XIV. Magnetisk resonans
Kvantfysikens grunder, 2015
395
XIV.1. Inledning
Vi har tidigare behandlat atomens växelverkan med ett magnetiskt fält (kap. 8). Växelverkningsenergin mellan det magnetiska dipolmomentet µ och magnetfältet B är
VM = −µ · B
Atomens magnetiska dipolmoment byggs upp av elektronernas totala magnetiska dipolmoment som
är
µ = µL + µS = −gL
µB
µB
µB
L − gS
S=−
( L + 2 S)
~
~
~
Vi beaktar att gL = 1 och gS = 2 (se kap. 8).
Zeemaneffekten beskriver uppspjälkningen av atomens energinivåer under inverkan av det yttre
magnetfältet. Detta behandlas i kap. 8 liksom Stern-Gerlach experimentet som ledde till upptäckten
av atomens spinn.
Kvantfysikens grunder, 2015
396
XIV.2. Larmorfrekvensen och magnetisk resonans
Då ett konstant magnetiskt fält B0 verkar på en magnetisk dipol µ kommer denna att börja
precessera runt B0 med frekvensen
ω0 =
Kvantfysikens grunder, 2015
eB0
= Larmorfrekvensen
2me
397
<
_
B0
_
<ω
0
_
>m
_
Bω <
q
_
L
<
>
Figur 104: Det magnetiska fältet B0 och Bω verkar på dipolen µ. Det variabla magnetfältet
tvingar atomen att byta energitillstånd, då dess vinkelfrekvens är lika med Larmorfrekvensen ⇒
man har magnetisk resonans.
Vinkeln θ är konstant (se även avsnitt 8.2) då fältet är konstant. Men om man applicerar ett fält
Bω ⊥ B0 kan man få rotationsriktningen att ändra och även vinkeln θ . Om man låter Bω vara ett
variabelt fält, som ändrar riktning i samma takt som precessionsrörelsen kan man motverka denna.
Då ω = ω0 talar man om magnetisk resonans. Vid denna frekvens överför det yttre fältet energi,
som motsvarar energiskillnaden mellan två tillstånd
Kvantfysikens grunder, 2015
398
δVM = gl µB B0
Fältet Bω överför energin hν =
δVM = gl µB B0 = gl µB
hω
2π
⇒
e
2me
2me
e~
2me
B0
= gl µB ω0
= gl ·
ω0
= gl ~ω0
2me
e
e
2me
e
Man kan utnyttja resonansfenomenet för att bestämma den gyromagnetiska faktorn gl för
tillståndet. Om den gyromagnetiska faktorn är känd, som i ett fall där övergången sker mellan två
tillstånd, med spinn upp (ms = + 21 ) och spinn ner (ms = − 12 ) kan resonansfenomenet användas
för att bestämma B0. Växelverkningsenergin är i detta fall
δV = geµB B0
Detta kallas för elektronspinnresonans och används för att bestämma fältet inne i en molekyl.
Kvantfysikens grunder, 2015
399
mS = +
_
1
<
2
<
δV
mS = -
_
1
2
Figur 105: Övergång mellan två tillstånd.
Kvantfysikens grunder, 2015
400
XIV.3. Kärnmagnetisk resonans och hyperfinstruktur
Atomens kärna har kärnspinnet I:
2
2
I = ~ i(i + 1)
där komponenten Iz = mI ~
Vi inför kärnmagnetonen µN =
e~
2Mp
=
me
Mp µB .
Där Mp är protonens massa.
Kärnans magnetiska moment kan i analogi med teorin för elektronstrukturen definieras som
µI = gI µN
I
~
Protonens g-faktor är gp = 2 · 2, 792847386 (beteckningen har att göra med en jämförelse med
teorin).
Hyperfinväxelverkan är den växelverkan man får mellan kärnans magnetiska moment och
elektronens. I hyperfinväxelverkan är växelverkningsenergin ∝ S · I. Vi betraktar ett l = 0 tillstånd
Kvantfysikens grunder, 2015
401
i elektronkonfigurationen. Man kan beteckna hyperfinsplittningen δEhf för ett S1/2 tillstånd och
via ett kärnmagnetiskt resonansexperiment bestämma resonansfrekvensen.
hνhf = δEhf ⇒ νhf =
δEhf
= 1, 420405751800GHz
h
Övergången kan beskrivas som en spinnflip där elektronen och protonen har parallella spinn i
utgångstillståndet och antiparallella i sluttillståndet.
Strålningen har våglängden 21 cm och observeras allmänt i kosmiska sammanhang. I själva verket
kan den användas för att kartlägga väte i galaxerna.
Kvantfysikens grunder, 2015
402
XIV.4. Experiment med NMR
Kärnmagnetisk resonans (NMR)används för att undersöka molekylens struktur. I NMRspektrometern har man ett permanent magnetiskt fält som produceras med en supraledande
magnet. Den ger fält upp till 2T. Sedan har man en radiofrekvenskälla, som matar in energi i
provet, som finns i en cylinder i magnetfältet.
Figur 106: En model av en NMR spektrometer.
Kvantfysikens grunder, 2015
403
XIV.5. Kemisk förskjutning
Det yttre magnetfältet påverkar elektronorbitalerna och inducerar därför ett litet tilläggsfält δB .
Då det inre fältet är beroende av det yttre skriver vi
δB = −σB0
σ = skärmningskonstanten.
δB är beroende av den lokala elektronmiljön, strukturen. Vi kan nu skriva det totala lokala fältet
som
Blokal = B0 + δB = (1 − σ)B0
Larmorfrekvensen, som i detta fall anger som ν =
νl =
Kvantfysikens grunder, 2015
ω
2π
blir
e
γ
(1 − σ)B0 =
(1 − σ)B0
4πme
2π
404
där
e
2me
= γ.
Resonansfrekvensen är olika för kärnor i olika omgivning och man brukar därför relatera frekvensen
till en standard ν ◦:
ν − ν◦
6
δ=
·
10
ν◦
Detta är den kemiska förskjutningen. Standarden är
106 anger att man arbetar i ppm-skalan.
13
(422)
C, men man använder också andra. Faktorn
Vi söker nu relationen mellan skärmningskonstanten σ och den kemiska förskjutningen δ :
(1 − σ)B0 − (1 − σ ◦)B0
σ◦ − σ
6
6
◦
6
δ=
·
10
=
≈
(σ
−
σ)
·
10
·
10
(1 − σ ◦)B0
1 − σ◦
Kvantfysikens grunder, 2015
405
XIV.6. Resonans för olika grupper av protoner
Figur 107: 1H-NMR spektret för etanol. Siffrorna står för vilken proton som ger upphov till
resonanstoppen. Den trappstegsliknande kurvan är den integrerade signalen.
Exempel: Etanol CH3CH2OH
Vi har vätekärnor (protoner) i tre olika omgivningar OH, CH2 och CH3. Dessa ger alla upphov till
Kvantfysikens grunder, 2015
406
olika kemiska förskjutningar. δ ≈ 1 för CH3, ≈ 3 för CH2 och ≈ 4 för OH (fig. 107). Ökande δ
betyder minskad skärmning (σ ). Detta överensstämmer med vår modell att syre-atomen drar åt sig
elektroner och protonen i OH - omgivningen blir mindre avskärmad.
Kvantfysikens grunder, 2015
407
XV. Kvantstatistik
Kvantfysikens grunder, 2015
408
XV.1. Termiska fördelningsfunktioner
I Maxwell-Boltzmann-statistiken definierar man partititionsfunktionen
Z=
X
e
−βi
,
β=
i
1
kT
där i är tillståndets energi. Antalet partiklar per tillstånd är
ni
=
=
N −βi
e
Z
1
eαeβi
(423)
P
P
där det totala antalet partiklar är N =
n
,
och
den
totala
energin
är
E
=
i i
i ni i . α är en
Lagrangefaktor (Lagrange multiplier) och har en fysikalisk betydelse. Den bedöms alltså efter den
fysikaliska situationen.
Kvantfysikens grunder, 2015
409
I Fermi-Dirac-statistik gäller
1
ni = α β +1
e e i
(424)
1
eαeβi−1
(425)
och i Bose-Einstein-statistik
ni =
Kvantfysikens grunder, 2015
410
XV.2. Fotonstatistik
Då fotoner (som är bosoner) relativt fritt emitteras och absorberas kan α sättas till noll. Man får
fördelningsfunktionen
nν =
Kvantfysikens grunder, 2015
1
eβhν − 1
(426)
411
XV.3. Fermi-Dirac-system vid låga temperaturer
Nu är α < 0. Vi inför fermienergin F (T ) och skriver α = −βF .
ni =
1
eβi+α + 1
=
1
eβ(i−F )
För T = 0 har vi en fördelning enligt figur 108 i boken. Upp till fermienergin finns det en partikel
per energitillstånd. Då temperaturen stiger kan några partiklar exciteras till högre energinivåer.
Kvantfysikens grunder, 2015
412
<
ni
<
<
T=0
T << TF
<
T >> TF
>
i
1
Figur 108: Distributionen ni = β( −
uppritad för tre olika temperaturer. Vid T = 0
i F ) +1
e
bildar kurvan en stegfunktion, där Fermienergin F är den högsta energinivån som är ockuperad.
Distributionen breder ut sig till högre energier, då temperaturen ökar.
Repetera vid behov kursen Termofysik.
Kvantfysikens grunder, 2015
413