Institutionen för Systemteknik Dept. Of EE 1( 5 ) Tentamen i TSKS06 Linjära system för Kommunikation Tid: 2015-08-19 kl. 14.00-18.00 Provkod: TEN1 Lokaler: TER2 Lärare: Lasse Alfredsson, tel. 013-28 2645 (nås på detta nummer under tentan) Jag besöker tentasalen en gång, efter ca. 60–90 minuter, och nås f.ö. per telefon. Hjälpmedel: • Räknedosa och ”Formler & Tabeller” av Sune Söderkvist. • Det bifogade formelbladet om modulation. • Andra motsvarande förlagsutgivna matematiska tabeller och formelsamlingar. Bedömning: Varje helt rätt och väl motiverad uppgift ger 5 poäng. För godkänd tentamen krävs 11 poäng. För betyg 4 krävs 16 poäng och för betyg 5 krävs 21 poäng. OBS! • Bristande motivering medför poängavdrag. • Numeriska lösningar, dvs. om signifikanta delar av uppgiften löses m.h.a. räknare, accepteras ej. Visning: Visning av tentor sker 2015-09-14 kl. 12.30-13.00 i konferensrummet Algoritmen, ingång B29, markplanet, korridor A, rum 2A:440. Eventuella synpunkter på rättningen skall formuleras skriftligen och lämnas till examinatorn under visningen. Efter visningen kan tentor även hämtas ut på ISY:s expedition. Rättningssynpunkter kan senast en vecka efter visningen även lämnas genom ISY:s expedition. Lösningar: Efter tentarättning och efterföljande resultatinmatning i Ladok, så skickas, inom 12 arbetsdagar efter tentatillfället, ett automatiskt Ladok-utskick med tentamensresultat via e-post till alla som är registrerade på kursen. Lösningsförslag finns normalt tillgängligt på kursens tenta-webbsida inom 5 arbetsdagar: www.cvl.isy.liu.se/education/undergraduate/TSKS06/tentor Lycka till! 2( 5 ) 1. Nedan finns fem påståenden om tidskontinuerliga system. Ange för vart och ett av påståendena om det är SANT eller FALSKT! Lämna ingen motivering. Korrekt svar på en delfråga ger +1 poäng, felaktigt svar ger –1 poäng, medan utelämnat svar ger 0 poäng. Totalt ger dock uppgiften aldrig mindre än 0 poäng. Om du tvärtemot anvisningen ovan lämnar motivering till ett korrekt svar, men där motiveringen är felaktig, så ges också –1 poäng för den deluppgiften. () a) Ett icke-kausalt LTI-system, med systemfunktion H s enligt pol-nollställediagrammet nedan, är instabilt. b) Konstellationsdiagrammet (signaluppsättningsdiagrammet) för 4-PSK och 4-QAM har samma principiella utseende. c) I traditionell M-PSK använder man sinusformade signalpulser si ( t ) med signalpulslängd T och signalpulsfrekvens f c . Påstående: Signalpulsernas frekvensspektrum Si ( f ) består då av sinc:ar vid f = ±2 f c och man väljer en kombination av f c och T så att produkten 2 f cT blir ett heltal. () d) Ett tidskontinuerligt system med insignal x t och utsignal y ( t ) = 3t ∫ x (τ ) dτ är −∞ linjärt och kausalt. () () e) Den elektriska kretsen nedan, med spänningen x t som insignal och spänningen y t R R − t över resistansen som utsignal, utgör ett LTI-system med impulssvar h ( t ) = ⋅ e L u ( t ) . L 3( 5 ) () 2. Den periodiska signalen x t nedan är insignal till ett LTI-system med ( ) frekvensfunktion H ω = jω . π + jω a) Beräkna utsignalens komplexa fourierseriekoefficienter Dk . (4 p) b) Hur mycket kommer systemet att amplitudskala och fasförskjuta insignalens grundton? (1 p) () () 3. Betrakta ett LTI-system där sambandet mellan insignal x t och utsignal y t bestäms av följande integral: y ( t ) = t ∫e −∞ −( t−τ ) x (τ − 2 ) d τ a) Bestäm systemets impulssvar. (1 p) b) Bestäm utsignalen från systemet när insignalen har utseendet enligt figuren till höger. (4 p) 4. Ett visst amplitudnormerat lågpassfilter av butterworthtyp har 3 dB-gränsvinkelfrekvensen 1 ω 3dB = 100 rad/s och filtrets dämpningsfaktor skall vara högst vid vinkelfrekvensen 10 1 150 rad/s, dvs. H (150 ) ≤ . 10 a) Vilket ordning måste filtret minst ha? (2 p) b) Beräkna dämpningen i decibel vid ω = 150 rad/s, för butterworthfiltret med lägsta ( ) dB . ordning enligt uppgift a), dvs. bestäm H 150 c) Rita pol-nollställediagrammet till butterworthfiltrets systemfunktion H ( s ) , dvs. filtret i uppgift a)-b). Ange i grafen vinkelavståndet mellan polerna. (1 p) (2 p) 4( 5 ) 5. () a) Ett LTI-system innehållande fördröjningsledningar har ett impulssvar h t enligt figuren nedan. Bestäm, genom laplacetransformberäkning, systemets stegsvar. (2 p) b) En signal x ( t ) = e−t u ( t ) inmatas till ett idealt lågpassfilter med frekvensfunktionen ⎧ 1; ω ≤ 2π B ⎪ . H (ω ) = ⎨ 0; för övrigt ⎪⎩ För vilket värde på filtrets bandbredd B släpper filtret igenom exakt hälften 1 1 z av insignalens energi? (Tips: ∫ 2 2 dz = ⋅arctan ) a a a +z (3 p) Kursutvärderingsfrågor – gäller dig som inte tentade (kunde lämna svar) vid tentan i juni Under repetitionsseminariet inför tentan nämnde jag att jag är tacksam för återkoppling från er angående närvaro på kursens lektioner och föreläsningar (kursdelen linjära system). Jag lovar & garanterar att jag inte kommer att spara någon personlig information om dig och dina svar! Jag är bara intresserad av kopplingen mellan närvaro (och dess anledning) och tentaresultat. Den kopplingen får jag inte om jag har med frågorna i den webbaserade kursutvärderingen. Jag är därför tacksam om du, innan du lämnar tentasalen (och naturligtvis i mån av tid) på en extra lapp kan svara på följande frågor: 1. a) Hur ofta har du närvarat på kursens föreläsningar (0−100%)? b) Varför går du ofta/sällan på föreläsningar(na)? 2. a) Hur ofta har du närvarat på kursens lektioner (0−100%)? b) Varför går du ofta/sällan på lektioner(na)? Om du ändå inte vill lämna svaren här, så är jag tacksam om du gör det på annat sätt senare (svar + tentaresultat), t.ex. via anonymousemail.me eller liknande tjänst. Tack för din hjälp & dina svar! /Lasse 5( 5 ) BILAGA – ANALOGA & DIGITALA MODULATIONSFORMER • Analog modulation () () ( ) o AM-DSB-SC: x t = A⋅ m t ⋅cos ω ct , () ( ( ) AM-DSB: x ( t ) = A⋅ C + m ( t ) ⋅cos (ω ct ) { ( )}) o Vinkelmodulering: x t = A⋅cos ω ct + φ m t { } ▪ PM: φ m ( t ) = a ⋅ m ( t ) ▪ FM: { } = a ⋅ m(t ) dφ m ( t ) dt { t } ⇔ φ m ( t ) = a ⋅ ∫ m (τ ) d τ t0 • Digital modulation o Grundläggande samband: ⎧ A⋅cos ω t + ϕ ; 0 ≤ t < T ⎧ a ⋅ φ t + b⋅ φ t ; 0 ≤ t < T ⎪ ⎪ c 0 1 x t =⎨ = ⎨ , 0; f.ö. 0; f.ö. ⎪⎩ ⎪⎩ där φ0 t och φ1 t är ortogonala basfunktioner, dvs. ∫ φ0 ( t )φ1∗ ( t ) dt = 0 : ( () () ) () () () T ⎧ ⎧ T 2 Vektorrepresentation av x ( t ) : ⋅ cos (ϕ ) ⋅ cos (ωct ) ⎪a = A ⎪ φ0 ( t ) = ⎪ 2 ⎪ T & ⎨ ⎛a⎞ ⎨ x =⎜ ⎟ ⎪ b = A T ⋅ sin ϕ ⎪φ t = − 2 ⋅ sin ω t ( ) ( c) ⎝b⎠ ⎪⎩ ⎪⎩ 1 ( ) 2 T Utgående från en vektorrepresentation enligt ovanstående, kan man för olika modulationsformer nedan rita motsvarande signaluppsättningsdiagram (Eng: ”signal space diagram”). o Binära modulationsformer, där de binära symbolerna 0 och 1 representeras av s0 t resp. s1 t i intervallet 0 ≤ t < T : () ▪ ▪ ▪ () 2-ASK: s0 t = A⋅cos ω ct s1 ( t ) = B ⋅cos (ω ct ) BPSK: s1 ( t ) = A⋅cos (ω ct ) BFSK: ( ) () s0 ( t ) = A⋅cos (ω ct + π ) s0 ( t ) = A⋅cos (ω 0t ) (specialfall: OOK) s1 ( t ) = A⋅cos (ω 1t ) o Icke-binär modulation, där varje k-bitars symbol (totalt M = 2 k symboler) representeras av s i t i intervallet 0 ≤ t < T : () si ( t ) = Ai ⋅cos (ω ct ) , ▪ ASK: ▪ ⎛ π ⎞ , M-PSK: si t = A⋅cos ⎜ ω ct + 2i − 1 M ⎟⎠ ⎝ ▪ ▪ QPSK: QPSK är ett specialfall av M-PSK, för M = 4 , dvs. då k = 2 . QAM: si ( t ) = Ai ⋅cos (ω ct + ϕ i ) , ▪ FSK: ⎛ ⎛ i⎞ ⎞ si ( t ) = A⋅cos ⎜ 2π ⎜ f c + ⎟ t ⎟ , T⎠ ⎠ ⎝ ⎝ () i = 1,2,3…, M ( ) i = 1,2,3,…, M i = 1,2,3,…, M i = 0,1,2,…, M − 1