2 2.1 Riemann-integraali Porrasfunktion integraali Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia. Määritelmä 2.1 (Porrasfunktion integraali). Olkoon f : [a, b] → R porrasfunktio ja P = {x0 , x1 , . . . , xn } sellainen välin [a, b] jako, että f (x) = aj ∀x ∈ ]xj−1 , xj [ , kun j = 1, 2, . . . , n. Olkoon lisäksi `(Ij ) = xj − xj−1 jaon P osavälin Ij = ]xj−1 , xj [ pituus (j = 1, 2, . . . , n). Tällöin porrasfunktion f integraali yli välin [a, b] on Zb a f = Zb f (x) dx = n X aj · `(Ij ). j=1 a Huomautus. Porrasfunktion integraalin merkinnässä dx tarkoittaa, että integroitavan porrasfunktion integraalia lasketaan muuttajan x suhteen. Huomautus 2.1. Porrasfunktion integraali ei riipu valitusta välijaosta P (harjoitustehtävä). Huomautus 2.2. Porrasfunktion integraali ei riipu millään tavalla funktion arvosta välijaon jakopisteissä. Esimerkki 2.1. Määritetään porrasfunktion (ks. esimerkki 1.1) f : [−1, 3] → Z, f (x) = bxc = suurin kokonaisluku, joka on ≤ x, porrasintegraali yli välin [−1, 3]. Tarkastellaan välin [−1, 3] jakoa P = {−1, 0, 1, 2, 3}. Tällöin kunkin osavälin pituus on yksi, joten Z3 f = (−1) · 1 + 0 · 1 + 1 · 1 + 2 · 1 −1 = −1 + 0 + 1 + 2 = 2. 8 Esimerkki 2.2. Vakiofunktio f (x) = c (c ∈ R) on porrasfunktio millä tahansa välillä [a, b], sillä tarvittavaksi jaoksi voidaan valita P = {a, b} (eli vain yksi jakoväli). Tällöin Zb f (x) dx = Zb a c dx = c · (b − a). a Esimerkki 2.3. Olkoon n ∈ Z+ ja Pn välin [0, 1] jako, jonka jakopisteet ovat Pn = p ∈ Q p = 0, 1, . . . , n, q = 1, 2, . . . , n, p ≤ q . q Määritetään porrasfunktion hn (x) = 1, kun x ∈ Pn , 1 , kun x ∈ [0, 1] \ Pn , n porrasintegraali yli välin [0, 1]. Olkoon k jaon Pn jakovälien lukumäärä, ja olkoot `(I1 ), `(I2 ), . . . , `(Ik ) jaon Pn jakovälien pituudet. Tällöin Z1 hn (x) dx = 0 k X k 1 1 1 X 1 `(Ij ) = · `(Ij ) = ·1 = . n n n n j=1 j=1 Esitetään sitten muutamia porrasintegraalien perusominaisuuksia. Ominaisuudet ovat ilmeisiä porrasfunktioden määrittelyn perusteella. Täsmälliset todistukset jätetään osin harjoitustehtäväksi. Lause 2.3. Jos g ja h ovat porrasfunktioita ja g ≤ h välillä [a, b], niin Zb g ≤ a Zb h. a Todistus. Harjoitustehtävä. Lause 2.4 (Lineaarisuus). Jos f ja g ovat välin [a, b] porrasfunktioita ja λ ∈ R, niin Zb (λf ) = λ a Zb f Zb ja a a Todistus. Harjoitustehtävä. 9 (f + g) = Zb a f+ Zb a g. Lause 2.5 (Additiivisuus). Olkoon f välin [a, b] porrasfunktio ja c ∈ ]a, b[. Tällöin Zb f = a Zc f+ a Zb f. c Todistus. Koska f on välin [a, b] porrasfunktio ja c ∈ ]a, b[, niin f on porrasfunktio1 myös väleillä [a, c] ja [c, b] (huomautus 1.10, s. 6). Olkoon nyt P jokin välin [a, b] jako, joka sisältää kaikki funktion f porraspisteet välillä [a, b], ja P 0 = {x0 , x1 , . . . , xn } välin [a, b] jako P 0 = P ∪ {c}. Oletetaan lisäksi, että f (x) = aj ∀x ∈ ]xj−1 , xj [ , kun j = 1, 2, . . . , n. Tällöin c = xk jollakin k ∈ {1, 2, . . . , n−1}. Lisäksi {x0 , x1 , . . . , xk } on välin [a, c] jako, joka sisältää kaikki funktion f porraspisteet välillä [a, c], ja {xk , xk+1 , . . . , xn } on välin [c, b] jako, joka sisältää kaikki funktion f porraspisteet välillä [c, b]. Koska porrasfunktion integraali on riippumaton välitusta välijaosta, niin Zb f = n X aj · (xj − xj−1 ) j=1 a = k X aj · (xj − xj−1 ) + j=1 = Zc a 1 f + n X aj · (xj − xj−1 ) j=k+1 Zb f. c Täsmällisesti ottaen porrasfunktioita ovat funktion f rajoittumat kyseisille väleille. 10 2.2 Ala- ja yläintegraali Jos funktio f on rajoitettu välillä [a, b], niin on olemassa sellaiset vakiot m ∈ R ja M ∈ R, että m ≤ f (x) ≤ M ∀x ∈ [a, b] . Jos lisäksi g ja h ovat sellaisia porrasfunktioita, että g ≤ f ≤ h välillä [a, b], niin g≤M ja h≥m välillä [a, b]. Koska vakiofunktio on porrasfunktio, niin lauseen 2.3 (s. 9) nojalla Zb g ≤ Zb a a Zb Zb M = M ·(b − a) ja h ≥ a m = m·(b − a). a Siis joukko (2.1) A = b Z a g g on porrasfunktio ja g ≤ f välillä [a, b] on ylhäältä rajoitettu ja joukko (2.2) B = b Z a h h on porrasfunktio ja f ≤ h välillä [a, b] on alhaalta rajoitettu. Lisäksi kumpikaan joukoista ei selvästikään ole tyhjä joukko. Täten voidaan asettaa seuraava määritelmä. Määritelmä 2.2. Olkoon f välillä [a, b] rajoitettu funktio, ja olkoot A ja B ehdoissa (2.1) ja (2.2) määritellyt joukot. Tällöin IL (f, [a, b]) = sup A on funktion f alaintegraali yli välin [a, b] ja IU (f, [a, b]) = inf B on funktion f yläintegraali yli välin [a, b]. 11 Esimerkki 2.4. Määritetään Dirichlet’n funktion 1, f (x) = kun x ∈ Q, 0, kun x ∈ R \ Q, ala- ja yläintegraali yli välin [a, b]. Funktio f on selvästi rajoitettu välillä [a, b], joten etsittävät ala- ja yläintegraali ovat olemassa. Määritetään ensin alaintegraali IL (f, [a, b]). 1◦ : Olkoon g jokin sellainen porrasfunktio, että g ≤ f välillä [a, b]. Olkoot lisäksi I1 , I2 , . . . , In porrasfunktion g jotakin jakoa vastaavat (avoimet) jakovälit ja a1 , a2 , . . . , an funktion g (vakio)arvot jakoväleillä I1 , I2 , . . . , In . Tällöin aj ≤ 0 (j = 1, 2, . . . , n), sillä jokainen reaalilukuväli sisältää irrationaalipisteitä. Täten Zb g = n X aj · `(Ij ) ≤ j=1 a n X 0 · `(Ij ) = 0, j=1 missä `(Ij ) on osavälin Ij pituus. Siis IL (f, [a, b]) ≤ 0. 2◦ : Tarkastellaan porrasfunktiota g(x) = 0 kaikilla x ∈ [a, b]. Tällöin g ≤ f välillä [a, b] ja Zb g = a Zb 0 = 0·(b − a) = 0. a Siis supremumin perusominaisuuksien nojalla IL (f, [a, b]) ≥ 0. Täten kohtien 1◦ ja 2◦ perusteella IL (f, [a, b]) = 0. Määritetään sitten vastaavalla tavalla yläintegraali IU (f, [a, b]). 3◦ : Olkoon h jokin sellainen porrasfunktio, että f ≤ h välillä [a, b]. Olkoot lisäksi I1 , I2 , . . . , In porrasfunktion h jotakin jakoa vastaavat (avoimet) jakovälit ja a1 , a2 , . . . , an funktion h (vakio)arvot jakoväleillä I1 , I2 , . . . , In . Tällöin aj ≥ 1 (j = 1, 2, . . . , n), sillä jokainen reaalilukuväli sisältää rationaalipisteitä. Täten Zb a h = n X aj · `(Ij ) ≥ j=1 n X j=1 12 1 · `(Ij ) = b − a, missä `(Ij ) on osavälin Ij pituus. Siis IU (f, [a, b]) ≥ b − a. 4◦ : Tarkastellaan porrasfunktiota h(x) = 1 kaikilla x ∈ [a, b]. Tällöin f ≤ h välillä [a, b] ja Zb a h = Zb 1 = 1·(b − a) = b − a. a Siis infimumin perusominaisuuksien nojalla IU (f, [a, b]) ≤ b − a. Täten kohtien 3◦ ja 4◦ perusteella IU (f, [a, b]) = b − a. Ala- ja yläintegraalin määrittelyn sekä porrasfunktioiden ja supremumin sekä infimumin perusominaisuuksien nojalla voidaan esittää seuraavat huomautukset. Huomautus 2.6. Lauseiden 1.5 (s. 2) ja 2.3 (s. 9) nojalla aina IL (f, [a, b]) ≤ IU (f, [a, b]), mutta välttämättä ei päde (ks. esimerkki 2.4) IL (f, [a, b]) = IU (f, [a, b]). Huomautus 2.7. Jos g ja h ovat porrasfunktioita ja g ≤ f ≤ h välillä [a, b], niin huomautuksen 2.6 sekä supremumin ja infimumin perusominaisuuksien nojalla Zb g ≤ IL (f, [a, b]) ≤ IU (f, [a, b]) ≤ a Zb h. a Huomautus 2.8. Jos f on välin [a, b] porrasfunktio, niin huomautuksen 2.7 perusteella IL (f, [a, b]) = IU (f, [a, b]) = Zb a 13 f. Lause 2.9 (Additiivisuus). Olkoon f : [a, b] → R rajoitettu ja c ∈ ]a, b[. Tällöin IL (f, [a, b]) = IL (f, [a, c]) + IL (f, [c, b]) ja IU (f, [a, b]) = IU (f, [a, c]) + IU (f, [c, b]). Todistus. Todistetaan alaintegraaleja koskeva tulos. Yläintegraaleja koskeva tulos todistetaan vastaavasti (harjoitustehtävä). Alaintegraalin määritelmästä sekä lauseista 1.4 (s. 2) ja 2.5 (s. 10) seuraa, että1 IL (f, [a, b]) = L2.5 = L1.4 = b Z sup a c Z sup sup g g on porrasfunktio ja g ≤ f välillä [a, b] g+ a c Z Zb c g g on porrasfunktio ja g ≤ f välillä [a, b] g g on porrasfunktio ja g ≤ f välillä [a, c] a + sup b Z = c g g on porrasfunktio ja g ≤ f välillä [c, b] IL (f, [a, c]) + IL (f, [c, b]). 1 Täsmällisesti ottaen väleillä [a, c] ja [c, b] kyseessä ovat funktioiden f ja g rajoittumat kyseisille väleille. 14 2.3 Riemann-integraali ja Riemann-integroituvuus Määritellään sitten Riemann-integraali ala- ja yläintegraalin avulla. Määritelmä 2.3 (Riemann-integraali). Rajoitettu funktio f : [a, b] → R on Riemann-integroituva välillä [a, b], jos IL (f, [a, b]) = IU (f, [a, b]). Tällöin funktion f Riemann-integraali yli välin [a, b] on Zb a f = Zb f (x) dx = IL (f, [a, b]) = IU (f, [a, b]). a Huomautus. Riemann-integraalin merkinnässä dx tarkoittaa, että integroitavan funktion integraalia lasketaan muuttajan x suhteen. Huomautus 2.10. Huomautuksen 2.8 (s. 13) nojalla porrasfunktiot ovat Riemann-integroituvia ja porrasfunktion Riemann-integraali on sama kuin luvussa 2.1 tarkasteltu porrasfunktion integraali. Täten porrasfunktion integraalille ja Riemannintegraalille on luontevaa käyttää samaa merkintää. Huomautus 2.11. Jos funktio f on Riemann-integroituva välillä [a, b], niin huomautuksen 2.7 (s. 13) nojalla Zb g ≤ a Zb f ≤ a Zb h a aina, kun g ja h ovat sellaisia välin [a, b] porrasfunktioita, että g ≤ f ≤ h. Esimerkki 2.5. Esimerkin 2.4 perusteella Dirichlet’n funktio 1, kun x ∈ Q, f (x) = 0, kun x ∈ R \ Q, ei ole Riemann-integroituva millään reaalilukuvälillä [a, b]. Funktion Riemann-integroituvuuden tutkiminen ala- ja yläintegraaleja laskemalla on yleisesti ottaen melko hankalaa. Seuraava yksinkertainen havainto helpottaa jonkin verran asiaa. 15 Lause 2.12 (Riemannin ehto). Välillä [a, b] rajoitettu funktio f on Riemannintegroituva välillä [a, b] täsmälleen silloin, kun jokaista lukua ε > 0 kohti on olemassa sellaiset välin [a, b] porrasfunktiot g ja h, että g ≤ f ≤ h välillä [a, b] ja Zb h− a Zb g < ε. a Todistus. Väite seuraa suoraan Riemann-integraalin määritelmästä ja lauseesta 1.6 (s. 3), kun tutkitaan ala- ja yläintegraalin määrittelyssä esiintyneitä joukkoja A = b Z g g on porrasfunktio ja g ≤ f välillä [a, b] a ja B = b Z a h h on porrasfunktio ja f ≤ h välillä [a, b] . Esimerkki 2.6. Kurssilla Analyysi 1 tarkasteltiin Thomaen funktiota1 f (x) = 0, 1, 1 , q kun x ∈ R \ Q, kun x = 0, kun x ∈ Q ja x = p (p 6= 0, q > 0) on supistetussa muodossa, q joka on jatkuva kaikilla x ∈ R \ Q ja epäjatkuva kaikilla x ∈ Q. Osoitetaan Riemannin ehtoa käyttäen, että f on Riemann-integroituva välillä [0, 1]. Valitaan mielivaltainen ε > 0. Olkoon n jokin sellainen kokonaisluku, että 1 n> . ε Olkoon lisäksi g sellainen porrasfunktio, että g(x) = 0 kaikilla x ∈ [0, 1], ja h esimerkin 2.3 (s. 9) porrasfunktio hn . Tällöin Z1 g = 0 ja 0 Z1 h = 1 . n 0 Täten on olemassa sellaiset porrasfunktiot g ja h, että g ≤ f ≤ h välillä [0, 1] (harjoitustehtävä) ja Z1 0 h− Z1 g = 1 1 −0 = < ε. n n 0 Siis f on välillä [0, 1] Riemann-integroituva Riemannin ehdon nojalla. 1 Funktiota kutsutaan myös popcorn-, sadepisara- tai viivotinfunktioksi. 16 Seuraava lause helpottaa joskus Riemannin ehdon käyttöä tutkittaessa funktion Riemann-integroituvuutta. Lause antaa myös tavan määrittää integraalin arvo. Lause 2.13. Olkoon f : [a, b] → R. Jos on olemassa sellaiset porrasfunktiot gn ja hn (n = 1, 2, . . . ), että gn ≤ f ≤ hn välillä [a, b] ja lim Zb n→∞ gn = n→∞ lim a Zb hn , a niin f on Riemann-integroituva välillä [a, b] ja Zb f = lim Zb n→∞ a gn = lim Zb n→∞ a hn . a Todistus. Väite seuraa suoraan Riemann-integraalin määritelmästä ja seurauksesta 1.7 (s. 3), kun tutkitaan ala- ja yläintegraalin määrittelyssä esiintyneitä joukkoja A = b Z g g on porrasfunktio ja g ≤ f välillä [a, b] a ja B = b Z h h on porrasfunktio ja f ≤ h välillä [a, b] . a Esimerkki 2.7. Lauseen 2.13 nojalla esimerkin 2.6 Thomaen funktion f Riemannintegraaliksi yli välin [0, 1] saadaan Z1 f = n→∞ lim 0 Z1 hn = n→∞ lim 1 = 0. n 0 Lausetta 2.13 käytettäessä vaadittavat porrasfunktiot gn ja hn muodostetaan usein valitsemalla porrasfunktion gn arvoiksi välin [a, b] jotakin jakoa vastaavilla (avoimilla) jakoväleillä I1 , I2 , . . . , In arvot m1 , m2 , . . . , mn , missä n o mj = inf f (x) x ∈ Ij , j = 1, 2, . . . , n. Vastaavasti porrasfunktion hn arvoiksi (avoimilla) jakoväleillä I1 , I2 , . . . , In valitaan M1 , M2 , . . . , Mn , missä n o Mj = sup f (x) x ∈ Ij , 17 j = 1, 2, . . . , n. Tarvittavat porrasfunktioiden jonot muodostuvat tällöin jakovälien määrän lisääntyessä. Porrasfunktioiden arvoiksi kunkin jaon jakopisteissä voidaan valita esimerkiksi funktion f arvo kyseisissä pisteissä. Jos funktio on jatkuva välillä [a, b], voidaan infimumin ja supremumin sijasta käyttää funktion pienintä ja suurinta arvoa kullakin jakovälillä. Tämä tietysti helpottaa porrasfunktioiden muodostamista oleellisesti. Käytännössä tarkastellaan usein tasavälistä jakoa. Jos porrasfunktioita gn ja hn vastaavassa tasavälisessä jaossa on n osaväliä, kunkin jakovälin pituudeksi t saadaan t = b−a . n Tällöin gn ≤ f ≤ hn sekä Zb gn = n X t·mj = n b−a X · mj n j=1 t·Mj = n b−a X · Mj . n j=1 j=1 a ja Zb n X hn = j=1 a Jos nyt lim Zb n→∞ gn = lim Zb n→∞ a hn = S, a niin f on Riemann-integroituva välillä [a, b] ja Zb f (x) dx = S. a Esimerkki 2.8. Osoitetaan, että funktio f (x) = kx (k > 0) on Riemann-integroituva välillä [a, b], ja määritetään Zb kx dx. a Tarkastellaan välin [a, b] tasavälistä jakoa {a, a + t, a + 2t, . . . , a + nt} (n ∈ Z+ ), missä b−a t = . n Olkoon lisäksi gn (x) = k · (a + (j − 1)t) ja 18 hn (x) = k · (a + jt), kun x ∈ [a + (j − 1)t, a + jt[ (j = 1, 2, . . . , n), ja gn (b) = hn (b) = f (b) = kb. Tällöin gn ja hn ovat porrasfunktioita ja gn ≤ f ≤ hn välillä [a, b] (sillä f on kasvava). Edelleen Zb gn = n X t · k · (a + (j − 1)t) j=1 a n X = tka n X 2 1+tk j=1 (j − 1) j=1 n(n − 1) 2 = tka · n + t2 k · b−a = · ka · n + n = (b − a)ka + b−a n 2 ·k· n(n − 1) 2 n−1 (b − a)2 ·k· 2 n } | {z →1 2 → (b − a)ka + (b − a) k, 2 kun n → ∞, ja Zb a hn = n X t · k · (a + jt) j=1 = tka n X 1 + t2 k j=1 n X = tka · n + t2 k · n(n + 1) 2 b−a = · ka · n + n = (b − a)ka + j j=1 b−a n 2 ·k· n(n + 1) 2 (b − a)2 n+1 ·k· 2 n } | {z →1 → (b − a)ka + (b − a)2 k, 2 19 kun n → ∞. Täten f on lauseen 2.13 nojalla Riemann-integroituva välillä [a, b] ja Zb kx dx = (b − a)ka + a (b − a)2 b − a b 2 − a2 k = k(b − a) a + . = k· 2 2 2 Seuraava esimerkkiä 2.8 koskeva huomio vähentää joskus tarvittavia laskutoimituksia. Huomautus. Jos esimerkissä 2.8 riittää vain osoittaa Riemann-integroituvuus, selvitään vähemmillä laskutoimituksilla. Tällöin ei tarvitse laskea raja-arvoja, vaan riittää osoittaa, että jokaista lukua ε > 0 kohti on olemassa sellainen n ∈ Z+ , että Zb a hn − Zb gn = n X t · k · (a + jt) − j=1 a = n X t · k · (a + (j − 1)t) j=1 t · k · (a + nt) − t · |k{z· a} | {z } =f (b) = t · (kb − ka) = b−a · k · (b − a) n = k(b − a)2 n < ε. =f (a) Vaadittu luku n ∈ Z+ löytyy nyt valitsemalla n > k(b − a)2 . ε Huomautus. Edellinen huomautus koskee muitakin vastaavia tapauksia. 20 2.4 Integroituvia funktioita Lause 2.14. Välillä [a, b] monotoninen funktio on Riemann-integroituva välillä [a, b]. Todistus. Todistetaan tapaus, jossa funktio f on kasvava välillä [a, b]. Tapaus, jossa funktio on vähenevä, todistetaan vastaavasti (harjoitustehtävä). Olkoon siis f kasvava välillä [a, b]. Jos f (a) = f (b), niin f on vakiofunktiona porrasfunktio ja siten Riemann-integroituva välillä [a, b]. Täten voidaan olettaa, että f (a) < f (b). Valitaan mielivaltainen ε > 0. Olkoon nyt {a, a + t, a + 2t, . . . , a + nt} sellainen välin [a, b] tasavälinen jako, että jakovälin pituus t = ε b−a < . n f (b) − f (a) Olkoon lisäksi g(x) = f (a + (j − 1)t) ja h(x) = f (a + jt), kun x ∈ [a + (j − 1)t, a + jt[ (j = 1, 2, . . . , n), sekä g(b) = h(b) = f (b). Tällöin g ja h ovat porrasfunktioita ja g ≤ f ≤ h välillä [a, b] (sillä f on kasvava). Täten Zb a h− Zb g = n X t · f (a + jt) − j=1 a = n X t · f (a + (j − 1)t) j=1 t · f (a + nt) −t · f (a) | {z = f (b) } = t · (f (b) − f (a)) < ε · (f (b) − f (a)) f (b) − f (a) = ε. Siis f on Riemannin ehdon nojalla Riemann-integroituva välillä [a, b]. Esimerkki 2.9. Olkoon a > 0 ja n ∈ Z+ . Tällöin f (x) = 1 xn on aidosti vähenevänä funktiona Riemann-integroituva välillä [a, b]. 21 Huomautus 2.15. Tutkimalla lauseen 2.14 todistuksen porrasfunktioita havaitaan (harjoitustehtävä), että jos {x0 , x1 , . . . , xn } on jokin välin [a, b] jako ja funktio f on kasvava välillä [a, b], niin n X f (xj−1 )(xj − xj−1 ) ≤ j=1 Zb f (x) dx ≤ n X f (xj )(xj − xj−1 ). j=1 a Jos vastaavasti f on vähenevä, niin n X f (xj )(xj − xj−1 ) ≤ Zb j=1 f (x) dx ≤ n X f (xj−1 )(xj − xj−1 ). j=1 a Lause 2.16. Välillä [a, b] jatkuva funktio on Riemann-integroituva välillä [a, b]. Todistus. Valitaan mielivaltainen ε > 0. Koska suljetulla välillä [a, b] jatkuva funktio on tällä välillä myös tasaisesti jatkuva, on olemassa sellainen δ > 0, että (2.3) |f (x) − f (y)| < ε b−a aina, kun x, y ∈ [a, b] ja |x − y| < δ. Olkoon nyt {x0 , x1 , . . . , xn } sellainen välin [a, b] tasavälinen jako, että jakovälin pituus b−a t = < δ. n Tällöin siis |xj − xj−1 | < δ, kun j = 1, 2, . . . , n. Olkoon edelleen g(xj ) = h(xj ) = f (xj ), kun j = 0, 1, . . . , n, ja n o g(x) = mj = min f (x) x ∈ [xj−1 , xj ] , kun x ∈ ]xj−1 , xj [ , ja n o h(x) = Mj = max f (x) x ∈ [xj−1 , xj ] , kun x ∈ ]xj−1 , xj [ , kun j = 1, 2, . . . , n. Tällöin g ja h ovat porrasfunktioita ja g ≤ f ≤ h välillä [a, b]. Koska f on suljetulla välillä jatkuva funktio, tarvittavat minimi- ja maksimiarvot ovat olemassa kullakin osavälillä ja lisäksi f saavuttaa kyseiset arvot jossakin osavälin pisteessä. Täten kullakin osavälillä [xj−1 , xj ] (j = 1, 2, . . . , n) on olemassa sellaiset pisteet xj 0 , xj 00 ∈ [xj−1 , xj ], että mj = f (xj 0 ) ja Mj = f (xj 00 ). Koska |xj 0 − xj 00 | < δ ja Mj ≥ mj , niin ehdon (2.3) nojalla Mj − mj < ε b−a 22 ∀j = 1, 2, . . . , n. Täten Zb a h− Zb g = n X Mj (xj − xj−1 ) − j=1 a = n X < j=1 mj (xj − xj−1 ) j=1 (Mj − mj ) (xj − xj−1 ) j=1 n X n X | {z >0 } ε (xj − xj−1 ) b−a = n ε X (xj − xj−1 ) b − a j=1 = ε · (b − a) b−a = ε. Siis f on Riemannin ehdon nojalla Riemann-integroituva välillä [a, b]. Esimerkki 2.10. Polynomifunktiot ovat jatkuvina funktioina Riemann-integroituvia millä tahansa suljetulla välillä [a, b]. Huomautus 2.17. Jos f on välillä [a, b] Riemann-integroituva funktio ja g on sellainen välillä [a, b] määritelty funktio, että f (x) = g(x) välillä [a, b] lukuun ottamatta pisteitä x1 , x2 , . . . , xn ∈ [a, b], niin myös g on Riemann-integroituva välillä [a, b] ja Zb f (x) dx = a Zb g(x) dx a (harjoitustehtävä). Siis funktion arvot äärellisessä pistejoukossa eivät ole oleellisia integraalin arvon tai integroituvuuden kannalta. Määritelmä 2.4. Funktio f : [a, b] → R on paloittain jatkuva välillä [a, b], jos funktiolla f on välillä [a, b] korkeintaan äärellinen määrä epäjatkuvuuskohtia ja kussakin epäjatkuvuuskohdassa funktiolla on vasemmanpuoleinen ja oikeanpuoleinen raja-arvo. Lause 2.18. Välillä [a, b] paloittain jatkuva funktio on Riemann-integroituva välillä [a, b]. Todistus. Harjoitustehtävä. 23 2.5 Riemannin summa Olkoon funktio f rajoitettu välillä [a, b] ja P = {x0 , x1 , . . . , xn } jokin välin [a, b] jako. Luvussa 1.2 (huomautus 1.8, s. 5) mainittiin jo jakoon P liittyvä Riemannin summa n SP (f, ξ) = X f (ξj )(xj − xj−1 ), j=1 missä ξj ∈ [xj−1 , xj ] on mielivaltainen välin [xj−1 , xj ] piste. Huomautus. Jos g(x) = f (ξj ) kaikilla x ∈ ]xj−1 , xj [ (ja kaikilla j = 1, 2, . . . , n), niin Riemannin summa SP (f, ξ) on porrasfunktion g integraali. Porrasfunktion g arvoiksi jakopisteissä voidaan valita esimerkiksi g(xj ) = f (xj ), kun j = 0, 1, . . . , n. Merkitään |P | = max{xj − xj−1 | 1 ≤ j ≤ n}, eli |P | on jaon P pisimmän osavälin pituus. Tihennetään sitten jakoa siten, että |P | → 0, ja tutkitaan raja-arvoa lim SP (f, ξ). |P |→0 Tällöin lim SP (f, ξ) = L, |P |→0 jos jokaista lukua ε > 0 kohti on olemassa sellainen δ > 0, että jokaiselle jaolle |P | < δ pätee |SP (f, ξ) − L| < ε, valittiinpa pisteet ξj miten tahansa. Riemannin summaa käyttämällä saadaan vaihtoehtoinen tapa määritellä Riemann-integraali. Lause 2.19. Rajoitettu funktio f : [a, b] → R on Riemann-integroituva, jos ja vain jos Riemannin summilla on raja-arvo lim SP (f, ξ), |P |→0 missä SP (f, ξ) on funktion f välin [a, b] jakoon P liittyvä Riemannin summa. Tällöin Zb a f = lim SP (f, ξ). |P |→0 24 Todistus. 1◦ : Todistetaan ensin suunta ”⇒”. Oletetaan siis, että f on rajoitettu ja Riemann-integroituva välillä [a, b], ja osoitetaan, että lim SP (f, ξ) = |P |→0 Zb f, a missä SP (f, ξ) on funktion f välin [a, b] jakoon P liittyvä Riemannin summa. Valitaan mielivaltainen ε > 0. Koska f on rajoitettu, on olemassa sellainen M > 0, että |f (x)| ≤ M (2.4) kaikilla x ∈ [a, b], ja koska f on Riemann-integroituva, niin Riemannin ehdon nojalla on olemassa sellaiset välin [a, b] porrasfunktiot g ja h, että g ≤ f ≤ h ja Zb (2.5) a h− Zb g < a ε . 2 Olkoon edelleen P0 = {z0 , z1 , . . . , zm0 } jokin sellainen välin [a, b] jako, että P0 sisältää kaikki sekä porrasfunktion g että porrasfunktion h porraspisteet. Merkitään ε δ = . 8m0 ·M Olkoon nyt P = {x0 , x1 , . . . , xn } jokin sellainen välin [a, b] jako, että |P | < δ. Tällöin jokaista Riemannin summaa SP (f, ξ) kohti on olemassa sellainen porrasfunktio s, että (2.6) SP (f, ξ) = Zb s. a Koska g ≤ f ≤ h, niin tällöin g ≤ s = f (ξk ) ≤ h (2.7) kaikilla jaon P osaväleillä Ik = [xk−1 , xk ], jotka eivät sisällä jaon P0 pisteitä. Tarkastellaan sitten jaon P osavälejä Ik = [xk−1 , xk ], jotka sisältävät jaon P0 pisteitä. Välin [a, b] päätepisteitä lukuun ottamatta kukin jaon P0 piste sisältyy yhteen tai kahteen jaon P (suljettuun) osaväliin. Täten jaon P0 pisteitä sisältäviä jaon P osavälejä on korkeintaan 2m0 kappaletta. Olkoon nyt ( g̃(x) = g(x), −M, jos x ∈ Ik0 ja 6 ∃j ∈ {0, 1, . . . , m0 } s.e. zj ∈ Ik , jos x ∈ Ik0 ja ∃j ∈ {0, 1, . . . , m0 } s.e. zj ∈ Ik , 25 ja ( h̃(x) = jos x ∈ Ik0 ja 6 ∃j ∈ {0, 1, . . . , m0 } s.e. zj ∈ Ik , jos x ∈ Ik0 ja ∃j ∈ {0, 1, . . . , m0 } s.e. zj ∈ Ik , h(x), M, missä Ik0 = ]xk−1 , xk [ ja Ik = [xk−1 , xk ] (k = 1, 2, . . . , n). Jaon P jakopisteissä asetetaan g̃(xk ) = −M ja h̃(xk ) = M (k = 0, 1, 2, . . . , n). Tällöin g̃ ja h̃ ovat välillä [a, b] porrasfunktioita ja ominaisuuden g ≤ f ≤ h sekä epäyhtälöiden (2.4) ja (2.7) perusteella g̃ ≤ f ≤ h̃ ja g̃ ≤ s ≤ h̃. Täten Riemann-integraalin määrittelyn ja lauseen 2.3 (s. 9) nojalla Zb g̃ ≤ a Zb f ≤ a Zb Zb ja h̃ a g̃ ≤ a Zb s ≤ a Zb h̃ a ja edelleen b Z Zb s − f (2.8) a ≤ a Zb h̃ − a Zb g̃. a Koska g ≤ h välillä [a, b], niin lauseen 2.3 (s. 9) nojalla Zxk g ≤ xk−1 Zxk h xk−1 jokaisella jaon P osavälillä [xk−1 , xk ] (k = 1, 2, . . . , n). Lisäksi jaon P0 pisteitä sisältäviä jaon P osavälejä on korkeintaan 2m0 kappaletta ja porrasfunktion arvolla jakopisteessä ei ole vaikutusta porrasintegraalin arvoon. Täten (2.9) Zb a h̃ − Zb a g̃ ≤ Zb h− a Zb (2.5) g + 2m0 ·|P |·2M < a ε + 4m0 ·|P |·M. 2 Siis Zb SP (f, ξ) − f (2.6) = a (2.8) ≤ b Z Zb s − f a a Zb Zb a (2.9) h̃ − g̃ a < ε + 4m0 ·|P |·M 2 < ε ε + 4m0 · ·M 2 8m0 ·M 26 = ε ε + 2 2 = ε. Siis lim SP (f, ξ) = |P |→0 Zb f. a 2◦ : Todistetaan sitten suunta ”⇐”. Oletetaan siis, että f on rajoitettu välillä [a, b] ja lim SP (f, ξ) = L, |P |→0 missä SP (f, ξ) on funktion f välin [a, b] jakoon P liittyvä Riemannin summa, ja osoitetaan, että f on Riemann-integroituva välillä [a, b] ja Zb f = L. a Valitaan mielivaltainen ε > 0. Raja-arvon määritelmän nojalla on olemassa sellainen δ > 0, että jos |P | < δ, niin |SP (f, ξ) − L| < ε. (2.10) Olkoon nyt P = {x0 , x1 , . . . , xn } sellainen välin [a, b] jako, että |P | < δ. Valitaan sellaiset pisteet ξ k , ξ k ∈ [xk−1 , xk ] (k = 1, 2, . . . , n), että f (ξ k ) ≤ inf f + [xk−1 , xk ] ja f (ξ k ) ≥ sup f − [xk−1 , xk ] ε b−a ε . b−a Olkoon edelleen g(x) = f (ξ k ) − ε , b−a kun x ∈ [xk−1 , xk [ (k = 1, 2, . . . , n), h(x) = f (ξ k ) + ε , b−a kun x ∈ [xk−1 , xk [ (k = 1, 2, . . . , n), ja 27 sekä g(b) = h(b) = f (b). Tällöin g ja h ovat porrasfunktioita ja g ≤ f ≤ h välillä [a, b] sekä Zb a h− Zb g = n X k=1 a = n X n X ε ε (xk − xk−1 ) − (xk − xk−1 ) f (ξ k ) − b−a b−a k=1 f (ξ k ) + f (ξ k )(xk − xk−1 ) + k=1 | {z n X ε (xk − xk−1 ) k=1 b − a } Merk. SP (f,ξ) − n X f (ξ k )(xk − xk−1 ) + k=1 | {z n X ε (xk − xk−1 ) k=1 b − a } Merk. SP (f,ξ) = SP (f, ξ) + n X n X ε ε (xk − xk−1 ) − SP (f, ξ) + (xk − xk−1 ) k=1 b − a k=1 b − a = SP (f, ξ) + n n ε X ε X (xk − xk−1 ) −SP (f, ξ) + (xk − xk−1 ) b − a k=1 b − a k=1 | {z = b−a | } = SP (f, ξ) + ε − SP (f, ξ) + ε = SP (f, ξ) − L + ε + L − SP (f, ξ) + ε ≤ SP (f, ξ) − L {z = b−a } + ε + L − SP (f, ξ) + ε (2.10) < ε+ε+ε+ε = 4ε. Siis f on Riemannin ehdon nojalla Riemann-integroituva välillä [a, b] (alussa olisi voitu valita apumuuttuja ε0 = 4ε ). Huomautus 2.20. Lausetta 2.19 käytettäessä riittää tarkastella tasavälisiä jakoja (harjoitustehtävä). Funktion f : [a, b] → R Riemann-integroituvuuden osoittamiseksi riittää siis osoittaa, että lim SP (f, ξ) = L, |P |→0 missä P on tasavälinen jako ja SP (f, ξ) on funktion f välin [a, b] jakoon P liittyvä Riemannin summa. 28 Pisteen ξ pitää kuitenkin olla mielivaltainen välin piste. Funktion Riemann-integroituvuutta osoitettaessa ξ ei voi olla kiinteästi esimerkiksi osavälin päätepiste (toisin kuin esimerkiksi määritettäessä jo integroituvaksi tiedetyn funktion integraalin arvoa) ilman, että samalla suoritetaan myös mahdollisen virhetermin tarkastelu. Huomautus. Funktion f : [a, b] → R Riemannin summa voitaisiin muodostaa, vaikka f ei ole rajoitettu välillä [a, b]. Voidaan kuitenkin osoittaa, että jos f ei ole rajoitettu välillä [a, b], niin lim SP (f, ξ) |P |→0 ei ole olemassa (harjoitustehtävä). 29 2.6 Perusominaisuuksia Esitetään aluksi kaksi määritelmää tai sopimusta, joilla helpotetaan käytännön laskutoimituksia. Määritelmä 2.5. Olkoon f välillä [a, b] Riemann-integroituva funktio. Tällöin Za f (x) dx = − Zb f (x) dx. a b Määritelmä 2.6. Olkoon f pisteessä a ∈ R määritelty funktio. Tällöin Za f (x) dx = 0. a Riemann-integraalin additiivisuus on helppo todistaa hyödyntämällä ala- ja yläintegraalin additiivisuutta. Lause 2.21 (Additiivisuus). Olkoon f : [a, b] → R rajoitettu ja c ∈ ]a, b[. Tällöin f on Riemann-integroituva välillä [a, b], jos ja vain jos f on Riemann-integroituva väleillä [a, c] ja [c, b]. Tällöin Zb f = a Zc f+ a Zb f. c Todistus. 1◦ : Todistuksen suunta ’⇐’ on ilmeinen. Jos f on Riemann-integroituva väleillä [a, c] ja [c, b], niin IL (f, [a, c]) = IU (f, [a, c]) = Zc f ja IL (f, [c, b]) = IU (f, [c, b]) = a c joten ala- ja yläintegraalin additiivisuuden (lause 2.9, s. 14) nojalla IL (f, [a, b]) = IU (f, [a, b]) = Zb ! f . a Täten f on Riemann-integroituva välillä [a, b] ja lauseen 2.9 nojalla Zb a f = Zb Zc f+ a 30 Zb c f. f, 2◦ : Tarkastellaan sitten suuntaa ’⇒’. Olkoon f Riemann-integroituva välillä [a, b]. Tällöin IL (f, [a, b]) = IU (f, [a, b]) = Zb ! f , a joten ala- ja yläintegraalin additiivisuuden (lause 2.9, s. 14) nojalla IL (f, [a, c]) + IL (f, [c, b]) = IU (f, [a, c]) + IU (f, [c, b]). Koska huomautuksen 2.6 (s. 13) nojalla IL (f, [a, c]) ≤ IU (f, [a, c]) ja IL (f, [c, b]) ≤ IU (f, [c, b]), IL (f, [a, c]) = IU (f, [a, c]) ja IL (f, [c, b]) = IU (f, [c, b]). niin1 Siis f on Riemann-integroituva väleillä [a, c] ja [c, b] ja lauseen 2.9 nojalla Zc f+ a Zb f = c Zb f. a Huomautus 2.22. Lauseen 2.21 kaava pätee kaikilla a, b, c ∈ R (olivatpa luvut missä tahansa järjestyksessä), jos f on Riemann-integroituva kyseisillä väleillä (harjoitustehtävä). Lause 2.23 (Lineaarisuus). Olkoot f ja g Riemann-integroituvia välillä [a, b] ja λ ∈ R. Tällöin myös λf ja f + g ovat Riemann-integroituvia välillä [a, b] ja Zb a (λf ) = λ Zb f Zb ja a (f + g) = Zb a f+ a Zb g. a Todistus. Todistetaan väite summafunktiolle f + g hyödyntämällä Riemannin summia. Vakiolla kertomisen todistus jätetään harjoitustehtäväksi. Koska n X (f + g)(ξj )(xj − xj−1 ) = j=1 1 n X f (ξj )(xj − xj−1 ) + j=1 n X g(ξj )(xj − xj−1 ), j=1 Jos s1 ≤ t1 , s2 ≤ t2 ja s1 + s2 = t1 + t2 , niin s1 = t1 ja s2 = t2 (s1 , s2 , t1 , t2 ∈ R). 31 niin lauseen 2.19 (s. 24) nojalla Zb (f + g) = a = = = lim SP (f + g, ξ) |P |→0 lim SP (f, ξ) + SP (g, ξ) |P |→0 lim SP (f, ξ) + lim SP (g, ξ) |P |→0 Zb |P |→0 f + Zb g, a a missä SP (f, ξ) on funktion f välin [a, b] jakoon P liittyvä Riemannin summa. Seuraus 2.24. Jos f ja g ovat Riemann-integroituvia välillä [a, b] ja λ1 , λ2 ∈ R, myös λ1 f + λ2 g on Riemann-integroituva välillä [a, b] ja Zb (λ1 f + λ2 g) = λ1 a Zb f + λ2 a Zb g. a Huomautus 2.25. Seuraus 2.24 voidaan induktiolla yleistää muotoon Zb X n λi f i = a i=1 n X i=1 λi · Zb fi , a missä f1 , f2 , . . . , fn ovat Riemann-integroituvia välillä [a, b] ja λ1 , λ2 , . . . , λn ∈ R. 32 2.7 Integraalien arviointia Integraaleja ei useinkaan pystytä laskemaan tarkasti. Siksi on tärkeää pystyä arvioimaan integraaleja esimerkiksi sopivien epäyhtälöiden avulla. Lause 2.26. Olkoon f Riemann-integroituva välillä [a, b] sekä m = inf f (x) M = sup f (x). ja x ∈ [a,b] x ∈ [a,b] Tällöin m(b − a) ≤ Zb f (x) dx ≤ M (b − a). a Todistus. Koska g(x) = m ja h(x) = M ovat porrasfunktioita ja m ≤ f ≤ M välillä [a, b], niin m(b − a) = Zb m dx ≤ a Zb f (x) dx ≤ Zb a M dx = M (b − a). a Seuraus 2.27. Jos f jatkuva välillä [a, b] ja m = min f (x) sekä M = max f (x), x ∈ [a,b] niin m(b − a) ≤ Zb x ∈ [a,b] f (x) dx ≤ M (b − a). a Seuraus 2.28. Olkoon f Riemann-integroituva ja ei-negatiivinen välillä [a, b]. Tällöin Zb f (x) dx ≥ 0. a Seuraus 2.29. Olkoot f ja g Riemann-integroituvia välillä [a, b] ja f (x) ≤ g(x) kaikilla x ∈ [a, b]. Tällöin Zb f (x) dx ≤ a Zb g(x) dx. a Esimerkki 2.11. Olkoon b > 1. Osoitetaan, että (b − 1) · e ≤ Zb x e 1 x 33 dx ≤ b−1 b ·e . b Tarkastellaan funktiota ex x ja väliä [1, b]. Jatkuvana funktiona f on Riemann-integroituva välillä [1, b]. Lisäksi f (x) = ex · x − ex ex (x − 1) = ≥ 0 x2 x2 f 0 (x) = ∀x ∈ [1, b], joten f on kasvava funktio välillä [1, b]. Siis Zb x e x 1 Zb 1 e dx ≥ 1 1 dx = Zb e dx = e · (b − 1) 1 ja Zb x e 1 x dx ≤ Zb b e dx = b 1 eb b−1 b · (b − 1) = ·e . b b Lause 2.30. Olkoon f jatkuva ja ei-negatiivinen välillä [a, b]. Jos Zb f (x) dx = 0, a niin f (x) = 0 kaikilla x ∈ [a, b]. Todistus. Tehdään vastaoletus, että on olemassa sellainen c ∈ [a, b], että f (c) > 0. Oletetaan, että c ∈ ]a, b[ (tapaukset c = a ja c = b vastaavasti). Koska f on jatkuva, on olemassa sellainen δ > 0, että [c − δ, c + δ] ⊆ [a, b] ja f (x) ≥ f (c) > 0 2 ∀x ∈ [c − δ, c + δ]. Täten Zb f (x) dx = a c−δ Z f (x) dx + a ≥ c−δ Z c+δ Z f (x) dx + c−δ 0 dx + a = 0+ c+δ Z c−δ missä on ristiriita, sillä f (c) > 0 ja δ > 0. 34 f (x) dx c+δ Zb f (c) dx + 0 dx 2 f (c) · 2δ + 0 2 = f (c) · δ, Zb c+δ 2.8 Itseisarvo- ja tulofunktio Tutkitaan seuraavaksi itseisarvofunktion ja kahden funktion tulofunktion Riemannintegroituvuutta. Määritelmä 2.7. Olkoon f : A → R. Tällöin f + : A → R, f + (x) = max{f (x), 0} = f (x), kun f (x) ≥ 0, 0, kun f (x) < 0, on funktion f positiiviosa ja f − : A → R, f − (x) = max{−f (x), 0} = −f (x), kun f (x) ≤ 0, 0, kun f (x) > 0, on funktion f negatiiviosa. Huomautus. Määrittelystä seuraa suoraan, että f + (x) ≥ 0 ja f − (x) ≥ 0 funktion f määrittelyalueella. Huomautus. Poistiivi- ja negatiiviosan määrittelyn perusteella f (x) = f + (x) − f − (x) |f (x)| = f + (x) + f − (x) ja funktion f määrittelyalueella. Lause 2.31. Funktio f on Riemann-integroituva välillä [a, b], jos ja vain jos sekä f + että f − ovat Riemann-integroituvia välillä [a, b]. Tällöin Zb f = a Zb + f − a Zb f −. a Todistus. Todetaan jo aluksi ennen Riemann-integroituvuuden tarkastelua, että koska f = f + − f − , niin integraalin laskusääntöjen (lause 2.23, s. 31) nojalla Zb a f = Zb + f − a Zb f −, a jos kaikki kyseiset funktiot ovat Riemann-integroituvia. 35 ’⇐’: Koska f = f + − f − , niin integraalin laskusääntöjen (lause 2.23, s. 31) nojalla f on Riemann-integroituva, jos f + ja f − ovat Riemann-integroituvia. ’⇒’: Osoitetaan ensin, että f + on Riemann-integroituva välillä [a, b]. Valitaan mielivaltainen ε > 0. Jos f on Riemann-integroituva välillä [a, b], niin Riemannin ehdon nojalla on olemassa sellaiset välin [a, b] porrasfunktiot g ja h, että g ≤ f ≤ h ja Zb (2.11) h− a Zb g < ε. a Funktioiden positiiviosia muodostettaessa ainoa muutos on, että funktioiden negatiiviset arvot korvataan nollilla. Ei-negatiiviset arvot pysyvät ennallaan. Täten myös g + ja h+ ovat välin [a, b] porrasfunktioita ja g + ≤ f + ≤ h+ välillä [a, b]. Lisäksi porrasfunktioiden g ja h porraspisteet sisältävän jaon osaväleillä positiiviosiin siirryttäessä erotus h − g pysyy ennallaan, jos kyseisellä välillä g (ja siis myös h) on ei-negatiivinen tai g = h. Jos taas g on negatiivinen ja g < h, niin erotus h − g vähenee. Siis h+ − g + ≤ h − g. (2.12) välillä [a, b]. Täten porrasintegraalin perusominaisuuksien nojalla Zb a + h − Zb g + = a Zb h+ − g + a (2.12) ≤ Zb (h − g) a = Zb a h− Zb g a (2.11) < ε, joten f + on Riemannin ehdon nojalla Riemann-integroituva välillä [a, b]. Koska f − = f + − f , niin integraalin laskusääntöjen (lause 2.23, s. 31) nojalla myös negatiiviosa f − on Riemann-integroituva välillä [a, b]. 36 Seuraus 2.32. Jos f on Riemann-integroituva välillä [a, b], myös |f | on Riemannintegroituva välillä [a, b] ja Zb |f | = a Zb + f + a Zb f −. a Todistus. Koska |f | = f + + f − , väite seuraa suoraan lauseesta 2.31 ja integraalin laskusäännöistä (lause 2.23, s. 31). Lause 2.33. Olkoon funktio f Riemann-integroituva välillä [a, b]. Tällöin b Z f (x) dx Zb ≤ |f (x)| dx. a a Todistus. Jos f on Riemann-integroituva välillä [a, b], niin seurauksen 2.32 perusteella myös |f | on Riemann-integroituva välillä [a, b]. Lisäksi itseisarvon perusominaisuuksista seuraa, että − |f (x)| ≤ f (x) ≤ |f (x)| kaikilla x ∈ [a, b]. Täten seurauksen 2.29 (s. 33) nojalla Zb − |f (x)| dx ≤ a Zb f (x) dx ≤ Zb a a Zb Zb |f (x)| dx ja edelleen (lause 2.23, s. 31) − Zb |f (x)| dx ≤ a f (x) dx ≤ a |f (x)| dx. a Siis itseisarvon perusominaisuuksien perusteella b Z f (x) dx Zb ≤ a |f (x)| dx. a Huomautus. Koska lauseessa 2.33 oletetaan integroituvuus välillä [a, b], niin a < b. Lauseen tulos pätee tietysti myös, jos a = b, mutta jos b < a, niin lauseen 2.33 epäyhtälö on muutettava muotoon (harjoitustehtävä) b Z f (x) dx a ≤ b Z |f (x)| dx . a 37 Huomautus 2.34. (a) Lauseen 2.33 epäyhtälö voi olla myös aito. Esimerkiksi (esimerkin 2.8 (s. 18) nojalla) Z1 12 − (−1)2 = 0, 2 x dx = −1 mutta toisaalta lauseiden 2.21 (s. 30) ja 2.23 (s. 31) sekä esimerkin 2.8 (s. 18) perusteella Z1 |x| dx = −1 Z0 |x| dx + Z1 −1 = |x| dx 0 Z0 −x dx + −1 Z1 x dx 0 = − Z0 x dx + −1 = − Z1 x dx 0 12 − 0 0 − (−1)2 + 2 2 = 1. Siis Z1 Z1 x dx < −1 |x| dx. −1 (b) Funktion f : [a, b] → R kuvaajan ja x-akselin väliin välillä [a, b] jäävän alueen pinta-ala on Zb |f | = a Zb + f + a Zb f −. a Lause 2.35. Jos funktiot f ja g ovat Riemann-integroituvia välillä [a, b], myös tulo f g on Riemann-integroituva välillä [a, b]. Todistus. 1◦ : Oletetaan ensiksi, että f, g ≥ 0. Valitaan mielivaltainen ε > 0. Riemann-integroituvina funktioina f ja g ovat rajoitettuja välillä [a, b], joten on olemassa sellainen M > 0, että f, g ≤ M . Lisäksi Riemannin ehdon nojalla on olemassa sellaiset välin [a, b] porrasfunktiot gf , hf ja gg , hg , että gf ≤ f ≤ hf ja gg ≤ g ≤ hg sekä (2.13) Zb a hf − Zb a gf ε < 2M ja Zb a 38 hg − Zb a gg < ε . 2M Koska 0 ≤ f, g ≤ M , niin todistuksen yleisyyttä rajoittamatta voidaan olettaa (lause 1.11, s. 7), että 0 ≤ gf ≤ f ≤ hf ≤ M 0 ≤ gg ≤ g ≤ hg ≤ M. ja Tällöin gf gg ja hf hg ovat porrasfunktiota (huomautus 1.9, s. 6) ja gf gg ≤ f g ≤ hf hg . Lisäksi huomautuksen 1.9 (s. 6) ja muiden porrasfunktioiden perusominaisuuksien sekä lauseen 2.23 (s. 31) ja seurauksen 2.29 (s. 33) nojalla Zb hf hg − a Zb Zb = gf gg a hf hg − a Zb = ≤ Zb gf hg + a (hf − gf ) hg + Zb a a Zb Zb M gf hg − a (hf − gf ) M + a = Zb Zb gf gg a gf (hg − gg ) M (hg − gg ) a Zb (hf − gf ) + M a (2.13) < M· = ε, Zb (hg − gg ) a ε ε + M· 2M 2M joten f g on Riemannin ehdon nojalla Riemann-integroituva välillä [a, b]. 2◦ : Olkoot sitten f ja g mielivaltaisia välillä [a, b] Riemann-integroituvia funktioita. Koska f = f + − f − ja g = g + − g − , niin fg = f+ − f− g+ − g− = f +g+ − f +g− − f −g+ + f −g−, joka on kohdan 1◦ nojalla välillä [a, b] Riemann-integroituvien funktioiden summana Riemann-integroituva välillä [a, b] (lause 2.23, s. 31). Huomautus 2.36. Yleensä Zb a (f g) 6= Zb a 39 f· Zb a g. Huomautus 2.37 (Cauchy-Schwarzin epäyhtälö). Jos funktiot f ja g ovat Riemannintegroituvia välillä [a, b], niin b 2 Z f g ≤ Zb a a 2 f · Zb g2. a Todistus. Harjoitustehtävä (vrt. vastaavan tuloksen todistus summalausekkeille). 40 2.9 Integraalilaskennan väliarvolause Seuraavaksi tarkastellaan integraalilaskennan väliarvolausetta. Lause 2.38 (Integraalilaskennan väliarvolause). Olkoon funktio f jatkuva välillä [a, b]. Tällöin on olemassa sellainen ξ ∈ ]a, b[, että (2.14) Zb f (x) dx = f (ξ)(b − a). a Todistus. Koska f on jatkuva suljetulla välillä [a, b], on olemassa sellaiset pisteet x1 , x2 ∈ [a, b], että m = f (x1 ) = min {f (x) | x ∈ [a, b]} ja M = f (x2 ) = max {f (x) | x ∈ [a, b]}. Lisäksi seurauksen 2.27 (s. 33) nojalla (2.15) m(b − a) ≤ Zb f (x) dx ≤ M (b − a). a Koska f on jatkuva, niin integraalin laskusääntöjen ja lauseen 2.30 (s. 34) perusteella yhtäsuuruus epäyhtälöissä (2.15) on voimassa vain silloin, kun f on vakiofunktio välillä [a, b]. Jos f on vakiofunktio, niin mikä tahansa välin ]a, b[ piste kelpaa pisteeksi ξ. Jos taas f ei ole vakio, niin m(b − a) < Zb f (x) dx < M (b − a). a Koska b − a > 0 (ts. [a, b] on väli), niin tällöin b 1 Z m < f (x) dx < M. b−a a Lisäksi x1 = 6 x2 . Todistuksen yleisyyttä rajoittamatta voidaan olettaa, että x1 < x2 . Funktio f on nyt jatkuva suljetulla välillä [x1 , x2 ], joten se saavuttaa tällä välillä kaikki suurimman ja pienimmän arvonsa väliset arvot. Koska f (x1 ) = m ja f (x2 ) = M , on täten olemassa sellainen ξ ∈ ]x1 , x2 [ (jolloin myös ξ ∈ ]a, b[ ), että b 1 Z f (x) dx f (ξ) = b−a a 41 eli Zb f (x) dx = f (ξ)(b − a). a Huomautus. Integraalilaskennan väliarvolauseesta käytetään usein lyhennettä IVAL. Huomautus 2.39. Integraalilaskennan väliarvolauseessa oletettiin, että a < b (eli [a, b] on väli). Lauseen tulos eli kaava (2.14) pätee myös, kun b < a, mutta tällöin on tietysti oletettava, että ξ ∈ ]b, a[.1 Todistus. Olkoon f jatkuva välillä [b, a], missä b < a. Integraalilaskennan väliarvolauseen nojalla on tällöin olemassa sellainen ξ ∈ ]b, a[, että Zb f (x) dx = − a Za IVAL f (x) dx −f (ξ)(a − b) = f (ξ)(b − a). = b Lause 2.40 (Yleistetty integraalilaskennan väliarvolause). Olkoon funktio f jatkuva ja funktio g ei-negatiivinen ja Riemann-integroituva välillä [a, b]. Tällöin on olemassa sellainen ξ ∈ [a, b], että Zb (2.16) f (x)g(x) dx = f (ξ) a Zb g(x) dx. a Todistus. Koska f on jatkuva suljetulla välillä [a, b], on olemassa sellaiset pisteet x1 , x2 ∈ [a, b], että m = f (x1 ) = min {f (x) | x ∈ [a, b]} ja M = f (x2 ) = max {f (x) | x ∈ [a, b]}. Lisäksi g ≥ 0, joten mg ≤ f g ≤ M g. Siis seurauksen 2.29 (s. 33) nojalla (2.17) m · Ig = Zb a mg(x) dx ≤ Zb f (x)g(x) dx ≤ a missä Ig = Zb M g(x) dx = M · Ig a Zb g(x) dx. a 1 Usein tiedolla, onko ξ ∈ ]a, b[ vai ξ ∈ ]b, a[, ei ole merkitystä, mutta joskus tietysti on. 42 Jos nyt Ig = 0, niin epäyhtälöketjun (2.17) nojalla myös Zb f (x)g(x) dx = 0. a Täten molemmat integraalit kaavassa (2.16) ovat nollia ja mikä tahansa välin ]a, b[ piste kelpaa pisteeksi ξ. Jos taas Ig 6= 0, niin Ig > 0, sillä g ≥ 0. Täten epäyhtälöketjun (2.17) nojalla b 1 Z m ≤ · f (x)g(x) dx ≤ M. Ig a Jatkuvana funktiona f saavuttaa suljetulla välillä [a, b] kaikki suurimman ja pienimmän arvonsa väliset arvot. Täten on olemassa sellainen ξ ∈ [a, b], että b 1 Z f (ξ) = · f (x)g(x) dx Ig a eli Zb f (x)g(x) dx = f (ξ) a Zb g(x) dx. a Huomautus. Vastaavasti kuin huomautuksessa 2.39 voidaan osoittaa, että yleistetyn integraalilaskennan väliarvolauseen tulos eli kaava (2.16) pätee myös, kun b < a. Tällöin on tietysti oletettava, että ξ ∈ [a, b]. 43
© Copyright 2024