Tentamensskrivning i
Analys A,
7,5 hp,
151029
MATEMATISKA INSTITUTIONEN
STOCKHOLMS UNIVERSITET
Avd. Matematik
Examinator: Martin Tamm
15 poäng ger säkert godkänt. Ett nödvändigt villkor för godkänd skrivning är att minst fyra av
skrivningspoängen kommer från teoridelen. Talen är inte ordnade efter svårighetsgrad.
Inga hjälpmedel tillåtna.
Problemdel
1. Undersök om följande gränsvärden existerar och beräkna dem i förekommande fall:
a)
ln(1 + x2 ) + ln(1 + y 2 )
,
ln(1 + x2 + y 2 )
(x,y)→(0,0)
lim
b)
ln(1 + x2 ) + ln(1 + y 2 )
.
ln(1 + x2 + y 2 )
x2 +y 2 →∞
lim
4p
2. Bestäm alla stationära punkter till funktionen f (x, y) = ln |x + y| − 14 (x2 + y 2 ), samt avgör deras
karaktär.
4p
3. Motivera varför funktionen g(x, y, z) = x + y + z under bivillkoren xy + yz + zx = 3, x, y, z ≥ 0
antar ett globalt minimum samt bestäm minimivärdet.
4p
4. Bestäm en lösning z = z(x, y) till differentialekvationen yzx0 + xzy0 = 2x3 y + 2xy 3 sådan att
2
z(x, 0) = e−x , t ex genom att införa de nya variablerna u = x2 − y 2 och v = xy.
4p
5. a) Avgör om följande serie konvergerar:
∞ X
1
k=1
1
− ln 1 +
.
k
k
2p
b) Avgör om följande generaliserade integral konvergerar:
Z ∞
x− ln x dx.
1
2p
Teoridel
6. Definiera kontinuitet. Formulera och bevisa Bolzano-Weierstrass sats. Visa också att om en
funktion f är kontinuerlig i intervallet [a, b], så antar f sitt största och sitt minsta värde där.
5p
7. Formulera och bevisa Taylors formel av andra ordningen för funktioner av två variabler.
LYCKA TILL!
Skrivningsåterlämning tisdagen den 5 november kl. 11.00 i sal 16, hus 5.
Därefter på studentexpeditionen, hus 6, rum 203 eller 204, under ordinarie kontorstid.
5p