1. No category

Reglerteknik I: F9
Tillståndsmodellens egenskaper och återkoppling
Dave Zachariah
Inst. Informationsteknologi, Avd. Systemteknik
1 / 14
F8: Frågestund
2 / 14
F8: Frågestund
1) Ett systems tillståndsbeskrivning är
a ej unik ↑
b unik ↑
c stabil ↓
2 / 14
F8: Frågestund
1) Ett systems tillståndsbeskrivning är
a ej unik ↑
b unik ↑
c stabil ↓
2) Systemmatrisen A:s egenvärden avslöjar något om
a poler ↑
b nollställen ↑
c slutna systemet ↓
2 / 14
F8: Frågestund
1) Ett systems tillståndsbeskrivning är
a ej unik ↑
b unik ↑
c stabil ↓
2) Systemmatrisen A:s egenvärden avslöjar något om
a poler ↑
b nollställen ↑
c slutna systemet ↓
3) Lösningen till tillståndsekvationen ẋ = Ax + Bu med
initialvillkor x0 fås via
a linjärt ekvationssystem ↑
b matrisexponentialfunktioner ↑
c Nyquistkurvan ↓
2 / 14
Olinjära system och tillstånd
De flesta system är olinjära!
Olinjära differentialekvationer:
ẋ = f (x, u)
y = h(x, u)
Linjärisera kring arbetspunkt x0 , u0 . Typiskt väljs en stationär
punkt: ẋ = f (x0 , u0 )=0
3 / 14
Olinjära system och tillstånd
Olinjära differentialekvationer:
ẋ = f (x, u)
y = h(x, u)
Taylorutveckling kring stationär punkt x0 , u0 med y0 = h(x0 , u0 )
ger linjär avvikelsemodel:
˙ = A∆x + B∆u
∆x
∆y = C∆x + D∆u
3 / 14
I
Linjär tillståndsbeskrivning av avvikelserna kring systemets
arbetspunkt
I
Matriserna A, B, C och D ges av derivatorna av f (x, u) och
h(x, u) med avseende på x och u. Se kap. 8.4
Reglering mha. tillståndsåterkoppling
Tillståndsbeskrivning av linjärt tidsinvariant system
ẋ = Ax + Bu
y = Cx
u
4 / 14
G
(sI − A)−1 B
x
C
y
Reglering mha. tillståndsåterkoppling
Tillståndsbeskrivning av linjärt tidsinvariant system
ẋ = Ax + Bu
y = Cx
u
4 / 14
(sI − A)−1 B
x
C
y
Reglering mha. tillståndsåterkoppling
Idé: Reglera mha. återkopplade tillstånd
u = −Lx + r̃
där r̃ är filtrerad referenssignal.
r̃
+
−
u
(sI − A)−1 B
L
4 / 14
x
C
y
Reglering mha. tillståndsåterkoppling
r̃
+
−
u
(sI − A)−1 B
x
C
y
L
Slutna systemet från r̃ till y blir:
ẋ = Ax + B (−Lx + r̃) = (A − BL)x + Br̃
y = Cx
Går det att
4 / 14
I
styra systemet till alla tillstånd x∗ i Rn ?
I
designa det slutna systemets poler?
I
(skatta tillståndet x(t)?)
Styrbarhet
Ett sökt tillstånd x∗ kallas styrbart om systemet kan gå från
x(0) = 0 till x(T ) = x∗ med nån insignal u(t)
x(t)
5 / 14
x∗
Styrbarhet
Med x0 = 0 är tillståndet vid t = T
Z T
At
x(T ) = e x0 +
eAτ Bu(T − τ )dτ
0
5 / 14
Styrbarhet
Med x0 = 0 är tillståndet vid t = T
Z T
eAτ Bu(T − τ )dτ
x(T ) =
0
= dvia Cayley-Hamiltons teoreme
= Bγ0 + ABγ1 + · · · + An−1 Bγn−1
I
x(T ) är alltså en linjärkombination av B, AB, . . . , An−1 B.
I
Ett tillstånd x∗ är alltså styrbart om det kan uttryckas som
sådant linjärkombination, dvs. x∗ finns i kolumnrummet till
S , [B AB · · · An−1 B]
5 / 14
Styrbarhet
x(T )
x∗
Figur: Exempel kolumnrummet till S och icke-styrbart tillstånd x∗ .
Styrbart system
Alla tillstånd x∗ är styrbara ⇔ S:s kolumner är linjärt oberoende
5 / 14
Notera: rank(S) = n eller det(S) 6= 0
Observerbarhet
Antag u(t) ≡ 0. Ett tillstånd x∗ 6= 0 kallas icke-observerbart om
systemets utsignal y(t) ≡ 0 när det startar med x(0) = x∗ .
y(t) = Cx(t)
t
x
6 / 14
∗
Observerbarhet
Med u(t) ≡ 0 har vi
y(t) = Cx(t)
= CeAt x∗ +0
När y(t) ≡ 0 ser vi inga förändringar:
dk
y(t)
= CAk x∗ =0
k
dt
t=0
dvs.
Cx∗ = 0,
6 / 14
CAx∗ = 0,
...,
CAn−1 x∗ = 0
Observerbarhet
När u(t) ≡ 0 och y(t) ≡ 0 ser vi inga förändringar:
Cx∗ = 0,
CAx∗ = 0,
...,
CAn−1 x∗ = 0
eller
Ox∗ = 0
där

C
CA
..
.





O,



n−1
CA
I
6 / 14
Ett tillstånd x∗ 6= 0 är alltså icke-observerbart om det finns i
nollrummet till O.
Observerbarhet
y(t) = Cx(t)
t
x
∗
Figur: Exempel nollrummet till O och icke-observerbart tillstånd x∗ .
Observerbart system
Alla tillstånd x∗ är observerbara ⇔ O:s kolumner är linjärt
oberoende
6 / 14
Notera: rank(O) = n eller det(O) 6= 0
Bygg intuition från enkla system
Exempel: styrbart system
Ett system (på styrbar kanonisk form ⇒ styrbart)
−2 −1
1
ẋ(t) =
x(t) +
u(t)
1
0
0
y(t) = 1 1 x(t)
Överföringsfunktionen är
G(s) = C(sI − A)−1 B =
s+1
s+1
1
=
=
s2 + 2s + 1
(s + 1)2
s+1
[Tavla: undersök observerbarhetsmatrisen O]
7 / 14
Bygg intuition från enkla system
Exempel: styrbart system
Ett system (på styrbar kanonisk form ⇒ styrbart)
−2 −1
1
ẋ(t) =
x(t) +
u(t)
1
0
0
y(t) = 1 1 x(t)
Överföringsfunktionen är
G(s) = C(sI − A)−1 B =
s+1
s+1
1
=
=
s2 + 2s + 1
(s + 1)2
s+1
[Tavla: undersök observerbarhetsmatrisen O]
1
1
O=
⇒ det O = 0 ⇔ icke observerbart
−1 −1
7 / 14
Bygg intuition från enkla system
Exempel: observerbart system
Ett system (på observerbar kanonisk form ⇒ observerbart)
−2 1
1
ẋ(t) =
x(t) +
u(t)
−1 0
1
y(t) = 1 0 x(t)
Överföringsfunktionen är
G(s) = C(sI − A)−1 B =
s2
s+1
1
s+1
=
=
2
+ 2s + 1
(s + 1)
s+1
[Tavla: undersök styrbarhetsmatrisen S]
8 / 14
Bygg intuition från enkla system
Exempel: observerbart system
Ett system (på observerbar kanonisk form ⇒ observerbart)
−2 1
1
ẋ(t) =
x(t) +
u(t)
−1 0
1
y(t) = 1 0 x(t)
Överföringsfunktionen är
G(s) = C(sI − A)−1 B =
s2
s+1
1
s+1
=
=
2
+ 2s + 1
(s + 1)
s+1
[Tavla: undersök styrbarhetsmatrisen S]
1 −1
S=
⇒ det S = 0 ⇔ icke styrbart
1 −1
8 / 14
Bygg intuition från enkla system
Exempel: styrbart och observerbart system
Systemen i tidigare exempel har båda överföringsfunktionen
G(s) =
1
.
s+1
Kan också beskrivas på tillståndsform
ẋ(t) = −x(t) + u(t),
y(t) = x(t).
där x(t) är en skalär.
[Tavla: undersök S och O]
9 / 14
Bygg intuition från enkla system
Exempel: styrbart och observerbart system
Systemen i tidigare exempel har båda överföringsfunktionen
G(s) =
1
.
s+1
Kan också beskrivas på tillståndsform
ẋ(t) = −x(t) + u(t),
y(t) = x(t).
där x(t) är en skalär.
[Tavla: undersök S och O]
S=1
O=1
⇒
det S = 1
det O = 1
⇔
styrbart och observerbart
Notera: vi eliminerade ”osynliga tillstånd”
9 / 14
(1)
Minimal realisation
System med överföringsfunktion G(s) och tillståndsbeskrivning
ẋ = Ax + Bu
y = Cx
u
(sI − A)−1 B
x
C
y
Definition 8.2
Tillståndsbeskrivning av givet G(s) är en minimal realisation om x
har lägsta möjliga dimension.
10 / 14
Minimal realisation
System med överföringsfunktion G(s) och tillståndsbeskrivning
ẋ = Ax + Bu
y = Cx
u
(sI − A)−1 B
x
C
y
Definition 8.2
Tillståndsbeskrivning av givet G(s) är en minimal realisation om x
har lägsta möjliga dimension.
Resultat 8.11(+8.12)
10 / 14
En tillståndsbeskrivning är en minimal realisation ⇔ styrbar och
observerbar ⇔ A:s egenvärden = G(s):s poler
Reglering mha. tillståndsåterkoppling
Tillståndsmodell med regulator u = −Lx + r̃ där
L = `1 `2 · · · `n
ger slutet system
ẋ = (A − BL)x + Br̃
y = Cx
11 / 14
Reglering mha. tillståndsåterkoppling
Tillståndsmodell med regulator u = −Lx + r̃ där
L = `1 `2 · · · `n
ger slutet system
ẋ = (A − BL)x + Br̃
y = Cx
dvs. Y (s) = Gc (s)R̃(s) där
Gc (s) = C(sI − A + BL)−1 B
11 / 14
Reglering mha. tillståndsåterkoppling
Tillståndsmodell med regulator u = −Lx + r̃ där
L = `1 `2 · · · `n
ger slutet system
ẋ = (A − BL)x + Br̃
y = Cx
dvs. Y (s) = Gc (s)R̃(s) där
Gc (s) = C(sI − A + BL)−1 B
Egenvärden/poler ges av polynomekvation
det(sI − A + BL) = 0
som vi kan designa via L!
11 / 14
Bygg intuition från enkla2 system
Exempel: Tillståndsvektor i rymden R
y
u
Figur: Kraft u(t) och position y(t).
Tillståndsbeskrivning:
0
1
0
ẋ =
x+
u
−k/m 0
1/m
y= 1 0 x
[Tavla: designa L så att slutna systemet har poler -2 och -3]
12 / 14
Polplacering
Reglering mha. tillståndsåterkoppling
r̃
+
−
u
(sI − A)−1 B
x
C
y
L
Resultat 9.1
Tillståndsbeskrivningen är styrbar ⇔ L kan väljas så att det slutna
systemet får godtyckligt placerade poler (reella och
komplexkonjugerade)
13 / 14
Polplacering
Reglering mha. tillståndsåterkoppling
r̃
+
−
u
(sI − A)−1 B
x
C
y
L
Resultat 9.1
Tillståndsbeskrivningen är styrbar ⇔ L kan väljas så att det slutna
systemet får godtyckligt placerade poler (reella och
komplexkonjugerade)
I
I
13 / 14
L löses ur polynom det(sI − A + BL) = 0 med önskade rötter
L extra enkelt att lösa för system på styrbar kanonisk form
Polplacering
Reglering mha. tillståndsåterkoppling
r̃
+
−
u
(sI − A)−1 B
x
C
y
L
Resultat 9.1
Tillståndsbeskrivningen är styrbar ⇔ L kan väljas så att det slutna
systemet får godtyckligt placerade poler (reella och
komplexkonjugerade)
I
13 / 14
L löses ur polynom det(sI − A + BL) = 0 med önskade rötter
I
L extra enkelt att lösa för system på styrbar kanonisk form
I
Vad gör vi om x inte kan mätas direkt?
Återblick
I
I
Linjärisering av olinjära systemmodeller
Egenskaper
I
I
I
14 / 14
Styrbarhet
Observerbarhet
Minimal realisation
I
Tillståndsåterkoppling
I
Polplacering i slutna systemet