1 מטריקה וטופולוגיה
חדוא 3־ תרגיל בית 4
1
מטריקה וטופולוגיה
.1יהי ) (X, ρמרחב מטרי .הראו כי τהמורכבת מקבוצות פתוחות )במובן שראינו בשיעור הראשון(
היא טופולוגיה.
.2הראו כי d1 , d2שתי מטריקות המוגדרות על קבוצה Xהן שקולות אם ורק אם לכל סדרה
{xn } ⊂ Xמתקיים ש־
d1 (xn , x) → 0 ⇐⇒ d2 (xn , x) → 0
.3נתייחס לקבוצה כלשהי X ⊂ Rnכמרחב מטריזבילי עם המטריקה שאנו יורשים מהמטריקה
המוגדרת על .Rnנגדיר קבוצה פתוחה ב־ Xלהיות קבוצה פתוחה במובן עליו דיברנו בשבוע
הראשון .על מנת למנוע בלבול ,קבוצה כזו נקרא פתוחה יחסית )ב־ .(Xהגדרה דומה קיימת
לקבוצות סגורות .נשים לב ש־ Xעצמה היא קבוצה סגורה וגם פתוחה בטופולוגיה היחסית.
)א( הוכיחו שקבוצה U ⊂ Xהיא פתוחה יחסית אם רק אם קיימת קבוצה פתוחה G ⊆ Rnכך
ש־ .U = G ∩ X
)ב( נסחו והוכיחו טענה דומה עבור קבוצות סגורות.
.4הגדירו את המונחים הבאים עבור מרחב מטריזבילי כללי:
)א( התכנסות של סדרה.
)ב( גבול של סדרה.
)ג( רציפות של פונקציה.
)ד( נקודת הצטברות של קבוצה.
)ה( קבוצה סגורה.
)ו( סגור של קבוצה.
)ז( שפה של קבוצה.
)ח( פנים של קבוצה.
)ט( קבוצה פתוחה.
.5נגדיר אתה קבוצה }.A = {arctan(n) : n ∈ Z
)א( האם Zהומיאומורפית לקבוצה ?A
)ב( תארו את כל הקבוצות הפתוחות יחסית ב־ .A
)ג( נסמן )∞ .B := A ∩ [0,האם Aהומיאומורפית ל־ ?B
רמז :שימו לב מהי פונקציה רציפה בין שתי הקבוצות.
)ד( האם ̄ Aהומיאומורפית ל־ ̄ ?Bתארו את כל הקבוצות הפתוחות יחסית ב־ ̄.A
.6הוכיחו שקבוצה ב־ Rהיא קשירה אם ורק אם היא אנטרוול כלשהו.
1
.7אלו מהקבוצות הבאות הן קשירות ב־ ?R2
)א( }.A := {(x, y); x2 · y 2 = 1
)ב( .B := x, sin x1 : x 6= 0
)ג( }).C := B ∪ {(0, 0
.8תהי Gקבוצה פתוחה וקשירה ,והזכרו בהגדרה של dGמתרגול )או מרשימות ההרצאה עמוד .(24
החסימות של המרחב המטרי ) (G, ρGאינה גוררת את החסימות של המרחב ) .(G, dG
)א( מצאו דוגמא נגדית שבה החסימות של מרחב ) (G, ρGאינה גוררת את החסימות של המרחב
) .(G, dG
רמז :התבוננו בקבוצות שבתרגיל הקודם.
)ב( תהי K ⊂ Gהיא קבוצה קומפקטית ב־ ,Rnהראו שהיא קבוצה חסומה ב־ ) .(G, dG
רמז :נסו להוכיח בשלילה.
)ג( תהי K ⊂ Gקבוצה קומפקטית ב־ .Rnהראו כי־
)dG (x, y
∞<
||x,y∈K ||x − y
sup
x6=y
.9תהיינה f, gשתי פונקציות על מרחב מטריזבילי .Xנאמר שהן שוות ליד נקודה נתונה x ∈ X
אם קיימת סביבה של x ∈ Xכך שהן שוות עליה .להיות שווה ליד נקודה נתונה זהו יחס שקילות.
מחלקות השקילות שלו נקראות .germsנסמן את ה־ germשל פונקציה fב־ xב־ .[f ]xונאמר
ש־ [f ]xרציפה אם fרציפה ליד .xהאם רציפות ורציפות ליד נקודה ורציפות בנקודה הם אותו
הדבר?
.10נסמן ב־ ρGאת המטריקה האוקלידית.
)א( הוכיחו ש־ ρG ∼ dGבמילים אחרות ש־
dG (xn , x) → 0 ⇐⇒ |xn − x| → 0
)ב( הראו ש־
|xk − yk | → 0 6⇒ ρG (xk , yk ) → 0
נשים לב שזוהי דוגמא נגדית נוספת לשאלה הראשונה שנפתרה בתרגול.
2
© Copyright 2024