1. No category

Repetition Harmonisk svängning & vågor - Fy2
Heureka 2: kap. 7, 9, 13
version 2015
Harmonisk svängning
En svängning fram och tillbaka kring ett jämviktsläge, där den resulterande kraften på den
svängande kroppen hela tiden är proportionell mot avståndet från jämviktsläget, kallas harmonisk.
Kraften ska vara riktad så att kroppen hela tiden strävar efter att återvända till jämviktsläget.
Exempel på harmoniska svängningar: gunga, pendel, vikt i fjäder, kula i rundad skål etc.
Hastigheten är som störst i jämviktsläget. Accelerationen måste vara som störst vid vändlägena,
eftersom kroppen där bromsas/accelereras mest.
Fjäder
När en fjäder sträcks Δx m från sitt jämviktsläge, åtgår kraften F. Denna beror,
förutom på Δx även på en fjäderkonstant k som talar om hur styv fjädern är. Ett
högre k-värde medför en styvare fjäder som det krävs en högre kraft att dra ut.
Sambandet kallas Hookes lag och ges av: F = k ⋅ Δx
Observera att vi här talar om kraften i fjädern.
Den resulterande kraften på den svängande vikten, blir: Fres = ky (resulterande
kraften är hela tiden riktad mot jämviktsläget)
Vinkelhastigheten på svängningen är relaterad till fjäderkonstanten enligt:
k
ω=
där m är kroppens massa.
m
Svängningstiden (periodtiden) för den harmoniska svängningen i en fjäder är T = 2π
m
k
Energi och harmonisk svängning
När man sätter igång svängningen, genom att dra ner eller upp vikten, tillförs lägesenergi i den
spända fjädern. Denna omvandlas sedan till rörelseenergi. Rörelseenergin är som störst i
jämviktsläget, för att sedan vara helt omvandlad till lägesenergi i vändlägena. Summan av
lägesenergin och rörelseenergin är således hela tiden konstant och ges av: E p + E k = Etot eller
ky2
kA2
+ Ek =
2
2
mv 2
endast kan användas om man
2
känner till den svängande kroppens hastighet i just det ögonblick man räknar på.
Observera att det gamla hederliga uttrycket för rörelseenergin:
Pendeln
Med en del approximationer kan man få en enkel formel för svängningstiden:
•
•
•
snöret är masslöst
utslagsvinkeln är liten (under 10°)
kulan är liten i förhållande till snörets längd, l.
l
Svängningstiden kan då ges av: T = 2π
g
Resonans
En svängande system som man har satt igång, svänger alltid med en egen naturlig frekvens
(egenfrekvens). Om yttre krafter ( i form av en yttre svängning) påverkar systemet med samma
frekvens, uppstår en kraftig amplitud i svängningen. Detta fenomen kallas för resonans.
Några exempel är gitarrens kropp, vars hålrum kraftigt förstärker ljudet som kommer från de
vibrerande strängarna. Obalanserade däck på en bil, där bilens och däckets svängningar förstärker
varandra.
Att sätta fart på en gunga när man sitter på den själv: man utför en pendelrörelse med sin kropp och
denna svängning förstärker tillsammans med gungans svängning så att man får en snabb
acceleration på sin gunga.
Detta är samma princip som det vi senare kallar för interferens; två vågor som förstärker varandra.
Här har vi två svängningar som förstärker varandra.
Vågrörelse
Om man har en lång fjäder kan man skicka iväg en puls. Skickar man kontinuerligt iväg pulser
kallas det istället för en vågrörelse.
Om vågrörelsen alstras vinkelrätt mot utbredningsriktningen kallas den transversell, och den alstras
längs med fjädern kallas den longitudinell.
På transversella vågrörelser talar man om vågtoppar och vågdalar, på de longitudinella talar man
om förtätningar och förtunningar.
Vid reflektion mot ett tätare medium vänder
pulsen och går tillbaka på motsatt sida om
fjädern (inverteras).
Vid reflektion mot tunnare medium
vänder pulsen tillbaka på samma
sida som den kom ifrån
En del av vågrörelsen överförs till en vågrörelse i det tunnare mediet. Detta kallas transmission.
λ
där λ kallas våglängd, och är en sträcka.
T
Tiden det tar för en våglängd att utbreda sig kallar vi för svängningstid eller period.
En vågrörelse utbreder sig med hastigheten v =
Elongation är ett finare ord för avstånd från jämviktsläget ( y ).
Superformeln
Sambandet mellan hastighet, frekvens och våglängd ges av: v = f ⋅ λ
Superposition / Interferens
När två vågor möts får man den resulterande vågen genom att i varje punkt addera deras elongation.
Detta kallas för superposition. Man säger att vågorna interfererar (sammanblandas) med varandra.
Stående vågor
En vågrörelse som interfererar med sig själv kan för vissa frekvenser ge upphov till en s.k. stående
våg. Detta uppstår bl.a. i strängar, snören, samt för ljudvågor i pipor (rör) av olika slag. En stående
våg innebär att den resulterande vågen hela tiden är i vila.
Strängar
Pipor
Grundsvängningen:
1:a översvängningen:
2:a översvängningen:
3:e översvängningen:
OBSERVERA! Beteckningarna på våglängden λ anger bara hur många våglängder som får plats.
Våglängderna är olika långa!
Reflektion
Om vi tar vattenvågor som exempel så kan de utbreda sig cirkulärt och plant. Då de möter ett hinder
reflekteras de enligt i=r där i är infallsvinkel och r är reflektionsvinkel.
Brytning (refraktion)
När en mekanisk våg går från ett ämne till ett annat
ändras riktningen hos vågorna om de faller in snett mot
gränslinjen mellan ämnena. Ju tätare ett ämne är desto
snabbare går vågorna (atomleken).
Brytningslagen ger:
v2 sini = v1 sin b
λ2 sin i = λ1 sin b
Det som är konstant i vågrörelsen i båda ämnena är
frekvensen f.
Totalreflektion
Eftersom inte b kan bli mer än 90° så innebär det att det finns en gräns för hur stor i kan bli.
Om man överstiger den gränsen kommer inte ljudvågen att brytas ner i vattnet utan bara reflekteras
mot ytan upp i luften igen. Detta kallas för totalreflektion.
Speciellt för vattenvågor:
När vattendjupet sjunker, sjunker våghastigheten. Detta ger ett brytningsfenomen eftersom vågorna
succesivt ändrar riktning på väg in mot stranden. Därför kommer vågorna alltid in parallellt med
strandlinjen.
Diffraktion
Vi illustrerar begreppet diffraktion med hjälp av vattenvågor. Om en plan våg infaller mot ett hinder
i vilket det finns en öppning som är av samma storleksordning som våglängden, kommer vågen att
böjas av efter hindret. Denna böjning kallas med ett finare ord för diffraktion.
Lägg märke till att den lilla öppningens (spaltens) bredd betecknas d.
Interferens
Om vågor från två vågkällor möts, interfererar de med varandra. De som då kan hända är att
vågtopp möter vågtopp (eller vågdal möter vågdal).
Detta kallas konstruktiv interferens och medför att det blir en kraftigare våg just där.
Men en vågtopp kan även möta en vågdal.
Resultatet kallas destruktiv interferens och innebär att vattnet i princip blir stillastående just där.
Vad är det som avgör i vilka punkter det blir konstruktiv resp. destruktiv interferens?
Vägskillnad
Vägskillnaden = skillnaden i sträcka mellan avstånden
från en punkt P till respektive vågkälla. Enligt figuren
definierar vi vägskillnaden δ som:
δ = s1 − s2
(de raka strecken betyder absolutbeloppet av
differensen. Absolutbeloppet är alltid positivt
- d.v.s. vägskillnaden är alltid positiv)
vågkälla 1
vågkälla 2
s1
s2
P
Interferensmönster
2.
Vågorna möts och interfererar
med varandra.
På vissa ställen möter topp topp
och dal möter dal,
på andra ställen möter topp dal.
3.
Vid en vägskillnad på ett
helt antal våglängder
blir det tydligen konstruktiv
interferens, d.v.s. berg möter
berg och dal möter dal.
Resultatet blir kraftiga vågor
längs de röda linjerna.
Dessa linjer kallas därför
buklinjer.
1,5 våglängders skillnad
1 våglängds skillnad
0,5 våglängders skillnad
Vi sammanfattar allt i formeln s1 − s2 = nλ
centrallinjen
0,5 våglängders skillnad
1 våglängds skillnad
1,5 våglängders skillnad
Vid en vägskillnad på ett
udda antal halva våglängder,
d.v.s. 0,5 , 1,5 , 2,5 o.s.v.
blir det destruktiv interferens,
d.v.s. berg möter dal.
Resultatet blir att vågorna tar
ut varandra och vattnet står
stilla längs de blåa linjerna.
Dessa linjer kallas därför
nodlinjer.
2 våglängders skillnad
Två vågkällor alstrar vågor.
De svarta ringarna utgör vågberg
och de gråa vågdalar.
2 våglängders skillnad
1.
Egenskaper för ljudvågor
Ljudet färdas med hastigheten 330-340 m/s beroende på temperatur och tryck. Vi använder 340 m/s
om inget annat anges i uppgifterna.
Ljudet är en longitudinell mekanisk våg.
Ljudet färdas, till skillnad från ljuset, snabbare i vatten och metall (och andra tätare medier än luft)
Undantag är vissa mycket lätta gaser (ex. väte och helium) där ljudets hastighet också är mycket
högre än i luft.
Ljudintensitet och Ljudnivå
Ljudintensitet definieras som den effekt som träffar en yta: I =
P
. Enhet: 1 W/m2.
A
I
Grundenheten där kallas för decibel (dB).
10−12
En ökning med 10 dB uppfattas av vårt öra som ungefär dubbelt så starkt ljud.
Ljudnivå ges av L = 10 log
Dopplereffekt
Alla har vi hört sirenerna från ett utryckningsfordon som passerar i hög fart. Frekvensen hos
sirenerna tycks ändras vid passagen. Detta kallas dopplereffekt och beror på att man före passagen
upplever att ljudvågorna trycks ihop, och därför upplever att de färdas snabbare, d.v.s. frekvensen
ökar.
Efter att sirenen passerat upplever man att ljudvågorna dras isär, och då upplever man att de färdas
långsammare, d.v.s. frekvensen minskar. Den upplevda frekvensen kallar vi för f ′ .
I detta fallet befinner sig ljudkällan K i rörelse och observatören O i vila.
Samma effekt uppstår när observatören rör sig.
Totalt kan fyra olika kombinationer sammanfattas i formeln: f ′ =
v ± vO
⋅f
v ± vK
där v är ljudhastigheten, f ljudkällans egentliga frekvens och vO , v K observatörens respektive
ljudkällans hastighet. (Vi ska dock inte räkna på detta!)
Övningsuppgifter
Nivå 1
1.
Ljudets hastighet är vid ett visst tillfälle 336 m/s. Hur stor är våglängden för en ljudvåg som
har frekvensen 512 Hz ?
2.
Varför rör sig ljud långsammare i luft än i vatten?
3.
En fjäder har längden 7,2 cm. När en 50 g vikt hängs i den förlängs fjädern till 9,8 cm.
Beräkna fjäderkonstanten.
4.
En vikt i en fjäder utför 10 hela svängningar på 18 s. Beräkna vinkelhastigheten.
5.
I ett försök hängde man en 200 g vikt i en fjäder, som då sträcktes ut 8,4 cm.
Därefter bytte man ut vikten mot en 50 g vikt. Hur stor blir den resulterande kraften till
storlek och riktning på denna nya vikt – om den dras ner till ett läge 5,0 cm under
jämviktsläget?
6.
Beräkna perioden för den harmoniska svängning som uppstår, om man släpper den nya vikten
i föregående uppgift.
7.
En stående våg med fem bukar uppkommer i ett spänt snöre med längden 1,50 m.
8.
a)
Beräkna våglängden
b)
Beräkna våglängden för nästkommande stående våg i snöret.
c)
Vilken är den längsta våglängd som kan ge en stående våg i snöret?
Den övre figuren visar en triangulär puls, som rör sig mot ett fast hinder. Då pulsen
når fram till hindret kommer den att reflekteras. Rita hur den reflekterade pulsen
ser ut, i den nedre figuren.
9.
Figuren visar två pulser som rör sig mot varandra i en tråd. Avståndet mellan
två prickar i rutmönstret är 1,0 cm.
Rita i den nedre delen av figuren hur den resulterande pulsen ser ut efter 2,0 s.
10.
I figuren nedan är A och B två vågkällor som svänger i takt med varandra. De sänder ut
transversella vågor med frekvensen 14,0 Hz på en vattenyta. Till följd av interferens uppstår
nodlinjer på ytan. Punkten P ligger på tredje nodlinjen räknat från centralmaximum (som
ligger lodrätt mitt emellan sträckan AB).
Med vilken hastighet utbreder sig vågorna? Figuren är i naturlig storlek.
P
A
11.
B
A och B är två vågkällor som ger upphov till vattenvågor. Avståndet mellan A och B är 4,0
cm. I punkten M på mittpunktsnormalen till AB har vi centralmaximum.
Om man förflyttar sig från M till P minskar först vågornas amplitud till ett minimum för att
sedan åter öka. I punkten P registreras på nytt ett amplitudmaximum. Avståndet mellan A och
P är 10,0 cm enligt figuren nedan. Vilket värde på våglängden ger dessa iakttagelser?
A
4,0 cm
B
10,0 cm
P
M
12.
Det sägs ofta fiskare emellan att man måste vara tyst när man fiskar för att inte skrämma bort
fisken. Oftast är det så att ljudet i själva verket totalreflekteras mot vattenytan. Beräkna
gränsvinkeln α, när ljudet inte längre bryts utan totalreflekteras. Se figur nedan.
α
v = 340 m/s
1
v 2 = 1490 m/s
13.
Utbredningshastigheten för transversella vågor i en gitarrsträng är 720 m/s..
Strängens längd är 40,0 cm. Vilken frekvens har den grundton strängen ger ifrån sig?
14.
Ett gummibands båda ändar är fästa i ett stativ resp. i en vibrator. Gummibandet sträcks
så att våghastigheten för transversella vågor blir 4,80 m/s. Då vibratorn ger svängningar
med frekvensen 18 Hz uppstår en stående transversell våg i gummibandet med sammanlagt
tre svängningsbukar. Bestäm gummibandets längd.
Nivå 2
15.
En vikt hänger i en vertikal fjäder och utför svängningar med amplituden 10,0 cm.
Då vikten passerar jämviktsläget är dess rörelseenergi 0,24 J. Hur stor är rörelseenergin i en
punkt mitt emellan viktens jämviktsläge och viktens vändläge?
16.
En liten kula med massan 15 g fästs i en tråd med längden 25 cm. Man låter kulan utföra en
plan pendelrörelse. Då kulan släpps är vinkeln mellan lodlinjen och pendeltråden 50°.
17.
a)
Bestäm kulans maximala hastighet under pendelrörelsen.
b)
Efter ett antal svängningar har utslagsvinkeln minskat till 3,0°.
Beräkna tiden för en hel svängning (perioden).
En person har en 50 cm lång fjäder i vilken han hänger en vikt med massan 200 g.
Härvid sträcks fjädern och får längden 80 cm. Sedan drar han ned vikten 20 cm och släpper.
a)
Bestäm svängningstiden.
b)
Bestäm lägesenergin då vikten befinner sig 5,0 cm från jämviktsläget.
c)
Bestäm viktens hastighet då den befinner sig 5,0 cm från jämviktsläget.
d)
Bestäm kraften från fjädern på vikten då den befinner sig i samma läge som i c).
18.
Man sänder in ljud i ett rör som är öppet i båda ändar. Man får ett kraftigt ljud vid
frekvensen 600 Hz. Ge ett förslag på hur långt röret kan vara.
19.
Nedanstående figur föreställer infallande vattenvågor med våghastighet v1, som närmar sig ett
område med en annan våghastighet, v2. Figuren är i naturlig storlek och kan utnyttjas för
mätningar.
Infallande vågfronter
v = 3,0 cm/s
1
v
2
a) Bestäm infallsvinkeln och brytningsvinkeln.
b) Bestäm våghastigheten v2.
c) Hur stor blir brytningsvinkeln om infallsvinkeln i stället är 5,0°?
20.
En transversell våg utbreder sig med hastigheten 12,5 m/s enligt figuren nedan.
En partikel i det svängande mediet befinner sig vid ett visst tillfälle i punkten A.
12,5 m/s
A
1m
a) Markera i figuren var partikeln vid A befinner sig efter en kvarts period.
b) Beräkna den transversella vågens frekvens.
c) Hur länge dröjer det innan partikeln åter befinner sig i punkten A?
21.
Ett gummiband är fäst med sin ena ände i ett stativ och sin andra ände i en vibrator.
Då vibratorn svängde med frekvensen 60 Hz iakttogs en stående transversell våg med
3 svängningsbukar.
Vilken skall frekvensen vara för att man skall se en stående våg med 5 svängningsbukar?
22.
Två små högtalare H1 och H2 sänder ut ljudvågor med frekvensen 0,90 kHz.
Högtalarnas membraner svänger i fas med varandra. Högtalaren H1 är fast placerad
medan H2 kan förflyttas utmed linjen DE.
En mikrofon är placerad i punkten A, 1,5 m rakt framför H1. Högtalarna är från början
placerade intill varandra. Då H2 förflyttas från H1 mot E minskar först ljudstyrkan i punkten
A för att sedan öka till ett maximum då avståndet mellan högtalarna är s.
Bestäm avståndet s.
A
1,5 m
D
E
H1
s
H2
Nivå 3
23.
Figuren visar en träkloss med massan 0,52 kg som är fäst i en horisontell fjäder med
fjäderkonstanten 35 N/m. Klossen kan glida friktionsfritt mot underlaget. Då man skjuter iväg
en kula med massan 20 g mot klossen kommer kulan att fastna i klossen.
Omedelbart före stöten rör sig kulan med hastigheten 55 m/s. Hur stor blir amplituden i den
svängningsrörelse som kloss och kula därefter kommer att hamna i?
55 m/s
24.
25.
En sten släpps ned i en brunn. Man kan höra hur stenen träffar vattnet 3,00 s senare.
a)
Hur lång tid tar det för stenen att falla ned till vattnet och hur lång tar det
för ljudet att färdas upp så vi kan höra plasket?
b)
På vilket djup finns vattnet i brunnen?
En 74 cm lång järnstav är infäst på mitten enligt figur. Genom att gnida staven kan man få
fram longitudinella ljudvågor (ett gnälligt ljud). Våghastigheten för sådana vågor är 5180 m/s.
Hur många övertoner kan ett mänskligt öra uppfatta, om man antar att örats
känslighetsområde är 20 Hz - 20 kHz?
26.
Den övre figuren visar två triangulära pulser, som rör sig mot ett fast hinder med
farten v = 2 cm/s. Rita pulsernas utseende 2 s senare i den nedre figuren.
27.
Två fjädrar parallellkopplas som figuren visar.
Var och en av fjädrarna har fjäderkonstanten 40 N/m. Fjädersystemet belastas med en vikt
med massan 0,20 kg. Vikten dras ner 3,0 cm och släpps sedan. Den kommer då att utföra en
harmonisk svängningsrörelse.
28.
a)
Hur stor blir hela fjädersystemets fjäderkonstant?
b)
Hur många svängningar hinner vikten utföra på 60 sekunder?
c)
Vilken blir viktens största hastighet?
Vågor rör sig från ett medium till ett annat varvid vågornas
hastighet blir dubbelt så stor.
I figuren nedan visas en ögonblicksbild över situationen vid
gränslinjen mellan de två medierna. Vågfronten A står
närmast i tur att passera gränslinjen och vågfronten B är den
senaste som passerat gränslinjen.
A
gränslinje
B
Beräkna våglängden i översta mediet.
Figuren är i naturlig storlek och kan utnyttjas för mätningar.
v
2v
v = 8,0 cm/s
Svar till övningsuppgifterna
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7a.
7b.
7c.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
65,6 cm
Ljud är en mekanisk våg som fortplantas genom att energi förs över till nästa atom.
I luft är det längre mellan atomerna (molekylerna) än i vatten. Därför tar det längre tid
att överföra energin.
19 N/m
3,5 rad/s
1,2 N, uppåt
0,29 s
60 cm
50 cm
3,0 m
>
>
12 cm/s
0,77 cm
α ≈ 13,2°
900 Hz
0,40 m
0,18 J
a) 1,3 m/s b) 1,0 s
a) 1,1 s b) 8,2 mJ c) 1,1 m/s
d) 2,3 N om vikten är under jvl och 1,6 N om vikten är ovanför jvl.
28,33 cm eller längder som är n ⋅ 28, 33 cm, där n = 1, 2, 3…
a) Mätningar i figuren ger att infallsvinkeln i = 24° och brytningsvinkeln b = 75°
b) 7,1 cm/s
c) 12°
a) i övre vändläget b) 3,1 Hz c) 0,16 s
100 Hz
1,13 m
0,25 m
a) Stenen faller i 2,88 s, och ljudet behöver 0,12 s för att komma upp.
b) ca 41 m
2 st (man hör grundtonen + två övertoner)
a) 80 N/m
b) 191 st
c) 0,60 m/s
Våglängden i översta mediet är 1,75 cm.