1. No category

LINKÖPINGS UNIVERSITET
Institutionen för Fysik, Kemi och Biologi
Magnus Johansson
Tentamen i TFYA55/9FYA11
Mekanik, fördjupningskurs 2012­05­21 kl 14.00­18.00
Tillåtna hjälpmedel: Physics Handbook utan egna anteckningar, avprogrammerad räknedosa. Även vissa andra formelsamlingar som Tefyma och Beta är tillåtna.
Examinator (Magnus Johansson) träffas under skrivningstillfället efter kl 15.00. Telefonnummer: 281227.
Lösningsförslag finns på IFM:s anslagstavla efter skrivtidens slut.
Skrivningen omfattar fem frågor eller problem av teoretisk och mer praktisk natur.
Följande betygsskala gäller preliminärt:
9FYA11:
betyg G: 10­14 poäng
betyg VG: 15­20 poäng
TFYA55:
betyg 3: 10­12 poäng
betyg 4: 13­16 poäng
betyg 5: 17­20 poäng
Betygsgränserna kan i undantagsfall komma att sänkas om någon uppgift visar sig svårare än avsett, dock ej höjas.
Anvisningar: Införda beteckningar skall definieras, gärna med hjälp av figur, och uppställda ekvationer motiveras. Lös alltid uppgifterna analytiskt först och stoppa in eventuella numeriska värden på slutet. Lös inte flera uppgifter på samma blad, och skriv enbart på ena sidan av papperet, tack! Ange ditt AID­nr på varje blad. Det som efterfrågas i uppgifterna skrivs i fet stil.
Uppgifterna är ej ordnade i stigande svårighetsgrad! Obs. också att flera uppgifter inne­
håller olika delmoment med skiftande svårighetsgrad. Det kan därför vara fördelaktigt, att börja med att ögna igenom samtliga uppgifter och lösa de enklare delarna, för att sedan vända tillbaka och angripa de svårare.
Lycka till!
Uppgift 1: Kula i roterande rör
Ett glasrör roterar i ett horisontalplan. I glasröret kan en liten kula, som har massan m, röra sig friktionsfritt. En fjäder med fjäderkonstant k och ospända längden L0 är fäst i partikeln och i ˙
.
röret enligt figuren nedan. Glasröret roterar med den konstanta vinkelhastigheten =
Kulan släpps fri vid tiden t = 0 med initialvillkoren r 0= L0 , r˙ 0=0 , där r är avståndet från fjäderns infästningspunkt (rörets rotationscentrum, origo i figuren nedan) till partikeln. 2
Inför på sedvanligt sätt den praktiska beteckningen  0=k / m . Vi antar att 0 > , vilket innebär att partikeln beskriver en oscillerande svängningsrörelse inuti röret.
(a) Beräkna r(t) för kulans läge i röret för t > 0. (Påminnelse: den allmänna lösningen till en linjär, inhomogen differentialekvation fås genom att lägga ihop homogen­ och partikulär­
lösning!)
(2p)
(b) Beräkna, till storlek och riktning, den normalkraft som verkar sidledes (horisontellt) på kulan från röret som funktion av tiden t. Svaret får enbart innehålla de ovan givna storheterna m, k, L0, och . (Ledning: använd resultatet från (a).)
(2p)
y
m
r  =  t
x Uppgift 2: Glider myntet?
Ett litet mynt med massa m är placerat på en sträv, roterande konisk yta enligt figuren nedan, där R är det vinkelräta avståndet till myntet från den fixa, vertikala rotationsaxeln. Den statiska friktionskoefficienten mellan myntet och ytan är , och den är tillräckligt stor så att myntet inte glider om konen är i vila. Man ökar långsamt vinkelhastigheten  ( ≈0
) tills ˙
myntet till slut börjar glida längs ytan. (a) Bestäm den maximala vinkelhastigheten  så att myntet inte glider! (3p)
(b) När myntet väl börjat glida kommer också en Coriolis­kraft att verka. I vilken riktning pekar denna kraft? Motivering krävs självklart!
(1p)
Det är tillåtet att försumma eventuella effekter av jordens rotation mm.
R
m

g

Uppgift 3: Klättrande klot
Ett homogent klot med radie R rullar utan att glida med farten v0 längs ett plant, horisontellt underlag. Klotet träffar då på ett rakt, vertikalt trappsteg med höjden h < R, och rullar upp över detta. Den punkt på klotet som träffar överkanten av trappsteget fastnar där under en kort stund, fram till dess att klotets masscentrum befinner sig rakt ovanför trappstegskanten. (a) Bestäm vinkelhastigheten för klotets rotation kring trappstegskanten direkt efter kollisionen ! (Ledning: räkna på något som bevaras i kollisionen!)
(2p)
(b) Bestäm den minsta hastighet v0 som klotet måste ha för att komma över trappsteget! (Ledning: räkna på något som bevaras efter kollisionen!)
(2p)
Uppgift 4: En triangel igen...
En homogen likbent triangulär platta har massa M, höjd h, och baslängd b enligt figuren nedan. Plattan är fri att rotera kring ett av sina hörn, markerat med O (origo) i figuren nedan. y
h
M
O z
b
x
(a) Bestäm systemets tröghetstensor uttryckt i koordinatsystemet (x,y,z) enligt figuren! (z­axeln pekar ut ur papperet, vinkelrätt mot skivan!) (Ledning: Det är tillåtet att använda formler från Physics Handbook F­1.9 och F­1.10.)
(2p) (b) Systemet fixeras till att rotera runt x­axeln i figuren. Bestäm värdet på förhållandet b/h så att rörelsemängdsmomentet LO bildar vinkeln 45 med rotationsaxeln!
(2p)
Uppgift 5: Två massor och en fjäder!
Två klossar med massor m respektive M är sammanbundna med ett masslöst, otänjbart snöre, som glider friktionsfritt över en fix trissa enligt figuren nedan. Massan m kan glida friktions­
fritt på det horisontella planet, och är i sin andra ände fäst i en fjäder med fjäderkonstant k och längd x0 i osträckt läge, som i sin tur är fäst i den vertikala väggen. Massan M kan röra sig i vertikalled under inverkan av tyngdaccelerationen g och tvångskraften från snöret. Systemet släpps från vila i ett läge där fjädern är ospänd.
(a) Välj fjäderns förlängning x som generaliserad koordinat och skriv upp systemets Lagrangefunktion L  x , x˙  . Låt potentiella energin vara noll då fjädern är ospänd.
(1p)
(b) Bestäm Lagranges rörelseekvation för x. (1p)
(c) Bestäm periodtiden för den resulterande harmoniska svängningsrörelsen!
(1p)
(d) Hur långt från utgångsläget har klossen m rört sig då den vänder?
(1p)
k
m
x0 + x M
g