Läsvecka 3

2015-11-24
Momentekvationen
Rörelsemängd och rörelsemängdsmoment
vP P
Rörelsemängd:
G   v P dmP  vG m
B
G
B
rOP Rörelsemängdsmoment:
H O   rOP  v P dmP
O
B
1
Dynamisk jämvikt
2
Rörelsemängdens och rörelsemängdsmomentets
bevarande
( Fi , M i , Pi ), i  1,..., n
n
F   Fi
i 1
n
F   Fi
i 1
Kraftekvationen:
Momentekvationen:
n
M O   rOPi  Fi  M i
i 1
n
M O   rOPi  Fi  M i
i 1
F  G  aG m
M O  H O   rOP  a P dmP
B
F  0  G  0  G  konstant vektor
M O  0  H O  0  H O  konstant vektor
Statisk jämvikt  a P  0 , P  F  0 , M O  0
3
Rörelsemängdsmomentet för en partikel
i
j
k
HO  r  v m  x
y
vx
vy
z  i ( yvz  zv y )m  j ( zvx  xvz )m  k ( xv y  yvx )m







HO ,y
H O ,x
H O ,z
vz
4
Momentekvationen för en partikel
M O  H O 
d
( r  v m)  r  a m
dt
 H O , x  ( yvz  zv y )m

 H O , y  ( zvx  xvz ) m

 H O , z  ( xv y  yvx ) m
Kraftekvationen

Momentekvationen
d
H O  ( r  v m)  r  a m  r  F  M O
dt
H O  r v m sin 
5
6
1
2015-11-24
Momentekvationen för en partikel i plan rörelse
Problem 3/240
r  ix  jy , ( z  0 )
 H O, x  0

 H O, y  0

 H O , z  ( xv y  yvx ) m

 M O , x  H O , x  0

 M O , y  H O , y  0

 M O , z  H O , z  d ( xv y  yvx ) m  ( xa y  yax ) m

dt
7
Problem 3/240: Lösning
8
Exempel 1.1
9
Problem 3/246: Lösning
10
Exempel 1.2: Satellitrörelse
Newtons gravitationslag:
F  G
mmO
mm
r  er (G 2 O )
r3
r
Jordens massa: mO
P
Satellitens massa: m
Gravitationskonstanten:
G  6.673  10 11 m 3 kg 1 s 2
11
12
2
2015-11-24
Exempel 1.2: Satellitrörelse
Exempel 1.2: Satellitrörelse, rörelseekvationer
z  0 : v  er r  e r, a  er (r  r 2 )  e ( r  2r)
mm
m
Kraftekvationen: er (G 2 O )  a m  er (G 2O )  a
r
r
Momentekvationen:
r  er ( G
H O  r  v m  er r  (er r  e r) m  er  e r 2m  krm  H O  r 2m
mmO
)  H O
r2
mO

r  r 2 , 0  r  2r
G r 2  


  H2 O
r m

r  er  0  H O  0  H O  r  v m  k H O , H O  0
r k  r 
r  vm
0  r k
HO

r G
Satelliten utför plan rörelse! Rörelseplan: z  0
mO
H2
 O 0
r 2 r 3 m2

r  G
r ( ) 
mO
H2
 O 0
r 2 r 3 m2
p
1  e cos 
13
Exempel 1.2: Satellitrörelse, energi
Exempel 1.2: Satellitrörelse, bankurva
Mekaniska energin: E 
Bankurva:
r ( ) 
14
p
1  e cos 
mmO
1 2
v mG
 konstant
2
r
E  (e 2  1)
G 2 mO2 m 3
2H O2
Excentriciteten:
e  1
Ellips:
2EH O2
G 2 mO2 m 3
0  e 1 
G 2 mO2 m 3
 E 0
2H O2
Parabel:
e  1 E  0
Hyperbel:
e 1 E 0
Parametern:
p
H O2
GmO m 2
Sammanfattning
Exempel 1.2: Satellitrörelse, Keplers lagar
1571 - 1630
I.
Planeterna rör sig i elliptiska banor med solen i ena fokus.
II.
Linjen som sammanbinder solen och planeten sveper över lika
stora areor under lika långa tider.
16
15
III. Kvadraten på planetens omloppstid dividerat med kuben på
planetens medelavstånd till solen är densamma för alla
planeter.
17
18
3
2015-11-24
Vad återstår att göra?
Läsvecka 3-4
Stela kroppens kinematik
• Begreppet stel kropp
• Kinematik för stel kropp (i plan rörelse)
- Vinkelhastighetsvektorn
- Hastighets- och accelerationsfält. Momentancentrum
- Rullning
19
Vad återstår att göra?
Läsvecka 4-5
20
Vad återstår att göra?
Läsvecka 6
• Stel kropps rörelse. System av stela kroppar.
- Allmän plan rörelse
- Den fysiska pendeln
- Det rullande hjulet
- Fordonet
• Mekanikens lagar, allmänt
- Kraftekvationen, masscentrums rörelse
- Momentekvationen
• Stel kropps rörelse. System av stela kroppar
- Translationsrörelse
- Rotation kring fix axel. Tröghetsmoment
21
22
23
24
En maskin i plan rörelse
4
2015-11-24
Translation
Rotation
B
j B A u A A rAB B B B
k 
rAB  0 B u
rAB 
 rAB ,0  i x0  j y0
i rAB  i x  j y
rAB ,0    (t )
B B  cos 
j) 
 sin 
 x
j )    (i
 y
rAB  (i
 sin    x0 
 
cos    y0 
25
26
Rotation
Rotation
 x  d  cos 
  
 y  dt  sin 
B j B A  B k 
B rAB  0 
 sin    x0    sin 
   
cos    y0   cos 
 cos    x0 
   
 sin    y0 
rAB ,0  i x0  j y0
i  x   cos 
 
 y   sin 
rAB  i x  j y
rAB ,0  x   cos   sin    x0 
 
 
sin  cos   y0 
 y  
 cos 

 sin 
   (t )
1
 sin    x0   x0   cos 
      
cos    y0   y0   sin 
1
 sin  
 cos 
 
cos  
  sin 
 sin    x 
  
cos    y 
sin  

cos  
Rotationsmatrisen
 x0   cos 
 
 y0    sin 
rAB  i x  j y
sin    x 
 
cos    y 
27
Vinkelhastighet
 x    sin 
 
 y   cos 
 cos    x0    sin 
     
 sin    y0   cos 
28
Allmän stelkroppsförflyttning
 cos    cos 
  
 sin     sin 
sin   x 
  
cos   y 
 0 1  x    y 
   

 1 0  y    x 
 
B B uA B
A  A B B rAB  i x  j y  i ( y )  j x  k  ( i x  j y )  k  rAB  ω  rAB
B   Kroppens vinkelhastighet: ω  k ,
A   
B
uB A B 29
30
5
2015-11-24
Cirkelrörelse i planet
Cirkelrörelse i rummet
j v ω e a  r er C P rCP rOC vP P i O r 
O
vP  ω  r
v  ω  r , ω  k
31
32
Tidsberoende vektor med konstant längd
b  b(t )
Roterande HON-bas
b(t )  konstant
ω
ω e3 HON-bas: (e1 e2 e3 )
b e2 b  b (t ) e1 Euler-Poissons hastighetsformel:
ei  ω  ei , i  1, 2, 3
b  b
b  ω  b, ω 
bb
ω
1 3
 ei  ei
2 i 1
33
34
Stel kropp
Stel kropps hastighetsfält
ω ω
A rOA B rAB B e3 A e1 ω B e2 A A rAB B vA rOB rAP P B O
O
d
rAB (t )  0, A, B  B  v B  v A  ω  rAB , A, B  B
dt
vP rBP B P vP B vB v P  v A  ω  rAP  v B  ω  rBP , P  B
35
36
6
2015-11-24
Translationshastighet
Rotationshastighet
A v A B P v B vB v B O
B O
rAB B
ω v P  v A  v B  v , P, A, B  B
v A  0, v B  ω  rAB
ω0
37
Stel kropps accelerationsfält
38
Stel kropps hastighets och accelerationsfält
α  ω
a B / A  α  rAP  ω  (ω  rAP ), P  B
a P  a A  a B / A  a A  α  rAP  ω  (ω  rAP ), P  B
39
40
Problem 5/30
Problem 5/30: Lösning

Angular velocity:

ωAB  k ()
ωBC  k
41
42
7
2015-11-24
Problem 5/29: Lösning
Problem 5/29: Lösning
konstant acceleration: x 2  0 2  2ax  x  2ax
geometri: x  2b cos   x  2b  sin   2b sin  
Angular velocity:

2b
2ax
ωAB  k ()  k
2 b2 
x2
2
4  2 b 2  x    
b
4
b2 
x
2 b2 
x2
4
x2
4
2ax

2 b2 
2ax
ωBC  k  k (
x2
4
2 b2 
x2
4
)

43
Problem 5/29: Alternativ lösning
CB
Exempel 2.1
 AB
y
rCB  i
44
x
 jy
2
rBA  i
x
 j ( y )
2
konstant acceleration: x 2  0 2  2ax  x  2ax
y  b2 
x2
4
45
Hastighetssambandet: Plan rörelse
46
Exempel 3.1
e vA vB rAB
AB A j B 
vA vB / A  ω  rAB er B O
k i ω  k
rAB  er rAB
v B  v A  ω  rAB  v A  e  rAB
47
48
8
2015-11-24
Problem 5/26
Problem 5/26: Lösning
49
Plan mekanism
vA  0
50
Exempel 3.2
i  vC  0
51
Exempel 3.2: Lösning
52
Rullning på fix plan yta
v D  ivD
vA  jv
ω  k (  )
vC  v D  ω  rDC  ivD  k ( )  j ( r )  i (vD   r )
ω  k
vC  i vglid , vglid  (vD   r )
53
54
9
2015-11-24
Rullning på plan yta
glidhastigheten
Rullning utan glidning
vglid  vD   r  0   

vD
r
vD  i vD
D
vglid  vD   r
vglid
vD

 0, om   r

vD

 0, om  
r

vD

0
om




r

vD
r
aC
C
aC  j
vD2
r
55
Hastighetsfält vid plan rullning
56
Hastighetsfält vid plan rullning utan glidning
y
e
vE  v (2r )  i  2r
E
P
D 
e ( rDP )
v ( y)  i  y
y
er

D
vP
v D  v (r )  i  r
i vD
C
x
C
v P  i vD  e ( rDP )
v ( y )  i y
57
Problem 5/32
58
Problem 5/32: Lösning

vO  i vO
vO  0
ω  k (  )   
59
60
10
2015-11-24
61
11