Läsvecka 3
2015-11-24 Momentekvationen Rörelsemängd och rörelsemängdsmoment vP P Rörelsemängd: G v P dmP vG m B G B rOP Rörelsemängdsmoment: H O rOP v P dmP O B 1 Dynamisk jämvikt 2 Rörelsemängdens och rörelsemängdsmomentets bevarande ( Fi , M i , Pi ), i 1,..., n n F Fi i 1 n F Fi i 1 Kraftekvationen: Momentekvationen: n M O rOPi Fi M i i 1 n M O rOPi Fi M i i 1 F G aG m M O H O rOP a P dmP B F 0 G 0 G konstant vektor M O 0 H O 0 H O konstant vektor Statisk jämvikt a P 0 , P F 0 , M O 0 3 Rörelsemängdsmomentet för en partikel i j k HO r v m x y vx vy z i ( yvz zv y )m j ( zvx xvz )m k ( xv y yvx )m HO ,y H O ,x H O ,z vz 4 Momentekvationen för en partikel M O H O d ( r v m) r a m dt H O , x ( yvz zv y )m H O , y ( zvx xvz ) m H O , z ( xv y yvx ) m Kraftekvationen Momentekvationen d H O ( r v m) r a m r F M O dt H O r v m sin 5 6 1 2015-11-24 Momentekvationen för en partikel i plan rörelse Problem 3/240 r ix jy , ( z 0 ) H O, x 0 H O, y 0 H O , z ( xv y yvx ) m M O , x H O , x 0 M O , y H O , y 0 M O , z H O , z d ( xv y yvx ) m ( xa y yax ) m dt 7 Problem 3/240: Lösning 8 Exempel 1.1 9 Problem 3/246: Lösning 10 Exempel 1.2: Satellitrörelse Newtons gravitationslag: F G mmO mm r er (G 2 O ) r3 r Jordens massa: mO P Satellitens massa: m Gravitationskonstanten: G 6.673 10 11 m 3 kg 1 s 2 11 12 2 2015-11-24 Exempel 1.2: Satellitrörelse Exempel 1.2: Satellitrörelse, rörelseekvationer z 0 : v er r e r, a er (r r 2 ) e ( r 2r) mm m Kraftekvationen: er (G 2 O ) a m er (G 2O ) a r r Momentekvationen: r er ( G H O r v m er r (er r e r) m er e r 2m krm H O r 2m mmO ) H O r2 mO r r 2 , 0 r 2r G r 2 H2 O r m r er 0 H O 0 H O r v m k H O , H O 0 r k r r vm 0 r k HO r G Satelliten utför plan rörelse! Rörelseplan: z 0 mO H2 O 0 r 2 r 3 m2 r G r ( ) mO H2 O 0 r 2 r 3 m2 p 1 e cos 13 Exempel 1.2: Satellitrörelse, energi Exempel 1.2: Satellitrörelse, bankurva Mekaniska energin: E Bankurva: r ( ) 14 p 1 e cos mmO 1 2 v mG konstant 2 r E (e 2 1) G 2 mO2 m 3 2H O2 Excentriciteten: e 1 Ellips: 2EH O2 G 2 mO2 m 3 0 e 1 G 2 mO2 m 3 E 0 2H O2 Parabel: e 1 E 0 Hyperbel: e 1 E 0 Parametern: p H O2 GmO m 2 Sammanfattning Exempel 1.2: Satellitrörelse, Keplers lagar 1571 - 1630 I. Planeterna rör sig i elliptiska banor med solen i ena fokus. II. Linjen som sammanbinder solen och planeten sveper över lika stora areor under lika långa tider. 16 15 III. Kvadraten på planetens omloppstid dividerat med kuben på planetens medelavstånd till solen är densamma för alla planeter. 17 18 3 2015-11-24 Vad återstår att göra? Läsvecka 3-4 Stela kroppens kinematik • Begreppet stel kropp • Kinematik för stel kropp (i plan rörelse) - Vinkelhastighetsvektorn - Hastighets- och accelerationsfält. Momentancentrum - Rullning 19 Vad återstår att göra? Läsvecka 4-5 20 Vad återstår att göra? Läsvecka 6 • Stel kropps rörelse. System av stela kroppar. - Allmän plan rörelse - Den fysiska pendeln - Det rullande hjulet - Fordonet • Mekanikens lagar, allmänt - Kraftekvationen, masscentrums rörelse - Momentekvationen • Stel kropps rörelse. System av stela kroppar - Translationsrörelse - Rotation kring fix axel. Tröghetsmoment 21 22 23 24 En maskin i plan rörelse 4 2015-11-24 Translation Rotation B j B A u A A rAB B B B k rAB 0 B u rAB rAB ,0 i x0 j y0 i rAB i x j y rAB ,0 (t ) B B cos j) sin x j ) (i y rAB (i sin x0 cos y0 25 26 Rotation Rotation x d cos y dt sin B j B A B k B rAB 0 sin x0 sin cos y0 cos cos x0 sin y0 rAB ,0 i x0 j y0 i x cos y sin rAB i x j y rAB ,0 x cos sin x0 sin cos y0 y cos sin (t ) 1 sin x0 x0 cos cos y0 y0 sin 1 sin cos cos sin sin x cos y sin cos Rotationsmatrisen x0 cos y0 sin rAB i x j y sin x cos y 27 Vinkelhastighet x sin y cos cos x0 sin sin y0 cos 28 Allmän stelkroppsförflyttning cos cos sin sin sin x cos y 0 1 x y 1 0 y x B B uA B A A B B rAB i x j y i ( y ) j x k ( i x j y ) k rAB ω rAB B Kroppens vinkelhastighet: ω k , A B uB A B 29 30 5 2015-11-24 Cirkelrörelse i planet Cirkelrörelse i rummet j v ω e a r er C P rCP rOC vP P i O r O vP ω r v ω r , ω k 31 32 Tidsberoende vektor med konstant längd b b(t ) Roterande HON-bas b(t ) konstant ω ω e3 HON-bas: (e1 e2 e3 ) b e2 b b (t ) e1 Euler-Poissons hastighetsformel: ei ω ei , i 1, 2, 3 b b b ω b, ω bb ω 1 3 ei ei 2 i 1 33 34 Stel kropp Stel kropps hastighetsfält ω ω A rOA B rAB B e3 A e1 ω B e2 A A rAB B vA rOB rAP P B O O d rAB (t ) 0, A, B B v B v A ω rAB , A, B B dt vP rBP B P vP B vB v P v A ω rAP v B ω rBP , P B 35 36 6 2015-11-24 Translationshastighet Rotationshastighet A v A B P v B vB v B O B O rAB B ω v P v A v B v , P, A, B B v A 0, v B ω rAB ω0 37 Stel kropps accelerationsfält 38 Stel kropps hastighets och accelerationsfält α ω a B / A α rAP ω (ω rAP ), P B a P a A a B / A a A α rAP ω (ω rAP ), P B 39 40 Problem 5/30 Problem 5/30: Lösning Angular velocity: ωAB k () ωBC k 41 42 7 2015-11-24 Problem 5/29: Lösning Problem 5/29: Lösning konstant acceleration: x 2 0 2 2ax x 2ax geometri: x 2b cos x 2b sin 2b sin Angular velocity: 2b 2ax ωAB k () k 2 b2 x2 2 4 2 b 2 x b 4 b2 x 2 b2 x2 4 x2 4 2ax 2 b2 2ax ωBC k k ( x2 4 2 b2 x2 4 ) 43 Problem 5/29: Alternativ lösning CB Exempel 2.1 AB y rCB i 44 x jy 2 rBA i x j ( y ) 2 konstant acceleration: x 2 0 2 2ax x 2ax y b2 x2 4 45 Hastighetssambandet: Plan rörelse 46 Exempel 3.1 e vA vB rAB AB A j B vA vB / A ω rAB er B O k i ω k rAB er rAB v B v A ω rAB v A e rAB 47 48 8 2015-11-24 Problem 5/26 Problem 5/26: Lösning 49 Plan mekanism vA 0 50 Exempel 3.2 i vC 0 51 Exempel 3.2: Lösning 52 Rullning på fix plan yta v D ivD vA jv ω k ( ) vC v D ω rDC ivD k ( ) j ( r ) i (vD r ) ω k vC i vglid , vglid (vD r ) 53 54 9 2015-11-24 Rullning på plan yta glidhastigheten Rullning utan glidning vglid vD r 0 vD r vD i vD D vglid vD r vglid vD 0, om r vD 0, om r vD 0 om r vD r aC C aC j vD2 r 55 Hastighetsfält vid plan rullning 56 Hastighetsfält vid plan rullning utan glidning y e vE v (2r ) i 2r E P D e ( rDP ) v ( y) i y y er D vP v D v (r ) i r i vD C x C v P i vD e ( rDP ) v ( y ) i y 57 Problem 5/32 58 Problem 5/32: Lösning vO i vO vO 0 ω k ( ) 59 60 10 2015-11-24 61 11
© Copyright 2024