1. No category

Kurskod: TAMS28
Provkod: TEN1
MATEMATISK STATISTIK
21 August 2015, 8:00-12:00
Examiner: Xiangfeng Yang (Tel: 070 2234765). Please answer in ENGLISH if you can.
a. You are allowed to use a calculator, the formula and table collection edited by MAI.
b. Scores rating: 8-11 points giving rate 3; 11.5-14.5 points giving rate 4; 15-18 points giving rate 5.
English Version
1
(3 points)
Assume
 that
 X1 , X2 and X3 are independent standard normal random variables N (0, 1). The random vector
Y1
Y = Y2  is defined as
Y3
Y1 = X1 + X2 ,
Y2 = X1 + X3 ,
Y3 = X2 + X3 .
(1.1). (2p) Determine the mean vector and the covariance matrix for Y
(1.2). (1p) Find P (2Y1 > Y2 + 2).
Solution. (1.1). It is known that


X1
X = X2  ,
X3
µX
Thus for Y = AX with
 
0
= 0 ,
0

1
A = 1
0
we have
µY = AµY
 
0
= 0 ,
0
CY
1
0
1
CX

1
= 0
0

0
0 .
1
0
1
0

0
1 ,
1

2
= ACY AT = 1
1
1
2
1

1
1 .
2
(1.2).
P (2Y1 > Y2 + 2) = P (2X1 + 2X2 > X1 + X3 + 2) = P (X1 + 2X2 − X3 > 2)
√
√
= P (N (0, 6) > 2) = P (N (0, 1) > 2/ 6) = 1 − 0.7939 = 0.2061.
2
(3 points)
Let A and B be independent events and
P (A) = 0.1,
(2.1). (1p) Find P (A ∩ B).
(2.2). (1p) Find P (A ∪ B).
(2.3). (1p) Find P (A | A ∪ B).
Page 1/4
P (B) = 0.2.
Solution. (2.1).
P (A ∩ B) = P (A) · P (B) = 0.1 · 0.2 = 0.02.
(2.2).
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) = 0.1 + 0.2 − 0.02 = 0.28.
(2.3).
P (A | A ∪ B) =
3
P (A)
0.1
P (A ∩ (A ∪ B))
=
=
= 0.357.
A∪B
P (A ∪ B)
0.28
(3 points)
The random variable X takes values 0, 1, 2, 3. One did 4096 independent observations of X and got
Observation
Antal
0
1764
1
1692
2
552
3
88
Test the hypothesis with a significance level 1% that X is a Binomial distribution Bin(3, 41 ).
Solution.
p1 = P (Bin(3,
TS =
1
) = 0) = 27/64,
4
4
X
(Ni − npi )2
i=1
npi
= 11.5,
......,
p4 = P (Bin(3,
1
) = 3) = 1/64.
4
C = (χ2α (4 − 1), +∞) = (11.35, +∞).
Since T S ∈ C, reject H0 , namely, it is not Binomial distribution Bin(3, 41 ).
4
(3 points)
The weight (unit: gram) of a random aspirin tablet is a random variable with the mean 0.65 and the standard deviation
0.02.
(4.1). (1p) Find the mean and the standard deviation of the total weight of 100 tablets (whose weights are assumed to
be independent).
(4.2). (2p) Use the central limit theorem to find the probability that the total weight of 100 tablets is at most 65.3 g.
Solution. (4.1).
E(X1 + . . . + X100 ) = E(X1 ) + . . . + E(X100 ) = 0.65 · 100 = 65.
V (X1 + . . . + X100 ) = V (X1 ) + . . . + V (X100 ) = 0.022 · 100 = 0.04.
p
√
Thus the standard deviation is V (X1 + . . . + X100 ) = 0.04 = 0.2.
(4.2).
0.653 − 0.65
X̄ − µ
√
P (X1 + . . . + X100 ≤ 65.3) = P ( √ ≤
) = P (N (0, 1) ≤ 1.5) = 0.9332.
σ/ n
0.02/ 100
Page 2/4
5
(3 points)
The surface roughness was determined for four different materials used for encapsulation. Results are:
Material
Type 1
Type 2
Type 3
Type 4
surface
0.50
0.31
0.20
0.10
roughness
0.55
0.55
0.07
0.25
0.28
0.12
0.16
0.36
0.18
0.56
0.20
x̄i
0.4900
0.2617
0.2000
0.1300
si
0.0898
0.1665
0.0800
0.0424
Assume that these four samples are from independent normal distributions N (µi , σi ), i = 1, 2, 3, 4.
(5.1). (1p) Construct a 95% confidence interval for σ2 .
(5.2). (1p) If we assume σ1 = σ4 , construct a 95% confidence interval for µ1 − µ4 .
(5.3). (1p) If we assume that σ3 = 0.1 and σ4 = 0.05, test the hypotheses with a level α = 0.05 :
H0 : µ3 = µ4 ,
H1 : µ3 > µ4 .
Solution. (5.1).
Iσ22 =
(n2 − 1)s22
,
χ2α/2 (n2 − 1)
Thus
(n2 − 1)s22
2
χ1−α/2 (n2 − 1)
!
=
5 · 0.16652
,
12.84
5 · 0.16652
0.83
= (0.011, 0.167).
√
√
Iσ2 = ( 0.011, 0.167) = (0.105, 0.409).
(5.2).
r
Iµ1 −µ4 = (x̄1 − x̄4 ) ∓ tα/2 (n1 + n4 − 2) · s ·
where
s2 =
1
1
+
= (0.165, 0.555)
n1
n4
(n1 − 1)s21 + (n4 − 1)s24
= 0.0065.
n1 + n4 − 2
(5.3).
TS =
(x̄3 − x̄4 ) − 0
q 2
= 1.034,
σ42
σ3
+
n3
n4
C = (zα , +∞) = (1.645, +∞).
Since T C ∈
/ C, don’t reject H0 .
6
(3 points)
The random variable X is Rayleigh-distributed if it has a probability density function
fX (x) =
x − x2
· e 2a ,
a
for x ≥ 0,
where a is an unknown positive parameter. One has a sample {x1 , . . . , xn } from this distribution.
(6.1). (1.5p) Find a point estimate âM L of a using Maximum Likelihood-method.
(6.2). (1.5p) Find a point estimate âM M of a using method of moments.
Solution. (6.1).
L(a) =
xn − x2n
x1 . . . xn − x21 +...+x2n
x1 − x21
2a
.
· e 2a · . . . ·
· e 2a =
·e
a
a
an
ln L(a) = ln(x1 . . . xn ) − n ln(a) −
x21 + . . . + x2n
.
2a
Thus 0 = ln0 L(a) gives
−n/a +
x21 + . . . + x2n
= 0.
2a2
We can then solve for a and obtain
âM L =
x21 + . . . + x2n
.
2n
Page 3/4
The second derivative test can prove that this is indeed a maximum.
(6.2).
Z ∞
p
2
x
x · · e−x /(2a) dx = ... = πa/2.
E(X) =
a
0
It now follows from E(X) = x̄ that âM M = 2x̄2 /π.
Page 4/4
Kurskod: TAMS28
Provkod: TEN1
MATEMATISK STATISTIK
21 augusti 2015, kl. 8-12
Examinator: Xiangfeng Yang (Tel: 070 2234765). Vänligen svara på ENGELSKA om du kan.
a. Tillåtna hjälpmedel är en räknare, formel -och tabellsamling utgiven av MAI.
b. Betygsgränser: 8-11 poäng ger betyg 3; 11.5-14.5 poäng ger betyg 4; 15-18 poäng ger betyg 5.
Svensk version
1
(3 poäng)
 
Y1
Antag att X1 , X2 och X3 är oberoende standard normalfördelad N (0, 1). Den stokastiska variabeln Y = Y2  är
Y3
Y1 = X1 + X2 ,
Y2 = X1 + X3 ,
Y3 = X2 + X3 .
(1.1). (2p) Bestäm väntevärdesmatris och kovariansmatris för Y
(1.2). (1p) Beräkna P (2Y1 > Y2 + 2).
2
(3 poäng)
Låt A och B vara oberoende händelser och
P (A) = 0.1,
P (B) = 0.2.
(2.1). (1p) Beräkna P (A ∩ B).
(2.2). (1p) Beräkna P (A ∪ B).
(2.3). (1p) Beräkna P (A | A ∪ B).
3
(3 poäng)
Den s.v. X antar värdena 0, 1, 2, 3. Man gjorde 4096 oberoende observationer av X och fick
Observation
Antal
0
1764
1
1692
2
552
3
88
Pröva på signifikansnivån 1% hypotesen att X är Binomial fördelning Bin(3, 14 ).
4
(3 poäng)
Vikten (enhet: gram) av en slumpmässigt vald magnecyltablett är en s.v. med väntevärdet 0.65 och standardavvikelsen
0.02.
(4.1). (1p) Beräkna väntevärdet och standardavvikelsen för sammanlagda vikten av 100 magnecyltabletter (vars vikter
antas oberoende).
(4.2). (2p) Beräkna med hjälp av centrala gränsvärdessatsen sannolikheten att 100 magnecyltabletter väger högst 65.3 g.
5
(3 poäng)
Ytojämnheten har bestämts fär fyra olika material som används för inkapsling . Resultat är:
Page 1/2
Material
Typ 1
Typ 2
Typ 3
Typ 4
Ytojämnhet
0.50
0.55
0.31
0.07
0.20
0.28
0.10
0.16
0.55
0.25
0.12
0.36
0.18
0.56
0.20
x̄i
0.4900
0.2617
0.2000
0.1300
si
0.0898
0.1665
0.0800
0.0424
Anta att datamaterialet härrör från oberoende normalfördelning N (µi , σi ), i = 1, 2, 3, 4.
(5.1). (1p) konstruera ett 95% konfidensintervall för σ2 .
(5.2). (1p) Om vi antar att σ1 = σ4 , konstruera ett 95% konfidensintervall för µ1 − µ4 .
(5.3). (1p) Om vi antar att σ3 = 0.1 och σ4 = 0.05, pröva på nivån α = 0.05 :
H0 : µ3 = µ4 ,
6
H1 : µ3 > µ4 .
(3 poäng)
Den s.v. X ä Rayleigh-fördelad med täthetsfunktionen
fX (x) =
x − x2
· e 2a ,
a
för x ≥ 0,
där a är okänd positiv parameter. Man har ett stickprov {x1 , . . . , xn } från denna fördelning.
(6.1). (1.5p) Hitta en punktskattning âM L av a genom att använda Maximum Likelihood-metoden.
(6.2). (1.5p) Hitta en punktskattning âM M av a genom att använda momentmetoden.
Page 2/2