תרגיל 11 – הנגזרת
Mathematics, Summer 2011 / Exercise 11 – Notes תרגיל – 11הנגזרת .1עבור כל אחת מן הפונקציות הבאות ,קבעו האם היא גזירה ב־ 0והאם היא גזירה ב־:1 |f4 (x) = − |x − 1 f3 (x) = |x| − 1 |f2 (x) = |x − 1 |f1 (x) = |x = )f8 (x f7 (x) = x2 − 1 f6 (x) = x2 |f5 (x) = |x| − |x − 1 x √ 5 נרשום את התוצאות בטבלה: פונקציה גזירה ב־?0 גזירה ב־?1 הערות f1 לא כן f2 כן לא f3 לא כן f4 כן לא f5 לא לא f6 כן כן זו בדיוק הפונקציה x f7 כן לא נסו לציירה! f8 לא כן שימו לב :הגבול חייב להיות סופי כדי שנאמר שהפונקציה גזירה! 2 .2חשבו לפי ההגדרה )אחת מהשתיים( את הנגזרת של הפונקציה .f (x) = x2 + 5x + 8 פתרון נחשב על־פי ההגדרה הראשונה: x2 + 5x + 8 − x20 − 5x0 + 8 lim x→x0 x − x0 x2 − x20 + 5x − 5x0 lim x→x0 x − x0 ) (x − x0 ) (x + x0 ) + 5 (x − x0 lim x→x0 x − x0 )(x − x0 ) (x + x0 + 5 lim x→x0 x − x0 lim (x + x0 + 5) = 2x0 + 5 x→x0 מסקנה.f 0 (x) = 2x + 5 : 1 = = = = = ) f (x) − f (x0 x − x0 lim x→x0 Mathematics, Summer 2011 / Exercise 11 – Notes .3חשבו לפי ההגדרה את הנגזרת של הפונקציה .f (x) = cos x פתרון נחשב לפי ההגדרה השנייה: cos (x0 + h) − cos x0 h cos x0 cos h − sin x0 sin h − cos x0 = lim h→0 h sin h cos h − 1 · = lim cos x0 · − sin x0 h→0 h h = − sin x0 lim h→0 ) f (x0 + h) − f (x0 h = lim h→0 מסקנה.f 0 (x) = − sin x : .4חשבו )בכל דרך תקינה( את הנגזרות של הפונקציות הבאות: x2 2x3 + )א( 2 3 2x − 5 )ד( x+3 )ז( 1 +3 x f (x) = − = )f (x f (x) = x2 − 5 5x2 4x3 − )ב( 2 3 3 )ה( x+2 3 = )f (x 3x x + )ג( 4 4 = )f (x 1 f (x) = (3x + 1) 5 − )ו( x = )f (x x2 + 2x − 3 )ח( x2 − 2x + 3 2 = )f (x )x (x + 1) (x + 2 )ט( )(x − 1) (x − 2 פתרונות )א(),ב(),ג( גוזרים כל מחובר בנפרד .ב־א׳ ,למשל ,נקבל .f 0 (x) = −x + 2x2 )ד( לפי כלל המנה: 11 2 )(x + 3 = )2 (x + 3) − (2x − 5 2 )(x + 3 )ה( בדומה: −3 2 )(x + 2 = )f 0 (x )ו(),ז( אפשר לפתוח סוגריים ואז לגזור כרגיל ,או לגזור לפי כלל המכפלה. )ח(),ט( לפי כלל המנה. 2 = )f 0 (x = )f (x Mathematics, Summer 2011 / Exercise 11 – Notes .5חשבו )בכל דרך תקינה( את הנגזרות של הפונקציות הבאות: 3 1 3 2 ) f (x) = x +ב( )f (x) = 3x − 2 (4 + 3x )א( x 1 )ד( 4 )(5x + 2 = )f (x )ה( x4 √ 5 )ג( x +1 x−1 = )f (x 1 √ = )f (x )ו( 4 x3 = )f (x √ x x+1 = )f (x )ח( 2 − 3x 2 )ז( √ = )f (x x x 2 2 1 )ט( x r = )f (x פתרונות )א( פונקציה מורכבת: 2 1 1 f 0 (x) = 3 x + · 1− 2 x x )ב( לפי כלל המכפלה וכלל השרשרת: 3 2 f 0 (x) = 6x (4 + 3x) + 3x2 − 2 · 3 · (4 + 3x) · 3 )ה(),ו(),ז(),ט( אפשר לרשום את השורשים הללו כחזקות ולגזור כרגיל. )ח( לפי כלל המנה וכלל המכפלה: √ (2 − 3x) + 3x x + 1 2 √x 2 x+1 )(2 − 3x x+1+ √ = )f 0 (x .6חשבו )בכל דרך תקינה( את הנגזרות של הפונקציות הבאות: )א( )f (x) = sin (2x cos2 x + sin2 x )ד( sin x = )f (x )ז( f (x) = tan sin2 x )ב( f (x) = cot x )ג( f (x) = x cos x )ה( )f (x) = cos (sin x )ו( )f (x) = sin (cos x )ח( f (x) = cos tan3 x )ט( ? f (x) = sin2 cos4 x 3 Mathematics, Summer 2011 / Exercise 11 – Notes פתרונות )א( ).2 cos (2x )ב( לפי כלל המנה: − sin2 x − cos2 x 1 =− 2 2 sin x sin x = cos x 0 sin x = )f 0 (x )ג( לפי כלל המכפלה: f 0 (x) = cos x − x sin x )ד( רק צריך לזכור שהמונה הוא בעצם 1ומשם ממשיכים כרגיל. )ה( פונקציה מורכבת: f 0 (x) = − sin (sin x) cos x )ו( ממש כמו ב־ה׳. )ז( כאן יש הרכבה כפולה: 1 · 2 sin x cos x cos2 sin2 x = )f 0 (x )ח( בדומה ל־ז׳. )ט( פה יש הרבה הרכבות: )f 0 (x) = 2 sin cos4 x · cos cos4 x · 4 cos3 x · (− sin x 4 Mathematics, Summer 2011 / Exercise 11 – Notes .7חשבו באמצעות המשפט אודות נגזרת של פונקציה הפוכה את הנגזרת של הפונקציה .f (x) = arccos x פתרון כפי שעשינו בכיתה עם f (x) = cos x ;arcsin xגזירה בכל xומתקיים .f 0 (x) = − sin xנסמן ;y = cos x אז) f −1 (x) = arccos x ,בגבולות (0 ≤ x ≤ πגזירה ב־ yומתקיים 1 1 = cos0 x − sin x 1 1 1 = −p √−√ 2 = − 2 1 − cos x 1 − y2 sin x 0 = ))(arccos (cos x = 0 )(arccos y = .8תהי f : R → Rפונקציה הפיכה ,ונניח כי .f 0 (1) = 3 ,f (1) = 2האם ) f −1 (xגזירה ב־ ?2אם לא ,הסבירו מדוע. 0 אם כן ,חשבו את ). f −1 (2 פתרון לפי המשפט אודות נגזרת של פונקציה הפוכה ,מאחר ו־ fגזירה ב־ f −1 ,1גזירה ב־) ,f (1כלומר ב־ .2מתקיים: 1 1 = )f 0 (1 3 0 0 = ))f −1 (2) = f −1 (f (1 .9חשבו )בכל דרך תקינה( את הנגזרות של הפונקציות הבאות: r 2 20 3 x + 1 )ב( f (x) = x3 + 3x + 4 )א( = )f (x 1−x 1 )ד( 3x2 − 1 √ = )f (x )ז( f (x) = ln x7 + 3x6 + 3 )ג( x 2 x +1 x2 − 1 f (x) = ln 2 f (x) = ex sin )ה( f (x) = x arctan x2 )ו( )ח( )f (x) = 2arcsin(3x )ט( f (x) = 34 x פתרונות )א( הרכבה פשוטה: · 3x2 + 3 19 f 0 (x) = 20 x3 + 3x + 4 )ב( הרכבה על גזירה של פונקציה רציונלית: ! 2x (1 − x) + x2 + 1 2 )(1 − x 5 − 32 · x2 + 1 1−x 1 3 = )f 0 (x Mathematics, Summer 2011 / Exercise 11 – Notes )ג( כנ״ל) :הפעם נייפה את זה קצת( ! x2 − 1 −4x · x2 + 1 (x2 − 1)2 = 2x x2 − 1 − 2x x2 + 1 2 )(x2 − 1 · 1 x2 +1 x2 −1 4x 4x =− 4 )(x2 + 1) (x2 − 1 x −1 − = )f 0 (x = )ה( כלל המכפלה וכלל השרשרת: x · 2x 1 + x2 f 0 (x) = arctan x2 + )ו( לפי כלל השרשרת וכלל המכפלה: · sin2 x · x · 2 sin x · cos x x 2 f 0 (x) = ex sin )ז( לפי כלל השרשרת: 1 · 7x6 + 18x5 x7 + 3x6 + 3 = )f 0 (x )ח( לפי כלל השרשרת: 1 ·3 2 )1 − (3x f 0 (x) = 2arcsin(3x) · ln 2 · q )ט( לפי כלל השרשרת: x f 0 (x) = 34 · ln 3 · 4x · ln 4 .10הוכיחו או הפריכו :פונקציה שאינה חסומה ב־] [a, bאינה גזירה בקטע הסגור ].[a, b פתרון הטענה נכונה .אם fגזירה ,אז היא גם רציפה ,ולכן ,לפי משפט ויירשטראס ,היא חסומה. .11מצאו דוגמה לפונקציה רציפה וגזירה על כל הישר ,מלבד נקודה אחת שבה היא אינה רציפה ,ונקודה אחת אחרת שבה היא רציפה אך לא גזירה. פתרון דוגמה פשוטה: 1 x−1 .f (x) = |x| + 6 Mathematics, Summer 2011 / Exercise 11 – Notes ? .12ידוע כי ) f (xרציפה ב־ ,x = 2ומקיימת )f (x) − π − 3 (x − 2 =0 x−2 lim x→2 חשבו את ) f (2ואת ).f 0 (2 פתרון מתקיים: 0 = 0 = 3 = )f (x) − π 3 (x − 2 − x−2 x−2 f (x) − π lim −3 x→2 x−2 f (x) − π lim x→2 x−2 lim x→2 מכיוון שהמכנה שואף ל־ ,0גם המונה חייב לשאוף ל־) 0אחרת הגבול לא היה .(3כלומר: 0 = )lim (f (x) − π π = )lim f (x x→2 x→2 אבל fרציפה ב־ 2ולכן ) ,limx→2 f (x) = f (2כלומר .f (2) = πולבסוף: f (x) − π )f (x) − f (2 = lim =3 x→2 x−2 x−2 f 0 (2) = lim x→2 .13יהיו ) f (x) , g (xשתי פונקציות המוגדרות על כל הישר הממשי g (x) ,גזירה על כל הישר הממשי. נגדיר ) h1 (x) = f (x) + g (xו־) .h2 (x) = f (x) g (xענו על כל אחד מן הסעיפים הבאים בנפרד: )א( אם ידוע כי ) h1 (xגזירה על כל הישר הממשי – האם נובע כי ) f (xגזירה על כל הישר הממשי? פתרון מתקיים ) ,f (x) = h1 (x) − g (xוכהפרש של שתי פונקציות גזירות f ,גזירה. )ב( אם ידוע כי ) h2 (xגזירה על כל הישר הממשי – האם נובע כי ) f (xגזירה על כל הישר הממשי? פתרון לא .להלן דוגמה נגדית.h2 (x) = 0 ,g (x) = 0 ,f (x) = |x| : ? .14תנו דוגמה לפונקציה שאינה גזירה באינסוף נקודות שונות. דוגמה הפונקציה |.f (x) = |sin x 7
© Copyright 2024