Försättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings universitet Datum för tentamen 2015-04-10 Sal (1) TER2 Tid 8-12 TFYA12 TEN1 Termodynamik och statistisk mekanik Skriftlig examination IFM Kurskod Provkod Kursnamn/benämning Provnamn/benämning Institution Antal uppgifter som ingår i tentamen Jour/Kursansvarig Ange vem som besöker salen Telefon under skrivtiden Besöker salen ca klockan 5 Peter Münger 013 - 28 5797 9:30 och 11:00 Lena Wide Kursadministratör/kontaktperson 013 - 28 1229 (namn + tfnr + mailaddress) [email protected] Physics Handbook; Carl Nordling, Jonny Österman Räknedosa (tömd på program och annan information) Tillåtna hjälpmedel Formelblad (utgörs av de sista bladet på tentan) Matematiska tabeller, tex Beta, behövs dock ej Betyg: 8-11 poäng 3, 12-15 poäng 4, 16-20 poäng 5 Övrigt Antal exemplar i påsen Lösningar anslås på anslagstavlan utanför kursexpeditionen i fysikhuset och på kurshemsidan: http://cms.ifm.liu.se/edu/coursescms/TFYA12 1. Två lika fasta kroppar, av samma material och storlek, har värmekapaciteter vid konstant volym som varierar linjärt med absoluta temperaturen T angiven i Kelvin, dvs CV = bT där b är en (positiv) konstant med enheten [J/K2 ]. Kropparnas begynnelsetemperaturer är T` = 300 K respektive Th = 350 K. (a) Kropparna sätts i termisk kontakt med varandra. Beräkna deras gemensamma jämviktstemperatur. (2p) (b) Beräkna entropiändringen för båda kropparna sammantaget. (2p) 2. Clausius Clapeyrons ekvation beskriver hur kokpunkten för en vätska beror av trycket. Beräkna ett approximativt värde på kokpunkten för vatten om vi befinner oss i en gruva där trycket är 5 % högre än normalt atomsfärstryck, dvs 1,05 atm. Vid beräkningen av ∆v, som anger skillnaden i specifik volym (volym per molekyl), mellan gas- och vätskefas är det tilllåtet att betrakta vattenångan som en ideal gas samt att försumma vätskefasens specifika volym vid sidan av gasfasens. Ångbildningsvärmet (heat of vaporisation) för vatten är 2300 J/g i det aktuella temperatur- och tryckintervallet. Observera att det L som finns i Clausius Clapeyrons ekvation anger ångbildningsvärme per molekyl. (4p) 3. I förbränningscykler av olika slag är gasexplosioner i kolvar av central betydelse, så vi undersöker en sådan i detalj. T0 A m a b c N kB T0 m a b c A γ = = = = = = = = 1,00 J/K 300 K 1,62 kg 15,0 · 10−2 m 3,00 · 10−2 m 43,0 · 10−2 m 2,00 · 10−2 m2 Cp /CV = 7/5 En väl fastsatt kolv är delad i två delar av ett kolvlock med känd massa m och tvärsnitt A. Den vänstra kammaren är fylld med kvävgas och den högra är tom. Vi släpper nu det vilande kolvlocket fritt och kvävgasen expanderar adiabatiskt (isoentropt). Förloppet är så pass saktmodigt, att processen kan betraktas som reversibel. (Kolvlockets rörelse påverkas ej nämnvärt av friktionen mot väggarna.) (a) Bestäm med vilken hastighet kolvlocket slår i högra kolvväggen. (3p) (b) Bestäm vilken temperatur gasen har vid denna dramatiska slutscen då kolvlocket slår i högra kolvväggen. (1p) 4. Tillståndssumman, Z1 , för en partikel i en tredimensionell låda med volym V = L3 kan, som vi vet, tecknas Z1 = nQ V där nQ = mτ 2πh̄2 3/2 . (Jfr formelblad.) Visa att du förstått beräkningen av detta uttryck genom att göra motsvarande beräkning i det tvådimensionella fallet, dvs där en partikel är instängd i en area A = L2 och tillståndssumman för en partikel kan skrivas Z1 = nq A. Uppgiften är alltså att härleda ett uttryck för nq som är kvantkoncentrationen i det tvådimensionella fallet. Partikelns möjliga energier ges i detta fall av εs = 2 π h̄2 2 2 (4p) nx + ny där kvanttalen nx och ny antar positiva heltalsvärden. 2m L 5. Figuren illustrerar på ett stiliserat sätt möjliga energitillstånd för elektroner i en halvledare. Det finns ND tillstånd vid ε = 0 och NL vid εg . (”D” kan tänkas ange donatortillstånd och ”L” ledningsband.) Storheten εg betecknar då det (lilla) energigap som finns mellan dessa.) NL ND 0 εg Systemet innehåller totalt N = ND elektroner. Vid τ = 0 kommer samtliga ND tillstånd att vara fyllda medan alla NL är tomma. Vid en godtycklig temperatur skall systemet fortfarande innehålla N elektroner. (a) Beräkna, utgående från detta, ett uttryck för elektronernas kemiska potential. För att göra uttrycket lite mer kompakt använder vi β = NL /ND och α = exp(εg /τ ). Beräkna alltså ett uttryck för elektronernas kemiska potential uttryckt i α och β. Vi förutsätter att β 1 och tillåter oss en liten approximation utifrån detta. (2p) (b) Här söker vi ett approximativt uttryck för kemiska potentialen i två gränsfall. Först tänker vi oss att temperaturen är så extremt låg att α β. Uttryck svaret i de storheter som gavs inledningsvis (dvs ej i α och β). (Notera gärna att vi här kan finna fermienergins (εF ) läge.) Nu går vi till den andra extremen. Här är temperaturen i stället så hög att α är liten i jämförelse med β. α kan dock inte helt försummas utan vi gör sådana approximationer att vi behåller termer av lägsta (icke försvinnande) ordning i α/β. Beräkna under dessa förutsättningar elektronernas kemiska potential. Uttryck svaret i de storheter som gavs inledningsvis (dvs ej i α och β). (2p) Lycka till! Formelblad till kursen Termodynamik och statistisk mekanik, TFYA12. (Detta blad medföljer tentamen. Peter Münger, maj 2011.) Multiplicitet g, Entropi σ ≡ ln g resp.∗ (U given) σ≡ X (− ln Ps )Ps (τ given) s Def. av temperatur, tryck och kemisk potential 1 τ Konventionell entropi och temperatur S ≡ kB σ Tillståndssumma Z≡ X Stor tillståndssumma där λ = eµ/τ ζ≡ X Helmholtz fria energi F ≡ U − τ σ, Gibbs fria energi G ≡ U − τ σ + pV ≡ ∂σ ∂U s V,N ≡ ∂σ ∂V , U,N µ τ ≡− ∂σ ∂N U,V T ≡ τ /kB e−εs /τ   X  N p τ , X e[N µ−εs(N ) ]/τ  = λN e−εs(N ) /τ ASN s(N ) F = −τ ln Z 3/2 mτ Ideal gas i klassisk region, ZN = Z1N /N ! där Z1 = nQ V och nQ ≡ 2πh̄ 2 utan inre frihetsgrader σ = N [ln (nQ /n) + 5/2] , µ = τ ln (n/nQ ) där n = N/V med inre frihetsgrader µ ≈ τ (ln (n/nQ ) − ln Zint ) där X Zint = e−εint /τ int Arbete (vid konstant N ) d̄W = pdV . Med teckenkonventionen att d̄W > 0 då systemet utför ett arbete på omgivningen och d̄Q > 0 då omgivningen tillför värme till systemet ger energiprincipen att d̄Q = dU + d̄W . ∂U ∂τ Värmekapacitet (värmekapacitivitet) CV ≡ Clausius Clapeyrons ekvation L dp = dτ τ ∆v Massverkans lag Kemiska rektionen Besättningstal ! ∂U ∂τ Cp ≡ , V X νj Aj = 0 ! ∂V +p ∂τ p ger j X ! , γ= p Cp CV νj µ j = 0 j Fermioner fF D = 1 e(ε−µ)/τ +1 Bosoner (µ = 0 för fotoner) fBE = Stirlings formler, PH M-2, och integraler, PH M-6, kommer ofta till användning. ∗ Ensemblemedelvärde av en egenskap X: hXi = X Xs Ps , där s indicerar s kvanttillstånd och Ps är kvanttillståndets (absoluta) sannolikhet. 1 e(ε−µ)/τ −1