Avd. Matematisk statistik
TENTAMEN I SF1904 MARKOVPROCESSER TISDAGEN DEN 9 JUNI 2015 KL 14.00–19.00.
Examinator : Boualem Djehiche tel. 790 78 75.
Tillåtna hjälpmedel : Formel- och tabellsamling i Matematisk statistik, Mathematics Handbook
(Beta), räknare.
Införda beteckningar skall förklaras och definieras. Resonemang och uträkningar skall vara så
utförliga och väl motiverade att de är lätta att följa. Numeriska svar skall anges med minst två
siffrors noggrannhet. Tentamen består av 5 uppgifter. Varje korrekt lösning ger 10 poäng. Gränsen
för godkänt är preliminärt 20 poäng. Möjlighet att komplettera ges för tentander med 18–19 poäng.
Tid och plats för komplettering kommer att anges på kursens hemsida. Det ankommer på dig själv
att ta reda på om du har rätt att komplettera.
Tentamen kommer att vara rättad inom tre arbetsveckor från skrivningstillfället och kommer att
finnas tillgänglig på studentexpeditionen minst sju veckor efter skrivningstillfället.
Uppgift 1
I en lägenhet finns fyra rum (hallen, köket, vardagsrummet och sovrummet). En person kommer
in i lägenheten i hallen och kan därifrån röra sig enligt Figur 1. Personen rör sig nu slumpmässigt
i lägenheten, om personen går utomhus kommer den inte in igen och om personen når sovrummet
somnar personen där och rör sig inte längre.
a) Motivera att personens läge beskriver en Markovkedja, beskriv systemet och ställ upp
övergångsmatrisen.
(2 p)
b) Vad är sannolikheten att personen somnar i lägenheten?
(4 p)
c) Hur många gånger förväntas personen byta rum?
(4 p)
U
H
S
K
V
Figur 1: Schema över hur rummen hänger ihop i lägenheten i Uppgift 1.
2
forts tentamen i SF1904 (f d SF1831) 15–06–09
Uppgift 2
En maskin består av tre parallellkopplade komponenter och maskinen fungerar när minst en av de
fungerar. Komponenterna går sönder oberoende av varandra med intensitet 0.25, man har tillgång
till två reperatörer som kan jobba på varsin komponent men ej båda på samma. Reparationstiden
för en komponent är exponentialfördelad med väntevärde 1.
Beräkna sannolikheten att maskinen fungerar efter lång tid.
(10 p)
Uppgift 3
En Markovprocess, X(t), t ≥ 0 med tillståndsrum E = {1, 2, 3} har följande intensitetsmatris


−5 4
1
Q =  0 −2 2 
5
5 −10
Antag att processen befinner sig i stationärt tillstånd.
a) Om processen befinner sig i tillstånd 2, vad är sannolikheten att processen kom från tillstånd
1?
(7 p)
b) Hur många hopp förväntas kedjan göra mellan två besök i tillstånd 3?
(3 p)
Uppgift 4
Till en tunnel anländer bilar enligt en Poissonprocess med intensitet λ = 1 bilar/minut, dessa
bilar kör med hastigheten 60 km/h. I tunneln finns två utgångar, till den första är det 2 km och
till den andra 4 km. En bil som kommer in i tunneln ska till första utgången med sannolikhet 3/4
och till den andra utgången med sannolikhet 1/4 oberoende av var de andra bilarna åker.
Vad är sannolikheten att tunneln är tom?
(10 p)
Uppgift 5
Ett kö-system består av två köer. Kunder anländer utifrån med intensistet 4 till den första kön,
när de kommit igenom den första kön slussas de vidare till den andra med sannolikhet 0.5 och med
sannolikhet 0.5 lämnar de systemet. Till den andra kön anländer ingen utifrån, men när en kund
har blivit betjänad ställer de sig i den andra kön igen med sannolikhet 0.4 och lämnar systemet
med sannolikhet 0.6.
Det finns totalt tre betjänare som ska placeras ut mellan dessa två köer. Hur ska de placeras för
att ha så få personer i systemet som möjligt efter lång tid. Betjäningen av en kund är exponentialfördelad med intensitet 10 i första kön och intensitet 4 i andra kön.
(10 p)
Avd. Matematisk statistik
LÖSNINGAR TILL
TENTAMEN I SF1904 MARKOVPROCESSER
TISDAGEN DEN 9 JUNI 2015 KL 14.00–19.00
Uppgift 1
a) Personen rör sig slumpmässigt mellan rummen och nästa position beror endast på den nuvarande. Alltså uppfylls Markovegenskapen. Texten ger följande övergångsmatris med tillståndsrum
E = {U, H, K, V, S}


1
0
0
0
0
1/3 0 1/3 1/3 0 



P=
 0 1/2 0 1/2 0 
 0 1/3 1/3 0 1/3
0
0
0
0
1
med startvektor p(0) = (0, 1, 0, 0, 0)
b) Vi har en A-kedja och söker sannolikheten att vi absorberas i sovrummet. Vi söker, med
beteckningar enligt boken, sannolikheten aHS som ges av följande ekvationssystem
1
1
aHS = aKS + aV S
3
3
1
1
aKS = aHS + aV S
2
2
1 1
1
aV S = + aHS + aKS .
3 3
3
Vilket har lösningen aHS = 3/8
c) Vi söker nu föväntad tid till absorption givet start i tillstånd H med beteckningar enligt boken
söker vi tH som beräknas enligt följande ekvationssystem
1
tH = 1 + tK +
3
1
tK = 1 + tH +
2
1
tV = 1 + tH +
3
Vilket har lösningen tH = 4.
1
tV
3
1
tV
2
1
tK .
3
2
forts tentamen i SF1904 (f d SF1831) 15–06–09
Uppgift 2
Vi inför tillståndsrummet E = {0, 1, 2, 3} som antalet trasiga komponenter, vi beskriver systemet
med följande övergångsgraf
0.75
0
0.5
0.25
1
1
2
3
2
2
Vi har en irreducibel och ändligt Markovkedja den är ergodisk och den asymptotiska fördelningen π
existerar och uppfyller πQ = 0 där Q är intensitetsmatrisen. Den stationär fördelningen beräknas
till
128 96 24 3
,
,
,
,
π=
251 251 251 251
den i uppgiften sökta sannolikheten är 1 −
3
251
=
248
251
≈ 0.988.
Uppgift 3
I uppgiften är vi endast intresserade av de hopp som Markovprocessen gör, därför studeras endast
den inbäddade Markovkedjan. Den har övergångsmatris
 4 1
0 5 5

P̃ = 0 0 1 
1
1
0
2
2
a) Vi är intresserade av följande sannolikhet P(X̃n−1 = 1 | X̃n = 2), med Bayes sats får vi följande
uttryck för den sökta sannolikheten
P(X̃n−1 = 1 | X̃n = 2) =
P(X̃n = 2 | X̃n−1 = 1)P(X̃n−1 = 1)
π̃1
= p̃12
π̃2
P(X̃n = 2)
där π̃ är den stationära fördelningen för den inbäddade Markovkedjan. Vi observerar att den
inbäddade Markovkedjan är irreducibel, ändlig och aperiodisk vilket betyder att den
asympto5 9 10
tiska fördelningen existerar och ges av π̃ P̃ = π̃ vilket har lösningen π = 24
, 24 , 24 . Den sökta
sannolikheten blir nu 54 95 = 49
b) Antalet hopp mellan två besök i tillstånd 3 ges av
1
π̃3
=
12
5
Uppgift 4
Vi delar upp flödet av bilar i två Poisson-processer, N1 (t) och N2 (t) där N1 (t) är de som ska
till första utgången och N2 (t) är de som ska till andra utgången. Från uttunningen av Poissonprocessen har vi att N1 (t) är en Poissonprocess med intensitet λ1 = 3/4 och N2 (t) är en Poissonprocess med intensitet λ2 = 1/4. Det tar bilarna 2 minuter till första utgången och 4 minuter till
andra.
Låt X1 vara antalet bilar i tunneln vid ett givet tillfäller som ska till första utgången och X2 vara
antalet bilar i tunneln som ska till andra utgången. Från Poisson-processen fås nu att X1 ∈ P o(2λ1 )
och X2 ∈ P o(4λ2 ). Den sökta sannolikheten ges av
P(tunneln är tom) = P(X1 = 0 ∪ X2 = 0) = P(X1 = 0)P(X2 = 0) = e−2λ1 e−4λ2 .
3
forts tentamen i SF1904 (f d SF1831) 15–06–09
Sannolikheten att tunneln är tom = e−1/2 e−1 ≈ 0.0821
Uppgift 5
Vi har ett Jacksonnätverk som beskrivs av följande graf
0.4
λin
kö 1
0.5
kö 2
0.6
0.5
I kö 1 är betjäningsintensiteten µ1 = 10 och i kö 2 är betjäningsintensiteten µ2 = 4. Vi har också
3 betjänare att placera ut mellan de två köerna. Vi måste placera minst 1 i varje kö vilket betyder
att vi antingen kan ha två i första kön eller två i andra kön.
Vi börjar med att lösa systemet av ekvationer som ger ankomstintensiteterna till båda köerna.
Systemet ges av ekvationerna
Λ1 = λ1
Λ2 = 0.5Λ1 + 0.4Λ2 ,
vilket löses av Λ1 = 4 och Λ2 = 20/6. De två köerna kan nu ses som oberoende M/M/c köer. För
en M/M/c kö ges förväntat antal personer i systemet av
(
ρ
om c = 1
1−ρ
`=
2ρ
om c = 2,
1−ρ2
λ
där ρ = cµ
. Vi beräknar helt enkelt summan av förväntade antalet personer i varje kö för de två
möjligheterna.
5
Om c1 = 2 och c2 = 1 får vi att `1 = 12
och `2 = 5 med förväntat antal personer i systemet
ungefär 5.42. Om vi istället har c1 = 1 och c2 = 2 får vi `1 = 32 och `2 = 120
förväntat antal
119
personer i systemet blir då ungefär 1.68. Vi finner att det är bäst att ha c1 = 1 och c2 = 2.