‫‪Mathematics, Summer 2011 / Exercise 11 – Notes‬‬
‫תרגיל ‪ – 11‬הנגזרת‬
‫‪ .1‬עבור כל אחת מן הפונקציות הבאות‪ ,‬קבעו האם היא גזירה ב־‪ 0‬והאם היא גזירה ב־‪:1‬‬
‫|‪f4 (x) = − |x − 1‬‬
‫‪f3 (x) = |x| − 1‬‬
‫|‪f2 (x) = |x − 1‬‬
‫|‪f1 (x) = |x‬‬
‫= )‪f8 (x‬‬
‫‬
‫‬
‫‪f7 (x) = x2 − 1‬‬
‫ ‬
‫ ‪f6 (x) = x2‬‬
‫|‪f5 (x) = |x| − |x − 1‬‬
‫‪x‬‬
‫√‬
‫‪5‬‬
‫נרשום את התוצאות בטבלה‪:‬‬
‫פונקציה‬
‫גזירה ב־‪?0‬‬
‫גזירה ב־‪?1‬‬
‫הערות‬
‫‪f1‬‬
‫לא‬
‫כן‬
‫‪f2‬‬
‫כן‬
‫לא‬
‫‪f3‬‬
‫לא‬
‫כן‬
‫‪f4‬‬
‫כן‬
‫לא‬
‫‪f5‬‬
‫לא‬
‫לא‬
‫‪f6‬‬
‫כן‬
‫כן‬
‫זו בדיוק הפונקציה ‪x‬‬
‫‪f7‬‬
‫כן‬
‫לא‬
‫נסו לציירה!‬
‫‪f8‬‬
‫לא‬
‫כן‬
‫שימו לב‪ :‬הגבול חייב להיות סופי כדי שנאמר שהפונקציה גזירה!‬
‫‪2‬‬
‫‪ .2‬חשבו לפי ההגדרה )אחת מהשתיים( את הנגזרת של הפונקציה ‪.f (x) = x2 + 5x + 8‬‬
‫פתרון נחשב על־פי ההגדרה הראשונה‪:‬‬
‫‬
‫‪x2 + 5x + 8 − x20 − 5x0 + 8‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪x→x0‬‬
‫‪x − x0‬‬
‫‪x2 − x20 + 5x − 5x0‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪x→x0‬‬
‫‪x − x0‬‬
‫) ‪(x − x0 ) (x + x0 ) + 5 (x − x0‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪x→x0‬‬
‫‪x − x0‬‬
‫)‪(x − x0 ) (x + x0 + 5‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪x→x0‬‬
‫‪x − x0‬‬
‫‪lim (x + x0 + 5) = 2x0 + 5‬‬
‫‪x→x0‬‬
‫מסקנה‪.f 0 (x) = 2x + 5 :‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫) ‪f (x) − f (x0‬‬
‫‪x − x0‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪x→x0‬‬
‫‪Mathematics, Summer 2011 / Exercise 11 – Notes‬‬
‫‪ .3‬חשבו לפי ההגדרה את הנגזרת של הפונקציה ‪.f (x) = cos x‬‬
‫פתרון נחשב לפי ההגדרה השנייה‪:‬‬
‫‪cos (x0 + h) − cos x0‬‬
‫‪h‬‬
‫‪cos x0 cos h − sin x0 sin h − cos x0‬‬
‫‪= lim‬‬
‫‪h→0‬‬
‫‪h‬‬
‫‬
‫‬
‫‪sin h‬‬
‫‪cos h − 1‬‬
‫· ‪= lim cos x0‬‬
‫· ‪− sin x0‬‬
‫‪h→0‬‬
‫‪h‬‬
‫‪h‬‬
‫‪= − sin x0‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪h→0‬‬
‫) ‪f (x0 + h) − f (x0‬‬
‫‪h‬‬
‫=‬
‫‪lim‬‬
‫‪h→0‬‬
‫מסקנה‪.f 0 (x) = − sin x :‬‬
‫‪ .4‬חשבו )בכל דרך תקינה( את הנגזרות של הפונקציות הבאות‪:‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪2x3‬‬
‫‪+‬‬
‫)א(‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2x − 5‬‬
‫)ד(‬
‫‪x+3‬‬
‫‬
‫)ז(‬
‫‪1‬‬
‫‪+3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪f (x) = −‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫‬
‫‬
‫‪f (x) = x2 − 5‬‬
‫‪5x2‬‬
‫‪4x3‬‬
‫‪−‬‬
‫)ב(‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫)ה(‬
‫‪x+2‬‬
‫‪3‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫‪3x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪+‬‬
‫)ג(‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪f (x) = (3x + 1) 5 −‬‬
‫)ו(‬
‫‪x‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫‪x2 + 2x − 3‬‬
‫)ח(‬
‫‪x2 − 2x + 3‬‬
‫‪2‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫)‪x (x + 1) (x + 2‬‬
‫)ט(‬
‫)‪(x − 1) (x − 2‬‬
‫פתרונות‬
‫)א(‪),‬ב(‪),‬ג( גוזרים כל מחובר בנפרד‪ .‬ב־א׳‪ ,‬למשל‪ ,‬נקבל ‪.f 0 (x) = −x + 2x2‬‬
‫)ד( לפי כלל המנה‪:‬‬
‫‪11‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪(x + 3‬‬
‫=‬
‫)‪2 (x + 3) − (2x − 5‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪(x + 3‬‬
‫)ה( בדומה‪:‬‬
‫‪−3‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪(x + 2‬‬
‫= )‪f 0 (x‬‬
‫)ו(‪),‬ז( אפשר לפתוח סוגריים ואז לגזור כרגיל‪ ,‬או לגזור לפי כלל המכפלה‪.‬‬
‫)ח(‪),‬ט( לפי כלל המנה‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫= )‪f 0 (x‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫‪Mathematics, Summer 2011 / Exercise 11 – Notes‬‬
‫‪ .5‬חשבו )בכל דרך תקינה( את הנגזרות של הפונקציות הבאות‪:‬‬
‫‬
‫‪3‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪) f (x) = x +‬ב( )‪f (x) = 3x − 2 (4 + 3x‬‬
‫)א(‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫)ד(‬
‫‪4‬‬
‫)‪(5x + 2‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫)ה( ‪x4‬‬
‫√‬
‫‪5‬‬
‫)ג(‬
‫‪x +1‬‬
‫‪x−1‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫‪1‬‬
‫√ = )‪f (x‬‬
‫)ו(‬
‫‪4‬‬
‫‪x3‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫√‬
‫‪x x+1‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫)ח(‬
‫‪2 − 3x‬‬
‫‪2‬‬
‫)ז( √ = )‪f (x‬‬
‫‪x x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫)ט(‬
‫‪x‬‬
‫‪r‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫פתרונות‬
‫)א( פונקציה מורכבת‪:‬‬
‫‬
‫ ‪2‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪f 0 (x) = 3 x +‬‬
‫‪· 1− 2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫)ב( לפי כלל המכפלה וכלל השרשרת‪:‬‬
‫‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪f 0 (x) = 6x (4 + 3x) + 3x2 − 2 · 3 · (4 + 3x) · 3‬‬
‫)ה(‪),‬ו(‪),‬ז(‪),‬ט( אפשר לרשום את השורשים הללו כחזקות ולגזור כרגיל‪.‬‬
‫)ח( לפי כלל המנה וכלל המכפלה‪:‬‬
‫√‬
‫‪(2 − 3x) + 3x x + 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‬
‫‪√x‬‬
‫‪2 x+1‬‬
‫)‪(2 − 3x‬‬
‫‪x+1+‬‬
‫√‬
‫= )‪f 0 (x‬‬
‫‪ .6‬חשבו )בכל דרך תקינה( את הנגזרות של הפונקציות הבאות‪:‬‬
‫)א( )‪f (x) = sin (2x‬‬
‫‪cos2 x + sin2 x‬‬
‫)ד(‬
‫‪sin x‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫‬
‫)ז( ‪f (x) = tan sin2 x‬‬
‫)ב( ‪f (x) = cot x‬‬
‫)ג( ‪f (x) = x cos x‬‬
‫)ה( )‪f (x) = cos (sin x‬‬
‫)ו( )‪f (x) = sin (cos x‬‬
‫‬
‫)ח( ‪f (x) = cos tan3 x‬‬
‫‬
‫)ט( ? ‪f (x) = sin2 cos4 x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪Mathematics, Summer 2011 / Exercise 11 – Notes‬‬
‫פתרונות‬
‫)א( )‪.2 cos (2x‬‬
‫)ב( לפי כלל המנה‪:‬‬
‫‪− sin2 x − cos2 x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪=− 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪sin x‬‬
‫‪sin x‬‬
‫=‬
‫‪ cos x 0‬‬
‫‪sin x‬‬
‫= )‪f 0 (x‬‬
‫)ג( לפי כלל המכפלה‪:‬‬
‫‪f 0 (x) = cos x − x sin x‬‬
‫)ד( רק צריך לזכור שהמונה הוא בעצם ‪ 1‬ומשם ממשיכים כרגיל‪.‬‬
‫)ה( פונקציה מורכבת‪:‬‬
‫‪f 0 (x) = − sin (sin x) cos x‬‬
‫)ו( ממש כמו ב־ה׳‪.‬‬
‫)ז( כאן יש הרכבה כפולה‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ · 2 sin x cos x‬‬
‫‪cos2 sin2 x‬‬
‫= )‪f 0 (x‬‬
‫)ח( בדומה ל־ז׳‪.‬‬
‫)ט( פה יש הרבה הרכבות‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫)‪f 0 (x) = 2 sin cos4 x · cos cos4 x · 4 cos3 x · (− sin x‬‬
‫‪4‬‬
‫‪Mathematics, Summer 2011 / Exercise 11 – Notes‬‬
‫‪ .7‬חשבו באמצעות המשפט אודות נגזרת של פונקציה הפוכה את הנגזרת של הפונקציה ‪.f (x) = arccos x‬‬
‫פתרון כפי שעשינו בכיתה עם ‪ f (x) = cos x ;arcsin x‬גזירה בכל ‪ x‬ומתקיים ‪ .f 0 (x) = − sin x‬נסמן ‪;y = cos x‬‬
‫אז‪) f −1 (x) = arccos x ,‬בגבולות ‪ (0 ≤ x ≤ π‬גזירה ב־‪ y‬ומתקיים‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫‪cos0 x‬‬
‫‪− sin x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪= −p‬‬
‫√‪−√ 2 = −‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1 − cos x‬‬
‫‪1 − y2‬‬
‫‪sin x‬‬
‫‪0‬‬
‫= ))‪(arccos (cos x‬‬
‫=‬
‫‪0‬‬
‫)‪(arccos y‬‬
‫=‬
‫‪ .8‬תהי ‪ f : R → R‬פונקציה הפיכה‪ ,‬ונניח כי ‪ .f 0 (1) = 3 ,f (1) = 2‬האם )‪ f −1 (x‬גזירה ב־‪ ?2‬אם לא‪ ,‬הסבירו מדוע‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫אם כן‪ ,‬חשבו את )‪. f −1 (2‬‬
‫פתרון לפי המשפט אודות נגזרת של פונקציה הפוכה‪ ,‬מאחר ו־ ‪ f‬גזירה ב־‪ f −1 ,1‬גזירה ב־)‪ ,f (1‬כלומר ב־‪ .2‬מתקיים‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫)‪f 0 (1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫= ))‪f −1 (2) = f −1 (f (1‬‬
‫‪ .9‬חשבו )בכל דרך תקינה( את הנגזרות של הפונקציות הבאות‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫‪2‬‬
‫‪20‬‬
‫‪3 x + 1‬‬
‫)ב(‬
‫‪f (x) = x3 + 3x + 4‬‬
‫)א(‬
‫= )‪f (x‬‬
‫‪1−x‬‬
‫‪1‬‬
‫)ד(‬
‫‪3x2 − 1‬‬
‫√ = )‪f (x‬‬
‫‬
‫)ז( ‪f (x) = ln x7 + 3x6 + 3‬‬
‫‬
‫)ג(‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x +1‬‬
‫‪x2 − 1‬‬
‫‬
‫‪f (x) = ln‬‬
‫‪2‬‬
‫‪f (x) = ex sin‬‬
‫‬
‫)ה( ‪f (x) = x arctan x2‬‬
‫)ו(‬
‫)ח( )‪f (x) = 2arcsin(3x‬‬
‫)ט( ‪f (x) = 34‬‬
‫‪x‬‬
‫פתרונות‬
‫)א( הרכבה פשוטה‪:‬‬
‫‬
‫‪· 3x2 + 3‬‬
‫‪19‬‬
‫‪f 0 (x) = 20 x3 + 3x + 4‬‬
‫)ב( הרכבה על גזירה של פונקציה רציונלית‪:‬‬
‫!‬
‫‪2x (1 − x) + x2 + 1‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪(1 − x‬‬
‫‪5‬‬
‫‪− 32‬‬
‫·‬
‫‪x2 + 1‬‬
‫‪1−x‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫= )‪f 0 (x‬‬
‫‪Mathematics, Summer 2011 / Exercise 11 – Notes‬‬
‫)ג( כנ״ל‪) :‬הפעם נייפה את זה קצת(‬
‫!‬
‫‪x2 − 1‬‬
‫‪−4x‬‬
‫·‬
‫‪x2 + 1 (x2 − 1)2‬‬
‫=‬
‫‬
‫‪2x x2 − 1 − 2x x2 + 1‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪(x2 − 1‬‬
‫·‬
‫‪1‬‬
‫‪x2 +1‬‬
‫‪x2 −1‬‬
‫‪4x‬‬
‫‪4x‬‬
‫‪=− 4‬‬
‫)‪(x2 + 1) (x2 − 1‬‬
‫‪x −1‬‬
‫‪−‬‬
‫=‬
‫)‪f 0 (x‬‬
‫=‬
‫)ה( כלל המכפלה וכלל השרשרת‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪· 2x‬‬
‫‪1 + x2‬‬
‫‬
‫‪f 0 (x) = arctan x2 +‬‬
‫)ו( לפי כלל השרשרת וכלל המכפלה‪:‬‬
‫‪· sin2 x · x · 2 sin x · cos x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪f 0 (x) = ex sin‬‬
‫)ז( לפי כלל השרשרת‪:‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪· 7x6 + 18x5‬‬
‫‪x7 + 3x6 + 3‬‬
‫= )‪f 0 (x‬‬
‫)ח( לפי כלל השרשרת‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪·3‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪1 − (3x‬‬
‫‪f 0 (x) = 2arcsin(3x) · ln 2 · q‬‬
‫)ט( לפי כלל השרשרת‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪f 0 (x) = 34 · ln 3 · 4x · ln 4‬‬
‫‪ .10‬הוכיחו או הפריכו‪ :‬פונקציה שאינה חסומה ב־]‪ [a, b‬אינה גזירה בקטע הסגור ]‪.[a, b‬‬
‫פתרון הטענה נכונה‪ .‬אם ‪ f‬גזירה‪ ,‬אז היא גם רציפה‪ ,‬ולכן‪ ,‬לפי משפט ויירשטראס‪ ,‬היא חסומה‪.‬‬
‫‪ .11‬מצאו דוגמה לפונקציה רציפה וגזירה על כל הישר‪ ,‬מלבד נקודה אחת שבה היא אינה רציפה‪ ,‬ונקודה אחת אחרת שבה‬
‫היא רציפה אך לא גזירה‪.‬‬
‫פתרון דוגמה פשוטה‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x−1‬‬
‫‪.f (x) = |x| +‬‬
‫‪6‬‬
‫‪Mathematics, Summer 2011 / Exercise 11 – Notes‬‬
‫‪ ? .12‬ידוע כי )‪ f (x‬רציפה ב־‪ ,x = 2‬ומקיימת‬
‫)‪f (x) − π − 3 (x − 2‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪x−2‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪x→2‬‬
‫חשבו את )‪ f (2‬ואת )‪.f 0 (2‬‬
‫פתרון מתקיים‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫=‬
‫‪0‬‬
‫=‬
‫‪3‬‬
‫=‬
‫‬
‫)‪f (x) − π 3 (x − 2‬‬
‫‪−‬‬
‫‪x−2‬‬
‫‪x−2‬‬
‫‬
‫‬
‫‪f (x) − π‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪−3‬‬
‫‪x→2‬‬
‫‪x−2‬‬
‫‪f (x) − π‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪x→2‬‬
‫‪x−2‬‬
‫‬
‫‪lim‬‬
‫‪x→2‬‬
‫מכיוון שהמכנה שואף ל־‪ ,0‬גם המונה חייב לשאוף ל־‪) 0‬אחרת הגבול לא היה ‪ .(3‬כלומר‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫=‬
‫)‪lim (f (x) − π‬‬
‫‪π‬‬
‫=‬
‫)‪lim f (x‬‬
‫‪x→2‬‬
‫‪x→2‬‬
‫אבל ‪ f‬רציפה ב־‪ 2‬ולכן )‪ ,limx→2 f (x) = f (2‬כלומר ‪ .f (2) = π‬ולבסוף‪:‬‬
‫‪f (x) − π‬‬
‫)‪f (x) − f (2‬‬
‫‪= lim‬‬
‫‪=3‬‬
‫‪x→2‬‬
‫‪x−2‬‬
‫‪x−2‬‬
‫‪f 0 (2) = lim‬‬
‫‪x→2‬‬
‫‪ .13‬יהיו )‪ f (x) , g (x‬שתי פונקציות המוגדרות על כל הישר הממשי‪ g (x) ,‬גזירה על כל הישר הממשי‪.‬‬
‫נגדיר )‪ h1 (x) = f (x) + g (x‬ו־)‪ .h2 (x) = f (x) g (x‬ענו על כל אחד מן הסעיפים הבאים בנפרד‪:‬‬
‫)א( אם ידוע כי )‪ h1 (x‬גזירה על כל הישר הממשי – האם נובע כי )‪ f (x‬גזירה על כל הישר הממשי?‬
‫פתרון מתקיים )‪ ,f (x) = h1 (x) − g (x‬וכהפרש של שתי פונקציות גזירות‪ f ,‬גזירה‪.‬‬
‫)ב( אם ידוע כי )‪ h2 (x‬גזירה על כל הישר הממשי – האם נובע כי )‪ f (x‬גזירה על כל הישר הממשי?‬
‫פתרון לא‪ .‬להלן דוגמה נגדית‪.h2 (x) = 0 ,g (x) = 0 ,f (x) = |x| :‬‬
‫‪ ? .14‬תנו דוגמה לפונקציה שאינה גזירה באינסוף נקודות שונות‪.‬‬
‫דוגמה הפונקציה |‪.f (x) = |sin x‬‬
‫‪7‬‬