Vektoreilla_laskeminen
PERUSKÄSITTEITÄ VEKTOREISTA • vektoriin liittyy 1) pituus ja 2) suunta, mutta ei mitään tiettyä paikkaa • vektorit ovat SAMAT eli IDENTTISET täsmälleen silloin, kun niillä on sama pituus ja sama suunta a b a b a b 1 a b 1) yhdensuuntaiset vektorit a b a) samansuuntaiset vektorit a b b) vastakkaissuuntaiset vektorit a b 2) erisuuntaiset vektorit 2 • vektori, jonka pituus on nolla, on NOLLAVEKTORI 0 • nollavektorin suunta on määrittelemätön • vektori, joka ei ole nollavektori, on AITO VEKTORI • vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, jos niiden samasta pisteestä alkavat edustajat muodostavat keskenään suoran kulman: merkitään ab 3 VEKTOREIDEN SUMMA • Vektoreiden summa a b on vektori, jonka alkupiste on a : n alkupiste ja loppupiste b : n loppupiste, kun vektorit asetetaan peräkkäin. ab a • Summavektori saadaan myös sellaisen suunnikkaan lävistäjänä, jonka sivuina ovat vektorit . a ja b • Vektoreiden summaa sanotaan resultantiksi ja yhteenlaskettavia komponenteiksi. b b ab a 4 VEKTOREIDEN EROTUS • Vektoreiden a ja b erotus saadaan, kun vektoriin a lisätään b : n vastavektori b . • Toisin sanoen a b a (b) b a a b • Erotusvektori a b on myös vektoreiden kärkiä yhdistävä vektori, kun vektorit on piirretty alkamaan samasta pisteestä. • Tällöin erotusvektorin kärki osoittaa erotuksen ensimmäistä jäsentä eli vähenevää. b a b b a 5 YHTEENLASKUN LASKULAIT • Vaihdantalaki a b ba • Liitäntälaki a (b c) (a b) c a b c 6 SULJETTU REITTI • Suljetulla reitillä vektoreiden summa on nollavektori 0 . c d c b a bcd 0 d b a a 7 VEKTORIN KERTOMINEN LUVULLA Reaaliluvun k 0 ja aidon vektorin a tulo on vektori, joka täyttää ehdot ka k a 1) pituus 2) suunta k a a, k 0 • k a a, k 0 Jos k = 0 tai a 0 , sovitaan, että k a 0. 8 VEKTOREIDEN YHDENSUUNTAISUUS a b a kb k 0, k R yhdensuuntaisuus k 0, k R samansuuntaisuus k 0, k R vastakkaissuuntaisuus 9 YKSIKKÖVEKTORI • Vektoria, jonka pituus on yksi, sanotaan yksikkövektoriksi. • Vektorin a suuntaisesta yksikkövektorista 0 käytetään merkintää a • Yksikkövektori saadaan jakamalla vektori omalla pituudellaan 0 a a a 10 VEKTOREIDEN KERTOLASKULAIT • Liitäntälaki t ( s a ) (ts)a • Osittelulait (t s )a t a s a t ( a b) t a t b 11 KOMPONENTIT JA KANTA • Vektoreiden summa on RESULTANTTI ja yhteenlaskettavat ovat KOMPONENTTEJA. • Erisuuntaisten vektoreiden a 0 ja b 0 määräämän tason jokainen vektori v voidaan esittää vektoreiden a ja b lineaarisena yhdistelynä v t a sb; t , s R a v b ta sb • Vektorit a ja b muodostavat tason KANNAN ja niitä sanotaan KANTAVEKTOREIKSI. 12 JAKOSUHDEVEKTORI • Pisteen paikkavektori on origon ja pisteen yhdysvektori. Se alkaa origosta ja päättyy kyseiseen pisteeseen. • Piste P jakaa janan AB suhteessa q : p • Jakopisteen P paikkavektoria OP kutsutaan janan jakosuhdevektoriksi. B p a qb OP pq ( p) P (q ) b A a O 13 KOLMION MEDIAANI- ELI KESKIJANAVEKTORI p a qb OP pq • Kun janan jakopistelauseessa piste P on janan AB keskipiste, on q=p=1, jolloin ab OP 2 B (1) P (1) b A a O • Kyseessä on kolmion mediaani- eli keskijanavektori. 14 VEKTORIT TASOKOORDINAATISTOSSA • Kantavektorit i ja j , i j , i 1 , j 1 • Vektori r xi y j on pisteen P (x, y) paikkavektori OP • Tason pisteet ja paikkavektorit vastaavat täysin toisiaan • Paikkavektorin r pituus on r x y 2 2 y P ( x, y ) yj r xi y j j O i x xi 15 KAHDEN PISTEEN VÄLINEN VEKTORI y OA x1 i y1 j B( x2 , y2 ) OB x2 i y2 j AB AO OB OA OB x1 i y1 j x2 i y2 j ( x2 x1 )i ( y2 y1 ) j x O A( x1 , y1 ) AB ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 16 VEKTOREIDEN VÄLINEN KULMA a b (a, b) 0 0 a (a, b) on terävä a b (a, b) 90 b b a 0 b a (a, b) on tylppä a b (a, b) 180 b a 0 b a 17 PISTETULO ELI SKALAARITULO a b a b cos( a, b) a 0, b 0 a b 0 00 kulma(a, b) 900 a b 0 90 0 kulma(a, b) 180 0 a b 0 kulma(a, b) 90 0 a 0 b 0 a b 0 18 VEKTOREIDEN VÄLINEN KULMA cos a b ab 00 900 : cos 0, a b 0 900 : cos 0, a b 0 900 1800 : cos 0, a b 0 19 PISTETULON JA VEKTORIEN KOHTISUORUUDEN YHTEYS a b a b 0 a 0, b 0 PISTETULON JA VEKTORIN PITUUDEN VÄLINEN YHTEYS 2 2 a a a a cos 0 a 1 a 0 a aa 20 PISTETULON ALGEBRALLINEN ESITYS a b (ax i a y j ) (bx i by j ) axbx a y by MUISTIKAAVAT 2 ( a b) ( a b) a b 2 2 2 2 2 ( a b) a 2a b b 2 ( a b) a 2a b b 2 21 PISTETULON LASKULAIT a b b a a (b c) a b a c a (t b) t (a b) 22 VEKTORIT AVARUUSKOORDINAATISTOSSA Kantavektorit i, i 1 j, j 1 z P r OP xi y j z k zk O k, k 1 y xi yj x r x2 y2 z 2 23 KAHDEN PISTEEN VÄLINEN VEKTORI AVARUUDESSA z B( x2 , y2 , z2 ) OA x1 i y1 j z1 k OB x2 i y2 j z 2 k A( x1 , y1 , z1 ) AB AO OB ( x1 i y1 j z1 k ) x2 i y2 j z 2 k y O ( x2 x1 )i ( y2 y1 ) j ( z 2 z1 ) z x AB ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) ( z 2 z1 ) 2 2 2 24 AVARUUSVEKTOREIDEN PISTETULO a ax i a y j az k b bx i by j bz k Pistetulo a b axbx a y by az bz 25 JANAN KESKIPISTE AVARUUDESSA Janan AB päätepisteet ovat A ( x1 , y1 , z1 ) ja B ( x2 , y2 , z 2 ). Tällöin janan AB keskipiste on x1 x2 y1 y2 z1 z 2 M ( x0 , y0 , z0 ) ( , , ) 2 2 2 26 AVARUUSSUORAN YHTÄLÖT: JOHTAMINENz OP OP0 t s ts OP OP0 P0 P OP0 t s, t R Koska s s x i s y j s z k , saadaan xi y j z k x0 i y0 j z0 k t ( s x i s y j s z k ) P0 ( x0 , y0 , z0 ) xi y j z k ( x0 tsx )i ( y0 ts y ) j ( z0 tsz )k , s josta kantavektoriesityksen ollessa yksikäsitteinen : x x0 tsx y y0 tsy z z ts 0 z y Ratkaistaan t : O tsx x x0 ts y y y0 ts z z 0 z x x0 t sx y y0 , joten t sy z z0 t s z x x0 y y0 z z0 sx sy sz P ( x, y , z ) x P0 ( x0 , y0 , z0 ) suoran annettu piste P ( x, y, z ) suoran yleinen piste s s x i s y j s z k suoran suuntavektori 27 AVARUUSSUORAN YHTÄLÖT KOONTA 1) Vektoriyhtälö OP OP0 t s P0 ( x0 , y0 , z0 ) suoran 2) Parametrimuoto x x0 tsx y y0 tsy z z ts 0 z annettu piste P ( x, y, z ) suoran yleinen piste s s x i s y j s z k suoran suuntavektori 3) Koordinaattiyhtälö x x0 y y0 z z0 sx sy sz 28 TASON YHTÄLÖT 1) Erisuuntaisten vektoreiden määrittämä taso (tai toisin: kolmen pisteen määräämä taso) P(x,y,z) sv P0(x0,y0,z0) tu P0 P t u s v, t, s R z OP OP0 P0 P y O Tason vektorimuotoinen yhtälö: x OP OP0 t u sv, t, s R 29 TASON YHTÄLÖT 2) Pisteen ja normaalivektorin määräämä taso n ai b j c k P(x,y,z) P0 P ( x x0 )i ( y y0 ) j ( z z0 )k P(x0,y0,z0) Tason koordinaattimuotoinen yhtälö: O n _ P0 P n P0 P 0 ai b j ck ( x x )i ( y y ) j ( z z )k 0 0 0 0 a( x x0 ) b( y y0 ) c( z z0 ) 0 30 TASON YHTÄLÖT 3) Tason normaalimuotoinen yhtälö: Tason koordinaattimuodosta a( x x0 ) b( y y0 ) c( z z0 ) 0 saadaan : ax ax0 by by0 cz cz0 0 ax by cz ax0 by0 cz0 0, merkitään ax0 by0 cz0 vakio d ax by cz d 0 31
© Copyright 2024