Försättsblad till skriftlig
tentamen vid Linköpings Universitet
Datum för tentamen
Sal
Tid
Kurskod
Provkod
Kursnamn/benämning
Institution
Antal uppgifter som
ingår i tentamen
Antal sidor på tentamen
(inkl. försättsbladet)
Jour/Kursansvarig
Telefon under skrivtid
Besöker salen ca kl.
2015-08-26
Kursadministratör
Lena Wide
013 - 28 1229
[email protected]
(namn + tfnnr + mailadress)
Tillåtna hjälpmedel
TER4
14 – 18
TFYA12
TEN1
Termodynamik och statistisk mekanik
IFM
5 (om sammanlagt 20 poäng)
6
Peter Münger
013 - 28 5797
15:30 och 17:00
Physics Handbook; Carl Nordling, Jonny Österman
Räknedosa (tömd på program och annan information)
Formelblad (utgörs av de sista bladet på tentan)
Matematiska tabeller, tex Beta, behövs dock ej
Betyg: 8-11 poäng 3, 12-15 poäng 4, 16-20 poäng 5
Övrigt
Antal exemplar i påsen
Lösningar anslås på anslagstavlan utanför
kursexpeditionen i fysikhuset och på kurshemsidan:
http://cms.ifm.liu.se/edu/coursescms/TFYA12
1. För ett gasliknande system, dock ej en helt ideal gas, gäller att fundamental entropi
och energi ges av uttrycken
σ = N {ln [nQ (V − N b) /N ] + 5/2}
respektive
3
U = Nτ
2
där kvantkoncentrationen nQ är densamma som på formelbladet. N är antalet partiklar
i gasen, τ dess fundamentala temperatur och b en konstant med dimension volym.
Beräkna ett uttryck för systemets kemiska potential µ.
Om samband, som ej är givna på formelbladet, används skall dessa härledas på ett
stringent och överskådligt sätt.
(3p)
2. (a) Systemet som illustreras i figuren står i såväl termisk som partikelkontakt med en reservoar. Reservoarens fundamentala temperatur är τ och den
innehåller en ideal gas i klassisk gräns, utan inre
frihetsgrader, vars kemiska potential är µ.
0
−εg /2
−εg
För systemet gäller endera av fyra möjligheter.
–
–
–
–
Det kan vara helt utan partiklar och har då energin 0.
Det kan innehålla exakt en partikel i nivå 1 och har då energin −εg /2.
Det kan innehålla exakt en partikel i nivå 2 och har då energin −εg .
Det kan innehålla exakt två partiklar, en i nivå 1 och en i nivå 2 och har då
energin −3εg /2.
Vi söker ett uttryck för medelantalet partiklar i systemet, dvs hN i. För att förenkla
räkningarna betraktar vi situationen i det fall då τ = εg /2 och µ = τ . Beräkna
hN i under dessa omständigheter. Svara med ett uttryck där e (basen i naturliga
logaritmsystemet) ingår och ett rent numeriskt värde.
(2p)
(b) För ett helt annat system än det i a-uppgiften vet vi enbart att dess stora tillståndssumma (gibbssumma) ges av uttrycket
ζ = 1 + e−(ε−µ)/τ
M
där µ är kemisk potential, τ fundamental temperatur, ε energi och M en dimensionslös parameter. Beräkna medelantalet partiklar i systemet, hN i, om det gäller
att ε = τ och µ = −τ . Ange svaret som en numerisk faktor gånger M .
(3p)
3. Figuren nedan illustrerar två kroppar, en till vänster som hålls på konstant (låg) temperatur T` och en till höger som hålls på konstant (hög) temperatur Th . De ytor som
kropparna vänder mot varandra är inbördes lika stora och har arean A. Geometrin är
sådan att avståndet mellan kropparna är mycket litet jämfört med ytornas utsträckning (vilket dock inte framgår av figuren). Trots det lilla avståndet har man lyckats
sätta in N parallella skikt mellan kropparna. Antagandet om geometrin innebär att vi
kan tänka oss att alla strålningsbidrag går rakt åt vänster eller höger.
T`
111
000
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
A 111
000
111
000
000
111
000
111
000
111
000
111
000
111
000
000111
111
000
111
11
00
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
11
00
000
111
00
11
000
111
00
11
000
111
00
11
000
111
00
11
000
111
J111
00
11
000
00
11
000
111
00
11
000
111
00
11
000
111
T
T
p
p−1
p
11
00
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
11
00
00
11
00
11
00
11
A T
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
h
Syftet med de N plattorna är att minska värmeöverföringen via strålning mellan kropparna. För att minska strålningen än mer har alla plattor en emissivitet e < 1. Emissiviteten är densamma för alla plattor. Även de ytor som kropparna vänder mot varandra
har samma emissivitet.
(Innebörden är att ytorna emitterar e gånger vad en svart yta emitterar. När en sådan
yta träffas av värmestrålning kommer den även att absorbera a gånger vad en svart yta
absorberar. Det gäller att a = e. Ytan som träffas av strålningen kommer att reflektera
andelen r av den strålning som träffar ytan. Det gäller att r = 1 − a = 1 − e. Allt som inte
absorberas kommer alltså att reflekteras. Vi räknar alltså inte med att något transmitteras,
dvs passerar rakt igenom en skiva).
Vi intresserar oss för effektströmtätheten (åt vänster), J, i utrymmet mellan plattorna.
J anger effekt per area.
(a) Teckna ett uttryck för Jp som är den nettoeffektströmtäthet som föreligger i mellanrummet mellan plattan med index p och den med index p − 1, se figur ovan. I
detta skede tänker vi oss att temperaturerna Tp och Tp−1 är givna storheter. Även
e är given. (Konstanten i Stefan-Boltzmanns lag σSB är givetvis också given.) (2p)
(b) Vid stationärt tillstånd, när alla plattor intagit en temperatur som inte ändras
med tiden, kommer strömtätheten mellan varje par av ytor att vara densamma,
J. Teckna J uttryckt enbart i T` , Th , e, N och konstanten σSB .
(2p)
4. (a) Härled ett uttryck för tillståndssumman, Z1 , för en partikel med massa m instängd
i en kvadratisk area A = L × L, där L är sidolängden.
2
2 h̄
· Lπ · n2x + n2y
Partikelns möjliga energier ges av εs = 2m
där kvanttalen nx och ny antar positiva heltalsvärden.
Det är tillåtet (och lämpligt) att göra en approximation som innebär att man går
över från en diskret summa till en integral.
(4p)
(b) För N (identiska) partiklar av detta slag blir tillståndssumman Z = Z1N /(N !)
om vi tänker oss att denna tvådimensionella gas befinner sig i klassisk gräns.
Denna tvådimensionella gas utövar ett slags (tvådimensionellt) ”tryck”
pA som kan
där F är
beräknas (analogt med hur vi gör i tre dimensioner) som pA = − ∂F
∂A τ,N
Helmholtz fria energi. (Detta ”tryck” anger kraft per längd.) Beräkna ett uttryck
för pA i så förenklad form som möjligt. (Därmed härleder du motsvarigheten till
allmänna gaslagen i två dimensioner.)
(1p)
5. För ett system som är isolerat i den meningen att det inte kan utbyta partiklar med
omgivningen kommer kemiska potentialen µ att fungera som en normeringskonstant.
Om temperaturen till exempel ändras måste µ anta sådana värden att partikelantalet
förblir vad det var från början. Kemiska potentialens temperaturberoende hänger därför
samman med det aktuella systemets tillståndstäthet, D(ε).
På nästa sida illustrerar sex fall några olika hypotetiska former för D(ε). I samtliga
fall gäller att D(ε) = 0 då ε < 0 och εF markerar Fermienergin. Uppgiften är att säga
något klokt om kemiska potentialens temperaturberoende i alla dessa fall. Varje helt
korrekt beskrivning ger 0,5p. Vi utgår genomgående från att temperaturen varsamt
ökar från noll och antar allt högre värden. Det behövs ingen motivering men däremot
en beskrivning av vad som händer inledningsvis och senare, dvs vid högre temperaturer.
Svaren skulle till exempel kunna se ut som följer:
(x) Kemiska potentialen ökar inledningsvis men börjar avta vid högre temperaturer.
(y) Kemiska potentialen minskar snabbt till en början men stannar sedan av och går
mot ett gränsvärde.
(z) Kemiska potentialen minskar hela tiden, dvs både vid låga och högre temperaturer.
(3p)
(a)
D(ε)
(b)
εF
(c)
ε
D(ε)
εF
(d)
εF
(e)
εF
(f)
ε
ε
D(ε)
ε
D(ε)
εF
D(ε)
ε
D(ε)
εF
ε
Lycka till!
Formelblad till kursen Termodynamik och statistisk mekanik, TFYA12.
(Detta blad medföljer tentamen. Peter Münger, maj 2011.)
Multiplicitet g, Entropi
σ ≡ ln g
resp.∗
(U given)
σ≡
X
(− ln Ps )Ps
(τ given)
s
Def. av temperatur, tryck
och kemisk potential
1
τ
Konventionell entropi
och temperatur
S ≡ kB σ
Tillståndssumma
Z≡
X
Stor tillståndssumma
där λ = eµ/τ
ζ≡
X
Helmholtz fria energi
F ≡ U − τ σ,
Gibbs fria energi
G ≡ U − τ σ + pV
≡
∂σ
∂U
s
V,N
≡
∂σ
∂V
,
U,N
µ
τ
≡−
∂σ
∂N
U,V
T ≡ τ /kB
e−εs /τ


X

N
p
τ
,
X
e[N µ−εs(N ) ]/τ  =
λN e−εs(N ) /τ
ASN
s(N )
F = −τ ln Z
3/2
mτ
Ideal gas i klassisk region, ZN = Z1N /N ! där Z1 = nQ V och nQ ≡ 2πh̄
2
utan inre frihetsgrader
σ = N [ln (nQ /n) + 5/2] , µ = τ ln (n/nQ ) där n = N/V
med inre frihetsgrader
µ ≈ τ (ln (n/nQ ) − ln Zint )
där
X
Zint =
e−εint /τ
int
Arbete (vid konstant N ) d̄W = pdV . Med teckenkonventionen att d̄W > 0 då systemet utför ett arbete på omgivningen och d̄Q > 0 då omgivningen tillför värme till systemet ger
energiprincipen att d̄Q = dU + d̄W .
∂U
∂τ
Värmekapacitet
(värmekapacitivitet)
CV ≡
Clausius Clapeyrons
ekvation
L
dp
=
dτ
τ ∆v
Massverkans lag
Kemiska
rektionen
Besättningstal
!
∂U
∂τ
Cp ≡
,
V
X
νj Aj = 0
!
∂V
+p
∂τ
p
ger
j
X
!
,
γ=
p
Cp
CV
νj µ j = 0
j
Fermioner fF D =
1
e(ε−µ)/τ
+1
Bosoner
(µ = 0 för
fotoner)
fBE =
Stirlings formler, PH M-2, och integraler, PH M-6, kommer ofta till användning.
∗
Ensemblemedelvärde av en egenskap X: hXi =
X
Xs Ps , där s indicerar
s
kvanttillstånd och Ps är kvanttillståndets (absoluta) sannolikhet.
1
e(ε−µ)/τ
−1