Matematisk statistik LMA521 Tentamen 2015-01-14 Tid: 8.30-12.30 Hjälpmedel: Kursboken Matematisk Statistik av Ulla Dahlbom. Formelsamlingen Tabell- och formelsamling i matematisk statistik, försöksplanering och kvalitetsstyrning av Håkan Blomqvist. Boken och formelsamlingen får ej innehålla extra anteckningar, men understrykningar, sticks och markeringar är tillåtna. Chalmersgodkänd räknare. Examinator: Johan Tykesson Telefonvakt: Johan Tykesson, 0703182096 Till varje uppgift skall fullständig lösning lämnas! OBS: text på tre sidor! 1. (2+2+3 poäng) Antag att ξ är en kontinuerlig stokastisk variabel med frekvensfunktion f (x) = 3 14 (1 + x2 ) 0 för 0 ≤ x ≤ 2 för övrigt (a) Beräkna E(ξ) (b) Beräkna V ar(−3ξ + 5) (c) Beräkna den betingade sannolikheten P (1/4 ≤ ξ ≤ 3/4 | 1/2 ≤ ξ ≤ 1). 2. (2+2+3 poäng) Antag att man har en urna som innehåller 3 gula kulor, 4 blå kulor och 5 gröna kulor. Man drar 3 kulor utan återläggning. (a) Vad är sannolikheten att man får exakt 2 blå kulor? (b) Vad är sannolikheten att man får 2 eller fler gröna kulor? (c) Vad är sannolikheten att alla tre kulorna har samma färg? 3. (3+3 poäng)Antag att en ingenjörsstudent gör exakt två bussresor på en dag: en resa till Lindholmen, och en resa hem från Lindholmen. Antag att restiden till Lindholmen kan betraktas som en normalfördelad stokastisk variabel med väntevärde 21 minuter och standardavvikelse 2 minuter. Antag att restiden hem också kan betraktas som en normalfördelad stokastisk variabel med väntevärde 21 minuter och standardavvikelse 2 minuter. Antag att de båda restiderna är oberoende av varandra. (a) Beräkna sannolikheten att åtminstone en av restiderna är kortare än 22 minuter. (b) Beräkna sannolikheten att studenten åker buss mer än 46 minuter under dagen. 1 4. (5 poäng)En bilfirma säljer bilar. Antag att följande gäller för antalet sålda bilar på en vardag: sannolikheten för 0 sålda bilar är 0.1, sannolikheten för 1 såld bil är 0.7, sannolikheten för 2 sålda bilar är 0.15 och sannolikheten för 3 sålda bilar är 0.05. Vi antar att antalet sålda bilar på olika dagar är oberoende av varandra. Beräkna approximativt sannolikheten att bilfirman under 200 vardagar säljer fler än 220 bilar. 5. (2.5+2.5 poäng) Man gör en liten undersökning för att studera vikten på peppar-chips påsar av märket Estrella. Man väljer tre påsar slumpmässigt och får mätvärdena (i enhet gram) 243.8 251.0 252.3. Vi antar att påsarnas vikter är oberoende av varandra och att de är normalfördelade med okänt väntevärde µ och okänd standardavvikelse σ. (a) Beräkna ett 90% konfidensintervall för µ. (b) Beräkna ett 99% konfidensintervall för σ 2 . 6. (3+3 poäng) Antag att ξ och η är oberoende diskreta stokastiska variabler sådana att P (ξ = 1) = 0.2, P (ξ = 2) = 0.5, P (ξ = 3) = 0.3, P (η = 1) = 0.3, P (η = 2) = 0.3 och P (η = 3) = 0.4. Antag att man ritar en rektangel där två av sidorna har längd ξ centimeter, och de andra två sidorna har längd η centimeter. (a) Beräkna variansen för rektangelns omkrets. (b) Beräkna sannolikheten att rektangelns area är större än eller lika med 4 kvadratcentimer. 7. (2 poäng) En företagare vill ha en provtagningsplan som accepterar ett parti med felkvot 0.02 med sannolikhet 0.9, och som accepterar ett parti med felkvot 0.15 med sannolikhet 0.02. Använd bifogat binomialfördelningsnomogram för att ta fram en enkel provtagningsplan som (så gott det går) uppfyller företagarens önskemål. Vi antar att partiet är så stort att det är lämpligt att använda nomogrammet. 2 8. (2+4 poäng) Man genomförde ett fullständigt faktorförsök för att undersöka hur de 3 faktorerna A, B och C påverkade en speciell situation. Man fick följande resultat från de åtta försöken: Nr. 1 2 3 4 5 6 7 8 A + + + + B + + + + C + + + + Resultat y 12 20 11 25 12 24 12 25 (a) Beräkna lA och lABC . (b) Antag att man också var intresserad av faktorerna D, E och F . Man har bara råd att göra 8 försök, så man får göra ett reducerat faktorförsök. Man väljer teckenkolumner för A, B och C som ovan. Vi får inte veta vilka generatorer man valde för D, E och F . Vi får bara reda på att tre (av sju möjliga) alias till B ges av ACD, EC och BACF . Med hjälp av denna information, bestäm samtliga sju alias till A. 9. (6 poäng) En företagare köper in ett parti med 10000 lysdioder. För att avgöra om partiet skall accepteras eller avvisas används en dubbel provtagningsplan som fungerar på följande vis: I urval 1 kontrolleras 30 lysdioder. Om antalet defekta lysdioder i urval 1 är mindre än eller lika med 2 så accepteras partiet. Om antalet defekta lysdioder är större än eller lika med 5 så avvisas partiet. I övriga fall så går man till urval 2. I urval 2 kontrolleras 30 nya lysdioder. Om det totala antalet defekta i urval 1 och 2 är mindre än eller lika med 4 så accepteras partiet. Annars avvisas partiet. Med andra ord, man har en dubbel provtagningsplan med parametrar n1 = 30, n2 = 30, c1 = 2, c2 = 4, r1 = 5, r2 = 5. Antag nu att felkvoten i partiet är 0.02. Antag också att om partiet avvisas av den dubbla provtagningsplanen så kontrollerar man alla lysdioderna i partiet. Beräkna väntevärdet av antalet kontrollerade lysdioder. Med andra ord, beräkna ATI(0.02). Motivera eventuella approximationer du gör. Lycka till! 3