x) = y0 (x) + y1 (x).
Ratkaisu y1 (x) löydetään kokeilemalla, kun q(x) on polynomi, emx , sin kx, cos kx
tai näiden tulo tai lineaarinen yhdiste.
Kokeilun/yritteen y1 (x) muodostaminen
1) q(x) on muuttujan x polynomi
Yrite: y1 (x) = muuttujan x polynomi (samaa astetta kuin q(x), kertoimet
tuntemattomat).
73
2) q(x) = ekx f (x), missä f on muuttujan x polynomi.
Yrite: y1 (x) = ekx Q(x), missä Q(x) on muuttujan x polynomi (samaa
astetta kuin f (x), kertoimet tuntemattomat).
3) q(x) = T sin kx + V cos kx
Yrite: y1 (x) = A sin kx + B cos kx
Huomautus.
Jos q(x) = sin kx, niin y1 (x) = A sin kx + B cos kx.
Jos q(x) = cos kx, niin y1 (x) = A sin kx + B cos kx.
4) q(x) on edellisten yhdiste tai tulo.
2. tapa lineaarisen differentiaaliyhtälön (11) ratkaisemiseksi:
y 0 (x) + p(x)y(x) = q(x)
Kerrotaan puolittain lausekkeella e
R
e
p(x) dx
Saadaan:
⇔
R
p(x) dx
R
· y 0 (x) + p(x) · e
:
p(x) dx
· y(x) = q(x) · e
R
p(x) dx
R
d R p(x) dx
· y(x) = q(x) · e p(x) dx
e
dx
Integroidaan molemmat puolet x:n suhteen:
Z
R
R
p(x) dx
e
· y(x) = q(x) · e p(x) dx dx
⇒ Tästä saadaan y(x) ratkaistua.
Esimerkki 6.5.
y 0 − 2y = x2 − 2x − 3
Esimerkki 6.6.
2
dy
− · y = x2 · ex
dx x
Esimerkki 6.7.
y 0 + y = e2x
74
6.1.3 Lineaarisen differentiaaliyhtälön erikoistapaus
Differentiaaliyhtälö muotoa
d
f (y) + p(x)f (y) = q(x),
dx
(12)
y(x) =?
missä f (y), p(x) ja q(x) ovat jatkuvia funktioita.
Eli muotoa
f 0 (y) ·
dy
+ p(x)f (y) = q(x)
dx
Ratkaistaan ensin f (y) kertomalla puolittain termillä e
R
R
e
p(x) dx
. Saadaan
R
R
dy
· f 0 (x) ·
+ p(x) · e p(x) dx · f (y) = q(x) · e p(x) dx
dx
R
d R p(x) dx
e
· f (y) = q(x) · e p(x) dx
dx
p(x) dx
⇔
(13)
Tästä f (y) ratkaistaan integroimalla yhtälö (13) muuttujan x suhteen ja saadusta
funktiosta f (y) ratkaistaan puolestaan funktio y(x).
Esimerkki 6.8.
dy
2
+ xy ln y = xye−x ,
dx
alkuehto y(0) = 1
6.1.4 Homogeeniset differentiaaliyhtälöt
Differentiaaliyhtälö on homogeeninen, jos sen normaalimuoto säilyy muuttumattomana, kun x ja y korvataan λx:llä ja λy:llä (λ 6= 0 vakio). Siis
dy
= f (x, y)
dx
(14)
on homogeeninen, jos f (λx, λy) = f (x, y).
Homogeeninen differentiaaliyhtälö (14) on nyt muotoa
y
y
dy
=g
= f 1,
dx
x
x
(15)
75
Homogeenista differentiaaliyhtälöä ratkaistaessa sijoitetaan (tuntemattoman
funktion vaihto)
y
y(x)
=u
u=
= u(x) on muuttujan x funktio
x
x
dy
du
dy
du
=u+x·
y = xu ⇒
=1·u+x·
ja
dx
dx
dx
dx
yhtälöön (15)
y
dy
=g
,
dx
x
(22)
jolloin saadaan
u+x·
du
= g(u)
dx
⇔
du
g(u) − u
=
= h(x, u).
dx
x
Tämä on separoituva differentiaaliyhtälö uuden tuntemattoman funktion u(x)
suhteen. Tästä voidaan ratkaista normaalisti u(x) ja sen avulla saadaan
y(x) = x · u(x).
Esimerkki 6.9.
y 2 + 2xy
y =
,
x2
x 6= 0
dy
= x + y,
dx
x > 0.
0
Esimerkki 6.10.
x
6.1.5 Eksaktit differentiaaliyhtälöt
Differentiaaliyhtälö
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0
(16)
on eksakti, jos on olemassa sellainen funktio g(x, y), että
∂g(x, y)
= M (x, y) ja
∂x
∂g(x, y)
= N (x, y)
∂y
Tästä saadaan, että differentiaaliyhtälö (16) on eksakti, jos ja vain jos
∂M (x, y)
∂N (x, y)
=
.
∂y
∂x
76
Eksaktin differentiaaliyhtälön ratkaiseminen:
Etsitään funktio g(x, y), jolla
∂g
∂g
= M ja
= N.
∂x
∂y
Siis
Z
g(x) =
M dx
Z
g(y) =
N dy
ja
(muuttujaa x sisältävä g(x, y) : n osa)
(muuttujaa y sisältävä g(x, y) : n osa)
Nämä yhdistämällä saadaan funktio g(x, y) määrättyä vakiotermiä vaille.
Eksaktin differentiaaliyhtälön ratkaisut saadaan ratkaisemalla y yhtälöstä
g(x, y) = 0.
Esimerkki 6.11.
(x2 + y 2 )dx + 2xy dy = 0 alkuehto y(1) = 1.
77
7
Differenssiyhtälöt
Funktion yt = f (t) arvoja tarkastellaan ajanhetkenä t (y0 , y1 , . . .).
Funktion f (t) ei tarvitse olla jatkuva funktio.
Aikaa tarkastellaan diskreettinä, mieluummin periodina kuin pisteenä.
Differenssioperaattori ∆ kuvaa funktion yt muutosta ajan suhteen:
(1. differenssi)
∆yt = yt+1 − yt
2
∆ yt = ∆(∆yt ) = ∆(yt+1 − yt ) = (yt+2 − yt+1 ) − (yt+1 − yt )
···
∆n yt = ∆(∆n−1 yt )
Esimerkki 7.1.
∆yt = 2,
7.1
∆yt = −0, 1yt
Ensimmäisen kertaluvun differenssiyhtälöt
Tarkoituksena löytää jokin yt = f (t) siten, että differenssiyhtälö toteutuu.
Yhtälö sisältää vain ensimmäisiä differenssejä.
Täydellinen muoto: a1 yt+1 − a0 yt = c,
ai ja c vakioita.
Homogeeninen muoto: a1 yt+1 − a0 yt = 0,
ai vakioita.
7.1.1 Homogeenisen muodon ratkaiseminen:
a1 yt+1 − a0 yt = 0
Yritetään ratkaisua yt = A(bt ) sijoittamalla se differenssiyhtälöön. Saadaan
a1 Abt+1 − a0 Abt = 0 | : (Abt )
karakteristinen yhtälö:
a1 b − a0 = 0
Tästä saadaan yleinen ratkaisu yt = Abt , kun b on ratkaistu. Yksityisratkaisu
saadaan alkuehdolla y0 = . . ., jolloin A ratkeaa.
Esimerkki 7.2. Ratkaise yt+1 − 5yt = 0 alkuehdolla y0 = 5.
78
7.1.2 Täydellisen muodon ratkaiseminen:
a1 yt+1 − a0 yt = c
Yleinen ratkaisu yt = yh + yp , missä yh on vastaavan homogeenisen muodon
yleinen ratkaisu ja yp kokeilemalla saatu jokin ratkaisu täydelliselle muodolle.
Kokeilu: Yritetään ensin yp = k (vakio), jos tämä ei toimi yritetään yp = kt,
sitten yp = kt2 jne (kokeilusta pyritään ratkaisemaan vakio k).
Esimerkki 7.3. Ratkaise yt+1 − 5yt = 1 alkuehdolla y0 = 47 .
7.2
Toisen kertaluvun differenssiyhtälöt
Yhtälöt, joissa esiintyy toista differenssiä ∆2 .
Yksityisratkaisuun tarvitaan kaksi alkuehtoa y0 = . . . ja y1 = . . ..
Täydellinen muoto: a2 yt+2 + a1 yt+1 + a0 yt = c,
ai ja c vakioita.
Homogeeninen muoto: a2 yt+2 + a1 yt+1 + a0 yt = 0,
ai vakioita.
7.2.1 Homogeenisen muodon ratkaiseminen:
a2 yt+2 + a1 yt+1 + a0 yt = 0
Yritetään ratkaisua yt = A(bt ) sijoittamalla se differenssiyhtälöön. Saadaan
a2 Abt+2 + a1 Abt+1 + a0 Abt = 0 | : Abt
Karakteristinen yhtälö:
a2 b2 + a1 b + a0 = 0,
josta ratkaistaan b.
79
Eri tapauksia:
1. Karakteristisen yhtälön juuret ovat reaaliset ja erisuuret.
(
b1
a2 b 2 + a1 b + a0 = 0 ⇔ b =
b2
Tällöin homogeenisen muodon yleinen ratkaisu on
yt = A1 bt1 + A2 bt2
Esimerkki 7.4. Ratkaise yt+2 +yt+1 −2yt = 0 alkuehdoilla y0 = 4 ja y1 = 5.
2. Karakteristisella yhtälöllä kaksinkertainen reaalijuuri.
a2 b2 + a1 b + a0 = 0
⇔
b = b1 = b2
Tällöin homogeenisen muodon yleinen ratkaisu on
yt = A1 bt + A2 bt t
3. Karakteristisen yhtälön juuret eivät ole reaalisia.
a2 b 2 + a1 b + a0 = 0
⇔
b = α ± iβ
Tällöin homogeenisen muodon yleinen ratkaisu on
yt = A1 (α + iβ)t + A2 (α − iβ)t
Yksityisratkaisut saadaan, kun alkuehtojen perusteella ratkaistaan vakiot A1 ja
A2 .
7.2.2 Täydellisen muodon ratkaiseminen:
a2 yt+2 + a1 yt+1 + a0 yt = c
Yleinen ratkaisu yt = yh + yp , missä yh on vastaavan homogeenisen muodon
yleinen ratkaisu ja yp kokeilemalla saatu jokin ratkaisu täydelliselle muodolle.
Kokeilu: Yritetään ensin yp = k (vakio), jos tämä ei toimi yritetään yp = kt,
sitten yp = kt2 jne (kokeilusta pyritään ratkaisemaan vakio k).
Yksityisratkaisu saadaan, kun alkuehtojen perusteella ratkaistaan vakiot A1 ja
A2 .
Esimerkki 7.5. Ratkaise yt+2 + yt+1 − 2yt = 12 alkuehdoilla y0 = 4 ja y1 = 5.
80