1. No category

Diskreta stokastiska variabler
Om N är en diskret, icke-negativ stokastisk variabel så är:
pk = P (N = k)
E(N ) =
∞
X
kpk (medelvärdet av N )
k=0
∞
X
E(N 2 ) =
k 2 pk (andramomentet av N )
k=0
V (N ) = E(N 2 ) − E(N )2 (variansen av N )
Kontinuerliga stokastiska variabler
Om X är en icke-negativ kontinuerlig stokastisk variabel så är:
FX (t) = P (X ≤ t) (fördelningsfunktionen för X)
dFX (t)
(frekvensfunktionen för X)
dt
Z ∞
tfX (t)dt (medelvärdet av X)
E(X) =
fX (t) =
E(X 2 ) =
Z
0
∞
t2 fX (t)dt (andramomentet av X)
0
V (X) = E(X 2 ) − E(X)2 (variansen av X)
Betingad sannolikhet
P (A|B) =
P (A) =
X
P (A och B)
P (B)
P (A|Bk )P (Bk ) (total sannolikhet)
k
N och M är diskreta och X och Y är kontinuerliga stokastiska variabler:
P (N = k) =
∞
X
P (N = k|M = i)P (M = i)
i=0
∞
Z
P (N = k) =
P (N = k|X = t)fX (t)dt
0
fX (t) =
∞
X
fX (t|N = i)P (N = i)
i=0
Z
fX (t) =
∞
fX (t|Y = y)fY (y)dy
0
1
Några speciella funktioner
Aritmetisk summa:
an = an−1 + h om n > 1
n
sn = a1 + a2 + . . . + an = (a1 + an )
2
Om r 6= 1 så är:
n
X
ri =
i=0
Binomialsatsen:
1 − rn+1
1−r
n X
n
(a + b) =
ak bn−k
k
n
0
Några oändliga summor:
∞
X
ak
k=0
∞
X
ak =
k=0
∞
X
kak−1 =
k=0
Integraler:
Z
k!
= ea
1
om |a| < 1
1−a
1
om |a| < 1
(1 − a)2
∞
k!
k+1
a
0
Z
Z
f (x)g(x)dx = F (x)g(x) − F (x)g 0 (x)dx
tk e−at dt =
z-transformen
Om N är en icke-negativ, diskret stokastisk variabel så har den z-transformen PN (z) som
definieras på följande sätt:
PN (z) =
∞
X
z k pk (definitionen av z-transform)
k=0
E(N ) = lim PN0 (z) (medelvärdet med z-transform)
z→1
E(N 2 ) = lim PN00 (z) + E(N ) (andramomentet med z-transform)
z→1
Om N och M är oberoende diskreta stokastiska variabler så är
PN +M (z) = PN (z) · PM (z)
Några z-transformer
Antag att fn där n ≥ 0 är en talflöljd. Då gäller:
Talföljd
z-transform
fn
P∞
Aαn
A
1−αz
nαn
αz
(1−αz)2
n2 α n
αz(1−αz
(1−αz)3
n=0
fn z n
2
Laplacetransformen
Om X är en icke-negativ stokastisk variabel med frekvensfunktionen fX (t) så är dess Laplacetransform
Z ∞
∗
FX
(s) =
e−st fX (t)dt
0
Några egenskaper hos Laplacetransformen:
∗
lim FX
(s) = 1
s→0
∗
dFX
(s)
(medelvärdet med Laplacetransform)
s→0
ds
∗
d2 FX
(s)
(andramomentet med Laplacetransform)
E(X 2 ) = lim
s→0
ds2
Om X och Y är oberoende stokastiska variabler så gäller att
E(X) = − lim
∗
∗
FX+Y
(s) = FX
(s) · FY∗ (s)
Några Laplacetransformer
f (t) är en funktion som är = 0 då t < 0.
Funktion
Laplace-transform
f (t)
F ∗ (s) =
δ(t) (dirac)
1
δ(t − a) (dirac)
e−as
Ae−at
A
s+a
te−at
1
(s+a)2
tn e−at
n!
(s+a)n+1
R∞
0
e−st f (t)dt
Köteori, beteckningar och allmänna samband
λ=
1
= E(antal ankomster per tidsenhet)
E(tiden mellan ankomster)
λ är medelvärdet av antal ankomster per tidsenhet när man mäter under en mycket lång
tidsperiod.
λeff = E(antal som kommer in i kösystemet per tidsenhet)
λ − λeff
λ
Om N är antalet kunder i ett system (i jämvikt) och T är tiden i systemet för en kund så
gäller
E(N ) = λeff · E(T ) (Littles sats)
P (spärr) =
Om S är en betjäningstid så används ofta beteckningen
µ=
1
E(S)
µ är medelantal kunder som betjänas per tidsenhet av en betjänare om det alltid finns kunder
att betjäna.
Ofta används beteckningen
λ
ρ=
µ
3
Markovska köer
Om Markovkedjan befinner sig i tillstånd k betyder det oftast (men inte alltid!) att det finns
k kunder i systemet. Problem löses oftast enligt följande mall:
1. Rita kösystemets Markovkedja.
2. Hitta sannolikheten att Markovkedjan är i tillstånd k med snittmetoden, flöde-in-flöde
ut eller 0 = pQ.
3. Räkna ut det som är av intresse utgående från sannolikheterna.
Vi inför
pk = P (Markovkedjan är i tillstånd k)
λk = ankomstintensiteten i tillstånd k
S = mängden av alla tillstånd där det är spärr
A = mängden av alla tillstånd där det inte är spärr
Då gäller
λ=
X
λk pk
k∈A∪S
λeff =
X
λk pk
k∈A
P
λ − λeff
k∈S λk pk
P
=
P (spärr) =
λ
k∈A∪S λk pk
Om λk = λ för alla k så får man specialfallet
P
P
X
k∈S λpk
k∈S pk
P
P
P (spärr) =
=
=
pk
k∈A∪S λpk
k∈A∪S pk
k∈S
M/M/1
E(N ) =
ρ
1−ρ
Erlangsystem
ρm /m!
P (spärr) = Em (ρ) = Pm i
i=0 ρ /i!
Det finns tabeller över Em (ρ). Man kan också använda rekursionsformeln
Em (ρ) =
ρEm−1 (ρ)
där E0 (ρ) = 1
m + ρEm−1 (ρ)
M/G/1-köer
E(N ) = ρ +
4
λ2 E(X 2 )
2(1 − ρ)