Jakso 6: Värähdysliikkeet
Tämän jakson tehtävät on näytettävä viimeistään maanantaina 10.8.2015 Mekaniikka 2:n
kesäkurssin iltatapaamisessa.
T 6.1 (pakollinen): Massa on kiinnitetty pystysuoran jouseen. Massaa poikkeutetaan niin, että se
alkaa värähdellä. Massaan kiinnitetty kynä piirtää käyrää, joka esittää poikkeamaa ajan funktiona
kuten videossa
http://www.youtube.com/watch?v=T7fRGXc9SBI
Tuloksena saadaan alla olevat kuvat. Määritä
a) liikkeen amplitudi (sama jokaisessa kolmessa kuvassa),
b) liikkeen periodi (sama jokaisessa kolmessa kuvassa),
c) liikkeen kulmataajuus (sama jokaisessa kolmessa kuvassa),
d) liikkeen vaihekulma (eri jokaisessa kuvassa).
e) Kirjoita alimmalle liikkeelle yhtälö x = Asin(ωt +φ), johon sijoitat vakioiden arvot.
Oleta, että liike on vaimentumatonta.
T 6.2: Harmonisen värähtelijän yhtälö on x = (0,10 m) sin2(rad/s) t + /4.
a) Mikä on suurin poikkeama tasapainoasemasta?
b) Montako edestakaista värähdystä tapahtuu sekunnissa?
c) Mikä on liikkeen taajuus?
d) Mikä on poikkeama ajanhetkellä t = 0?
T 6.3: Kappale, jonka massa on 3,0 kg, on kiinnitetty jouseen, jonka jousivakio on 22 N/m.
Kappaletta poikkeutetaan 320 mm tasapainoasemastaan (jossa x = 0) eräällä ajanhetkellä t = 0 ja
vapautetaan levosta.
a) Mikä on liikkeen periodi?
b) Mikä on syntyvän harmonisen liikkeen maksimikiihtyvyys?
T 6.4: Harmonisen värähtelijän yhtälö on x = (0,10 m) sin2(rad/s) t + /4.
a) Mikä on kappaleen poikkeama, kun t = 0,125 s?
b) Mikä on kappaleen nopeus, kun t = 0,125 s?
c) Mikä on kappaleen kiihtyvyys, kun t = 0,125 s?
T 6.5: Harmonisen värähtelijän yhtälö on x = (0,10 m) sin2(rad/s) t + /4.
a) Milloin poikkeama on nolla?
b) Milloin nopeus on nolla?
c) Milloin kiihtyvyys on nolla?
T 6.6: Kappale, jonka massa on 0,20 kg, liikkuu nopeudella 5,0 m/s pitkin vaakasuoraa kitkatonta
pintaa kohti massatonta vaakasuoraa jousta, joka on tasapainoasemassaan. Massa tarttuu kiinni
jouseen, joka puristuu kokoon 0,50 m.
a) Mikä on jousivakio k?
b) Millä taajuudella jousi alkaa värähdellä?
c) Mikä on massa-jousisysteemin kokonaisenergia?
T 6.7: Yksinkertaista eli matemaattista heiluria (langan pituus 0,240 m) poikkeutetaan
tasapainoasemasta 3,50o ja sen jälkeen vapautetaan.
a) Mikä on syntyvän heilahdusliikkeen jaksonaika?
b) Mikä on syntyvän heilahdusliikkeen taajuus?
c) Jos tätä samaa heiluria poikkeutetaan aluksi 1,75o, mikä on nyt syntyvän heilahdusliikkeen
jaksonaika?
T 6.8 (pakollinen): Koejärjestely on muuten samanlainen kuin tehtävässä T 6.1, mutta nyt
kappaleeseen vaikuttaa hidastava voima. Kappale on esimerkiksi upotettu nesteeseen. Asiaa
havainnollistaa videossa
http://www.youtube.com/watch?v=zqkj3gYVS0Y vasemmanpuoleisin kuva
tai video http://fi.wikipedia.org/wiki/Tiedosto:Damped_spring.gif
Alla olevassa kuvassa on esitetty kappaleen poikkeama ajan funktiona. Määritä vakion b/2m arvo,
jos liikettä kuvataan yhtälöllä x = Ae-(b/2m)tsin(ωt + φ).
T 6.9: Vaimenemattoman värähtelijän jaksonaika on 12.0 s. Vaimenevan värähtelijän kulmataajuus
on 97 % vaimenemattoman värähtelijän kulmataajuudesta. a) Mikä on peräkkäisten maksimien
amplitudien suhde? b) Missä ajassa värähtelijän amplitudi pienenee puoleen?
Jakso 6: Vastaukset
T 6.3: a) 2,32 s, b) 2,35 m/s2
T 6.4: a) 0,10 m, b) 0, c) -3,95 m/s2
T 6.5: a) -0,125 s [+ (n/2)T]
b) 0,125 s [+ (n/2)T]
c) -0,125 s [+ (n/2)T]
T 6.6: a) 20 N/m, b) 1,6 Hz, c) 2,5 J
T 6.7: a) 0,983 s, b) 1,02 Hz, c) 0,983 s
T 6.8: noin 0,05 s-1
T 6.9: a) 0,21, b) 5,45 s