Bachelor Færdig 2015
Lau Prieske Matematik Z110371 Zahle 22/04-2015 Indhold Indledning ...................................................................................................................................................... 3 Problemfelt .................................................................................................................................................... 3 Metode .......................................................................................................................................................... 4 Empirimetode ................................................................................................................................................ 4 Evaluering i folkeskolen ................................................................................................................................. 5 Summativ og formativ evaluering i matematik ............................................................................................. 7 Teori............................................................................................................................................................... 8 Evaluering med samfundsperspektiv ........................................................................................................ 8 Det flerstemmige og dialogiske klasserum ................................................................................................ 9 Principper for formative evaluering .......................................................................................................... 9 Reliabilitet og validitet af en evaluering .................................................................................................. 10 Hiim og Hippes didaktiske relationsmodel .............................................................................................. 11 Vejledning for faget matematik............................................................................................................... 11 Forenklede Fælles Mål............................................................................................................................. 11 Empiri........................................................................................................................................................... 12 De otte kategorier ................................................................................................................................... 13 Analyse ........................................................................................................................................................ 17 Analyse af min evalueringsmetode ......................................................................................................... 17 Analyse af mine empiriske kategorier ..................................................................................................... 20 Diskussion .................................................................................................................................................... 24 Samfundets indvirkning på vores evalueringsmetoder ........................................................................... 24 Konklusion ................................................................................................................................................... 25 Litteraturliste ............................................................................................................................................... 27 2 Lau Prieske Matematik Z110371 Zahle 22/04-2015 Indledning I det samfund som vi har i dag, er der stor fokus på at kunne måle befolkningen overfor andre dele af befolkningen, men også at kunne måle og vurdere på tværs af nationer og folkeslag. I folkeskolen skal eleverne testes, og herefter kan skolerne rangordne de forskellige klasser op mod hinanden, men det bliver også brugt til at vurdere elever og skoler, på tværs af kommuner og landsdele. Er det hensigtsmæssigt, at vi vurderer alle vores elever ud fra den samme standard? Kan de alle blive evalueret på samme måde? Og skaber vi egentlig en kultur, hvor det er karakteren og fuldførelsen af de nationale tests, der kommer i højsæde, og ikke den reelle læring. For hvis det kun er de resultater som de forskellige obligatoriske, og meget summative tests der bliver brugt til at evaluere vores skoler, så er der en grund til at frygte at vi lærer eleverne at klare disse tests så godt som muligt, men i farten glemmer at fokusere på andre vigtige aspekter som problemløsning og den kommunikative matematik. Jeg vil i denne bachelor opgave dykke ned i aspekterne omkring evaluering i matematikundervisningen, og lægge fokus på hvordan man kan inkorpererer evaluering i den daglige/ugentlige undervisning. Jeg vil primært fokusere på den formative del af evalueringen. Grunden til at jeg har valgt dette emne er at jeg finder det meget interessant, og svært at få et øjebliksbillede af eleverne, derfor vil jeg gerne blive klogere på, hvordan man løbende kan evaluere sin undervisning, så det bliver lettere for mig selv at gennemskue elevernes faglige niveau, men også uden at eleverne får den ”test”-følelse som ofte følger med den summative evalueringsform. Og hvordan sikrer vi at eleverne når deres mål. Jeg vil også gerne se lidt nærmere på evalueringsbegrebet i samfundet, og hvordan at det spiller sammen med politikernes intentioner om at skabe en fremtidig skole. Politikerne træffer måske beslutninger på baggrund af de forskellige informationer de får ud af de nationale tests, selvom resultaterne måske ikke giver det fulde billede af elevernes formåen. Det kan give et forskruet billede af skolernes egentlige standpunkt. Kan dette være med til at skabe et pres, fra toppen af systemet og hele vejen ned til den enkelte lærer ude i klassen, om at der skal være mere fokus på at klare testene bedre og på bekostning af anden varieret undervisning? Problemfelt Evaluering har været et aspekt af lærergerningen som jeg har fundet interessant siden min praktik på første år. Det var blandt andet fordi at vores undervisning på Zahle var stærkt påvirket af ideen om problemløsning og kommunikativ matematik skulle være et kerneaspekt i undervisningen. Da vi så kom ud, fandt jeg det svært at evaluere på de kompetencer, og de fleste tests som jeg kendte var den summative form, der kun testede en brøkdel af elevernes egentlige læring, og slet ikke evaluerede på mange af de kompetencer jeg fandt relevante i matematikundervisningen. Derfor har jeg arbejdet mig frem til den følgende problemformulering: Hvordan evaluerer man matematik undervisning i indskolingen hensigtsmæssigt, med henblik på at forme og differentiere sin videre undervisning? Og hvordan spiller samfundets intentioner om evalueringen sammen med det virkelige liv i folkeskolen? Hvordan kan man som lærer gennem evaluering blive klogere på sin undervisning og udvikle den? 3 Lau Prieske Matematik Z110371 Zahle 22/04-2015 Hvilke muligheder/begrænsninger og fordele/ulemper har formativ og summativ evaluering? I min opgave vil jeg inddrage empiri fra mine praktikforløb, samt forsøge at belyse emnet med relevant teori. Jeg vil primært holde fokus på det formative aspekt af evalueringen, samt grave dybere i hvilke forventninger der er fra ministeriet. Og om disse forventninger kan indfries og giver mening i den travle hverdag i skolen. Metode Jeg vil i opgaven kigge på evaluering ud fra definitionen, formålet og lovgrundlaget. Det er alle tre helt grundlæggende aspekter af hvorfor vi evaluerer i folkeskolen. Specielt formålet er meget interessant, hvorfor evaluerer vi egentlig, hvilke aspekter kan evalueres og hvordan gør vi det som lærere i praksis. Jeg vil yderligere også kigge på hvad Undervisningsministeriet skriver om de obligatoriske tests og hvad de mener er grundlaget, og meningen bag. Desuden vil jeg afgrænse forskellene mellem summativ og formativ evaluering, og deres respektive plads i folkeskolens evalueringsproces. Til det teoretiske grundlag vil jeg blandt andet benytte Peter Dahler-Larsen samt David Clarke, jeg vil også se nærmere på hvordan Hiim og Hippes didaktiske relationsmodel knytter de forskellige områder indenfor undervisningen til evaluering. Desuden vil Olga Dysthes tanker om det dialogiske klasserum spille en rolle i min teori og analyse. Til at indlede opgaven vil jeg have et afsnit som beskriver og forklarer de faktuelle forhold der er omkring evaluering i folkeskolen. Hvilke formelle krav skal læreren leve op til, og hvilke muligheder er der for at indfri sådanne krav. Empirimetode Jeg vil inddrage empiri fra mine praktikforløb, empirien omfatter blandt andet elevbesvarelser af en stillet opgave. Herefter vil jeg forsøge at belyse min empiri med de teoretiske værktøjer jeg har til rådighed. For at jeg til sidst kan arbejde henimod en endelig besvarelse af min problemformulering. Min empiri er indsamlet henholdsvis på 2. og 4. år af min læreruddannelse. Jeg vil også inddrage personlige erfaringer, jeg har fået igennem arbejdet med elever i folkeskolen. Den primære empiri er indsamlet fra to forskellige folkeskoler. Disse folkeskoler er vidt forskellige i forhold til placering og elevsammensætning, men i begge tilfælde er det elevbesvarelser fra elever i 3. klasse. De to skoler er henholdsvis en Nordsjællandsskole, samt en Københavnerskole. En af grundene til at det er fra 3. klasser er at den afprøvede evalueringsform krævede et nogenlunde stabilt skriftsprog, og i indskolingen er skriftsproget længst fremme i 3. klasse. Jeg har valgt at benytte elevbesvarelser af en stillet opgave som empiri, fordi jeg mener det er kerneaspektet af elevevalueringen i folkeskolen. Hvordan tager eleverne opgaven til sig, og hvordan forklarer de sig. Den afprøvede evalueringsform var i begge tilfælde en del af det afsluttende forløb om deling i 3.klasse, og derfor mente jeg også det var et kvalificeret tidspunkt at udføre den på. Ud fra min personlige erfaring, 4 Lau Prieske Matematik Z110371 Zahle 22/04-2015 men også mine to praktiklæreres erfaring, har deling ofte været et af de sværere emner for eleverne i indskolingen. Den form for evaluering jeg benyttede til at være baggrund for min empiri, kalder jeg for ”Skriv et brev til bedstemor”. Eleverne skal skrive et brev til deres bedstemor, hvori at de forklarer hvordan man deler. Opgaven var stillet som en rimeligt åben opgave, hvor eleverne både måtte tegne og skrive ud fra hvordan de bedst muligt kunne forklare deres bedstemor hvordan man deler. De skulle samtidig forestille sig at deres bedstemor havde glemt hvordan man deler, så det skulle forklares på en let men grundig måde. Min indsamlede empiri er derfor elevernes egne ord og forklaringer, der ikke er blevet forstyrret af en begrænset og skarp opgavebeskrivelse. Det var et personligt indblik i deres forståelse af deling. Eller ihvertfald et indblik i deres kommunikative kompetencer af delingsbegrebet. Jeg har valgt at jeg vil bearbejde min empiri på følgende måde. Jeg vil forsøge at inddele brevene i nogle overordnede kategorier. Disse forskellige kategorier kan vise sig at have både faglige og didaktiske egenskaber, alt afhængig af hvad eleven har tænkt som det vigtige i den stillede opgave. Og netop fordi den opgave som jeg stillede var åben, kan det vise sig at der er meget stor variation i elevernes brev til deres bedstemor. Kategorierne vil herefter blive udarbejdet efter de mønstre jeg kan se i elevernes breve. Forhåbentlig vil der være nogle overordnede træk som går igennem flere af brevene, hvorefter jeg kan dele dem op. Fra hver kategori vil jeg uddrage eksemplariske breve, med henblik på at kunne analysere dem. Kan jeg udlede fra brevene om eleverne kan se hvordan delingsbegrebet ser ud, og eventuelt hvad det består af? Vil jeg kunne forstå hvor eleverne fagligt lægger på det givne tidspunkt, i forhold til hvordan de formidler delingsbegrebet til deres bedstemor? Dette vil jeg analysere på, blandt andet ved at koble det direkte til de faglige mål jeg havde stillet for min undervisning. Det er dog vigtigt at jeg husker på at hver enkelt elev har deres personlige familiehistorie. Derfor er det ikke sikkert at det der bliver skrevet i brevet kan være direkte repræsentativt for deres faglige forståelse af delingsbegrebet. Jeg vil transkribere de breve jeg udvælger som eksempel. Jeg vil transkribere brevene uden de stavefejl eleverne har lavet, eftersom at stavefejlene er ligegyldig for min analyse, samt for at undgå misforståelser. Evaluering i folkeskolen Hvis man slår ordet evaluering op i Gyldendals Leksikon får man en definition som lyder ”Ekstern eller intern vurdering af fx personers eller organisationers virksomhed…”(Gyldendals Leksikon:2002) Desuden stammer ordet evaluering fra det franske ord évaluer som betyder at værdisætte noget. Evaluering kan derfor betegnes som en vurdering og/eller værdisættelse af et givent aspekt. I folkeskolen er der en hel række af aspekter som kan evalueres, vi kan evaluere på elevernes læring, lærerens undervisning, undervisningens indhold eller elevernes samarbejde, for bare at nævne et par stykker. Undervisning består overordnet af tre forskellige elementer, læreren, eleven og det faglige indhold. Oftest er dette kendt som den didaktiske trekant. Det er også disse tre aspekter som lærerne i folkeskolen hovedsageligt skal evaluere på ifølge kravene fra folkeskoleloven: 5 Lau Prieske Matematik Z110371 Zahle 22/04-2015 § 13. Eleverne og forældrene, jf. § 54, skal regelmæssigt underrettes om skolens syn på elevernes udbytte af skolegangen. Stk. 2. Som led i undervisningen skal der løbende foretages evaluering af elevernes udbytte. Evalueringen skal danne grundlag for vejledning af den enkelte elev og for undervisningens videre planlægning. § 18. Undervisningens tilrettelæggelse, herunder valg af undervisnings- og arbejdsformer, metoder, undervisningsmidler og stofudvælgelse, skal i alle fag leve op til folkeskolens formål og varieres, så den svarer til den enkelte elevs behov og forudsætninger. Stk. 2. Det påhviler skolelederen at sikre, at klasselæreren og klassens øvrige lærere planlægger og tilrettelægger undervisningen, så den rummer udfordringer for alle elever. Stk. 4. På hvert klassetrin og i hvert fag samarbejder lærer og elev løbende om fastlæggelse af de mål, der søges opfyldt. Elevens arbejde tilrettelægges under hensyntagen til disse mål. Fastlæggelse af arbejdsformer, metoder og stofvalg skal i videst muligt omfang foregå i samarbejde mellem lærerne og eleverne.(Folkeskoleloven:1993) Ud fra de bekendtgørelser, som er blevet nedskrevet i folkeskoleloven, kan vi uddrage at ministeriet ser evaluering, som en hjørnesten i folkeskolens grundstruktur. Evalueringen skal konstant anvendes for at udarbejde det næste skridt i undervisningen. Det overordnede formål med at evaluere er, at sammenholde undervisningens mål, med elevernes læring, for at læreren kan styrke og tilpasse den videre undervisning, så den på bedste vis tilgodeser elevernes nuværende faglige niveau. Der skal være en tydelig sammenhæng mellem den undervisning, som læreren foretager, og den læring som eleverne tilegner sig. Derfor er det også utroligt vigtigt, at læreren opstiller klare mål for sin undervisning, så der let kan laves en sammenkobling mellem undervisning og læring. Ifølge undervisningsministeriets hjemmeside så har vi i Danmark tre forskellige niveauer indenfor evaluering:1 Elevevaluering: Her indgår, afsluttende prøver efter 9.klasse, de nationale tests i udvalgte fag og klassetrin, elevplaner samt lærerens løbende evaluering af elevernes udbytte af undervisningen i henhold til Fælles Mål. Skoleevaluering: Kvalitetsrapport og selvevalueringsværktøjer Systemevaluering: Internationale undersøgelser som f.eks. PISA, eksterne evalueringer fra Skolerådet og EVA (Danmarks Evalueringsinstitut), landsresultater fra de nationale tests og karaktergennemsnittet fra afgangseksamen. Alle disse niveauer af evaluering gør, at vi i Danmark kan sammenligne os med andre lande. Det betyder også, at vi kan sammenligne landsdele, byer, skoler, helt ned til de individuelle klasser med hinanden. Og netop fordi vi gerne vil kunne sammenligne os nøjagtigt, er den evalueringsform, som lettest kan sammenlignes, blevet den som skolerne oftest tager i brug. Hvis elever skal vurderes, med størst mulig sammenlignelighed, så er det vigtigt at den person som gennemgår evalueringen bagefter ikke skal fortolke 1 http://uvm.dk/Uddannelser/Folkeskolen/De-nationale-test-og-evaluering/Evaluering 6 Lau Prieske Matematik Z110371 Zahle 22/04-2015 på elevens svar, han skal hurtigt kunne krydse af om det er rigtigt eller forkert uden at kigge på årsagen der ligger og lurer i baggrunden. Dette skaber tests som let kan sammenlignes, og kræver en minimal fortolkning. Som en analogi på dette kan man forestille sig fem dyr som står foran et træ, en fugl, en abe, en elefant, en fisk i et akvarie og en hund. Deres professor siger så ”For at få en fair udvælgelse skal alle tage den samme test: Vær sød at kravle i det træ”. Her er det jo tydeligt for os at der er forskel i de forskellige dyrs evne til at kunne fuldføre opgaven, og det samme kan siges om de elever vi lader teste med de standardiserede tests i folkeskolen. Summativ og formativ evaluering i matematik I dette afsnit vil jeg gennemgå de forskelle der er på den summative og formative evalueringsform med baggrund i matematikundervisningen. Overordnet er der to forskellige grunde til at evaluere processer og resultater i forbindelse med matematikundervisningen. Den ene grund er, at man gerne vil dokumentere en elevs nuværende niveau og udbytte med henblik på at få et øjebliksbillede af eleven. Det kaldes også for summativ evaluering. Dette foregår blandt andet ved skolens afgangseksamen, eller obligatoriske tests som PISA-undersøgelsen. Denne form er en fuldstændig kontrol af om eleven har nået de mål, som er sat fra politisk niveau. Det er en kvantitativ undersøgelse, eftersom at mange elever skal vurderes efter den målestok. De summative evalueringer kan ofte være pålagt fra eksterne instanser, uden tanke for efterfølgende læringsperspektiver. Den feedback der kommer fra de summative evalueringer, kommer også ofte tilbage som et tal eller en meget kort kommentar. Disse tal kan så efterfølgende have store konsekvenser for eleven, når de f.eks. skal søge videre i uddannelsessystemet2. Den anden grund vi har til at evaluere eleverne er, at man ønsker at forme og planlægge sin videre undervisning i forhold til elevernes aktuelle niveau og forståelser. På denne måde kan man forholde sig til, hvordan læreprocesserne er i konstant ændring. Det bliver kaldt for formativ evaluering, fordi at den netop skal ”forme” den videre undervisning. Denne evalueringsform kigger både frem og tilbage, hvor den summative evaluering kun har blik for det der er sket. Derfor bliver formativ evaluering et godt redskab for læreren til at kunne planlægge sin undervisning, fordi den giver indblik i de områder som undervisningen skal bygge videre på. Den formative evaluering er derfor en interaktiv proces mellem lærer og elev. Den feedback eleverne får i forbindelse med formativ evaluering er derfor ofte mere kvalitativ. En kvalitativ feedback kan f.eks indeholde følgende aspekter: -Samtaler med eleven om deres umiddelbare forståelse af emnet. -Klassediskussion med øje for de generelle forståelser og misforståelser, som læreren har fundet frem til i evalueringen Det vigtige er at eleverne ikke nødvendigvis skal have en karakter, fordi at en karakter siger meget lidt uden en kommentar. En karakter giver heller ikke eleverne nogle redskaber og værktøjer til at kunne arbejde 2 Skott, Jeppe et al.: Delta, Samfundslitteratur, 2008, Kap. 9, S.326 7 Lau Prieske Matematik Z110371 Zahle 22/04-2015 videre med. Hvis man derimod giver helt konkret feedback til den enkelte elev ud fra lærerens vurdering, så kan eleverne forholde sig til resultatet og arbejde videre. En enkelt karakter er ikke fyldestgørende for en elevs viden og forståelse. Vi har elever der snyder til eksamen, måske fordi at vi udtrykker at karakteren er vigtigere end læring. Teori Evaluering med samfundsperspektiv Peter Dahler-Larsen mener der er tre forskellige tendenser i vores moderne samfund: Vi har Brugerfokusering, der handler om at alle offentlige ydelser skal kunne vurderes og værdisættes, dette omfatter selvfølgelig også folkeskolen og den undervisning som foretages i folkeskolen. Helt konkret betyder det at de individuelle skoler skal kunne måles og vejes op imod hinanden for at brugeren kan danne sig det mest detaljerede billede af situationen. Han taler også om Organisationalisering dette betyder at evalueringen ikke kun skal være et redskab for den enkelte lærer i den enkelte klasse, men det skal samtidig være et værktøj for både kollegaer samt skolens ledelse, for at kunne evaluere på skolen som organisation. Den sidste tendens er Internationalisering, hvor det er internationale organisationer der opstiller nogle kriterier, så den danske folkeskole kan blive vurderet og sammenlignet med andre landes skolesystemer. Her kunne man for eksempel nævne PISA undersøgelsen.3 Robert Linn har fremsat nogle bud på hvorfor at den traditionelle testning har fået så stor i udbredelse i vores samfund. De lyder således: -Testning er relativt billig sammenholdt med kvalitetsudvikling i form af mere undervisningstid eller efteruddannelse af lærere. -Testning kan let pålægges fra eksternt hold. -Testning kan hurtigt blive indført og anvendt – f.eks. inden for en valgperiode. -Testresultater er synlige og kan let offentliggøres i pressen.(Skott:2008)4 Her kan det ses, at de mulige grunde til at den summative ”øjebliks”-evaluering bliver ved med at have så stor en betydning i vores folkeskole, måske slet ikke har rod i et læringsperspektiv. Det giver grund til eftertanke i forbindelse med de obligatoriske tests, der er spredt ud over skoleforløbet. For mig virker det mærkeligt at en evaluering som ender ud med at tal, fyldestgørende kan beskrive en elevs læring. Det virker som om at politikerne mener at den højeste karakter er lig med den bedste folkeskole. 3 Dahler-Larsen, Peter: ”Den syvende evalueringsanvendelse: skolen ændres umærkeligt” 4 Skott, Jeppe et al.: Delta, Samfundslitteratur, 2008, Kap. 9, S.325 8 Lau Prieske Matematik Z110371 Zahle 22/04-2015 Det flerstemmige og dialogiske klasserum Jeg har valgt at inddrage Olga Dysthe og hendes tanker om det flerstemmige og dialogiske klasserum. Dette har jeg gjort fordi at, jeg havde læst hendes teorier kort før at jeg første gang benyttede denne evaluering, og selve evalueringsmetoden var mit bud på hvordan man kunne inkorporere det dialogiske klasserum i evalueringsfasen. Olga Dysthe har opstillet nogle tanker og teorier der knytter sig til den dialogiske undervisning. Olga Dysthe mener, at læring opstår når eleverne er i dialog med hinanden, og når de har mulighed for at reflektere over deres egne erfaringer. Grundet disse teorier skriver Olga Dysthe at samtale eller de skrevne aspekter kan stå alene i det dialogiske klasserum. Disse to dele af det dialogisk undervisning er tæt knyttet sammen, hvilket er det grundlæggende i det dialogiske klasserum. Det er vigtigt at forstå at der ikke er nogen universel opskrift på at udføre dialogisk undervisning, dog giver Olga Dysthe nogle kommunikationsværktøjer, som læreren kan benytte for at skabe et dialogisk klasserum: -Det er vigtigt at læreren benytter sig af de autentiske spørgsmål. Eleverne skal have muligheden for at reflektere over egne tanker, uden at være nervøse for at læreren søger et specifikt svar. Dette giver eleverne mulighed for at dykke direkte ned i deres egen forståelse og herefter så forsøge at viderekommunikere dette. -Læreren skal for så vidt muligt prøve at optage elevens svar. Altså skal læreren tage elementer og ord fra elevens spørgsmål, og bruge disse i efterfølgende spørgsmål. Her viser læreren, at han værdsætter elevens ord nok til at bruge det i sine egne sætninger.5 Ud over at skulle benytte sig af de ovenstående kommunikationsværktøjer, så skal læreren også anvende den høje værdsætning. Det betyder at læreren skal anerkende elevernes svar og deres ideer. Den høje værdsætning bliver anset som en grundsten i det dialogiske klasserum. Det kræver dog også megen øvelse og erfaring at kunne benytte den konsekvent i undervisningen. Den høje værdsætning skiller sig ud fra den lave værdsætning, hvor man ”bare” giver ros. Hvis den høje værdsætning bliver brugt på den rigtige måde kan det styrke elevens selvtillid. Principper for formative evaluering David Clarke er en australsk evalueringsforsker, der har gjort sig mange tanker om den formative evaluering. Desuden har han har opstillet fem grundprincipper, som han mener kendetegner den formative evaluering. David Clarke mener at evaluering, i lærerens perspektiv, skal være en proces hvor læreren først indsamler viden som han efterfølgende kan fortolke på og drage konklusioner fra. Herefter skal læreren så handle på baggrund af de konklusioner. Fra elevens perspektiv, så er evaluering deres mulighed for at vise hvad han har tillært sig. God evaluering er derfor en proces, der arbejder i begge retninger. Læreren får mulighed for at forme den videre undervisning, fordi han kan understøtte sin undervisning med den viden, han har fået om elevernes læring. Samtidig skal evaluering også give eleverne viden om deres nuværende læring, hvar de har lært, og hvad de mangler. Desuden skal det også vise dem den bedste måde til at tilegne sig den læring de mangler. Desuden mener David Clarke, at hvis evaluering ikke bliver anvendt korrekt, kan det være destruktivt for eleven. Det kan mindske elevernes selvtillid, og i værste tilfælde kan det hindre 5 Dysthe, Olga; Det flerstemmige og dialogiske klasserum 9 Lau Prieske Matematik Z110371 Zahle 22/04-2015 eleverne i at forstå og anvende matematik i fremtiden. Der er gode grunde til at evaluere, men evaluering skal være gennemtænkt Han mener at hvis ens evaluering dækker alle de fem grundprincipper, så er man på ret kurs. De fem principper lyder således: -Evaluering skal repræsentere undervisningens mål og værdier. -Evaluering skal være en udveksling af information. -Evaluering skal optimere elevernes muligheder for at vise, hvad de har lært. -Evaluering skal have undervisningsmæssig værdi. -Evaluering skal informere kommende tiltag i undervisningen.(Skott:2008)6 På denne liste nævner Clarke evalueringens mål som det første punkt. Uden klare mål for undervisningen er der slet ikke noget der kan evalueres. Det er den klare målsætning der giver et praj om, hvad der skal indfanges i evalueringensprocessen. Dette gælder hvad enten man benytter formativ eller summativ evaluering. Yderligere er der et andet aspekt af evaluering i matematik. Læreren skal være klar over hvilken indsigt han ønsker. Der kan gives indsigt i elevernes færdighedsbeherskelse (f.eks. kan eleven dele), elevernes begrebsforståelse (f.eks. forstår eleven begreber indenfor emnet deling) eller elevernes forståelse af de faglige processer og kompetencer (f.eks. kan eleven kommunikere hvordan man deler). Det umiddelbart letteste at evaluere på er elevens færdighed, det resulterer også i at, der ikke er stor forskel i hvordan forskellige lærere vil fortolke på elevens svar.7 Reliabilitet og validitet af en evaluering ”Enhver konklusion som en lærer drager, angående en elevs dybere forståelse af et emne, er et spørgsmål om fortolkning.” – David Clarke(Skott:2008) Der er to karaktertræk som skal afvejes overfor hinanden, når man skal vælge evalueringsform. Det første kaldes validitet. Ender man ud med at evaluere det, som man gerne vil evaluere. Hvis man bare vil evaluere om eleverne kan lave divisionsstykker. Så kan det være fint at lave en facitbaseret evaluering. Så hvis evalueringen, evaluerer på det som læreren ønsker, så har den en høj validitet. Der er dog mange facetter af division, som man kan evaluere på. Så hvis læreren også ønsker at evaluere på elevernes kommunikationskompetencer omkring division, så vil en facitbaseret evaluering have en meget lav validitet, fordi evalueringen ikke ville give det fulde billede over hvad der blev ønsket at eleverne skulle lære i forbindelse med undervisningen. Det andet karaktertræk ved en evaluering, som læreren skal overveje inden formen for evalueringen bliver valgt, er reliabilitet. Reliabilitet er spørgsmålet om, hvorvidt at en evaluering ville blive bedømt på samme måde af en anden lærer, måske et helt andet sted. Hvis en evaluering har en høj reliabilitet, så skal en lærer i den ene ende af landet give præcis den samme bedømmelse af en evaluering som en anden lærer. Dette kan blandt andet ses f.eks ved den skriftlige afgangsprøve, eller de obligatoriske tests. 6 7 Skott, Jeppe et al.: Delta, Samfundslitteratur, 2008, Kap. 9, S.333 Skott, Jeppe et al.: Delta, Samfundslitteratur, 2008, Kap. 9, S.335 10 Lau Prieske Matematik Z110371 Zahle 22/04-2015 I matematik er disse to karaktertræk ofte modstridende. En færdighedsprøve i matematik vil ofte have en høj reliabilitet eftersom at den vil blive vurderet ens af forskellige lærere landet over. Men den vil have lav validitet fordi at den ikke fyldestgørende kan teste afgørende aspekter indenfor matematikfaget, som f.eks den kommunikative matematik, og problemløsning.8 Hiim og Hippes didaktiske relationsmodel Hvis man benytter Hiim og Hippes didaktiske relationsmodel, så kan man se at de forskellige dele af undervisningen alle knytter sig til hinanden, hvad enten det er direkte eller indirekte. Dette kan vi benytte til at se, at elevernes læringsforudsætninger knytter sig direkte til de mål som skal opstilles for undervisningen, og disse mål har så direkte indflydelse på evalueringen bagefter. Dette støtter op om ideen om at vi ikke kan evaluere ordentligt uden at kende forud bestemte mål for undervisningen. En evaluering står aldrig alene den har usynlige bånd til de fem andre aspekter af undervisningen.9 Vejledning for faget matematik Ifølge undervisningsministeriet så skal enhver lærer løbende evaluere hvor eleverne er i forhold til læringsmålene samt hvordan de kan støttes og udfordres for at komme videre i retning mod målene. Den formative evaluering af elevernes læringsudbytte undervejs skal følges op med en summativ vurdering af alle elevernes udbytte. Dette skal så danne baggrund for planlægningen af det næste forløb. Desuden skal den formative evaluering løbende give eleverne feedback om deres standpunkt i forhold til de opstillede læringsmål for undervisningen.10 Forenklede Fælles Mål I de forenklede fælles mål (herefter kendt som FFM), står der skrevet de officielle krav som en lærer skal følge. Under færdigheds- og vidensmål efter 3.klassetrin står der skrevet om kommunikation: ”Eleven kan vise sin matematiske tænkning med uformelle skriftlige noter og tegninger” ”Eleven kan anvende enkle fagord og begreber mundtligt og skriftligt” Færdigheds- og vidensmål (Tal og algebra) Direkte knyttet til tal og algebra står der skrevet: 8 Skott, Jeppe et al.: Delta, Samfundslitteratur, 2008, Kap. 9, S.328 Brodersen, Peter et al. ”Effektiv Undervisning” s.283 10 http://www.emu.dk/modul/vejledning-faget-matematik 9 11 Lau Prieske Matematik Z110371 Zahle 22/04-2015 ”Eleven kan udvikle metoder til beregninger med naturlige tal” ”Eleven har viden om strategier til multiplikation og division” (EMU:2014) Empiri I dette afsnit vil jeg præsentere min empiri. Jeg vil forklare hvordan det er blevet indsamlet, og hvordan jeg præsenterede opgaven for eleverne. Desuden har jeg inddelt brevene i forskellige kategorier, alt efter hvordan eleverne har valgt at kommunikere om emnet deling. Brevene stammer fra henholdsvis to 3.klasser på en Københavnerskole, samt fra en 3.klasse på en Nordsjællandsskole. I alt har jeg 50 breve, som jeg vil inddele og analysere. Der er forskel på forudsætningerne for de forskellige klasser. Men selvom der er forskel på elevernes forudsætninger, så er der en meget stor sammenligning i forhold til de mål, som min studiegruppe og jeg opsatte for forløbet. Målene lød således: Eleverne skal kunne dele forskellige antal i lige store dele. Eleverne skal kunne kommunikere omkring deling. Eleverne skal kunne lave historier om deling. Herunder vil jeg beskrive de forhold som differentiere brevene. Brevene fra Nordsjællandskolen: Brevene der stammer fra den nordsjællandske skole er skrevet som afslutningen på et fire ugers forløb udelukkende om deling, både deling med rest og eksakt deling. Disse breve er indsamlet på mit 2.år på Læreruddannelsen, mens jeg havde matematik linjefagsundervisning. Opgave præsentationen på skolen foregik således. Jeg fortalte eleverne at de skulle skrive et brev om deling. Jeg fortalte dem at opgaven hed ”skriv et brev til bedstemor”, men brevet skulle adresseres til en person, som de kunne lide eller følte sig trygge ved, ikke nødvendigvis deres bedstemor. Herefter gav jeg eksempler på hvad et brev om deling kunne indeholde. Jeg forklarede at de måtte tegne, skrive, forklare, fortælle historier eller hvordan de bedst kunne beskrive og forklare deling. Jeg havde lavet en brev”skabelon”, som de skulle skrive brevet på. Desuden blev de bedt om at gøre det som lektie, over en weekend. Dette resulterede i et udbytte på 20 personlige breve. Brevene fra Københavnerskolen: Disse breve er indsamlet under min 4.års praktik på en skole i København. De breve der stammer fra Københavnerskolen er skrevet efter et forløb om deling på kun to uger, og er indsamlet fra to forskellige klasser på samme årgangstrin. Her foregik det ikke på samme måde, eftersom at det var et kortere forløb valgte jeg at udskyde brevskrivningen til sidste undervisningstime. Jeg forklarede eleverne at de skulle skrive et brev til deres bedstemor. Jeg fik så straks et spørgsmål som lød således ”Hvad hvis jeg nu ikke har nogen bedstemor?”, derfor ændrede jeg det til at de skulle skrive til en person de godt kunne lide. Jeg fortalte dem at de godt måtte skrive til mig, eller en af mine andre medpraktikanter. Desuden kom min medpraktikant Camila på en idé, hun fortalte eleverne at de gerne måtte skrive et brev 12 Lau Prieske Matematik Z110371 Zahle 22/04-2015 til Camila’s oldemor, herefter viste hun et billede af hende samt fortalte et lille kort beskrivelse, og en sjov historie om at hun var blevet over hundrede år og havde glemt hvordan man delte. Jeg forklarede eleverne at de måtte forklare det på lige netop den måde de fandt bedst. Og at de skulle skrive brevet i deres kladdehæfte. Eleverne fik herefter 25 minutter til at skrive brevet i. Det endte ud med 30 lidt kortere breve. For at bearbejde, og efterfølgende for at kunne analysere de 50 breve, har jeg inddelt brevene i forskellige kategorier afhængig af hvordan de har forsøgt at forklare hvordan man deler. Fra hver kategori vil jeg inddrage mindst et brev som eksempel på kategorien. Jeg vil transkribere teksten i brevet, i alle kategorier på nær den misforståede opgave, og vedlægge et billede af brevet i original opsætning. Efter nøje sammenligning og gennemlæsning af de forskellige breve, har jeg valgt at inddele brevene i otte kategorier. De otte kategorier viser det brede spektrum af muligheder, som man kan benytte for at forklare det matematiske delingsbegreb. De otte kategorier Tabeller: I alt 7 breve. I denne kategori af breve, der har eleverne udspecificeret hvordan man kan dele ved hjælp af tabellerne. I alt var der syv breve, som via den skrevne tekst i brevet knytter deling sammen med tabellerne, og benytter tabellerne til at dele et specifikt antal. Eksempel på et brev der benytter tabellerne: Transskription: ”Kære Vibeke, at dividere er når du deler noget op i flere portioner. Hvis nu vi har en kage og der er 17 stykker, og vi er 4 personer, så skal vi dele kagen. Vi bruger 4-tabellen, først deler du 4 stykker, et til hver osv. til alle har fået 4 stykker. Men der er også et stykke tilbage, det hedder rest. Sådan dividerer man.” Se figur 1 Figur 1 13 Lau Prieske Matematik Z110371 Zahle 22/04-2015 Regnehistorier: I alt 11 breve. I denne kategori er der 11 elever som på den ene eller anden måde har fortalt en historie hvor deling indgår, i denne kategori er der ingen af eleverne der har benyttet tegninger eller figurer til at understøtte deres historie. Transskription: ”Kære mormor. Hvordan man deler. To børn får 40 kr. De går ned til en butik, de skal købe is. Isen koster 10kr. Hvor mange is kan de få. De kan få to is hver. 2 børn skal dele 50 kr. Hvor mange colaer kan de få hvis de koster 20kr. De kan få 2 hver. Så er der 10kr. Tilbage.” Se figur 2 Figur 2 Forklaring med et regnestykke: I alt 6 breve. I denne kategori har eleverne forklaret deling ved hjælp af et regnestykke. Eleverne opstiller et givent regnestykke som de derefter deler. Der er en smule forskel på hvor meget hver elev har valgt at forklare efterfølgende på de regnestykker de har fremsat. Ingen af brevene i denne kategori har benyttet sig af figurer eller tegninger til at forklare sig. Transkription: ”Kære mormor, jeg dividerer en masse, nu siger jeg bare et eller andet. 22/2=11, man skal dele 22 og halvdelen er 11. Når man har lært det, og det er meget nemt, og nu skal i høre et andet. 16/4 =4, der skal man også dele det. Men i stedet for er det bare 16 og 4 der skal deles” Se figur 3 Figur 3 14 Lau Prieske Matematik Z110371 Zahle 22/04-2015 Simpel forklaring med tegning og minimal tekst: I alt 9 breve. Kategorien her er en umiddelbar stor del af det samlede antal breve. Eleverne har valgt at forklare deling ved hjælp af tekst og en tegning. Teksten i brevene er ikke nødvendigvis en forklaring af deling, og tegningerne viser hvordan et specifikt antal kan deles. Transkription: ”Hej Bodil. Hvis du har en kage og der er tolv personer, og du skal dele kagen i lige store stykker. Lige som her.” Se figur 4 Figur 4 Enkelt forklaring kun med tekst: I alt 5 breve Eleverne har forsøgt at forklare deling kun ved hjælp af det skrevne ord. De har ikke benyttet sig af nogen form for tegningerne eller figurer i forsøget på at forklare deling. Transkription: ”Kære Camila, nu skal du høre hvordan man deler ting. Hvis vi nu siger vi har 4 piger som har 20 kr. de skal dele, så skal man se hvor mange kroner de kan få. Her kan de fire piger få fem kroner hver. Sådan deler man” Se figur 5 Figur 5 15 Lau Prieske Matematik Z110371 Zahle 22/04-2015 Dobbelt forklaring med tekst: I alt 3 breve Denne kategori bærer præg af at eleverne har tænkt at det var nødvendigt at forklare det ved hjælp af mere end et eksempel. De har derfor alle, minimum to forklaringer. Ingen af eleverne har valgt at understøtte deres med tegninger eller figurer. Transkription: ”Kære mor. 1.) Jeg har 500 æg, jeg skal dele dem med to. Du får 250, jeg får 250 med 0 i rest. 2.) Jeg har 118kr. jeg fik dem af min far. Jeg skal dele dem med 7. Jeg får 16 | en får 16| en får 16| en får 16| en får 16| en får 16| en får 16| Rest 6” Se figur 6 Figur 6 Forklaring ved hjælp af to eller flere figurer: I alt 6 breve Eleverne har i deres breve benyttet muligheden for at forklare ved hjælp af tegninger og figurer. Her er teksten mest med for at beskrive tegningerne og figurerne. Det er primært figurerne der skal give læseren et indblik i hvordan man deler. Transkription: ”Vi er 15 børn som skal dele en kage (Se tegning på figur 7) Der er 15 stykker. 8 børn skal dele en kage (Se tegning på figur 7) Der er 8 stykker” Figur 7 16 Lau Prieske Matematik Z110371 Zahle 22/04-2015 Misforstået opgaven: I alt 3 breve. I denne kategori er der heldigvis kun tre breve. Fælles for disse er at opgaven ikke bliver besvaret. Det brev jeg har som eksempel for denne kategori, er dog et brev til en bedsteforælder. Brevet til den pågældende bedsteforælder omhandler ikke deling. Det er et personligt brev som ikke indeholder noget matematisk overhovedet. Men brevet er det længste brev i samlingen, og det viser at et tæt bånd mellem eleven og den bedsteforælder. Jeg har valgt at udelade en transkription og et billede af disse breve, eftersom at de ikke besidder nogen matematisk relevans. Analyse Analyse af min evalueringsmetode Jeg vil benytte David Clarkes fem principper til at vurdere om man kan kendetegne min evalueringsaktivitet som formativ. Desuden vil jeg bevæge mig tættere på at kunne vurdere om det er en hesigtsmæssig måde at evaluere på, og hvad der eventuelt kan/skal gøres for at det bliver hensigtsmæssigt. Yderligere vil jeg se nærmere på om min evaluering, som er beskrevet i empirien er fyldestgørende i forhold til hvad ministeriet skriver i FFM og vejledningen for faget matematik. Jeg vil også analysere på de kategorier, jeg har inddelt brevene i, for at undersøge om jeg kan udvinde en viden om elevens læring og forståelse indenfor deling. -Evaluering skal repræsentere undervisningens mål og værdier. Det første punkt i David Clarkes fem principper, beskriver at en evaluering skal være direkte repræsentativ for de mål, som læreren har opstillet inden et forløb. I forbindelse med min evaluering, der havde min studiegruppe og jeg opstillet nogle overordnede mål for hvor vi mente at eleverne skulle være ved slutningen af forløbet. Målene, som også er beskrevet i empirien, lød således: Eleverne skal kunne dele forskellige antal i lige store dele. Eleverne skal kunne kommunikere omkring deling. Eleverne skal kunne lave historier om deling. Den valgte evalueringsform, som vi benyttede, støtter godt op om de fremsatte mål. Eleverne får mulighed for, med deres egne ord og eventuelle tegninger, at kommunikere skriftligt omkring deling. Efterfølgende viste det sig også at den største kategori, omhandlede regnehistorier. Det giver et indtryk af at de overordnede undervisningsmål er blevet mødt i langt de fleste tilfælde. Undervisningen som vi forsøgte at gennemføre, skulle også bære præg, af de værdier som Olga Dysthe beskriver. Det er værdier, som sikrer at eleverne får mulighed for at kommunikere omkring matematik, både mundtligt og skriftligt. Den skriftlige del er blevet imødekommet med denne evalueringsmetode. Overordnet kan vi se at det første princip er blevet opfyldt. 17 Lau Prieske Matematik Z110371 Zahle 22/04-2015 -Evaluering skal være en udveksling af information. For at en evaluering skal kunne kendetegnes som formativ, i David Clarkes perspektiv, så kræves det at en evaluering skal udveksle information mellem de to parter. I dette tilfælde skal der ske en informationsudveksling mellem lærer og elev. Eftersom at evalueringen er udformet som et brev, så giver det eleverne rig mulighed for at give information videre til læreren. De kan beskrive, forklare og tegne på en måde, som de føler er den bedste. Grundet at jeg gav opgaven med meget vide rammer, er det op til eleven selv at vurdere hvilken information han/hun vil give videre i brevet. Dog halter mine eksempler lidt bagefter, i forhold til min feedback til eleverne. Fordi at det var afslutningen på et praktikforløb, så var det ikke muligt for mig at give feedback til eleverne efterfølgende. Hvis det havde været i et rigtigt skoleforløb, hvor at jeg også efterfølgende skulle være tilknyttet klassen, så ville jeg have givet feeedback. Den måde jeg kunne forestille mig at give feedback på til eleverne er: Efter at have gennemlæst brevene, så ville læreren kunne tale om elevernes breve i klassen. Det skulle foregå som en klassediskussion, med inddragelse af nogle af elevernes figurer, uden at udstille nogen. Her ville læreren også kunne bruge den høje værdsætning som er beskrevet i Olga Dysthes tekst om det dialogiske klasserum. Samtidig ville læreren have mulighed for at kunne tage en snak med de elever hvor man kunne se huller, eller de elever som direkte havde misforstået opgaven. -Evaluering skal optimere elevernes muligheder for at vise, hvad de har lært. Denne form for evaluering giver eleverne rig mulighed for at vise, hvad de har lært. Eftersom at opgaven er stillet, uden at jeg som lærer har sagt præcis hvordan de skal gøre det, så har eleverne mulighed for selv at vælge, hvordan de vil beskrive deling. Dette skulle også give de elever, der normalt ikke siger meget, eller har det store skriftsprog, en mulighed for at kommunikere om matematik på deres egen måde. -Evaluering skal have undervisningsmæssig værdi. Eftersom at et af de opstillede mål for min undervisning om deling, var at eleverne skulle kunne kommunikere om deling, så er der også en undervisningsmæssig værdi i at foretage min evaluering på denne måde. Samtidig med at eleverne viser hvad de har lært, så skal de også overveje hvordan de bedst muligt kan viderekommunikere det de har lært. Nogle af eleverne kan ende med at få nogle ”aha”oplevelser, når de sidder og skal formulere et brev alene. -Evaluering skal informere kommende tiltag i undervisningen. Ud fra perspektivet om, at evalueringen skal informere om kommende tiltag i undervisningen, så er min evalueringsituation lidt mangelfuld. Den er mangelfuld netop fordi at det var som afslutningen på et praktikforløb, og jeg havde ikke mulighed for at forme min videre undervisning ud fra de informationer jeg fik igennem brevene. Dette kunne måske være imødekommet, hvis jeg havde bedt dem skrive brevene lidt tidligere i forløbet, men så er det ikke sikkert eleverne havde haft nok faglig bagage til at udtrykke sig. Dog mener jeg at selve denne evalueringsform sagtens kan medvirke til at informere om kommende tiltag i undervisningen. Derfor er det afgørende, at læreren gennemtænker evalueringsforløbet inden det iværksættes. 18 Lau Prieske Matematik Z110371 Zahle 22/04-2015 Overordnet så er min evalueringsmetode tæt på at opfylde alle fem grundprincipper, som David Clarke har opstillet. Der er ingen forhindring for at kunne opfylde alle kravene, hvis læreren kan gør brug af sin erfaring. Jeg skulle personligt have været skarpere på at give eleverne en feedback efterfølgende. Eleverne har brug for en feedback, som giver dem et indblik i hvor de er på vej hen, og hvad de eventuelt kan gøre for at styrke dem på vejen. Som lærer er det vigtigt at opfylde de krav, der bliver stillet fra ministeriet. I vejledningen for faget matematik står der skrevet at det er vigtigt at læreren løbende at evaluere på elevernes viden i forhold til de opstillede læringsmål. Dette skal gøres for at sikre en tydelig fremadgående retning for eleverne. Derfor er det også vigtigt at der bliver givet en grundig feedback som eleverne kan forholde sig til. Herefter kan eleverne så bruge den feedback til at planlægge sin egen videre læring i samspil med læreren. Ved at give en god feedback, så sørger man også for at videregive noget ansvar til eleven. Det er vigtigt at eleverne også har et medansvar for deres læring. Den løbende evaluering skal også kunne danne baggrund for lærerens videre planlægning af undervisningen. De forenklede fælles mål, som knytter sig til tal og algebra, fremstiller nogle mål som jeg mener at min evalueringsform både kan styrke og videreudvikle. De skriver blandt andet, ”Eleven kan anvende enkle fagord og begreber mundtligt og skriftligt”. I elevernes breve, har de mulighed for at øve sig i at anvende fagbegreber skriftligt. Hvis jeg efterfølgende havde haft en feedback, enten i form som klassediskussion eller samtaler med eleverne enkeltvis, så ville jeg også have støttet dem mundtligt. I de forenklede fælles mål står der også ”Eleven kan vise sin matematiske tænkning med uformelle skriftlige noter og tegninger”. Evalueringsformen med at skulle skrive et brev på deres egen måde, giver også eleverne mulighed for at udtrykke sig uden for mange retningslinjer. Eleverne får lov at præsentere emnet deling på den måde de finder bedst. Overordnet set så skulle den evalueringsform, som jeg valgte, godt kunne bruges til at planlægge og videreudvikle et forløb om deling. Men i forhold til ministeriets guidelines, så mangler jeg at give en ordentlig feedback. Det er gennemgående blandt både mine valgte teoretikere og ministeriet, at der bliver lagt meget stor vægt på en grundig tilbagemelding til eleverne, hvilket jeg mangler. Hiim og Hippes didaktiske relationsmodel knytter evaluering direkte sammen med målene og planlægningen for den videre undervisning. Jeg mener at min evaluering støtter godt op omkring de mål som jeg opstillede forinden. Den giver eleverne rig mulighed for at kommunikere om deling, og vise at de kan dele forskellige antal. Ydermere så har det største antal af eleverne valgt at skrive en regnehistorie, hvilket også var et mål forud for undervisningen. Hvis jeg skulle opkvalificere min evaluering, så ville jeg sørge for en grundig feedback til eleverne. Først ville jeg benytte Olga Dysthes ideer om høj værdsætning, i en klassesamtaler. Den høje værdsætning handler om at optage om bruge elevernes svar og spørgsmål i sine egne videre sætninger og spørgsmål. Det er udfordrende og krævende at bruge den høje værdsætning i stedet for bare at rose eleverne. Dette ville også hænge godt sammen med hvad Olga Dysthes skriver og det dialogiske klasserum. Det bliver udpenslet at hun ikke mener at hverken det skriftlige eller det mundtlige kan stå alene. Det handler om at blande de to kompetencer, for at skabe en uddybende læringsproces. Læring sker i samspillet mellem eleverne i den mundtlige proces, men læringen sker også når eleverne får mulighed for at reflektere over deres egne 19 Lau Prieske Matematik Z110371 Zahle 22/04-2015 tanker og nedfælde dem på skrift. Efterfølgende ville jeg tage samtaler på tomandshånd med de elever, som måske ikke gav en fyldestgørende beskrivelse i brevet, eller hvor jeg så at der var huller i deres forståelse. Det er en tidskrævende proces, og ville ikke være en metode som man ville kunne benytte efter ethvert matematisk emne. Dog er division, en af grundstenene i matematikken i folkeskolen, og ud fra egen erfaring er det en af de emner, som volder størst udfordring blandt eleverne. Derfor ville det være et oplagt emne at evaluere grundigt på. Analyse af mine empiriske kategorier Inden at jeg begynder at analysere på hvad man kan se om elevernes viden, ud fra de skrevne breve, så er der nogle pointer der er vigtige at fastslå. Det er ikke muligt for mig at se hvilket forhold eleven har til den person, som brevet er adresseret til. Jeg ville forbinde min bedstemor med et kærligt væsen, som altid er der for mig, uden at overkritisere noget. Det er dog langt fra sikkert at dette billede af en bedstemor gør sig gældende blandt alle eleverne. Der kan sidde elever som har et rigtigt skidt forhold til den bedsteforælder, og det kan have indvirkning på, hvad der bliver skrevet i brevet. Derfor er det ikke sikkert at en elev som har en manglende beskrivelse i brevet, også vil have problemer med at forklare sig, hvis jeg snakkede med dem på tomandshånd om deling. Det er også en mulighed for at de tænker at deres bedsteforælder er ret god til matematik, så derfor er de ikke helt så fyldestgørende i deres beskrivelse, som deres viden tillader. Der er lige så mange muligheder for relationer, som der er breve jeg skal analysere. Jeg vil analysere på de eksemplariske breve, jeg tager udgangspunkt i det gode eksempel i brevene. Ved at tage udgangspunkt i de eksemplariske breve, så kan jeg få en fornemmelse af hvad man skal stræbe efter. Det er værd at nævne at den største kategori af breve handler om regnehistorier. Det er vigtigt at notere sig at regnehistorier havde været en gennemtrængende del af undervisningen forinden, og det var knyttet direkte til et af målene, som vi havde opstillet for forløbet. Tabeller: I det eksemplariske brev fra tabelkategorien, skriver eleven: ”Kære Vibeke, at dividere er når du deler noget op i flere portioner. Hvis nu vi har en kage og der er 17 stykker, og vi er 4 personer, så skal vi dele kagen. Vi bruger 4-tabellen, først deler du 4 stykker, et til hver osv. til alle har fået 4 stykker. Men der er også et stykke tilbage, det hedder rest. Sådan dividerer man.” Her ses det at eleven har brugt 4-tabellen til at dividere. Tabellerne kan betegnes som multiplikation, og multiplikation er også kendt for at være gentagen addition. Eftersom at division og multiplikation er modsatte regningsarter, så vil division derfor være gentagen subtraktion. Dog kan egenskaberne ved multiplikation ikke overføres direkte til division. Her taler jeg specifikt om den kommutative lov, det betyder at 3/12 ikke er det samme som 12/3. En grund til at disse elever har valgt at benytte tabellerne, kan være fordi at de mestrer multiplikationen, og eftersom at det er modsatte regningsarter, så kan det være hurtigere for dem at regne på denne måde. Eleven har valgt at kalde det for division i brevet. Det ville nok have været mere korrekt hvis der var blevet brugt begrebet deling, eftersom udtrykket at ”dividere” beskriver den særlig deling af et antal hvor delene er lige store. Og i eksemplet har eleven valgt at bruge rest. 20 Lau Prieske Matematik Z110371 Zahle 22/04-2015 Jeg mener, at man kan se at eleven kan dele, han forstår, at der er en sammenhæng mellem division og multiplikation i kraft, af at han benytter tabellerne til at beskrive deling. Yderligere har eleven også valgt at tegne en figur med en farvekode. Overordnet set er det et meget pædagogisk og eksemplarisk brev om deling. Regnehistorier: I det eksemplariske brev fra kategorien regnehistorier skriver eleven således: ”Kære mormor. Hvordan man deler. To børn får 40 kr. De går ned til en butik, de skal købe is. Isen koster 10kr. Hvor mange is kan de få. De kan få to is hver. 2 børn skal dele 50 kr. Hvor mange colaer kan de få hvis de koster 20kr. De kan få 2 hver. Så er der 10kr. tilbage.” Regnehistorier er en metode til at beskrive et matematisk regnestykke ud fra en historie. Historierne er gode til at knytte matematik til en hverdagsoplevelse. Regnehistorier er et godt værktøj i indskolingen, eftersom at det lærer eleverne at uddrage de vigtige elementer i en tekst, for derefter at kunne udføre et regnestykke. Hvis vi kigger på den anden historier i brevet, så kan vi se at der er en mindre fejl. Eleven skriver her, at vi har to børn som skal dele 50kr. 2/50kr =25kr. Eleven skriver så, at en cola koster 20kr. og at de to børn får 2 colaer hver. Dette er ikke korrekt, eftersom at de kun kan få 1 cola hver, men to i alt. Dog mener jeg at det ikke umiddelbart viser at eleven har problemer med deling. Det kan sagtens være en skrivefejl. Samt den første historie viser ingen tegn på misforståelser. Forklaring med et regnestykke: Det eksemplariske bev fra denne kategori lyder: ”Kære mormor, jeg dividerer en masse, nu siger jeg bare et eller andet. 22/2=11, man skal dele 22 og halvdelen er 11. Når man har lært det, og det er meget nemt, og nu skal i høre et andet. 16/4 =4, der skal man også dele det. Men i stedet for er det bare 16 og 4 der skal deles” Eleven har i dette tilfælde valgt at forklare deling ud fra to seperate regnestykker. Eleven viser at hun kan udregne divisionsstykker af forskellig sværhedsgrad. Selvom begge regnestykker ligger i den lette ende af skalaen, så kan det være bevidst eftersom, at hun skriver til sin mormor. Og hvis man skal lære en person at dele, så starter man jo oftest med de lette regnestykker og øger sværhedsgraden efterhånden. Hvilket eleven også har gjort i brevet. Det første regnestykke er lettest og derefter følger så det lidt sværere. Brevet viser ingen tydelige tegn på misforståelser omkring emnet. Dog er det ikke til at vide om eleven har forstået, hvordan deling har en sammenhæng med multiplikation, eller om hun forstår helt nøjagtigt hvordan hun kommer frem til sit resultat. 21 Lau Prieske Matematik Z110371 Zahle 22/04-2015 Simpel forklaring med minimal tekst: En stor del af elevernes breve falder ind under denne kategori. I det eksemplariske brev for denne kategori skriver eleven: ”Hej Bodil. Hvis du har en kage og der er tolv personer, og du skal dele kagen i lige store stykker. Lige som her.” Vi kan se at eleven til at understøtte den korte tekst, har valgt at tegne en firkantet kage, som derefter er blevet delt i 12 stykker. Det virker lidt, som om at brevet er skrevet i en forhastet tilstand. Eleven har først tegnet 12 cirkler, som herefter er visket sjusket ud. Dette har intet at gøre med teksten i brevet. Umiddelbart ville det lede mig til at tro, at eleven har valgt først at tegne eksemplet, og herefter skrive teksten. Eleven kan godt dele, men brevet giver ikke udtryk for om eleven har en fyldestgørende forståelse af, hvordan deling er opbygget. Brevet viser i dette tilfælde kun at eleven kan lave et simpelt delingsstykke, dog uden at forklare baggrunden og tankerne bag metoden. Det kunne afklares ved at tage en samtale på tomandshånd med eleven for at få en uddybning af brevets indhold og deres forståelse. Mange af brevene i denne kategori virker forhastede, som om at eleverne bare skulle have det overstået hurtigst muligt. Måske ville dette have været anderledes hvis det havde været en lektie derhjemme, så de havde haft mere tid til at udtrykke sig. Det kan dog også have en rod i forholdet til den person eleven skriver brevet til. Enkelt forklaring kun med tekst: Denne kategori er en af de mindste kategorier. Kategorien er domineret af en stor mængde tekst, som ikke er understøttet af nogen figurer eller tegninger. Eleven i det eksemplariske brev skriver således: ”Kære Camila, nu skal du høre hvordan man deler ting. Hvis vi nu siger vi har 4 piger som har 20 kr. de skal dele, så skal man se hvor mange kroner de kan få. Her kan de fire piger få fem kroner hver. Sådan deler man” Eleven bruger her nogle af de kompetencer vi havde øvet i forløbet. Eleven inkorporerer informationer i en tekst, som beskriver et matematisk problem. Eleven viser også at hun har nået det mål, som var opstillet i FFM, at hun kan vise sin matematiske tænkning ved hjælp af skriftlige noter. Dog er det en overfladisk beskrivelse og vi kan ikke uddrage fra brevet om, hun kan forstå deling som begreb. Men i dette tilfælde ved jeg at eleven kan dele, eftersom at hun altid var skarp i klassesamtalen, og klarede opgaverne i timerne hurtigere end gennemsnittet. Dette viser også, at en lærers erfaring med sine elever, og den forståelse læreren har for elevens arbejdsproces, vil lette vurderingen af det skrevne brev efterfølgende. Dobbelt forklaring med tekst: I denne kategori, har eleverne valgt at forklaring deling, ved at opstille regnestykker på skriftlig form. De har alle valgt minimum at forklare det ved hjælp af to eksempler. Eleven i det eksemplariske brev fra denne kategori skriver således: ”Kære mor. 1.) Jeg har 500 æg, jeg skal dele dem med to. Du får 250, jeg får 250 med 0 i rest. 2.) Jeg har 118kr. jeg fik dem af min far. Jeg skal dele dem med 7. Jeg får 16 | en får 16| en får 16| en får 16| en får 16| en får 16| en får 16| Rest 6” Det første eksempel er rimeligt simpelt dog med et højt tal, som generelt løfter sværhedsgraden en smule. Det andet eksempel er dog interessant. Her viser eleven sin kunnen i forbindelse med deling. Jeg vurderer 22 Lau Prieske Matematik Z110371 Zahle 22/04-2015 at eleven, enten bevidst eller ubevidst, har benyttet sin forståelse om sammenhængen mellem tabellerne og deling. Eleven har ikke skrevet, at det er på den måde han regner. Men det er min konklusion ud fra den tekst jeg kan læse. Det kan jo også have noget at gøre med, at han ved at hans mor ikke er så god til matematik, og derfor vil han undgår at gøre hende mere forvirret ved at inddrage tabellerne. Men han viser tydeligt sin evne til at beskrive sin matematiske tænkning ved hjælp af de skriftlige noter. Forklaring ved hjælp af to eller flere figurer: Eleverne i denne kategori har primært anvendt figurer eller tegningerne til at understøtte deres brev om deling. Fælles for dem alle er at de har brugt et minimum af tekst og sætter deres lid til at læseren kan forstå brevet ud fra figurerne. Eleven i det eksemplariske brev skriver således: ”Vi er 15 børn som skal dele en kage (Se tegning på figur 7) Der er 15 stykker. 8 børn skal dele en kage (Se tegning på figur 7) Der er 8 stykker” Eksemplet fra dette brev, er meget simpelt i forhold til det delingsstykke, som er beskrevet, i begge tilfælde får hvert barn 1 stykke. Eftersom at der næsten ingen tekst er til at forklare elevens tankegang, så er det svært at vurdere, hvor langt eleven er fagligt. Jeg kan ikke udlede om eleven har en forståelse for opbygningen af delingsbegrebet. Og jeg kan heller ikke bedømme, om han kan udregne delingsstykker med en højere sværhedsgrad. Brevet er ikke addresseret til nogen og det afviger fra størstedelen af brevene. Dette kan også have haft en betydning for hvordan han har udformet brevet, eftersom at hvis han ikke adresserer det til nogen så behøver han måske ikke forklare det så grundigt. I sådan et tilfælde ville jeg tage en snak med eleven for muligvis at kunne få ham til at uddybe sin forståelse for deling. Jeg mener at denne evalueringsmetode har frembragt nogle breve, hvori jeg overordnet har kunnet aflæse noget om elevens viden og forståelse for deling. For at kunne gøre min forståelse endnu større, så burde jeg have afholdt samtaler med nogle af eleverne efterfølgende, og generelt have givet eleverne en feedback, så de vidste, hvordan de skulle arbejde fremover. Metoden her kan give mig en mulighed for at differentiere en efterfølgende undervisning om deling. Det er dog en evalueringsform med lav reliabilitet, eftersom at alle lærere vil vurdere brevene på hver sin måde. Samtidig så kan metoden variere fra klasse til klasse og fra elev til elev. Når man opstiller det som et brev til bedstemor, så kan elevens forhold til den person de skriver til, have en stor indvirkning på hvad der bliver skrevet i brevet. Samt hvilken metode eleven vil benytte til at forklare sig. Man ville måske med fordel kunne bede eleverne om at skrive et brev til en fiktiv matematikprofessor, eller en person som de ved er god til matematik, det kan måske opkvalificere deres forklaringsmetoder, eftersom at de så ikke behøver bekymre sig om, om personen kan forstå deres tankegang. Jeg vil også i fremtiden hovedsageligt give denne øvelse som en lektie. Eller bruge et godt stykke tid af undervisningen. Opgaven må ikke blive forhastet, eftersom at det kan ses på brevene og hindrer den viden jeg efterfølgende kan trække ud af dem. Hovedsageligt vil jeg mene at metoden spiller godt sammen med ministeriets forskellige krav. Og samtidig så støtter den godt op om de kommunikative mål som er opstillet i FFM. Hvis man som lærer mener at læringen sker i samspillet mellem eleverne, og i samspillet mellem den skriftlige og mundtlige kommunikationsform, så er dette en interessant, men også lidt tidskrævende evalueringsform. Jeg mener at den kan være en god metode til at evaluere i det flerstemmige og dialogiske 23 Lau Prieske Matematik Z110371 Zahle 22/04-2015 klasserum, som beskrevet af Olga Dysthe. Dog skal man gøre sig klar på at læreren i naboklassen, sikkert ikke vil få den samme information ud af brevene som en selv. Diskussion Samfundets indvirkning på vores evalueringsmetoder Når en nyuddannet lærer kommer ud og skal stå på egne ben, er der mange ting man skal lære hen ad vejen. En af disse ting er at kunne evaluere, både på sig selv, men også på undervisningen og elevernes udbytte. Som Peter Dahler-Larsen udtrykker, så er der en stor portion brugerfokusering i vores moderne samfund. Denne brugerfokusering kan have stor indflydelse på, hvordan vi som lærere vælger at evaluere vores elever. Hvis brugeren, i dette tilfælde det meste af den danske befolkning, skal kunne vurdere eleverne efterfølgende så bliver man nødt til at benytte en evaluering med høj reliabilitet. Reliabilitet er et kerneaspekt, som der skal tages højde for, når man skal vælge evalueringsmetode. Hvis evalueringen skal kunne bedømmes ens af forskellige lærere, så kræver det at der bliver evalueret på en bestemt måde. Derfor kan man som nyuddannet føle sig nødsaget til at evaluere på en facitbaseret måde, så andre også vil kunne få det samme ud af evalueringen efterfølgende. Personligt var jeg nervøs for at evaluere som jeg gjorde. Jeg havde mange spørgsmål, vil jeg kunne bruge det til noget efterfølgende, vil min praktiklærer se det som en god ide og hvordan vil eleverne tage det til sig. Det kan være svært at bryde den rutine der er i den danske folkeskole, om at benytte de meget summative, facitbaserede tests. Det er en let, og anerkendt metode indenfor lærerfaget til at kunne vurdere på en elevs nuværende viden. Robert Linn har også fremsat nogle bud på, hvorfor at vi evaluerer som vi gør. De grunde han opstiller mener jeg er en skræmmende idé om hvordan og hvorfor vi skal evaluere de kommende generationer. Specielt de to følgende udsagn giver grund til nervøsitet. -Testning er relativt billig sammenholdt med kvalitetsudvikling i form af mere undervisningstid eller efteruddannelse af lærere. -Testresultater er synlige og kan let offentliggøres i pressen.(Skott:2008)11 Hvis vi tester i stedet for at kvalitetsudvikle vores folkeskole og efteruddanne vores lærere, så nærmer vi os mere og mere det samfund som Peter Dahler-Larsen også beskriver. I den offentlige debat er vi begyndt at høre om såkaldte eksperter som foreslår at vi skal have karakterer helt ned i tredjeklasse. Dette mener jeg er en direkte eftervirkning på et samfund som føler at vi alle skal kunne vurderes inden for den samme skala. Jeg mener ikke at en elev i indskolingen vil få noget ud af at få en karakter, eller blive sat i bås, afhængig af den viden de besidder på det tidspunkt. En langt bedre måde ville være at give eleverne grundig feedback på deres læring, så de i samarbejde med læreren, og deres forældre, kan forme deres videre skoleforløb. En karakter vil ikke give nogen værktøjer til videre arbejde. Og hvis vi samtidig tester 11 Skott, Jeppe et al.: Delta, Samfundslitteratur, 2008, Kap. 9, S.325 24 Lau Prieske Matematik Z110371 Zahle 22/04-2015 eleverne med henblik på at kunne offentliggøre det, til brug for politikere eller skoler til at promovere sig, så gør vi det forkert. Både den summative og formative evalueringsform har forskellige begrænsninger og muligheder. Og jeg mener ikke at de kan stå helt alene i folkeskolen. Vi har brug for dem, på hver sit tidspunkt. Men hvis man som lærer skal bruge evalueringen til at forme og differentiere den videre undervisning, så er det vigtigt at gøre sig nogle tanker om evalueringsmetoden i forvejen. Desuden er evalueringen helt af afhængig af de mål som læreren har opstillet i forvejen. Alle dele af undervisningen hænger sammen, hvad enten det er direkte eller indirekte. Konklusion I løbet af denne opgave har jeg stræbt efter at besvare min problemformuering. Jeg ville undersøge om min evalueringsmetode kunne benyttes til at evaluere matematik undervisning i indskolingen på en hensigtsmæssig måde, hvor man derefter kunne benytte resultatet til at forme og differentiere den videre undervisning. Jeg kom frem til at den metode jeg brugte resulterede i en evaluering med meget lav reliabilitet, men med en høj validitet. Metoden gav eleverne mulighed for at udtrykke sig på deres egen måde, hvad enten de helst ville skrive, tegne eller begge dele. Evalueringsmetoden frembragte nogle breve, hvori jeg mener jeg har kunnet læse og uddrage viden om elevens viden. Men eftersom at det er et brev som eleven selv skal skrive til en person, så kan der godt være forskel på hvad eleven skriver han/hun ved i brevet, også på deres faktuelle viden. De kan for eksempel, forsøge at forklare det på et let niveau hvis de vidste deres bedstemor ikke er så skarp til matematik. Dette kan give nogle breve som har en lidt misvisende effekt. For at modvirke dette burde jeg have givet bedre feeedback. Først og fremmest så skulle jeg efterfølgende have samlet op på brevene i en klassesamtale, og desuden så skulle jeg have haft samtaler med nogle af eleverne på tomandshånd. Jeg kom frem til at feedback er virkelig vigtigt i forbindelse med sådan en evaluering. Hvis jeg kan give eleverne den rette feedback, så kan jeg vise dem hvordan de bedst muligt kommer videre fra deres nuværende standpunkt. God feedback kan også give en elev nogle værktøjer, som han/hun kan bruge efterfølgende til at udvikle sine matematiske kompetencer. Vores samfund idag kræver hele tiden at vi skal vurderes i forhold til andre. Ud fra mine undersøgelser og erfaringer, så mener jeg ikke det er hensigtsmæssigt, at vi skal vurdere vores børn i forhold til andre, helt ned i 2-3.klasse. På dette alderstrin, så mener jeg at evaluering kun burde finde sted for at hjælpe vores elever frem, og ikke for at ”slå dem i hovedet” med en karakter. I folkeskolen er der krav om løbende evaluering, og dette er en god ting. Der skal dog være en blanding mellem de summative og formative metoder. Men god feedback skal altid være en del af god evaluering, hvad enten den er formativ eller summativ. Der er fordele og ulemper ved både formativ og summativ evaluering. Den formative evaluering kan løbende kvalificere, og videreudvikle undervisningen. Men den formative evaluering har lav reliabilitet, og den tager ofte også længere tid at ”rette”. Den summative evaluering kan være god, hvis læreren ønsker afsluttende at se om en elev kan dele. Men der er ofte store huller i hvad sådan en test kan fortælle om elevens forskellige kompetencer. Dog sikrer den høje reliabilitet at, opgaven kan rettes ens, af mange forskellige personer. 25 Lau Prieske Matematik Z110371 Zahle 22/04-2015 Jeg vil i fremtiden benytte den undersøgte evalueringsmetode i indskolingen. Jeg mener at den er hensigtsmæsssig og relevant, til at undersøge en elevs forståelse. Jeg skal dog huske at give eleverne god feedback på brevene efterfølgende. En god feedback kan også hjælpe med at forme det videre forløb for eleverne. Det skulle også kunne give eleverne redskaber til at styrke deres matematiske kompetencer og forståelse. Vi skal huske at evaluere, men kun hvis vi har et mål. Vi skal ikke bare evaluere for at evaluere. 26 Lau Prieske Matematik Z110371 Zahle 22/04-2015 Litteraturliste Artikel: Dahler-Larsen, Peter: ”Den syvende evalueringsanvendelse: skolen ændres umærkeligt”, Danmarks lærerforening, 1999 Dysthe, Olga; Det flerstemmige klasserum, Kap.5 (Det flerstemmige og dialogiske klasserum); Gyldendal 2005 Bog: Gyldendals Leksikon: Gyldendals Boghandel, Nordisk Forlag A/S København, 2002 Skott, Jeppe et al.: Delta, Kap. 9, Samfundslitteratur, 2008, Brodersen, Peter et al. ”Effektiv Undervisning, Kap.11”, Gyldendal, 2.udgave, 2.oplag 2013 Hjemmesider: Retsinformation. Folkeskoleloven 1993. Kapitel 2. Lokaliseret d. 20/03 2015 https://www.retsinformation.dk/Forms/r0710.aspx?id=163970#Kap2 Undervisningsministeriet, Evaluering, Lokaliseret d.21/03 2015 http://uvm.dk/Uddannelser/Folkeskolen/De-nationale-test-og-evaluering/Evaluering Emu, Vejledning for faget matematik, Lokaliseret d. 21/03 2015 http://www.emu.dk/modul/vejledning-faget-matematik Emu, Færdigheds- og vidensmål for matematik(2014), Lokaliseret d.21/03 2015 http://www.emu.dk/sites/default/files/F%C3%A6lles%20M%C3%A5l%20for%20faget%20matematik_0.pdf 27
© Copyright 2024