1. No category

Kul-49.3100
Dynamiikka II
Harjoitus 1
23.9.2015
(KOTITEHTÄVÄ) = palautetaan laskuharjoitusten alussa tai kurssin postilaatikkoon ennen laskuharjoitusten alkua viimeistään klo 12.00 (23.9.2015).
1.
(KOTITEHTÄVÄ) Muodosta sylinterikoordinaatiston kantavektoreiden er , eφ ja ez esitykset ijk-kannassa (inertiaalikoordinaatisto) lähtien liikkeelle partikkelin P paikkavektorista
r = r cos φi + r sin φj + zk
z
r
ja sen derivaatoista sylinterikoordinaatiston muuttujien r, φ ja
z suhteen (ks. luentomonisteet). Tämän jälkeen johda partikkelin nopeuden (v) ja kiihtyvyyden (a) esitykset sylinterikoordinaatistossa:
φ
z
v = ṙer + rφ̇eφ + żez
r
φ
2
a = (r̈ − rφ̇ )er + (2ṙφ̇ + rφ̈)eφ + z̈ez .
Käytä v:n ja a:n ratkaisuissa hyväksi karteesisen ja sylinterikoordinaatistojen kantojen välisen yhteyden kuvaavaa
(rotaatio- tai) muunnosmatriisia L, jonka saat muodostettua
tehtävän ensimmäisessä vaiheessa.
Ratkaisu
• r karteesisessa koordinaatistossa käyttäen koordinaatteja r ja φ
r = r cos φi + r sin φj + zk
• Derivoidaan vektoria r kunkin koordinaatin suhteen
e∗r =
dr
= cos φi + sin φj,
dr
e∗φ =
dr
= r(− sin φi + cos φj)
dφ
ja
e∗z =
dr
=k
dz
√
√
• Normalisointia varten tarvitaan (|a| = a · a = ax ax + ay ay + az az )
q
p
|e∗r | = cos2 φ + sin2 φ = 1, |e∗φ | = (−r sin φ)2 + (r cos φ)2 = r ja
|e∗z | =
√
12 = 1.
• Etsityt kantavektorit ovat siis
e∗
er = ∗r = cos φi + sin φj,
|er |
ez = k
e∗φ
e∗φ
eφ = ∗ =
= − sin φi + cos φj
|eφ |
r
ja
• Huomaa, että sylinterikoordinaatiston kantavektorit eivät ole vakioita.
• Esitetään nämä yhteydet matriisimuodossa

 
 
 
cφ sφ 0  i 
 er 
 i 


cφ
eφ
0
j
j
= −sφ
=L


 
 
ez
0
0 1
k
k
,
jossa siis muunnosmatriisi


cφ sφ 0
L =  −sφ cφ 0  .
0
0 1
• Sama yhteys toisin päin on (muista L−1 = LT )

  



cφ −sφ 0  er 
 i 
 er 
eφ
j
=  sφ cφ 0  eφ
= L−1

 



ez
k
0
0 1
ez
• Näiden avulla saadaan antavektoreiden muutosnopeudet sylinterikoordinaatiston
kannassa


 



 
−sφ cφ 0  i 
i 
er 
er 



d
j
j
eφ
eφ
= φ̇  −cφ −sφ 0 
= L̇
= L̇L−1








dt
0
0 0
k
k
ez
ez






cφ −sφ 0  er 
−sφ cφ 0
 eφ 
= φ̇  −cφ −sφ 0   sφ cφ 0  eφ
= φ̇ −er




0
0 0
0
0 1
ez
0
• Nopeus ja kiihtyvyys määritelmien perusteella. Partikkelin P paikkavektori sylinterikoordinaatistossa (kts. kuva)
r = rer + zez
⇒
v = ṙ = ṙer + rėr + żez + z ėz = ṙer + rφ̇eφ + żez
a = v̇ = r̈er + ṙėr + ṙφ̇eφ + rφ̈eφ + rφ̇ėφ + z̈ez + ż ėz
= r̈er + ṙφ̇eφ + ṙφ̇eφ + rφ̈eφ − rφ̇2 er + z̈ez
= (r̈ − rφ̇2 )er + (2ṙφ̇ + rφ̈)eφ + z̈ez
Sylinterikoordinaatisto ja kantavektoreiden muutosnopeus: Hallussa huonosti 0-2, osittain 2-4, hyvin 4-6
2.
(KOTITEHTÄVÄ) Kuvan pyörivä heiluri pyörii akselin AO
ympäri kulmavauhdilla φ̇ (vakio). Samanaikaisesti heilurin
sauvan kallistuskulman muutosnopeus on β̇ (vakio). Määritä sauvaan sidotun xyz-koordinaatiston kantavektoreiden
muunnosnopeudet lausuttuina xyz-koordinaatiston kannassa.
Huomaa, että xyz-koordinaatiston origo on pisteessä O ja
x-akseli yhtyy sauvan pituusakseliin. Helpointa lienee käyttää
yhteyttä ė = ω × e kantavektoreiden muutosnopeuksille.
  
 
0
β̇
−φ̇ sin β  i 
 i̇ 
Vastaus: j̇ =  −β̇
0
−φ̇ cos β  j
 
 
k
k̇
φ̇ sin β φ̇ cos β
0
Ratkaisu
Tilanteeseen sopivan kulmanopeusvektorin etsiminen lienee tässä hankalin osa.Tässä
voi vilkaista luentojen esimerkkitehtävää pallokoordinaatiston partikkelin nopeuteen
liittyen. Kappalekoordinaatiston z-akseli (kantavektori k) säilyy koko ajan tasossa ja
sauva pyörii sen ympäri. Toisaalta samaan aikaan tapahtuu rotaatio akselin AO, eli inertiaalikoordinaatiston Z-akselin ympäri.
j
Kulmanopeuden komponentit siis johtavat kulmanopeusvektoriin
β
ω = φ̇K + β̇k.
Tässä K pitäisi vielä muuntaa kappalekoordinaatistoon.
Tarkastellaan tilanteen geometriaa kulman β muuttuessa.
cos β
K
.
sin β
i
Kappalekoordinaatiston k on aina kohtisuorassa vektoriin K nähden. Oheinen kuva
näyttää K-kantavektorin jaon kappalekoordinaatiston i- ja j-kantavektoreiden suuntaisiin komponentteihin (muista |K| = 1 ja huomaa i:n suunta etumerkkiä miettiessäsi).
Tässä voi olla myös hyvä miettiä erikoistapauksia β = 0 ja β = π/2, jos ei tunnu muuKERTAUS:RISTITULO
ten selkeältä. K:n esitykseksi
ja edelleen kulmanopeusvektoriksi sijoittamalla saadaan
K = − cos βi + sin βj
a × b = (ax i + ay j + az k) × (bx i + by j + bz k)
ja= ax bxω
βi
+ayβ̇k.
(i ×=i) φ̇K
+ ax b+
× j)=
+−
axφ̇
bz (cos
j×k
) ++ayφ̇bxsin
(j ×βj
i) +
b y (j × j ) + . . .
y (iβ̇k
Oheiset kuvat esittävät muistisäännön ns. oikeakätisille
esim. oikeakätisen koordinaatiston
kantavektorit).
Käytetään sitten yhteyttäsysteemeille
ė = ω ×(kuten
e
i
i̇ = (−φ̇ cos βi + φ̇ sin βj + β̇k) × i = −φ̇ sin βk + β̇j
Edettäessä kuvaassa vastapäivään (nuolien suunta):
j̇ = (−φ̇ cos βi + φ̇ sin βj + β̇k) × j = −φ̇ cos βk − β̇i
i×j=k
j×k=i
k×i=j
k̇ = (−φ̇ cos βi + φ̇ sin jaβjtoisaalta
+ β̇k)edettäessä
× k =myötäpäivään:
φ̇ cos βj + φ̇ sin βi
i × k = −j
k × j = −i
j
k
eα
j × i = −k .
Lisäksi muistettava: i × i = j × j = k × k = 0.
Alla esitetyssä yleisessä tapauksessa (esim. sylinterikoordinaatistossa olisi: α = r, β = φ ja γ = z ) vastaavasti:
eβ
eγ
Kirjoitetaan vielä nämä matriisimuotoon
  
 
0
β̇
−φ̇ sin β  i 
 i̇ 
j̇ =  −β̇
0
−φ̇ cos β  j
 
 
k
k̇
φ̇ sin β φ̇ cos β
0
Huomataan, että tämä on vinosymmetrinen.
3.
(KOTITEHTÄVÄ) Massattomaan ja venymättömään köyteen
(pituus L) ripustettu partikkeli liikkuu pitkin vaakasuoraa ympyrärataa. Osoita, että partikkelin vauhti on radallaan vakio.
Käytä tehtävän ratkaisuun sekä (a) sylinterikoordinaatistoa
että (b) pallokoordinaatistoa. Vihje: Muodosta partikkelin
liikeyhtälöt ja tarkastele niiden perusteella partikkelin ratanopeutta.
Vastaus: Liikeyhtälöt ovat
(a) −S sin θ = −mL sin θφ̇2 , mL sin θφ̈ = 0, S cos θ − mg = 0
(b) g cos θ − S = −Lφ̇2 sin2 θ, −g sin θ = −Lφ̇2 sin θ cos θ, Lφ̈ sin θ = 0
Ratkaisu
Vastausta tehtävään pyydettiin sylinteri- ja pallokoordinaatistossa, vaikka edellinen olisi nyt helpompi valinta. Muodostetaan partikkelin liikeyhtälöt tehtävän oletuksilla ja
tarkastellaan sitten partikkelin nopeutta.
a) SYLINTERIKOORDINAATISTO
Kiihtyvyyden esitys kaavakokoelmasta:
~a = (r̈ − rφ̇2 )~er + (2ṙφ̇ + rφ̈)~eφ + z̈~ez
Kinemaattiset rajoitteet r = L sin θ ⇒ ṙ = r̈ = 0 ja z =
vakio ⇒ ż = z̈ = 0.
⇒
~a = L sin θ(−φ̇2~er + φ̈~eφ )
VKK
Resultantti:
F~ = −S sin θ~er + (S cos θ − mg)~ez
Liikelaki ja liikeyhtälöt: (F~ = m~a)
−S sin θ = −mL sin θφ̇2
0 = mL sin θφ̈
S cos θ − mg = 0
(⇒
φ̈ = 0)
Partikkelin ratanopeus:
Koska φ̈ = 0 ⇒ φ̇ = vakio, eli ratanopeus v = rφ̇ = L sin θφ̇ on vakio.
b) PALLOKOORDINAATISTO
Kiihtyvyyden esitys kaavakokoelmasta:
~a =(r̈ − rθ̇2 − rφ̇2 sin2 θ)~er + (2ṙθ̇ + rθ̈ − rφ̇2 sin θ cos θ)~eθ +
(2ṙφ̇ sin θ + 2rθ̇φ̇ cos θ + rφ̈ sin θ)~eφ
Kinemaattiset rajoitteet r
θ = vakio ⇒ θ̇ = θ̈ = 0.
⇒
=
L
⇒
ṙ
=
r̈
=
~a = −Lφ̇2 sin2 θ~er − Lφ̇2 sin θ cos θ~eθ + Lφ̈ sin θ~eφ
0 ja
VKK
Resultantti:
F~ = (mg cos θ − S)~er − mg sin θ~eθ
Liikelaki ja liikeyhtälöt: (F~ = m~a)
mg cos θ − S = −mLφ̇2 sin2 θ
−mg sin θ = −mLφ̇2 sin θ cos θ
Lφ̈ sin θ = 0
(⇒
φ̈ = 0)
Partikkelin ratanopeus (jälleen):
Koska φ̈ = 0 ⇒ φ̇ = vakio, eli ratanopeus v = r sin θφ̇ = L sin θφ̇ on vakio (huomaa,
että tässä r = L ei ole sama kuin sylinterikoordinaatistossa, jossa se siis on L sin θ).
Kul-49.3100
Harjoitus 1 (demo)
18.9.2013
Huomaa, ettei tämä laskuharjoitus sisällä palautettavia kotitehtäviä. Tehtävien ratkaisut
Dynamiikka II
esitetään ke 18.9 laskuharjoituksissa.
1.
Huomaa, ettei tämä laskuharjoitus sisällä palautettavia kotitehtäviä. Tehtävien ratkaisut
Lordi
Greystoke (partikkeli, jonka massa on m) ylittää joen
esitetään ke 18.9 laskuharjoituksissa.
liaanin avulla. Johda alkuarvotehtävä, jonka ratkaisuna saa4.
1.
taisiinLordi
kulma
ajan funktiona
(yhtälöitä
ei tarvitse
Greystoke
(partikkeli,eli
jonka(t)massa
on m)
m) ylittää
ylittää joen
joen
ratkaista).
Lähtöhetkellä
t
=
0,
liaani
on
vaakasuora
ja
liaanin avulla.
avulla. Johda
liaanin
Johda alkuarvotehtävä,
alkuarvotehtävä, jonka
jonka ratkaisuna
ratkaisuna saasaaGreystoke
paikallaan.
Liaani eli
oletetaan
massattomaksi
ja
taisiin on
kulma
ajan
φ(t)
ei
taisiin
kulma
ajan funktiona
funktiona
eli
(t) (yhtälöitä
(yhtälöitä
ei tarvitse
tarvitse
venymättömäksi
köydeksi. tt =
ratkaista). Lähtöhetkellä
Lähtöhetkellä
ratkaista).
= 0,
0, liaani
liaani on
on vaakasuora
vaakasuora ja
ja
Greystoke on
on paikallaan.
Greystoke
paikallaan. Liaani
Liaani oletetaan
oletetaan massattomaksi
massattomaksi ja
ja
g
¨
˙
venymättömäksi
köydeksi.
Vastaus:
cos köydeksi.
= 0, t > 0;
=0 &
= 0, t = 0
venymättömäksi
L
Vastaus: φ̈¨ − Lgg cos
Vastaus:
cos φ =
= 0,
0, tt >
> 0;
0;
L
Ratkaisu
φ̇˙ =
= 00 &
& φ=
= 0,
0, tt =
= 00
Muodostetaan
Ratkaisu ensin liikeyhtälöt, joista saadaan kysytty alkuarvotehtävä. LiikeyhtälöiRatkaisu
tä muodostettaessa tullaan jatkossakin hyväksi kokemaan seuraava tapa: ensiksi piirMuodostetaan ensin
joista
saadaan
kysytty
LiikeyhtälöiMuodostetaan
ensin liikeyhtälöt,
liikeyhtälöt,
joista
saadaankoordinaatisto,
kysytty alkuarvotehtävä.
alkuarvotehtävä.
Liikeyhtälöiretään
vapaakappalekuva
ja valitaan
käytettävä
minkä
jälkeen
voidaan
tä
muodostettaessa
tullaan
jatkossakin
hyväksi
kokemaan
seuraava
tapa:
tä muodostettaessa tullaan jatkossakin hyväksi kokemaan seuraava tapa: ensiksi
ensiksi piirpiirmuodostaa
kiihtyvyyden sekäja voimaresultantin
esitykset
valitussa
koordinaatistossa
ja
retään
vapaakappalekuva
valitaan
käytettävä
koordinaatisto,
minkä
jälkeen
voidaan
retään vapaakappalekuva ja valitaan käytettävä koordinaatisto, minkä jälkeen voidaan
kirjoittaa
vektorimuotoista
vastaavat skalaariyhtälöt.
muodostaa
kiihtyvyydenliikelakia
sekä voimaresultantin
esitykset valitussa koordinaatistossa ja
muodostaa kiihtyvyyden sekä voimaresultantin esitykset valitussa koordinaatistossa ja
kirjoittaa
vektorimuotoista
liikelakia
skalaariyhtälöt.
Tehtävässä
Greystoken
paikkaa
voidaanvastaavat
kuvata yksinkertaisesti
kirjoittaa
vektorimuotoista
liikelakia
vastaavat
skalaariyhtälöt. käytämällä kulmaa ja
napakoordinaatistoa
(Greystoke
tasossakuvata
ja liikkuu
ympyrän käytämällä
kaarta pitkin
pisteen
Tehtävässä Greystoken
Greystoken
paikkaa
yksinkertaisesti
kulmaa
φ ja
Tehtävässä
paikkaaonvoidaan
voidaan
kuvata
yksinkertaisesti
käytämällä
kulmaa
jaO
napakoordinaatistoa
(Greystoke
on
ympyrän
kaarta
pitkin
O
ympäri).
Kiihtyvyyden lauseke
napakoordinaatistossa
tunnettua
muotoa
(ks.
kaavanapakoordinaatistoa
(Greystoke
on tasossa
tasossa ja
ja liikkuu
liikkuu on
ympyrän
kaarta
pitkin pisteen
pisteen
O
ympäri).
Kiihtyvyyden
lauseke
napakoordinaatistossa
on
tunnettua
muotoa
(ks.
kaavakokoelma
tai Kiihtyvyyden
luentokalvot)lauseke
ja ulkoisten
voimien resultantti
saadaan vapaakappalekuvan
ympäri).
napakoordinaatistossa
on tunnettua
muotoa (ks. kaavakokoelma tai
tai luentokalvot)
perusteella.
kokoelma
luentokalvot) ja
ja ulkoisten
ulkoisten voimien
voimien resultantti
resultantti saadaan
saadaan vapaakappalekuvan
vapaakappalekuvan
perusteella.
perusteella.
• Vapaakappalekuva ja liikeyhtälöt: Huomioidaan
Vapaakappalekuva ja
Huomioidaan
•• Vapaakappalekuva
ja liikeyhtälöt:
liikeyhtälöt:
Huomioidaan
napakoordinaatiston
kiihtyvyyden
yhtälöissä,
että
napakoordinaatiston
kiihtyvyyden
yhtälöissä,
että
napakoordinaatiston
kiihtyvyyden
yhtälöissä,
Greystoken
köysi
on on
venymätön,
joten
rr == LLettä
=
Greystoken
köysi
venymätön,
joten
=
Greystoken
köysi
on
venymätön,
joten
r
=
L
=
vakiovakio
ja ṙ ja
=ṙr̈==r̈ 0.= 0.
vakio ja ṙ = r̈ = 0.
˙ 2~e 2 + L ¨L~eφ̈~e
Kiihtyvyys
~a =~a =L−L
Kiihtyvyys
Kiihtyvyys
~a = Lφ̇˙r2~e~err +
+ L ¨~eφ
~ =F~~ =S~
Resultantti
erS~e+
mg(~
e eecos
++~e~e~rersin
)
ResultanttiF
sin φ)
φ cos
Resultantti
F = −S~
err +
+ mg(~
mg(~
cos φ +
r sin )
Liikelaki
=am~
Liikelaki
F~ =F~~ m~
:a :
(
Liikelaki F = m~a :
(
(
−S
+
−mL
˙ 2φ̇˙22
S+
sin sin
Smg
+ mg
mg
sin=φ =
=mL
mL
=
¨ φ̈¨
mg mg
cos cos
mg
cos=φ mL
= mL
mL
• Alkuarvotehtävä: Tehtävän tuntemattomat ovat köysivoima S ja kulma φ, jonka
• Alkuarvotehtävä:
Tehtävän
tuntemattomatovat
ovatköysivoima
köysivoima S
• Alkuarvotehtävä:
Tehtävän
tuntemattomat
S ja
jakulma
kulma , jonka
, jonka
suhteen on kysymys differentiaaliyhtälöstä. Koska jälkimmäinen yhtälöistä sisälsuhteen
on kysymys
differentiaaliyhtälöstä.Koska
Koskajälkimmäinen
jälkimmäinen yhtälöistä
sisälsuhteen
on
kysymys
differentiaaliyhtälöstä.
yhtälöistä
sisältää vain tuntemattoman φ ja lähtöhetkellä t = 0 köysi on vaakasuora ja Greystoke
tää
vain
tuntemattoman
ja
lähtöhetkellä
t
=
0
köysi
on
vaakasuora
ja
Greystoke
tää vain
tuntemattoman
ja lähtöhetkellä
t =saadaan
0 köysi on vaakasuora ja Greystoke
on paikallaan
(v = Lφ̇e
= 0 ⇒ φ̇˙ = 0),
˙ ~e φ =
on
paikallaan
(~
v
=
L
0
)
=
0),
saadaan
˙
˙
on paikallaan (~v = L ~e = 0 ) = 0), saadaan
¨
g
φ̈¨g − g cos φ = 0, t > 0; φ̇˙ = 0 & φ = 0, t = 0
0 &
= 0, t = 0
L cos = 0, t > 0; ˙ = =
cos
0 &
= 0, t = 0
L = 0, t > 0;
L
5.
Johda partikkelin P nopeuden v (kaavakokoelmastakin
löytyvä) lauseke pallokoordinaatistossa. Lähde liikkeelle
partikkelin aseman esityksestä r = rer . Pallokoordinaatiston
kantavektoreiden er , eφ ja eθ esityksiä karteesisessa koordinaatistossa sinun ei tarvitse johtaa, vaan voit katsoa ne
esimerkiksi luentokalvoista.
r
φ
θ
θ
φ
=r
Ratkaisu
=r
r
= ṙ
r
+ rθ̇
2
θ
+ rφ̇
= (r̈ − rθ̇ − rφ̇
2
Käytetään luentokalvojen "yleistä tapaa"tehtävän ratkaisuun pian esitettävässä
(2ṙθ̇ +toisessa
rθ̈ − rφ̇2
ratkaisutavassa, mutta aloitetaan ensin aseman esityksen derivoinnista (muista
tulon
(2ṙφ̇
θ+
2rθ̇φ̇
derivointi):
r = rer
⇒
ṙ = ṙer + rėr
Derivaatta ėr saadaan esittämällä ko. kantavektori karteesisessa koordinaatistossa, jonka kantavektorit ovat tässä vakiot (ketjuderviointi pallokoordinaatiston parametrien suhteen):
er = sθcφi + sθsφj + cθk
⇒
ėr =
∂er ∂r ∂er ∂θ ∂er ∂φ
+
+
,
∂r ∂t
∂θ ∂t
∂φ ∂t
joista jälkimmäiseen saadaan (derivointia) ratkaistua
∂er
= 0,
∂r
∂er
= cθcφi + cθsφj − sθk
∂θ
ja
∂er
= −sθsφi + sθcφj.
∂φ
Huomioimalla vielä seuraavat yhteydet (kart.- ja pallokoord. yhteyksistä)
eθ = cθcφi + cθsφj − sθk
ja
eφ = −sφi + cφj
saadaan sijoittamalla
ėr = 0ṙ + (cθcφi + cθsφj − sθk)θ̇ + (−sθsφi + sθcφj)φ̇ = θ̇eθ + φ̇sθeφ
ja sijoittamalla ratkaisun ensimmäiseen yhtälöön saadaan
v = ṙer + rθ̇eθ + rφ̇sθeφ ,
joka on siis kysytty nopeuden esitys ja löytyy myös kaavakokoelmasta.
Ihan vaan harjoittelun ja jatkon kannalta on syytä käydä läpi myös kiihtyvyyden johtaminen yllä esitetyllä tavalla. Vielä perusteellisemman vastauksen sekä nopeuden että
kiihtyvyyden esittämiseksi saat tosin seuraavasta:
r
θ
2
φ
θ) r +
θ
θ) θ +
θ + rφ̈
θ)
φ
kiihtyvyyden esittämiseksi saat tosin seuraavasta:
Pallokoordinaatiston kantavektorit eivät ole vakioita, vaan niiden suunnat riippuvat kulmista
φ ja θ, jotka puolestaan
voivat
riippua
ajasta. Käytetään
Pallokoordinaatiston
kantavektorit
eivät
ole vakioita,
vaan niidenannettua
suunnat yhteyttä
riippuvatpallokulkoordinaatiston
kantavektoreiden
ja
inertiaalikoordinaatiston
kantavektoreiden
välillä
mista ja ✓, jotka puolestaan voivat riippua ajasta. Käytetään annettua yhteyttä pallo(jälkimmäiset
kantavektorit
ovat siis
koordinaatiston
kantavektoreiden
ja vakioita)
inertiaalikoordinaatiston kantavektoreiden välillä
(jälkimmäiset
  kantavektorit ovat
 siisvakioita)
sθcφ sθsφ cθ  i 
 er 
8 9 2
38 9
e~eφr == −sφ
cφ
0  <~ij = ,
s✓c
s✓s
c✓
<
 
 
e~eθ
−sθ
s cθsφ
c
0 5 ~k
= 4cθcφ
j ,
: ;
:~ ;
~e✓
c✓c c✓s
s✓
k
jota siis voidaan derivoida ajan suhteen:
jota

 
siis voidaan
derivoida ajan suhteen:
θ̇cθcφ − φ̇sθsφ
θ̇cθsφ + φ̇sθcφ −θ̇sθ  i 
 ėr 
8 9 2
8 9
˙ −φ̇cφ˙ s✓s
˙ −+
˙0 3<~ij= .
ė~φ ==
φ̇sφ˙ s✓c
✓c✓c
✓c✓s
✓s✓
< ėr
 
ė~ėθ
˙ c φ̇cθsφ −θ̇sθsφ ˙+
= 4−θ̇sθcφ −
s φ̇cθcφ −0θ̇cθ5 ~jk .
:~ ;
:~ ;
˙
˙ c✓s
˙
˙
✓s✓c
✓s✓s
+ ˙ c✓c
✓c✓
ė✓
k
Palautetaan ensimmäisen yhteyden avulla kanta
Palautetaan
  ensimmäisen yhteyden avulla kanta

 
θ̇cθcφ − φ̇sθsφ
θ̇cθsφ + φ̇sθcφ −θ̇sθ
sθcφ −sφ cθcφ  er 
8ėr 
9 2
38 9
˙ −φ̇cφ˙ s✓s
˙ −+
˙0 32s✓c
sθsφ cφ
cθsφ<~eer =
ė~ėφr ==  ✓c✓c
,
φ̇sφ˙ s✓c
✓c✓s
✓s✓
φ
s c✓c
<
 
 
˙
˙
4
5
4
5
~
cθ c 0 c✓s
−sθ ~eeθ ,
ėėθ
= −θ̇sθcφ −c φ̇cθsφ −θ̇sθsφ +
s φ̇cθcφ −0θ̇cθ s✓s
:~ ;
: ;
˙
˙
˙
˙
˙
c✓
0
s✓
~e✓
✓s✓c
c✓s
✓s✓s + c✓c
✓c✓
ė✓
jolloin saadaan
jolloin saadaan
  

  
0
φ̇sθ
θ̇
φ̇sθeφ + θ̇eθ 9
e




r9
8ėr 
9 2
8
8
3
˙0s✓ −φ̇cθ
˙ s✓~e r +
˙φ̇cθe
.
⇒
0
✓˙  <~eerφ= = < −φ̇sθe
e✓ =
−✓~
<ė~ėφr = = −φ̇sθ
θ




~ 4 ˙
˙0c✓5 ~eeθ =
˙
˙
ėėθ = −θ̇s✓ φ̇cθ
)
.
0
s✓~
e
c✓~
e
−θ̇e + φ̇cθeφ✓
:~ ;
: ; : ˙ rr ˙
;
˙ c✓
~e✓
✓˙
0
✓~er + c✓~e
ė✓
Loppu onkin sitten vain derivointia ja sijoittelua (muista tulon derivaatta!):
Loppu onkin sitten vain derivointia ja sijoittelua (muista tulon derivaatta!):
3.
6.
Origossa
sijaitseva
tutka-asema
mittaa
kuvan
Origossa
sijaitseva
tutka-asema
mittaa
kuvanmukaisia
mukaisiakulkulmia mia
✓ jaθ ja sekä
säteen
r
suuntaista
etäisyyttä
kohteesta.
φ sekä säteen r suuntaista etäisyyttä kohteesta.
Hetkellä
jolloin
lentokone
on on
pisteessä
B,B,
ononkoneen
Hetkellä
jolloin
lentokone
pisteessä
koneennopeus
nopeus
500 500
m/s m/s
kohti
pistettä
A jaA kiihtyvyys
8g8g
ylöspäin.
kohti
pistettä
ja kiihtyvyys
ylöspäin.Määritä
Määritäṙ ṙ
ja
r̈
kyseisellä
hetkellä.
ja r̈ kyseisellä hetkellä.
2
Vastaus:
−350
= 40.4
Vastaus:
ṙ =ṙ =350
m/sm/s
ja r̈ja=r̈ 40.4
m/sm/s
2
Ratkaisu
Ratkaisu
Tutka-asema
mittaa
liikettä
pallokoordinaatistossa.Käytetään
Käytetäänsiis
siisratkaisussa
ratkaisussa hyväksi
hyväksi
Tutka-asema
mittaa
liikettä
pallokoordinaatistossa.
pallokoordinaatistoa
sekä
karteesista
{i,
j,
k}-koordinaatistoa.
Näiden
koordinaatistopallokoordinaatistoa sekä karteesista {~i, ~j, ~k}-koordinaatistoa. Näiden koordinaatistojen välinen yhteys
jen välinen yhteys
  
 
 
8 
9er 2
9i 
89i 
38
sθcφ sθsφ cθ
~
~
s✓c s✓s
c✓ 0 <
<~er =e
 i =j =
⇥ ⇤L< i =j
=  −sφ cφ
φ
5 ~j 
~e  =4 s cθcφc cθsφ 0 −sθ
= L ~
j k
: ;eθ
:~ ;k
:~ ;
~e✓
c✓c c✓s
s✓
k
k
Lähtötietojen ja kuvan perusteella saadaan lentokoneen nopeus v {i, j, k}-kannassa.
~j, ~k}-kannassa.
Lähtötietojen
kuvan perusteella
saadaan lentokoneen
nopeus
~v {~i,
Vaihdetaanjatarkastelu
pallokoordinaatistoon
edellä esitettyä
yhteyttä
käyttäen
 
 esitettyä yhteyttä käyttäen
Vaihdetaan tarkastelu pallokoordinaatistoon edellä
i

 er9


−18
9
8
500
~
√
j = vx vy vz L <~eerφ=
(−5i + 2j + 3k) = vx vy vz< i =
v=
⇥ ⇤ 1  
 
500 38~
~
k
~
~
~eeθ
~v = p ( 5i + 2j + 3k) = vx vy vz
j = vx vy vz L
38
:~ ;
: ;
~e✓
k
Nopeus on vektorisuureena invariantti koordinaatiston
vaihdossa. Nopeus pallokoordinaatistossa
Nopeus
on vektorisuureena invariantti koordinaatiston vaihdossa. Nopeus pallokoordinaatistossa
v = ṙer + rφ̇ sin θeφ + rθ̇eθ
˙ e✓
~v = Yllä
ṙ~er +
r ˙ sinyhtälöiden
✓~e + r✓~
olevien
mukaisesti ṙ saadaan laskemalla tarkastelu hetkellä nopeuden
er -suuntainen
komponentti.
Edellä
olevistalaskemalla
yhtälöistä saadaan
ratkaistua
φ̇ ja θ̇,
Yllävolevien
yhtälöiden
mukaisesti
ṙ saadaan
tarkastelu
hetkellämyös
nopeuden
joita tarvitaan kiihtyvyyden r̈ laskemisessa. Tarkastelu hetkellä φ = 0 ja θ = arctan(5).
˙
~v ~er -suuntainen komponentti. Edellä olevista yhtälöistä saadaan ratkaistua myös ˙ ja ✓,
joita tarvitaan kiihtyvyyden r̈ laskemisessa.
Tarkastelu hetkellä = 0 ja ✓ = arctan(5).
2500
1500
ṙ = vx sin θ + vz cos θ = − √
sin θ + √
cos θ ≈ −350 m/s.
250038
150038
ṙ = vx sin ✓ + vz cos ✓ = p sin ✓ + p cos ✓ ⇡ 350 m/s.
Kiihtyvyys r̈ samalla periaatteella.
Muodostetaan
kiihtyvyyden a lauseke {i, j, k}- kan38
38
nassa, suoritetaan koordinaatiston muunnos ja huomioidaan, että kiihtyvyys on inva-
~~ ~
Kiihtyvyys
r̈ samalla periaatteella.
riantti koordinaatiston
vaihdossa.Muodostetaan kiihtyvyyden ~a lauseke {i, j, k}- kannassa, suoritetaan koordinaatiston
muunnos ja 
huomioidaan,
että kiihtyvyys on inva 

i
e




r
riantti koordinaatiston
vaihdossa.
−1
a = 0 0 8g
φ
8 
9j  = 0 0 8g L 8e9

~
i
~
e
< =k
⇥ ⇤ 1 < re=θ
~j = 0 0 8g L
~e
~a = 0 0 8g
:
;
:
;
Jälleen er -suuntaisen
komponentin
avulla
saadaan
~k
~e✓ yhteys
r̈ − rθ̇2 − rφ̇2 sin2 θ = 8g cos θ ⇒ r̈ = 8g cos θ + rθ̇2 + rφ̇2 sin2 θ ≈ 40.4 m/s2
Jälleen ~er -suuntaisen komponentin avulla saadaan yhteys
r̈
r✓˙2
r ˙ 2 sin2 ✓ = 8g cos ✓ ) r̈ = 8g cos ✓ + r✓˙2 + r ˙ 2 sin2 ✓ ⇡ 40.4 m/s2
Huomataan vielä seuraava: nopeus pallokoordinaatistossa voitaisiin kirjoittaa muotoon
v = ṙer + rφ̇ sin θeφ + rθ̇eθ = vr er + vφ eφ + vθ eθ
(jossa siis esim. vr = ṙ)
johon saataisiin komponentit projisoimalla v karteesisessa koordinaatistossa kunkin
kantavektorin suuntaan
vr = ṙ = v · er = (vx i + vy j + vz k) · (sθcφi + sθsφj + cθk)
= vx sin θ + vz cos θ,
jossa on huomioitu, että φ = 0. Kulmanopeuksien φ̇ ja θ̇ ratkaisut, joita tarvitaan kiihtyvyydelle, saataisiin projektioilla eφ ja eθ suuntaan. Karteesisen kiihtyvyyden voi myös
projisoida er :n suuntaan, jotta saisi edellä esitetyn vastauksen yhteyden ar :lle.