הורד את ספר הקורס
1 סטודנטים יקרים לפניכם ספר תרגילים בקורס פיזיקה .1הספר הוא חלק מקורס חדשני וראשון מסוגו בארץ בנושא זה, המועבר ברשת האינטרנט .On-line הקורס באתר כולל פתרונות מלאים לספר התרגילים ,וכן את התיאוריה הרלוונטית לכל נושא ונושא. הקורס כולו מוגש בסרטוני וידאו המלווים בהסבר קולי ,כך שאתם רואים את התהליכים בצורה מובנית, שיטתית ופשוטה ,ממש כפי שנעשה בשיעור פרטי. לצפיה בשיעור לדוגמה יש להיכנס לעמוד הקורס. את הקורס בנו מני גבאי ויונתן גילאון ,מרצים מבוקשים במוסדות אקדמיים שונים ובעלי ניסיון עתיר בהוראת המקצוע. אז אם אתם עסוקים מידי בעבודה ,סובלים מלקויות למידה ,רוצים להצטיין או פשוט אוהבים ללמוד בשקט בבית ,אנחנו מזמינים אתכם לחוויית לימודים יוצאת דופן וחדשה לחלוטין .הכנסו עכשיו לאתר .www.gool.co.il אנו מאחלים לכם הצלחה מלאה בבחינות ,צוות האתר 2 תוכן עניינים וקטורים 3 ................................................................................................................................. קינמטיקה 10 .............................................................................................................................. תנועה יחסית15 .......................................................................................................................... דינמיקה 16 ................................................................................................................................ תנועה מעגלית 24 ....................................................................................................................... קואורדינטות פולריות 28 ............................................................................................................... כוחות מדומים 29 ........................................................................................................................ כוח גרר וכוח ציפה 33 .................................................................................................................. עבודה ואנרגיה 34 ....................................................................................................................... מתקף ותנע 39 ........................................................................................................................... מסה משתנה 43 ......................................................................................................................... מרכז מסה 47 ............................................................................................................................ מומנט התמד 49 ........................................................................................................................ מומנט כוח 52 ............................................................................................................................ תנע זוויתי 55 ............................................................................................................................. גוף קשיח 57 ............................................................................................................................. תנועה הרמונית 65 ..................................................................................................................... כוח מרכזי וכבידה 72 .................................................................................................................. יחסות פרטית 73 ....................................................................................................................... הידרו-סטטיקה והידרו-דינמיקה78 ................................................................................................. תרגילים ברמת מבחן80 ................................................................................................................ 3 וקטורים 1.1 נתונים שני וקטורים: הוקטור Aשגודלו 10וכיוונו 30מעלות הוקטור Bשגודלו לא ידוע וכיוונו 350מעלות מהו גודלו של הוקטור Bאם נתון שסכום הוקטורים ייתן וקטור ללא רכיב לציר ה.Y - 1.2 נתונים שני וקטורים בהצגה פולרית ⃗ Aבגודל 10ובכיוון 30 ⃗Bבגודל 8ובכיוון 60 נתוןA+B=C : מצא את וקטור C 1.3 נתונים שני וקטורים הוקטור ⃗Aשגודלו 7וכיוונו 30 והוקטור ⃗Bשגודלו 10וכיוונו 70 מצא את תוצאת המכפלה הסקלארית שלהם בעזרת שתי שיטות שונות. 1.4 נתון הוקטור )⃗A ) 2,3,4 א.מה גודלו של הוקטור? ב.מהו וקטור היחידה? 1.5 נתון הוקטור )⃗A (4,6 א) הצג את הוקטור בצורתו הפולרית (גודל וכיוון) ב) מהו הוקטור היחידה 1.6 ⃗ נתון הוקטור Aבהצגה פולרית .גודלו √52וכיוונו 56.3 א) הצג את הוקטור בצורת רכיביו. ב) מהו וקטור היחידה? 4 1.7 𝐷 ⃗ (1, −3), 𝐶 (−1,2, −2), נתונים הוקטורים ⃗ (2,0,1) : 𝐵 𝐴(1,2), א) מצא את ⃗ 𝐵⋅𝐴 ב) מצא את ⃗ 𝐵×𝐴 ג) מצא את ⃗ 𝐷×𝐶 1.8 עבור אילו ערכים של αו βהוקטורים הבאים קולינארים (מצביעים באותו כיוון) ̂𝑘𝐴 = 3𝑖̂ + 𝛼𝑗̂ + 5 ̂𝑘⃗ = 2𝑖̂ + 3𝑗̂ + 2β 𝐵 1.9 Cנתון הוקטור )⃗A(3, −4 א) הצג את הוקטור בצורתו הפולרית (גודלו וכיוון) ב) מהו וקטור היחידה 1.10 ⃗ נתון הוקטור Aשגודלו 5וכיוונו 120 א) הצג את הוקטור בצורתו הקרטזית ב) מצא את וקטור היחידה 1.11 נתון הוקטור )⃗A(−2, −4 הצג את הוקטור בצורתו הפולרית . 1.12 ⃗ נתון הוקטור Aכבשרטוט א) מהו היטלו של הוקטור על הוקטור ̂𝑋 (וקטור יחידה)? ב) מהו היטלו של הוקטור על הוקטור ( ŷוקטור יחידה)? ג) מהו היטלו של הוקטור על הוקטור ⃗ Aעל הוקטור ⃗ 𝐵)?(2,1 ד) הסבר במילים את משמעות ההטלה של וקטור על וקטור. 5 )B(2,1 1.13 נתונים 3וקטורים: (⃗A )1,3 (⃗ )4,2 B ⃗⃗⃗ (𝐶 )3,5 א) חשב מהו A+B+C ב) חשב מהו A-B-C ג) חשב מהו 2A+3B-4C 1.14 נתונים שני וקטורים: )⃗ (2,4 A (5,6)⃗B א) ב) ג) ד) חשב A×B חשב A∙B חשב A∙ŷ חשב ̂𝑋∙()A×B 1.15 נתונים שלושה וקטורים: (2, -4, 5)⃗A ⃗ 𝐵)(1, 4, 10 𝐶)(-2 ,-4, 6 חשב את המכפלות הבאות: (A∙B)xC )C∙(A∙B 1.16 נתונה מערכת צירים כבשרטוט נתונים שני וקטורים: ⃗⃗⃗- 20 גודל ,10זווית 𝐴 ⃗⃗⃗ גודל ,15זווית 𝐵- 60 א) חשב ( A∙Bמכפלה סקלארית) ב) חשב ( AxBמכפלה וקטורית) ג) הסבר מדוע המכפלה הוקטורית נותנת את שטח המקבילית שיוצרים הווקטורים. 6 1.17 נתונים שני וקטורים: )⃗ (5,1 A ⃗⃗⃗ (2,3)B א) חשב A∙B ב) חשב B∙A ג) חשב AxB ד) חשב BxA ה) מה משמעות הביטוי ?AxBxC 1.18 נתונים שני וקטורים: )A (1,5,10 )B (3,4,5 א) מהו גודלו של כל וקטור ? ב) מהי הזווית בין שני הוקטורים? 1.19 הוכח את משפט פיתגורס המורחב (במשולש שאינו ישר זווית) 𝛼 𝐶 2 = 𝐴2 + 𝐵2 + 2𝐴𝐵 cos 1.20 נתונים שני וקטורים: )A(2,6 )B(5,6 א) ב) ג) ד) חשב AxB חשב A∙B חשב A∙ŷ חשב ̂𝑋∙)(AxB 1.21 הוכח אם סכום של שני וקטורים מאונך להפרשם אזי אורכם שווה 1.22 נתונים 2ווקטורים. ⃗ (2,4,8)A ⃗ 𝐵)(Bx,By,0 מצא את רכיבי וקטור Bאם נתון כי הוא ניצב לוקטור Aוגודלו .10 7 1.23 מצא את ערכי הוקטורים כך שהוקטור Aוהוקטור Bיהיו מאונכים לוקטור .C האם שני הוקטורים שמצאת מקבילים? ⃗ (Ax,4) A ⃗ 𝐵)(6,By 𝐶)(5,8 1.24 שני כוחות נתונים פועלים על גוף. ⃗ (1,4,5) A ⃗ 𝐵)(3,6,7 א) מהו הכוח השקול? ב) מהו גודלו של הכוח השקול? ג) מהי הזווית בין הכוח השקול ובין כל אחד מהצירים? 1.25 נתונים 2מטענים חשמליים .q1, q2 לחלקיקים מהירות התחלתית: )V1: (1,0,0 )V2: (1,0,1 החלקיקים נעים בתוך שדה מגנטי Bהפועל לכיוון ציר ה Z-החיובי. הכוח שמפעיל הכוח המגנטי על החלקיקים נקרא כוח לורנץ ונוסחתו F=qvxB - מצא את הכוח המופעל על כל אחת מהחלקיקים. 1.26 מצא את הוקטור השקול לשני המצבים הבאים: הנח כי הוקטורים יוצרים משושה שווה צלעות וגו דל כל צלע הוא L 1.27 שני אנשים עומדים במרכזו של קרון נוסע. מיקומי הקרונות (והאנשים שעליהם) מצויינים בוקטורים Aו.B- א) מהי מהירות הקרונות ביחס לרצפה? ב) מהו המיקום של הקרון הימני כפי שהצופה השמאלי רואה אותו? ג) מהי מהירות הקרון הימני כפי שהצופה השמאלי רואה? 8 1.28 2 נתון וקטור rשל חלקיק מסויים(8t, -5𝑡 )r : א) ב) ג) ד) ה) ו) מהו רכיב ה X -של הוקטור בזמן? מהו רכיב ה Y -של הוקטור בזמן? מהי מהירותו בציר ה?X- מהי מהירותו בציר ה?Y- האם מהירויות אלה קבועות בזמן? מהו מרחק החלקיק מהראשית לאחר 3שניות? 1.29 מיקומו של חלקיק נתון ע"י וקטור .r 𝑟 = 5sin ( t), 4t3+ t2, 8et א) מצא את וקטור המהירות כפונקציה של הזמן. ב) מהי מהירות החלקיק ב?t=2 1.30 וקטור rמתאר מיקומו של חלקיק בזמן. )𝑟 = (5t, 10+t2 )𝑟 t=0 = (0, 10 א) ב) ג) ד) מהו מיקום החלקיק בזמן ?t=0 מהו מיקום החלקיק בזמן ?t=5 מהו ההעתק בחמש השניות הראשונות? מהי מהירות החלקיק בזמן ( t=5בהצגת גודל וכיוון) 1.31 חלקיק נורה מקצה בניין כמתואר בשרטוט. מיקומו של החלקיק נתון ע"י וקטור .r )𝑟 (t)= (5t, 10t-5t2 א) מהי מהירות ומהי תאוצת החלקיק? ב) מהו המרחק בין הצופה שעומד בתחתית הבניין לבין נקודת הפגיעה של החלקיק ברצפה? ג) מהו מיקום החלקיק בזמן מבחינת אותו צופה? 1.32 מהירותו של חלקיק מתוארת ע"י וקטור המהירות .v 𝑣 = -8sin ( t), 8cos ( t), -9.8t א) מצא את מיקום החלקיק בזמן אם נתון כי בזמן t=2החלקיק נמצא בראשית הצירים. ב) נסה לתאר במילים כיצד נראית תנועה זו. 1.33 תאוצתו של גוף נתונה ע"י וקטור התאוצה .a 𝑎= 2t מצא את מיקום החלקיק בזמן אם נתון כי בזמן t=0החלקיק במנוחה ומיקומו בזמן t=3הוא .1 9 1.34 קסדתו של צנחן נפלה בטעות מן המטוס. 2שניות לאחר מכן הצנחן קופץ מהמטוס במהירות התחלתית 40 m/sכלפי מטה. א) לאחר כמה זמן הצנחן יגיע לקסדה האבודה? ב) מה יהיה מרחקו מהמטוס בזמן זה? ג) מה היה קורה אילו הצנחן היה קופץ ללא מהירות התחלתית? (הנח כי תאוצת הגרביטציה היא )10 m/ s2 10 קינמטיקה 2.1 מכונית נוסעת במהירות 20מטר לשניה. א) מהו המרחק אותו עברה המכונית לאחר 5שניות? ב) מהי מהירות המכונית במהלך השניה החמישית? ג) מהו מיקום המכונית כפונקציה של הזמן? ד) מהו מיקום המכונית כפונקציה של הזמן לצופה העומד 200מטר מהראשית בכיוון הנסיעה? 2.2 מכונית מתחילה ממנוחה ומאיצה בתאוצה של 20מטר לשניה בריבוע. א) מהו המרחק אותו עברה המכונית לאחר 5שניות? ב) מהי מהירות המכונית לאחר חמש שניות? ג) מהו מיקום המכונית כפונקציה של הזמן? ד) מהו מיקום המכונית כפונקציה של הזמן לצופה העומד 200מטר מהראשית בכיוון הנסיעה? ה) מתי תגיע המכונית לצופה השני? 2.3 נתונות שתי מכוניות. מכונית א' נוסעת במהירות קבועה של 100מטר לשניה. מכונית ב' מתחילה ממנוחה ומאיצה ב 10מטר לשניה בריבוע. שתי המכונית מתחילות בזמן 0בראשית הצירים. א) ב) ג) ד) רשום את מהירות שתי המכוניות כפונקציה של הזמן. רשום את מיקומי שתי המכוניות כפונקציה של הזמן. מתי שתי המכוניות יפגשו? מה מהירותן של שתי המכוניות ברגע המפגש? 2.4 משאית יוצאת לתל אביב לחיפה במהירות 50קמ"ש. באותו הרגע מכונית יוצאת מחיפה לתל אביב במהירות 80קמ"ש. המרחק בין תל אביב לחיפה הוא 100ק"מ. א) מתי שני הרכבים יגיעו ליעדם? ב) מתי שני הרכבים יגיעו לנתניה? (המרוחקת 60ק"מ מחיפה) ג) מתי והיכן יפגשו שני הרכבים? 2.5 שתי מכוניות מרוץ נמצאות במרחק 100ק"מ אחת מהשניה. כמה זמן יקח למכונית במקום השני להגיע למכונית הראשונה אם נתון כי מהירות המכונית הראשונה היא 40 m/sומהירות המכונית השניה היא .50 m/s 2.6 מכונית מתחילה לנוע ממנוחה בתאוצה של 5m/ s2ונעה בקו ישר במשך 4שניות. לאחר מכן המכונית נעה במהירות קבועה למשך 8שניות נוספות ,ולבסוף מאטה במשך 2שניות בתאוצה קבועה עד שהיא נעצרת. א) רשום פונקציית תאוצה-זמן ב) שרטט גרף תאוצה-זמן 11 ג) ד) ה) ו) ז) ח) רשום פונקציית מהירות-זמן שרטט גרף מהירות-זמן מצא את מהירות המכונית בשניה ה ,8 ,3-ו.13- רשום פונקציית מיקום-זמן שרטט גרף מיקום-זמן מהי הדרך שעברה המכונית מתחילת תנועתה ועד שנעצרה? 2.7 מכונית מאיצה ממנוחה בתאוצה של .5m/ s 10שניות לאחר מכן נורה קליע לעבר המכונית. מה צריכה להיות מהירות הקליע כדי שהקליע והמהירות יפגשו פעם אחת בלבד? 2 2.8 מיקומו של גוף הנע בקו ישר נתון לפי: 𝑡𝑥(𝑡) = 32𝑡ⅇ− א) מצא את הזמן בו הגוף נעצר. ב) מצא את מרחק הגוף ברגע זה מהראשית. 2.9 גוף נע בכיוון החיובי של ציר ה x-כך שמהירותו נתונה לפי 𝑥√ 𝑐 = 𝑥𝑣 כאשר .C>0 בזמן t=0החלקיק נמצא ב . x=0 א) מה היחידות של ?C ב) מצא את המהירות והתאוצה כפונקציה של הזמן. ג) מצא את המהירות הממוצעת בזמן שהחלקיק עבר דרך .S 2.10 הגרף הבא מתאר את מהירותה של מכונית כפונקציה של הזמן: א) ב) ג) ד) מצא את המרחק הכולל אותו עברה המכונית. מצא את ) x(tושרטט גרף (מיקום המכונית כפונקציה של הזמן). מהי המהירות הממוצעת של המכונית ב 8השניות הראשונות של תנועתה? שרטט באופן סכמתי גרף המתאר את תאוצת המכונית כפונקציה של הזמן. 12 2.11 אבן נזרקת כלפי מעלה במהירות של .40m/s א) היכן תמצא האבן לאחר 3שניות? ב) מה תהיה מהירותה לאחר 4שניות? ג) כמה זמן תימשך עלייתה? ד) מהו הגובה המקסימלי אליו תגיע במסלול? ה) באיזה מהירות תגיע חזרה לנקודת הזריקה? ו) לאחר כמה זמן תהיה האבן 5מטר מתחת לנקודת הזריקה? 2.12 עכביש וצפרדע נמצאים על ענף בגובה .50m לפתע נופל העכביש והצפרדע קופצת בעקבותיו לאחר שתי שניות. א) ב) ג) ד) ה) האם הצפרדע יכולה להגיע לעכביש לפני הגעתו לקרקע? רשום פונקציית מיקום זמן לשני הגופים. מה צריכה להיות מהירותה ההתחלתית של הצפרדע כדי שהיא והעכביש יפגשו יחד בהגיעם לקרקע? רשום פונקציית מהירות-זמן לשני הגופים ושרטט את הגרף (בהתבסס על המהירות שמצאת בסעיף הקודם) מה תהיה מהירות הפגיעה בקרקע לשני הגופים? 2.13 חבילת סיוע נזרקת ממטוס לעבר מטרה. המטוס טס בגובה .1000mמהירות המטוס היא 300m/sומהירות נפילת החבילה היא .50 m/s א) כמה זמן תשהה החבילה באוויר? ב) מהי מהירות התקדמות החבילה? ג) מהי הדרך אותה עוברת החבילה וכמה זמן תנועה זו נמשכת? 2.14 חיים זורק אבן כלפי מעלה במהירות 20מטר לשניה. א) ב) ג) ד) מה יהיה שיא הגובה של האבן? כמה זמן ייקח לאבן להגיע לגובה זה? באיזו מהירות האבן תפגע חזרה ברצפה? כמה זמן האבן תשהה באויר? 2.15 חיים עומד בראש בניין בן 10קומות וזורק אבן כלפי מעלה במהירות .30m/s א) ב) ג) ד) מהו שיא הגובה של האבן ביחס לרצפה? (לא לראש הבניין) כמה זמן יקח לאבן להגיע לגובה זה? באיזו מהירות האבן תפגע ברצפה? כמה זמן האבן תשהה באויר? 2.16 חיים משחרר אבן מקומה ( 10גובה כל קומה 3 -מטר). משה נמצא בקומה החמישית ומשחרר גם הוא אבן בו זמנית. א) באילו מהירויות פוגעות שתי האבנים בקרקע? ב) מה הפרש הזמנים בין שתי הפגיעות? 13 ג) כעת משה משחרר את האבן רק ברגע שהאבן של חיים עוברת לידו .מה הפרש הזמנים בין שתי הפגיעות? ד) כמה זמן יהיה על מה משה להמתין מרגע שחרור האבן של חיים ,עדי ששתי האבנים יפגעו ברצפה בו זמנית? 2.17 אדם הצופה מחלון ביתו שנמצא בגובה 40mמהקרקע רואה אבן החולפת על פניו גם כלפי מעלה וגם כלפי מטה. הפרש הזמנים בין שני המעברים על פני אותה נקודה הוא 5שניות. מהי מהירות זריקת האבן מהקרקע? 2.18 נתונה מטרה בגובה Hובמרחק אופקי Lמתותח .התותח מכוון בקו ישר אל המטרה. ברגע יריית הקליע משוחררת המטרה והיא מתחילה בנפילה חופשית. א) הוכח שהקליע יפגע במטרה ללא תלות במהירותו ההתחלתית. ב) מצא את גובה הפגיעה מעל הקרקע,כפונקציה של מהירות הקליע ההתחתלתית. 2.19 תותח נמצא במרחק dמקיר .התותח יורה פגז במהירות vבזווית αמעל האופק והפגז פוגע בקיר. א) ב) ג) ד) ה) כמה זמן ישהה הפגז באוויר בטרם יפגע בקיר? באיזה גובה הפגז פוגע בקיר? מהי מהירות בפגז בעת הפגיעה בקיר? מהי זווית הפגיעה בקיר? מהו התנאי על המרחק בין התותח לקיר כך שהפגז יפגע בקיר בטרם הגיע לשיא הגובה במעופו? 2.20 מהירות של גוף נתונה ע"י: ̂𝑦 𝑣 = (9𝑡 2 + 2)𝑥̂ + 5𝑡 3 א) מצא את התאוצה המשיקית ,גודל וכיוון ב (.)t=2 ב) מצא את התאוצה הנורמאלית ,גודל וכיוון ב (.)t=2 2.21 כדור נורה במהירות uבזווית αמעל האופק. מהו גודל מהירות הכדור כפונקציה של הזמן? 2.22 נתונה ציפור העפה בגובה Hבמהירות .V על האדמה נמצא תותח היורה קליע במהירות Uברגע שהציפור עוברת מעליו. א) מה צריכה להיות זווית הירייה של התותח על מנת שיפגע בציפור? ב) מה צריך להיות גודלו המינימלי של Hעל מנת להבטיח שהציפור לא תיפגע מהקליע? 14 2.23 אבן נזרקת לעבר מדרון משפוע על פי הנתונים כמתואר בשרטוט. נתון כי האבן פוגעת במדרון. א) היכן האבן פוגעת במדרון? ב) מהי זווית הפגיעה ביחס למדרון? 2.24 מיקומו של חלקיק בזמן נתון ע"י וקטור .r 𝑟)= (3t, 4t+ 5t2 א) ב) ג) ד) ה) ו) ז) מהי מהירות החלקיק בזמן מהי מהירותו ההתחלתית של החלקיק? (יש לבטא את התשובה בגודל ובכיוון) מתי החלקיק יגיע לשיא הגובה? מהו שיא הגובה? מתי החלקיק יפגע בקרקע? היכן החלקיק יפגע בקרקע? מה תהיה מהירות הפגיעה בקרקע? (יש לבטא את התשובה בגודל ובכיוון) 2.25 נתון תותח היורה קליע (מהירותו ההתחלתית לא נתונה). הקליע עובר בין שתי טבעות. גובה הטבעות הוא ,Hהמרחק בין שתי הטבעות הוא Dוהמרחק אופקי בין התותח לטבעות הוא .L מצא באיזה מהירות נורה הקליע. 2.26 מה צריכה להיות זווית היריה של תותח על מנת שהכדור אותו הוא יורה יגיע למרחק הרב ביותר? 2.27 ילד עומד בתחתית של ההר הירוק .שיפוע ההר הינו 45מעלות. הילד זורק כדור במהירות Vובזווית αמעל האופק והכדור פוגע בהר. א) ב) ג) ד) רשום את משוואת מיקום בזמן של הכדור. היכן פוגע הכדור בהר? כמה זמן שוהה הכדור באויר עד הפגיעה בהר? מה צריכה להיות זווית הזריקה על מנת להגיע למרחק פגיעה מקסימלי? תנועה יחסית 15 3.1 מכונית נוסעת במהירות של 30מטר לשנייה בכיוון 30מעלות עם ציר ה .X אוטובוס נוסע במהירות של 50מטר לשנייה בכיוון ציר ה .X א) מצא את המהירות היחסית בין האוטובוס למכונית. ב) מצא את הזווית בה האוטובוס יראה את המכונית נוסעת. 3.2 נהג הנוסע במהירות 100קמ"ש רואה טיפות גשם נמרחות על השמשה הצדדית של המכונית בכיוון הפוך לכיוון הנסיעה ובזווית של 45מעלות עם הציר האנך לכיוון הנסיעה. נהג אחר הנוסע במהירות 70קמ"ש ,רואה את טיפות הגשם בזווית 30מעלות עם אותו הציר. מצא את מהירות הטיפות ביחס לקרקע (גודל וכיוון). 3.3 נהר זורם צפונה במהירות .Vrיוסי נמצא בגדה המערבית ורוצה להשיט סירה לרוחב הנהר. מהירות הסירה היא Vbrיחסית לנהר .יוסי מעוניין להגיע אל הגדה הנגדית בדיוק מזרחית לנקודת מוצאו .נתון כי רוחב הנהר .d א) באיזה כיוון הוא יהיה חייב להשיט את הסירה? ב) מה מהירות הסירה יחסית לאדמה? ג) כמה זמן תארך דרכו? דינמיקה 16 4.1 מצא את יחס המסות כפונקציה של הזווית ואת הנורמל (אין חיכוך). 4.2 נתון כדור בעל מסה mהמונח בתוך קופסא המוטה בזווית הנתונה. פאות הקופסא ניצבות זו לזו. מהו הכוו שמפעילה כל דופן על הכדור? 4.3 שני חרוזים זהים מושחלים על משולש כבשרטוט. מצא את הזווית שבין החוט למשולש ואת המתיחות בחוט אם נתון כי אין חיכוך. 4.4 אדם עומד על חבל המחובר לשני קירות על פי השרטוט. מצא את המתיחות בחבל אם נתון כי האדם ירד L/100מגובה החבל המקורי. 4.5 מצא את יחס המסות לפי הנתונים שבשרטוט. 4.6 נתונה המערכת שבשרטוט. אין חיכוך בנקודות המגע בין המסות .קיים חיכוך בין בין המסות לרצפה. 17 מהו מקדם החיכוך המינימלי שישמור על המערכת במקומה? 4.7 נתונה המערכת שבשרטוט. מצא את המתיחות בשלושת החוטים. 4.8 נתונות המסות למערכת שבשרטוט. מצא את הזוויות. 4.9 נתונה המסה שעל המשטח שבשרטוט. נתון מקדם החיכוך בין המסה למשטח. מהי המסה התלויה המקסימלית שתשאיר את המערכת במנוחה? 4.10 נתונה מסה וזווית המדרון. מצא את הנורמל ואת כוח החיכוך. 4.11 נתונה מסה וזווית המדרון. מהו מקדם החיכוך המינימלי שישאיר את המערכת במנוחה? 18 4.12 מצא את כוח החיכוך אם נתונות המסות ,הזווית ומקדם החיכוך .μ 4.13 נתונה המערכת שבשרטוט ונתון מקדם החיכוך בין המסה למשטח. מהי המסה המקסימלית שניתן לתלות מבלי לגרום לתזוזה במערכת? 4.14 נתונות 3המסות כבשרטוט. נתון כי המשטח חלק ,אך נתון מקדם החיכוך בין שתי המסות. מהי המסה התלויה המקסימלית שתשאיר את המערכת במנוחה? 4.15 שלוש מסות מונחות על משטח חלק אדום דוחף את המסות לתאוצה .a0 א) מהו כוח זה? ב) מהם הכוחות המופעלים בין המסות? 4.16 מצא את המתיחות בכל החוטים במערכת הבאה. הנח כי הגלגלת אידיאלית ,המסות נתונות ולא קיים חיכוך עם המשטח. 4.17 נתונה המערכת שבשרטוט. מצא את תאוצת הגופים. 19 4.18 מסה מחליקה ממנוחה (ללא חיכוך) במורד מישור בעל זווית αעם האופק. א) מהי תאוצת המסה? ב) מהי התאוצה בכל ציר? 4.18 נתונות המסות של 3משקולות התלויות כמתאור בשרטוט. א) הסבר ללא חישוב באיזה חוט המתיחות הגדולה ביותר ובאיזה במתיחות הקטנה ביותר מבין שלושת החוטים שבשרטוט. ב) מצא את תאוצת המערכת של שלושת המתיחויות שבחוטים. 4.19 נתונות שתי מסות על גלגלת כמתואר בשרטוט. מצא את תאוצת המסה הימנית. 4.20 בתוך מכונית קיים מתקן המודד את תאוצת המכונית. המתקן בנוי ממטוטלת קטנה והמכשיר מודד את הזווית בינה ובין הקו האנכי (הדמיוני) לקרקע. מצא את הקשר בין הזווית לבין תאוצת המכונית. 4.21 נתונות מסות על פי השרטוט. מקדם החיכוך בין המסות לרצפה הינו .μ 20 א) מהי תאוצת המסות? ב) מהו מקדם החיכוך המינימלי המאפשר תאוצה? 4.22 נתונות שתי המערכות שבשרטוט .המערכות זהות למעט מיקום החוטים המחברים בין המסות. א) לאיזו מערכת תאוצה גדולה יותר ,בהנחה ששני מקדמי החיכוך זהים? ב) לאיזו מערכת תאוצה גדולה יותר ,בהנחה ש? μ2> μ1 - ג) לאיזו מערכת תאוצה גדולה יותר ,בהנחה ש? μ1> μ2 - 4.23 נתונה המערכת שבשרטוט .נתון מסות הגופים ומקדם החיכוך בין הגופים למשטח הוא .μ מצא את הכוח הפועל בין המסות. 4.24 נתונה מסה mהנעה במהירות קבועה על גבי המדרון בזווית נתונה. מהו גודל הכוח שמפעיל המדרון על המסה? 4.25 נתונה המערכת שבשרטוט .נתונות המסות ומקדם החיכוך בין המסות ובין המסות לרצפה. מה צריך להיות הכוח המינימלי של Fעל מנת להצליח למשך את המסה? 21 4.26 עגלה משוחררת במנוחה במישור חלק בעל שיפוע בזווית ( αללא חיכוך). ברגע השחרור נזרק מהעגלה כדור בניצב למישור במהירות .u האם הכדור ינחת בעגלה? אם כן ,מתי? 4.28 אדם בעל מסה mעומד על משקל המחובר בצורה אופקית לקרונית .מסת הקרונית היא Mונתון כי היא מחליקה ללא חיכוך על פני מישור משופע בזווית .α א) ב) ג) ד) מה מורים המאזניים? הניחו שהחיכוך בין רגלי האדם לקרונית מספיק גדול ,כך שאינו נע ביחס אליה. מצא את מקדם החיכוך המינימלי בין רגלי האדם והקרונית על מנת שהאדם לא יחליק ביחס לקרונית. כעת הנח כי אין חיכוך בכלל בין האדם לקרונית .מה תהיה תאוצת הקרונית במצב זה? (כל עוד האדם נמצא על הקרונית). מה יורה המשקל במצב המתואר בסעיף ג'? 4.29 במערכת הבאה מסות הגופים ידועות .אין חיכוך בין המסות למשטח. מצא את תאוצות הגופים ואת המתיחויות בחוטים. 4.30 נתונה המערכת שבשרטוט. מהי תאוצת כל אחד מהגופים? 22 4.31 מהי המתיחות בחוט למערכת שבשרטוט? מה היתה המתיחות במערכת דומה בעלת 100גלגלות? 4.32 מצאו את תאוצת הגופים במערכת הבאה. מה התנאי לכך שהמסה m3תנוע כלפי מעלה אם נתון שהמערכת מתחילה ממנוחה? 4.33 אדם מפעיל כוח על המערכת שבשרטוט. מצא את תאוצת האדם. 4.34 מהנקודה Aשנמצאת בחלקו העליון של המעגל מותחים מיתר לנקודה Bהנמצאת בנקודה כלשהי על המעגל. משחילים חרוז על המיתר בנקודה Aומשחררים ממנוחה. הוכח כי בזמן שייקח לחרוז להגיע לסוף המיתר אינו תלוי במיקומה של הנקודה .B 23 4.35 אדם מנסה לחתוך חוט מתכת בעזרת מספריים .החוט חופשי לנוע והוא מחליק על המספרים עד שזווית המפתח של המספריים היא ,αבזווית זו המספריים מתחילות לחתוך את החוט. א) ב) ג) ד) צייר את הכוחות שפועלים על החוט. מצא את מקדם החיכוך בין המספרים לחוט. הראה שהזווית αאינה תלויה בכוח הכובד כאשר המספריים במצב אופקי. כעת ,מסובבים את המספרים בזווית βסביב ציר העובר בבורג המספרים .כיוון הסיבוב הוא נגד השעון, כך שהחוט עולה כלפי מעלה .הראה כעת שהשינוי בזווית αהוא לפי 𝛽 𝑛𝑖𝑠 𝑔𝑚 = 𝜇Δ 𝜇 𝜇 = 𝜇0 + Δכאשר 𝜇0הוא המקדם שמצאת בסעיף ב ו 𝛼 ) (𝑠𝑜𝑐 𝐹 האם המספריים יחתכו יותר מוקדם או יותר מאוחר? 2 4.36 נתונה שרשרת במנוחה לפי השרטוט. השרשרת בעלת אורך Lומסה ( mצפיפות המסה אחידה). מהו אורך החלק ( xהחלק שנשאר תלוי באוויר). 4.37 אדם סוחב מסה לפי השרטוט .נתון mונתון מקדם החיכוך בין המסה לרצפה. א) מה תהיה תאוצת המסה? ב) שאלת בונוס -מה צריכה להיות הזווית על מנת להקל על האדם ככל הניתן? תנועה מעגלית 5.1 מטוטלת בעלת אורך lמסתובבת סביב ציר האנך לתקרה בזווית מפתח קבועה . θ 24 נתוןθ ,l : מצא את התדירות וזמן המחזור של הסיבוב. 5.1 מסה mמונחת על דיסק המסתובב על שולחן במהירות זוויתית קבועה ω המסה מחוברת לחוט העובר דרך מרכז השולחן ומחובר למסה .M בין המסה mלדיסק יש חיכוך ומקדם החיכוך הסטטי הוא μs נתוןω, μ, m, μs : מהו הרדיוס המינימלי והרדיוס המקסימאלי שבו ניתן להניח את המסה כך שלא תזוז בכיוון הרדיאלי? 5.3 גוף נע על מעגל ברדיוס .3mהגוף חולף דרך הנקודה ( )5,4ביחס לראשית הצירים .O 𝑑𝑎𝑟 𝜋2 נתון כי מרכז המעגל נמצא ב ( )5,7והמהירות הזוויתית היא 𝑐𝜔 = 20 𝑠ⅇ א) ב) ג) ד) ה) ו) מצא את וקטור המיקום של הגוף כפונקציה של הזמן. מצא את וקטור המהירות של הגוף כפונקציה של הזמן. מצא את וקטור התאוצה של הגוף כפונקציה של הזמן. מצא את המהירות הממוצעת בין t=5 secל .t= 10 sec מצא את תחום הזווית ביחס לראשית בו נע וקטור המקום. מצא את תחום הגדלים של וקטור המקום. 5.4 גוף נע במעגל בעל רדיוס Rבתאוצה משיקית קבועה 𝑡𝑎 וללא מהירות התחלתית. מצאו את גודל התאוצה הרדיאלית: א) כפונקציה של הזמן ב) כפונקציה של זווית הסיבוב 5.5 המיקום הזוויתי של נקודה על גבי שפת גלגל מסתובב נתונה ע"י𝜙 = 5𝑡 + 3𝑡 2 − 2𝑡 3 : א) מהי המהירות הזוויתית ב t=2ו ב t= 4שניות? ב) מהי התאוצה הזוויתית הממוצעת בין זמנים אלו? ג) מהי התאוצה הזוויתית הרגעית בזמנים אלו? 5.6 חלקיק מוגבל לנוע על מעגל ברדיוס .R נתון שגודל המהירות של החלקיק 𝑉(𝑡) = 𝐶𝑡 2כאשר Cקבוע. מצאו ופתרו את משוואת המיקום של החלקיק. 25 5.7 מיקומו של גוף כתלות הזמן נתון ע"יx(t)=Rωt-Rsin(ωt) : )y(t)= R-Rcos(ωt כאשר Rו ωקבועים. א) מצא את וקטורי המהירות והתאוצה של הגוף. ב) מצא את התאוצה המשיקית והנורמאלית. ג) צייר את מסלול הגוף. 5.8 גוף נע במעגל שרדיוסו .3 mהדרך שעובר הגוף נתונה ע"יs=6t2+3t : חשב את התאוצה המשיקית ,הרדיאלית והכוללת (כתלות בזמן). 5.9 חישוק מסתובב על ציר מושחל חרוז לפי הנתונים בציור. א) מהי תדירות הסיבוב? ב) מה צריכה להיות תדירות הסיבוב על מנת שהזווית αתהיה 90מעלות? 5.10 נתונה המערכת שבציור א -מהו מרחק המסה מהציר? ב -כיצד תושפע גובהה של המסה אם נכפיל את אורכו של החוט? 5.11 3מסות מסתובבות סביב ציר בעזרת מוטות חסרי מסה כמתואר בשרטוט. נתוןM,m,D,d : מצא את מהירות הסיבוב הזוויתית? 5.12 מסה קשורה בחוט בעל אורך dלמוט בעל אורך .Dהמוט מסתובב במהירות .w ברגע מסויים מתנתק החוט. כמה תתקדם האבן עד לפגיעתה בקרקע? 26 5.13 נתונים שני חוטים המחוברים למוט מסתובב. במרכז שני החוטים קשורה מסה. המערכת והנתונים מופיעים בציור. המוט והחוטים חסרי מסה. נתונה תדירות הסיבוב. א) מהי המתיחות בחוטים? ב) כעת החוטים התחתונים נקרעו והמערכת ממשיכה להסתובב. מהי יהיה מרחק המסה מהציר? 5.14 נתונה הקרוסלה שבציור. גובה הכסא מהרצפה הוא , Hאורך החוט הוא Dומרחק הכסא מהציר הוא .R על הקרוסלה יושב ילד בעל מסה .m א) מה יהיה מרחק הילד מהרצפה כשהקרוסלה תסתובב? ב) אם לילד יפול מטבע מהכיס כאשר הקרוסלה מסתובבת ,באיזה מרחק מציר הסיבוב ינחת המטבע לרצפה? 5.15 נתונה דיסקה מסתובבת בעלת חיכוך (הנתונים מופיעים בשרטוט). מהו המרחק המקסימלי מהמרכז שבו יכולה להמצא החיפושית מבלי להחליק? 5.16 שתי מסות כבשרטוט משוחררות ממנוחה. מצא את תאוצת המסה התחתונה רגע לאחר השחרור. 5.17 ציפור מתחילה לטוס לכיוון ציר ה x-במהירות V0ממרכזה של דיסקה מסתובבת. נתון כי רדיוס הדיסקה הוא ,Rומהירות הדיסקה היא .ω באותו הרגע בדיוק נכנס שוטר על קצה הדיסקה ומתחיל להסתובב ביחד עם הדיסקה אל עבר הציפור. מה מראה מד המהירות שהשוטר מכוון אל הציפור ,אם ידוע כי מד מהירות שכזה מודד את המהירות שבכיוונו בלבד? 27 קואורדינטות פולריות 6.1 רוכב אופנוע מתחיל את תנועתו ממנוחה .מרחקו מנקודת ההתחלה משתנה לפי ,r=ctכאשר cקבוע. בנוסף הרוכב מסתובב במהירות זוויתית קבועה .ω 28 מצא את המרחק המקסימלי אליו יגיע הרוכב אם נתון מקדם החיכוך הסטטי .µs 6.2 חיפושית נעה על קרוסלה המסתובבת במהירות זוויתית קבועה .ω0רדיוס הקרוסלה .Rהחיפושית נעה מקצה הקרוסלה למרכזה במהירות קבועה V0ביחס לקרוסלה. א) מצא את מיקום החיפושית בקורדינטות קרטזיות ובקורינטות פולריות ביחס לצופים הבאים: צופה -Aהנמצא על הקרוסלה בנקודת ההתחלה של החיפושית. .I צופה - Bהנמצא על הקרוסלה במרכזה. .II צופה - Cהנמצא במרכז הקרוסלה אך אינו מסתובב איתה. .III צופה - Dהנמצא בקצה הקרוסלה ואינו מסתובב עם הקרוסלה. .IV ב) מצא את המהירות והתאוצה ביחס לאותם צופים. כוחות מדומים 7.1 מערכת הגלגלות המתוארת באיור תלויה מתקרת מעלית העולה בתאוצה קבועה . α0 כל הגלגלות הינן חסרות מסה. 29 א) מצאו את תאוצת המסות. ב) ידוע כי .m1>2m2עוזבים את המערכת ממנוחה כאשר המסה m1נמצאת מטר מעל לרצפת המעלית .תוך כמה זמן תפגע המסה m1ברצפת המעלית? 7.2 בציור מתוארת מכונית משולשת עם זווית ראש .θעל המכונית ישנה מסה Mובין המכונית למסה קיים חיכוך. נתון כי𝑠𝑖𝑛 𝜃 = 0.6, 𝜇𝑘 = 𝜇𝑠 = 0.2,: א) ב) ג) ד) מהו התנאי שהתאוצה aצריכה לקיים על מנת שהמסה לא תחליק מטה. כעת ,נתון כי a=0.2gחשב את תאוצת הגוף במערכת העגלה. חשב את תאוצת הגוף במערכת המעבדה (.)a=0.2g כעת נתון כי העגלה נעה שמאלה .מהי צריכה להיות התאוצה הקריטית שמאלה של העגלה כדי שהמשקולת תינתק מהמישור המשופע? 7.3 אדם בעל מסה של 70ק"ג עומד על מד משקל בתוך מעלית. רשום מה יראה מד המשקל במצבים הבאים: א) ב) ג) ד) המעלית במנוחה. המעלית נעה במהירות קבועה של 5מטר לשניה בריבוע. המעלית מאיצה בתאוצה של 5מטר לשניה בריבוע ,כלפי מעלה. המעלית מאיצה בתאוצה זו כלפי מטה. 7.4 כוח נתון מופעל על המערכת שבשרטוט. מהו מקדם החיכוך המינימלי שיימנע את החלקתה של המסה העליונה? 7.5 נתונות שתי מסות כבשרטוט .בין שתי המסות קיים מקדם חיכוך סטטי 𝜇. א) מה צריכה להיות תאוצת הגופים על מנת שמסה mלא תחליק מטה? ב) -2איזה כוח יש להפעיל על מנת להביא את המערכת לתאוצה הזו? 30 7.6 נתונה קרונית בעלת מסה Mהנעה במישור תחת הכוח .Fלמסה ומחוברת למשקולת .m מהי הזווית בחוט? 7.7 חיפושית הולכת למרכזה של דיסקה מסתובבת (רדיוס הדיסקה )R מהי האנרגיה שהחיפושית משקיעה? 7.8 נהג מסתובב עם מכוניתו סביב כיכר שרדיוסה ] R=50[mבמהירות ].v=20[m/s על מראת המכונית תלויה קובייה שמסתה]. m=0.1[kg א) במערכת הייחוס של הנהג ,מהו הכוח המדומה (הכוח הצנטריפוגלי) הפועל על הקובייה? ב) מצאו ,פעם במערכת הייחוס של צופה מן הצד ופעם במערכת הייחוס של הנהג ,את הזווית בה תלויה הקובייה ביחס לאנך בשיווי-משקל. 7.9 יוסי ודני עומדים זה מול זה על גבי דיסקה בעלת רדיוס Rהמסתובבת במהירות זוויתית ωסביב צירה. האנשים קבועים במקומם על שפת הדיסקה כאשר מרכז הדיסקה נמצא בידיוק ביניהם .יוסי מגלגל כדור קטן על הדיסקה שמגיע לדני כעבור זמן .T א) מצא את מהירות הזריקה (גודל וכיוון) יחסית לדיסקה .בצע את החישוב במערכת המעבדה. ב) מצא את משוואת התנועה של המסה במערכת הדיסקה בעזרת מערכת קואורדינטות פולריות היחסית למערכת ומרכז הדיסקה. 7.10 חלקיק נקודתי בעל מסה mנע בתוך מנהרה ישרה העוברת במרכז כדור הארץ (הנח כי מסת כדור הארץ ורדיוסו ידועים וצפיפותו אחידה) .נתון גם כי כדור הארץ מסתובב במהירות זוויתית .ωעל החלקיק פועל כוח חיכוך השווה ל µNכאשר Nהוא הכוח הנורמאלי הפועל מדופן המנהרה. 31 א) מהו גודל כוח הכובד בתוך הכדור כתלות במרחק ממרכזו? התייחס לנוסחה המלאה של כוח הכובד = 𝐹 𝑚𝑀𝐺 ̂𝑟 ( − 𝑟2כאשר Gהוא קבוע נתון r ,הוא המרחק ממרכז הכדור) ב) מהם הכוחות הצנטריפוגלי וקוריאוליס הפועלים על החלקיק כתלות במיקום ובמהירות? ג) מהו כוח החיכוך הפועל על החלקיק? ד) רשמו משוואות התנועה עבור רכיב המיקום לאורך ציר ה Xבמערכת מסתובבת. 7.11 צינור גלילי באורך 2lמסתובב במהירות זוויתית ωסביב ציר אנכי הניצב לצינור ועובר במרכזו .גוף בעל מסה m נע ללא חיכוך בתוך הצינור .נתון כי הגוף מתחיל ממנוחה ובמרחק aממרכז הצינור( .לצורך השאלה יש להתעלם מכוח הכובד). א) ב) ג) ד) מצא את הכוחות הפועלים על החלקיק במערכת הצינור המסתובב. חשב את המהירות כפונקציה של הזמן וכפונקציה של המרחק מהציר. (פתור את המשוואה הדיפרנציאלית בעזרת הכפלה ב ̇𝑟 ). מצא את הזמן בו הגוף ייצא מהצינור. רשום את משוואת התנועה של הגוף בצינור במידה וקיים כוח חיכוך ומקדם החיכוך הקינטי נתון .µ 7.12 סירה נמצאת בקו רוחב λיורה פגז במהירות Vלעבר סירה אחרת הנמצאת במרחק dממנה לכיוון דרום .נתון מהירות כדור הארץ היא .ω מצא את הסטייה במיקום הפגז בעקבות כוח קוריאוליס. הזנח את ההשפעה של הכוח על רכיבי המהירות בכיוון מזרח מערב ובכיוון אנך לכדור הארץ .הנח כי הפגז נע בקו ישר והתעלם מהתנועה הבליסטית. 7.13 נהר זורם במהירות Vמצפון לדרום .מיקום הנהר הוא בזווית θביחס לציר הסיבוב של כדור הארץ .נתון רדיוס כדור הארץ ורוחב הנהר ,Dמהירות כדור הארץ היא .ω=2 /24 מצא את הפרש הגבהים בין גדות הנהר. 32 7.14 מסה mנזרקת אופקית ממגדל בגובה .Hהמגדל נמצא בקו רוחב .λ נתון - R :רדיוס כדור הארץ - 𝑣0 ,מהירות התחלתית של המסה, - gתאוצת הכובד בקטבים ו -ωמהירות זוויתית של כדור הארץ. הנח כי h≪Rוכי ניתן להזניח את השינוי בכוח הצנטריפוגלי ואת השינוי בקו הרוחב במהלך התנועה. א) חשב את משוואות התנועה במערכת יחוס של המגדל. ב) פתור את משוואות התנועה. ג) בדוק מה קורה בגבול ש g≫Rω2ו ?ωt≪1פתח עד סדר שני ב .ωt 7.15 בדסקה ברדיוס Rישנה תעלה ישרה במרחק 𝑅 2 ממרכז הדסקה .הדסקה מסתובבת במהירות זוויתית .ωכוח מושך גוף בעל מסה mלאורך התעלה כך שמהירות הגוף היא v=ωRיחסית לדסקה. א) מה גודלו של הכוח המסיע את המסה אם נתון שאין חיכוך בין המסה לתעלה? ב) מהו גודלו וכיוונו של הכוח הנורמלי הפועל מדפנות התעלה? (התעלם מכוח הכובד). ג) במידה והכוח המושך את המסה לא היה פועל ,והגוף היה מתחיל לנוע מקצה התעלה במהירות התחלתית v=ωRכלפי פנים ,מה היתה מהירות הגוף במרכז התעלה? 33 כוח גרר וכוח ציפה 8.1 צנחן קופץ ממטוס ופותח מצנח .נתון כי כוח החיכוך עם האוויר הוא 𝑣𝑘. 𝐹 = − א) מצא את משוואת התנועה של הצנחן. ב) מצא את המהירות הסופית. ג) מצא את המהירות כפונקציה של הזמן אם הנפילה התחילה ממנוחה. 8.2 כדור נזרק לתוך בריכה עם מהירות התחלתית 𝑣0בזווית θעם פני המים. נתונים :צמיגות המים , η -רדיוס הכדור – ,Rמהירות התחלתית , 𝑣0 - צפיפות המים 𝑤𝜌 ,צפיפות הכדור 𝑏𝜌. א) רשום את משוואת התנועה של הכדור. ב) מצא את המהירות הסופית של הכדור. ג) מצא את העומק המקסימאלי אליו יגיע הכדור אם 𝑤𝜌 < 𝑏𝜌. 8.3 במהירויות גבוהות ,גודל כח החיכוך שמפעיל האוויר על כדור הוא 𝑣𝑘.𝐹𝑑 = − 2 א) מצאו את המהירות הסופית של כדור הנופל מגובה רב. זורקים כדור ישר למעלה במהירות התחלתית השווה למהירות הסופית מסעיף א. ב) מהי תאוצת הכדור כאשר מהירותו שווה לחצי ממהירותו ההתחלתית אם הכדור בדרכו למעלה? ג) מהי תאוצת הכדור כאשר מהירותו שווה לחצי ממהירותו ההתחלתית אם הכדור בדרכו למטה? 8.4 מסה Mמחליקה במורד מישור חלק .המסה מחוברת למסה mדרך גלגלת אידיאלית. המסה mשקועה בנוזל .כוח הציפה המופעל על המסה הוא Fbוכוח החיכוך של הנוזל מפעיל כוח גרר של.PV - המסה מתחילות ממנוחה. מצא את מהירות המסה הקטנה ( )mבפונקציה של הזמן (הנח כי היא איננה יוצאת מהנוזל). 34 עבודה ואנרגיה 9.1 נתון הכוח F ̂𝑧𝑦 𝐹 = 2𝑥𝑦𝑥̂ + (𝑥 2 + 𝑧)𝑦̂ + בדוק ,האם הכוח Fמשמר? 9.2 עגלה נעה על משטח ללא חיכוך. העגלה מתחילה במעלה המדרון בגובה Hעם מהירות התחלתית מצא את מהירות העגלה בתחתית המדרון. . 𝑢0 נתון 𝑢0 ,H : 9.3 קפיץ חסר מסה ,בעל קבוע קפיץ של 𝑚 , 50𝑁⁄מחובר לרצפה. משחררים ממנוחה מסה של m=2kgהנמצאת בגובה 3מטר מעל הקפיץ. א) מצא את הכיווץ המקסימאלי של הקפיץ. ב) מה הגובה המקסימאלי אליו תגיע המסה לאחר הפגיעה בקפיץ? 9.4 מסה m1נמצאת על מדרון משופע בזווית .θהמסה מונחת על קפיץ בעל קבוע קפיץ kהמכווץ ב .Δx=dאל המסה קשור חוט העובר דרך גלגלת אידיאלית ומחובר למסה m2הנמצאת בגובה Hמעל הרצפה .המערכת משוחררת ממנוחה. מצא את מהירות הפגיעה בקרקע של .m2 נתוןm1=1 kg,m2=2kg : H=3m,k=100N/m Θ=30◦ d= 30cm 9.5 35 חשב את העבודה שמבצע הכוח ̂𝑦𝑥𝑦 𝐹 = 𝑥𝑥̂ +בין הנקודה )0,0(Aלנקודה (:B)2,4 א) ב) ג) ד) דרך המסלול של הקו הישר המחבר בין הנקודות. דרך מסלול המקביל לציר ה Xעד לנקודה ) C(2,0ולאחר מכן דרך המסלול המקביל לציר ה Yעד לנקודה .B 2 דרך המסלול .y=x דרך המסלול .y(t)=4t2,X(t)=2t 9.6 נתון הכוח הבא: ̂𝑦)𝑦𝐹 = 𝑎(2𝑥 + 4𝑦)𝑥̂ + 𝑏(4𝑥 − 2 א) מצא תנאי על aו bכך שהכוח יהיה משמר. ב) מצא את העבודה שעושה הכוח על גוף הנע במסלול סגור לאורך מעגל המתואר ע"י ̂𝑦𝜃 𝑛𝑖𝑠 𝑅 𝑟 = 𝑅 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑥̂ +כאשר הגוף מתחיל את תנועתו מהנקודה (.)R,0 ג) מצא את העבודה שעושה הכוח על גוף הנע במסלול סגור לאורך אליפסה המתוארת ע"י ̂𝑦𝜃 𝑛𝑖𝑠 𝑘 𝑟 = 𝑑 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑥̂ +כאשר הגוף מתחיל את תנועתו מהנקודה (.)d,0 9.7 נתון הכוח :F ̂𝑧𝑦 𝐹 = −2𝑥𝑦𝑥̂ + (𝑥 2 − 𝑧)𝑦̂ + בדוק האם הכוח Fמשמר. 9.8 מצא את האנרגיה הפוטנציאלית של הכוח ̂𝑦) 𝑥 𝐹 = −2𝑥𝑦𝑥̂ + (2 − אם נתון ש.U(0,0)=0 : 2 9.9 נתונה מערכת על פי השרטוט הבא. מקדם החיכוך הסטטי והקינטי הוא .μ המסה מקבלת מהירות התחלתית .V א) מה תהיה הדרך שעברה המסה עד לשיא הגובה? ב) מה התנאי לכך שהמסה לא תחליק בחזרה? 9.10 מסה מחליקה על מישור משופע בעל מקדם חיכוך .μ המרחק מהקפיץ הוא .D א) מה יהיה שיא הגובה של המסה לאחר "קפיצה" אחת? ב) כמה "קפיצות" תבצע המסה עד שתעצר? 9.11 שרשרת בעלת אורך ומסה mמחליקה ממנוחה משולחן כאשר חציה עדיין מונח על השולחן . 36 א) מה תהיה מהירות השרשרת ברגע הניתוק מהשולחן ,בהנחה שאין חיכוך? ב) מה תהיה מהירות השרשרת ברגע הניתוק מהשולחן ,בהנחה שמקדם חיכוך μקיים בין השרשרת לשולחן? 9.12 נתונה מערכת לפי הנתונים שבשרטוט .המשטח המאוזן חלק ואילו הנטוי בעל מקדם חיכוך שאינו נתון. א) מהו מקדם החיכוך אם נתון שכאשר המסה משוחררת ממנוחה ,הקפיץ יתכווץ בשיאו לחצי מאורך המנוחה שלו? ב) כעת חוזרים על הניסוי כאשר המערכת נמצאת בתוך מעלית המאיצה אנכית והקפיץ התכווץ לרבע מאורך המנוחה שלו .מהי תאוצת המעלית -גודל וכיוון? ג) כעת חוזרים על הניסוי כאשר המעלית מאיצה לכיוון אופקי. 9.13 שני כדורים משוחררים ממנוחה על פי השרטוט .ניתן להניח כי המסה הקטנה קטנה מאוד. מה יהיה שיא הגובה של המסה הקטנה לאחר שהיא תקפוץ חזרה מהכדור? (ניתן להניח כי ההתנגשות היא אלסטית). 9.14 חוט חסר מסה באורך L2מחבר שתי מסות הנעות במישור אופקי ללא חיכוך. כוח אופקי קבוע ונתון מושך את החוט במרכזו ,בכיוון מאונך לחוט. הנח שהמסות מתנגשות ונדבקות בהתנגשות. כמה אנרגיה הלכה לאיבוד בהתנגשות? 9.15 כדור מונח במעלה תעלה בעלת רדיוס .R בטא את המהירות הזוויתית כפונקציה של הזווית בה נמצא הכדור לאורך תנועתו. 9.16 37 על מסילה משופעת וחלקה מסה mמשוחררת ממנוחה .בתחתית המישור המסילה הופכת למסילה מעגלית בעלת רדיוס .R מהו צריך להיות המרחק המינימלי של המסה מהתחתית על מנת שהכדור יבצע סיבוב מלא? 9.17 מטוטלת משוחררת ממצב מאוזן. מהו המרחק המינימלי כך שהמסה תשלים סיבוב מסביב למסמר? 9.18 נתונה מסה המחוברת לחוט .החוט חסר מסה ומחובר לקיר .מעניקים למסה מהירות .V א) מה צריכה להיות המהירות Vעל מנת שהמסה תשלים סיבוב מלא? ב) כיצד היתה משתנית תשובתך אם היו מחליפים את החוט למוט חסה מסה? 9.19 כדור קטן (נקודתי) מחליק ממנוחה מעל כדור גדול. היכן יתנתקו הכדורים? 9.20 טרזן רוצה להתנדנד על הנדנדה שבשרטוט. א) ב) ג) ד) מה תיהיה מהירותו בנקודה התחתונה? מה תיהיה המתיחות בחבל בנקודה זו? ענה על הסעיף הקודם במקרה של זווית 0ובמקרה של זווית ישרה. טרזן החליט לבדוק את בטיחות הניסוי בכך שלפני הניסוי הוא ניתלה על החבל שעודו רפוי .האם היית מאשר את בדיקת המתיחות? 9.21 38 טבעת בעלת רדיוס Rומסה Mתלויה מהתקרה באמצעות חוט. מניחים בקצה העליון של הטבעת שני חרוזים בעלי מסה זהה .m החרוזים מתחילים ליפול ממנוחה לשני צדי הטבעת. מצא את היחס בין המסות הדרוש על מנת שהטבעת תתרומם במהלך נפילת הכדורים. 9.22 עגלה נעה על משטח עם חיכוך .העגלה מתחילה במעלה מדרון משופע בגובה Hוזווית . θ מהירותה ההתחלתית . 𝑢0 . מצא את מהירות העגלה בתחתית המדרון. נתון θ , µk,𝑢0 ,H : 39 מתקף ותנע 10.1 שחקן בועט בכדור בעל מסה 2ק"ג בכוח קבוע של 50ניוטון . זמן המגע בין הכדור לשחקן הוא 0.2שניות. מהי מהירות הכדור לאחר הבעיטה? 10.2 נתון גוף בעל מסה של 3קילוגרם ,על הגוף פועלים הכוחות כמתואר בציור במשך זמן של 0.5שניה. א) מצא את המתקף שמפעיל כל כוח. ב) מצא את המתקף השקול הפועל על הגוף. ג) מצא את מהירות הגוף לאחר פעולת הכוחות אם התחיל ממנוחה. 10.3 כדור בעל מסה של 1ק"ג נזרק לעבר קיר במהירות של 2מטר לשנייה. הכדור פוגע בקיר וחוזר באותה המהירות. א) חשב את המתקף שפעל על הכדור. ב) מי מפעיל את המתקף הנ"ל? ג) חשב את הכוח הנורמאלי הממוצע שמפעיל הקיר אם זמן הפגיעה הוא 0.2שניות. 10.4 כדור בעל מסה m1ומהירות ,V0פוגע בכדור שני בעל מסה .m2 לאחר ההתנגשות ,כדור 1עף בזווית של 30מעלות עם ציר ה Xוכדור 2עף בזווית של 45מעלות מתחת לציר ה.X- נתוןm1=3kg ,m2=2kg, V0=4m/sec : מצא את גודל מהירות הגופים לאחר ההתנגשות. 40 10.5 כדור בעל מסה mומהירות v0נע בתוך קרונית בעלת מסה M=αmואורך .Lהכדור מתנגש בדופן הימנית של הקרונית התנגשות אלסטית( .אין חיכוך בין הקרונית לרצפה) א) מהי מהירות הגופים לאחר ההתנגשות? בדוק עבורα = 0,1 ,∞ : ב) כמה זמן יעבור מהפגיעה הראשונה בדופן לפגיעה השנייה בדופן השמאלית? 10.6 נתון כוח Fקבוע המושך עגלה בעלת מסה m1ללא חיכוך .מעל העגלה נמצאת מסה m2ובין המסות יש חיכוך. נתון.m1, m2, F, µk, µs : א) מה הכוח Fהמקסימאלי עבורו המסה העליונה תחליק ביחס לתחתונה? נניח כי הכוח Fגדול מזה שחישבת בסעיף א' .נניח גם כי הכוח הפועל במשך זמן Tנתון והמסה העליונה אינה נופלת מהתחתונה. ב) מהי תאוצת הגופים ,מהירותם ומיקומם כפונקציה של הזמן עד לזמן ?T ג) כמה אנרגיה הלכה לאיבוד בזמן הזה? ד) מצא את מהירותם הסופית של הגופים (ב )t<Tבהנחה שהמסה העליונה עדיין לא נופלת. 10.7 נתונה שתי קרונית על משטח חלק .הקרון הימני במנוחה והקרון השמאלי נע לעברו במהירות .V על הקרון השמאלי מונחת מסה הנעה יחד עד הקרון.מקדם החיכוך בין המסה לקרון הימני נתונה. בין המסה לקרון השמאלי אין חיכוך. בזמן t=0הקרון השמאלי פוגע בקרון הימני ונצמד אליו (אך הוא יכול להפרד ממנו לאחר מכן). א) ב) ג) ד) מתי תעבור המסה לקרון הימני? מה תהיה מהירותו הסופית של הקרון הימני? מהי תאוצת הקרון הימני?כמה זמן תאוצה זו נמשכת? האם סעיף 2ו 3 -תואמים בתשובותיהם? 41 10.8 המסה mמונחת על גבי הקרונית ( Mאך אינה מחוברת אליה). שתי המסות נעות יחד במהירות Vעל גבי משטח חלק לעבר קיר. התנגשות בקיר אלסטית. מקדם החיכוך בין המסות הוא .μ א) מה תהיה מהירות המסה Mלאחר זמן רב בהנחה שהיא גדולה מהמסה .m ב) ענה על סעיף אחד בהנחה שהמסה Mקטנה מהמסה .m 10.9 כדור נע לעבר מישור משופע .אין חיכוך בין המדרון לרצפה או לכדור. א) מהי המהירות ההתחלתית המקסימלית של הכדור מבלי שהכדור ייפול לעבר המדרון? ב) לאחר שמצאנו מהירות זו ,באיזה מהירות יחזור הכדור לאחר שיעזוב את המדרון? 10.10 אדם שמסתו mרץ במעלה רמפה משופעת בזווית .θמסת הרמפה היא ,Mוהיא מונחת על מישור חלק. האדם מתחיל ממנוחה והזמן הדרוש לו בכדי לעבור דרך שאורכה Lעל פני הרמפה הוא .T א) מהי תאוצת האדם ביחס לרמפה? ב) עקב הריצה נהדפת הרמפה ימינה ,בתאוצה לא ידועה Aיחסית לקרקע. בטאו את רכיבי התאוצה של האדם יחסית לקרקע בעזרת התאוצה .A ג) כמה זזה הרמפה ימינה בזמן ?T 10.11 טנק בעל מסה Mיורה פגז בעל מסה mבמהירות vבמאוזן על משטח בעל מקדם חיכוך קינטי נתון. א) ב) ג) ד) ה) מה תיהיה מהירותו של הטנק רגע לאחר הירייה? כמה זמן יחליק הטנק? לאיזה מרחק יגיע הטנק? כמה אנרגיה אבדה בהחלקה זו? האם הפגז היה מתנהג אחרת אם הטנק היה מקובע למקומו? 42 10.12 שתי מסות m1, m2תלויות על גלגלת אידיאלית חסרת חיכוך .המסה m1נמצאת על הקרקע במנוחה בעוד שהמסה m2תלויה באוויר .מרימים את מסה m2גובה Hנוסף כך שהחוט מתרופף ומשחררים אותה ממנוחה. א) ב) ג) ד) ה) מצא את מהירות המסה m2לפני שהיא מגיעה לנקודה בה החוט נמתח. כעט החוט נמתח .הנח שהחוט אינו אלסטי ,כלומר ,האורך שלו קבוע ללא תלות בגודל המתיחות שלו כל עוד קיימת בו מתיחות כלשהי (והוא אינו רפוי כמו בסעיף א'). מצא את השינוי הכולל בתנע של שתי המשקולות (בין הקטע מיד לפני שהחוט נמתח לבין הקטע מיד אחרי שהחוט מתוח ושתי המסות זזות). מצא את המתקף שהפעילה התקרה על הגלגלת בזמן מתיחות החוט. לאיזה גובה תעלה m1בהנחה ש m1<m2ו m2אינה פוגעת ברצפה. מהו המתקף שמפעילה התקרה על הגלגלת מהרגע t=0ועד לרגע בו m1הגיעה לשיא הגובה? 43 מסה משתנה 11.1 משפך חול מפיל חול על מסוע בקצב (dm/dt)=Atכאשר Aקבוע .אין חיכוך בין המסוע לרצפה. א) מה הכוח Fהדרוש על מנת למשוך את המסוע במהירות קבועה (ונתונה) ?v0 ב) מהו ההספק (אנרגיה ליחידת זמן) שמשקיע הכוח? 11.2 משפך חול נמצא מעל משקל ,החול יוצא מהמשפך במהירות .v0 שטח החתך של פתח המשפך הוא Aונתון כי המשפך נמצא בגובה Hמעל המשקל. נתונה צפיפות המסה של החול .ρ הזנח את גובה החול המצטבר על המשקל. א) ב) ג) ד) ה) מהי כמות החול היוצאת מהמשפך ביחידת זמן? מה מהירות החול בהגיעו לפני פגיעתו במשקל? במהלך המילוי כאשר המשקל מראה Wמה היחס בין המשקל האמיתי של החול לערך שמראה המשקל? נניח כי כאשר המשקל מראה את המשקל מסעיף ג' סוגרים את המשפך. מה יראה המשקל לאחר זמן רב? לאחר האמור בסעיף ד' מאיצים את המשקל בתאוצה של 5מטר לשנייה בריבוע כלפי מעלה .מה יראה המשקל? 11.3 עגלה בעלת מסה M0נוסעת על משטח עם חיכוך .על העגלה יורד גשם בקצב αובמהירות u1בציר האנכי בלבד. בנוסף ,לעגלה מחוברת משאבה בקצה האחורי ,המוציאה מים מן העגלה החוצה במהירות u0ובקצב זהה .α המשאבה מוציאה את המים בזווית θמתחת לציר ה( Xראה ציור). לעגלה מהירות התחלתית .v0 מקדם החיכוך הקינטי µkוכל הגדלים הרשומים בשאלה נתונים. א) מצא את משוואת התנועה של העגלה. ב) מצא את המהירות הסופית של העגלה. ג) מצא את מהירות העגלה כפונקציה של הזמן. 44 11.4 בלון בעל מסה Mמלא בגז .נתון כי 3/4ממסת הבלון היא מסת הגז. משחררים את הבלון ממנוחה והגז יוצא במהירות u0ביחס לבלון. נתון כי הבלון מאיץ בקו ישר כלפי מעלה בתאוצה של .g0.5 א) מצא את קצב פליטת הגז מהבלון. ב) מצא את הגובה המקסימלי אליו יגיע הבלון. 11.5 צינור משפריץ מים על אדם .לצינור שטח חתך Aוצפיפות המים נתונה .ρ נתונה גם מהירות יציאת המים מהצינור .𝑣0 א) מצא את הכוח שפועל על אדם הנמצא במנוחה ,בהנחה שהמים אינם ניתזים חזרה. ב) מצא את הכוח הפועל על אדם הבורח במהירות .𝑣 < 𝑣0 11.6 עגלה א' היא בעלת מסה M0ומהירות התחלתית ימינה ,V0לתוכה נופל גשם בזווית α ומהירות uכך שהעגלה מתמלאת בקצב .q עגלה ב' היא בעלת מסה זהה (כולל הגשם שכבר בתוכה) ומהירות זהה. לעגלה זו יש חור דרכו מטפטף גשם החוצה בקצב הזהה לקצב כניסת הגשם. רשום את מהירות העגלה כפונקציה של הזמן לשתי העגלות. 11.7 נתונה עגלה היא בעלת מסה M0ומהירות .V0 ברגע , t=0גשם אנכי נכנס לתוך העגלה בקצב .q א) מהי מהירות העגלה כפונקציה של הזמן. ב) מהי מהירות העגלה לאחר שהגשם נפסק? 11.8 45 מעבדת חלל יכולה לנתק את מיכלי הדלק הריקים שלה; מיכל שהתרוקן מתנתק ונופל לים וכל משקלו של המיכל הריק אינו מעמיס עוד על החללית. נתונה חללית בעלת מסה התחלתית ,M0 -קצב פליטת גזים ,q -ומהירות הגז ביחס לחללית.u - כאשר החללית מאבדת ממשקלה מסה ( mמסת הדלק שהיה במיכל) היא מנתקת את המיכל שמסתו k וממשיכה במעופה הרגיל .כאשר החללית מאבד ממשקלה mנוסף ,נגמר הדלק במיכליה והיא מכבה מנועים וממשיכה במהירות הסופית. נתון נוסף :החללית מתחילה ממנוחה וממריאה מייד עם תחילת פליטת הגזים. א) ב) ג) ד) מהי מהירות החללית לפני ניתוק המיכל? מהי מהירות החללית לאחר ניתוק המיכל? מהי מהירותה הסופית של החללית? (הנח שהיא שומרת על מהירותה לאחר כיבוי המנועים). בכמה קטנה היתה מהירותה הסופית אילולא היתה מנתקת את מיכל הדלק? 11.9 טיפת גשם נופלת דרך ענן וסופחת מים יחסית לשטח הפנים שלה .קצב שינוי המסה של הטיפה נתון לפי = 𝑏 ,4𝜋𝑟 2כאשר 𝑏 קבוע ו 𝑟 הוא רדיוס הטיפה .נתונה גם צפיפות המים .ρ הזנח את התנגדות האוויר .הנח כי הטיפה מתחילה ליפול ממנוחה ורדיוסה ההתחלתי הוא .𝑟0 א) ב) ג) ד) מצא את רדיוס הטיפה כפונקציה של הזמן. חשב את מהירות הטיפה כפונקציה של הזמן. מצא את התאוצה של הטיפה זמן קצר לאחר תחילת תנועתה. מצא את תאוצת הטיפה לאחר זמן רב. 𝑣 פתרון משוואה דיפרנציאלית מהצורה= 𝐴 𝑟 + 𝐵 : הוא : 𝐵 𝑟 𝐴1− 𝑣ⅆ 𝑟ⅆ 𝑣(𝑟) = (𝐶𝑟) 𝐴 + 11.10 חוט בעל מסה mואורך lמונח על שולחן. כוח Fמתחיל להרים את החוט מקצהו במהירות קבועה .V0 א) מצא מהו הכוח לפי הזמן. ב) מצא כמה אנרגיה התבזבזה כפונקציה של הדרך שהחוט עבר. 11.11 חללית בעלת מסה m0מקיפה כוכב בעל מסה Mהמרוחק מרחק .r0החללית נוסעת במהירות .V0 בזמן t=0החללית מתחילה לפלוט גז במהירות יחסית uבקצב .a מצא את משוואת התנועה של החללית לציר הרדיאלי .אין צורך לפתור את המשוואה. 11.12 46 𝑚ⅆ 𝑡ⅆ מיכל בעל שטח Aמלא במים עד לגובה נתון. בתחתית המיכל חור בשטח .Bהמיכל מונח על משטח ללא חיכוך. א) מצא את מהירות יציאת המים יחסית למיכל. ב) מצא את גובה המים במיכל כפונקציה של הזמן. ג) מצא את תאוצת המיכל כפונקציה של הזמן. 11.13 שרשרת בעלת אורך Lומסה Mמוחזקת בצורה אנכית מעל משקל כך שהקצה התחתון שלה בדיוק נוגע במשקל. השרשרת משוחררת ממנוחה. מצא מה מראה המשקל כפונקציה של x( Xמייצג את המרחק אותו עבר הקצה העליון של השרשרת). 11.14 צינור משפריץ מים על עגלה בעלת מסה .M המים יוצאים מהצינור במהירות v0ובקצב mנתון (הנח כי מהירות המים קבועה עד לפגיעה בעגלה) . המים מתנגשים התנגשות אלסטית ביחס לעגלה. מצא את מהירות העגלה כפונקציה של הזמן. מרכז מסה 47 12.1 בדסקה בעלת רדיוס Rומסה Mקדחו חור עגול בעל רדיוס rבמרחק aממרכז הדסקה. הנח כי צפיפות המסה אחידה בכל הדסקה. מצא את מרכז המסה של הדסקה עם החור. 12.2 אדם עומד בקצה סירה באורך 3מטר .מסת האדם היא 70קילוגרם ומסת הסירה 100קילוגרם. האדם התקדם 2מטרים לאורך הסירה( .הזנח את החיכוך בין המים לסירה). נתון) = 70𝑘𝑔 𝑚2 = 100𝑘𝑔 :אדם(𝑚1 כמה זזה הסירה? 12.3 כדור מונח על קרונית משופעת הנמצאת במנוחה. הכדור מונח בגובה H=1mובמרחק של 5מטרים מקצה הקרונית. מסת הקרונית , m1=10kg :מסת הכדור.m2=2kg : א) מצא את העתק הקרונית כאשר הכדור מגיע לקצה. ב) מצא את מהירות הגופים אם נתון שמהירות הכדור בקצה הקרונית היא רק בכיוון ציר ה .x 12.4 חשב את מרכז המסה של מוט בעל אורך Lוצפיפות מסה 𝑥 𝜆0 𝐿 12.5 חשב את מרכז המסה של גיזרה עם צפיפות אחידה וזווית . θ 12.6 48 = )𝑥(𝜆. חשב את מרכז המסה של חצי כדור מלא בעל צפיפות אחידה. 12.7 חשב את מרכז המסה של חרוט מלא בעל צפיפות אחידה. 12.8 על סירה (ללא חיכוך עם המים) מונחת מסה.המסה מחוברת בחוט למנוע המחובר לסירה. כוח המשיכה של המנוע משתנה בזמן ,מקדם החיכוך הסטטי ומקדם החיכוך הקינטי נתונים. א) ב) ג) ד) מתי תתחיל לנוע המסה? מה תהיה תאוצת מרכז המסה? תאוצת הסירה? תאוצת המסה? לאחר שהמסה נעה החוט ניתק .בהתאם לכך ,ענה על סעיף 2בשנית. האם המסה והסירה ייעצרו בו זמנית? 12.9 חישוק בעל רדיוס Rומסה mמונח על שולחן אופקי חלק .על החישוק ישנו חרוז המתחיל לנוע מהנקודה Aומסתו mגם כן .ב t=0החישוק נמצא במנוחה ומהירותו ההתחלתית של החרוז היא v0ימינה. א) מצא את מיקום מרכז המסה של המערכת בתחילת התנועה. ב) מצא את מהירות מרכז המסה כפונקציה של הזמן ואת מסלולה. ג) מהן מהירויות החרוז והצינור כאשר החרוז נמצא בנקודות B,C,Dושוב ב Aביחס לחישוק. 49 מומנט התמד 13.1 לדסקה בעלת מסה Mורדיוס Rמחברים דסקה נוספת זהה בקצה התחתון של הדסקה. מצא את מומנט ההתמד של המערכת סביב ציר המאונך למישור הדסקה והעובר בקצה העליון של הדסקה (הראשונה). 13.2 חשב את מומנט ההתמד של דסקה בעלת רדיוס ,Rמסה Mוצפיפות אחידה ,סביב ציר המאונך למישור הדסקה והעובר במרכזה. 13.3 חשב את מומנט ההתמד של דסקה בעלת רדיוס ,Rמסה Mוצפיפות אחידה ,סביב ציר הנמצא במישור הדסקה והעובר במרכזה. 13.4 חשב את מומנט ההתמד של מוט עם צפיפות אחידה סביב קצה המוט X .הוא המרחק מהקצה ו L-הוא אורך המוט λ0 .נתון. צפיפות המוט – 13.4 מצא את מומנט ההתמד של מוט סביב מרכזו לפי הנתונים שבשרטוט. הצפיפות הנתונה מתייחסת למרכז המוט כראשית הצירים. 13.5 מצא את מומנט ההתמד של שער חשמלי בעל מסה mואורך lאשר בסופו מחוברת משקולת בעלת מסה M ואורך Lהמסתובב סביב מרכז המסה שלו. 50 13.6 מצא את מומנט ההתמד של הגוף שבשרטוט סביב מרכז המסה שלו בשתי דרכים שונות. אורך כל מוט lומסתו .m 13.7 מצא את מומנט ההתמד של חצי החישוק שבתמונה. רדיוסו ,Rמסתו Mובקצותיו חוברו שתי מסות .m החישוק סובב סביב מסמר בקודקודו. 13.8 חשב את מומנט ההתמד של לוח ריבוע בעל אורך צלע ,aמסה Mוצפיפות אחידה בכל אחד מהמצבים הבאים: א) ציר הסיבוב הוא אחת הפאות של הריבוע. ב) ציר הסיבוב מקביל לפאות ועובר במרכז. ג) ציר הסיבוב אנך למשטח הריבוע ועובר במרכזו. 13.9 מצא את מומנט ההתמד של המשולש סביב קודקודו הישר. 13.10 א) מצא את מומנט ההתמד של דיסקה בעלת מסה Mורדיוס ,Rאם ידוע כי במרחק חצי Rממרכז הדיסקה קדחו חור ברדיוס רבע .R הדיסקה מסתובבת סביב ציר במרכזה (ולא במרכז המסה של המערכת). ב) מצא את מומנט ההתמד של הגוף סביב מרכז המסה שלו. 51 13.11 חשב את מומנט ההתמד של כדור מלא בעל רדיוס ,Rמסה Mוצפיפות אחידה ,סביב ציר העובר במרכז הכדור. 52 מומנט כוח 14.1 המשולש בתמונה הוא משולש שווה צלעות עם אורך צלע נתונה .a א) חשב את המומנטים של הכוחות בתמונה סביב הפינה השמאלית של המשולש. ב) נתונה המסה של המשולש M -ונתון גם כי מרכז המסה של המשולש נמצא בנק' חשב את מומנט הכוח של כוח הכובד. 1 1 .(2 𝑎, )𝑎 2√3 14.2 שני פועלים מחזיקים מנשא מעץ שמסתו 12 kgואורכו .1.5m על המנשא ,במרחק של 0.5mמהפועל השמאלי ,מונח ארגז בעל מסה של .8 kg בהנחה כי המערכת במנוחה ,מצא את הכוח שמפעיל כל פועל. 14.3 נתונה המערכת שבשרטוט .קורה מחוברת לשני חוטים ממוקמת כנג קיר בעל מקדם חיכוך .µהחוט העליון מחובר לקורה במרכזה. מצא את המתיחות בשני החוטים. 14.4 53 סולם בערל מסה mואורך lמונח על גבי קיר חלק ורצפה לא חלקה. שרטט את הכוחות על הסולם. 14.5 גגון מוחזק אל קיר בעזרת חבל וחיכוך כמתואר בשרטוט. מצא את הכוחות הפועלים על הגגון. 14.6 שער שגובהו hואורכו lמחובר לקיר בשני צירים aו.b - על מנת להקל על הציר העליון חיברו לשער כבל ומתחו אותו עד אשר הכוח האופקי בנקודה aמתאפס. א) מהי המתיחות בכבל? ב) מהו הכוח האופקי הפועל על הציר ?b ג) מהו סכום הכוחות האנכיים המופעלים על שני הצירים? 14.7 גגון מוחזק לקיר בעזרת חיכוך בלבד לפי הנתונים שבשרטוט. מהו המרחק הקטן ביותר מהקיר נו ניתן לשים את המסה mמבלי לגרום לגגון להחליק מהקיר? 54 14.8 נתונה המערכת שבשרטוט. אורך הקורה ,Lהמסה מרוחקת שליש Lמצד שמאל החוט מחזיק את המסה ממרכזה. רשום את כל הכוחות של המערכת שבשרטוט ומצא את מקדם החיכוך המינימלי בין המסה לקורה. 14.9 מצא את מומנט הכוח המופעל על מטוטלת מתמטית כפונקציה של הזווית מהאנך. 14.10 נתונה המערכת שבשרטוט. רשום את כל הכוחות הפועלים על הדיסקה ומצא את יחס הרדיוסים בין שתי הדסקות. 55 תנע זוויתי 15.1 כדור בעל מסה mמחובר לחוט בעל אורך lומסתובב במעגל אנכי. נתון כי מהירת הכדור בשיא הגובה היא .v0 א) מצא את מומנט הכוח הפועל על הכדור כפונקציה של הזווית .α ב) מצא את התנע הזוויתי של הכדור כפונקציה של הזווית .α 15.2 כדור קטן נע בתוך חרוט המחובר הפוך למשטח .נתון כי מהירות הכדור ההתחלתית היא v0בכיוון אופקי ומשיק לדופן החרוט .גובהו ההתחלתי .H מצא את הגובה המקסימאלי אליו יגיע הכדור (החרוט אינו זז). הנחיות :מספיק להגיע למשוואה ממעלה שלישית על hאין צורך לפתור אותה. 15.3 מסה mנעה על שולחן חסר חיכוך ומחובר באמצעות חוט העובר דרך מרכז השולחן למסה Mהתלויה באוויר. אורך החוט הוא .Lנתון כי ב t=0המסה Mנמצאת במנוחה והמסה mנמצאת במרחק Rממרכז הלוח ,במהירות התחלתית ,v0בכיוון מאונך לרדיוס. רשום את משוואת שימור האנרגיה והתנע הזוויתי ומצא משוואה דיפרנציאלית התלויה רק בגודל ,rמרחק המסה mממרכז השולחן. 56 15.4 נתון גלגל בעל רדיוס rהמסתובב במהירות זוויתית ωקבועה. לגלגל עובי aוראשית הצירים נמצאת במרכז העובי של הגלגל. אל הקצה העליון של הגלגל מחוברת מסה נקודתית ( mראה ציור) המסתובבת ביחד עם הגלגל. א) הראה כי התנע הזוויתי של המסה תלוי בזמן. ב) הראה כי שינוי התנע הזוויתי ניתן ע"י מומנט הכוח של הכוח הצנטריפטלי. 15.5 מוט בעל אורך lומסה Mמונח בזווית φביחס לציר ה .z המוט מסתובב סביב ציר ה zבמהירות זוויתית קבועה .ω מצא את מומנט הכוח שפועל על המוט. 57 גוף קשיח 16.1 דסקה בעלת מסה Mורדיוס Rמחוברת באמצעות ציר העובר במרכזה לשולחן אופקי חסר חיכוך. כדור פלסטלינה בעל מסה mנע במהירות v0לעבר הדסקה .הכדור פוגע בדסקה משמאלה ,ובמרחק dממרכזה. הכדור נדבק לדסקה ושניהם מתחילים להסתובב יחדיו (סביב הציר במרכז הדסקה) .הדסקה נמצאת במנוחה לפני הפגיעה וכוח הכובד אינו משפיע על הגופים (המערכת אופקית). מצא את המהירות הזוויתית בה יסתובבו הגופים לאחר הפגיעה. 16.2 נתונה דסקה בעלת רדיוס Rהמסתובבת סביב מרכזה במהירות זוויתית קבועה .ωבקצה הדסקה עומד איש נקודתי ומסתובב ביחד עם הדסקה. ברגע מסוים האיש קופץ מהדסקה ונתון כי מהירותו מיד לאחר הקפיצה היא v0בכיוון הראדיאלי ,ביחס לקרקע. מצא את המהירות הזוויתית של הדסקה לאחר הקפיצה אם נתונים מסת האיש mומסת הדסקה .M 16.3 שלושה כדורים זהים בעלי מסה mנמצאים בפינותיו של משולש שווה צלעות .הכדורים מחוברים באמצעות שלושה מוטות חסרי מסה ואורך ( Lצלעות המשולש). א) חשב את מיקום מרכז המסה של המערכת. כעת ,נתון כי הגוף מסתובב במהירות זוויתית ωנתונה ,סביב מרכז המסה שלו .ברגע מסוים ,כאשר הגוף נמצא במצב המתואר בציור ,הכדור התחתון ניתק מהגוף. ב) מצא את מהירות הכדור שניתק לאחר הניתוק. ג) מצא את מהירות מרכז המסה של החלק הנותר. ד) מצא את המהירות הזוויתית של החלק הנותר סביב מרכז המסה שלו. 58 16.4 מוט באורך Lומסה Mמחובר לתקרה באמצעות ציר ויכול להסתובב. למוט מהירות זוויתית התחלתית .ω מהי הזווית המקסימאלית אליה יגיע המוט? 16.5 כדור קטן בעל מסה mומהירות v0פוגע במוט התלוי מהתקרה ונמצא במנוחה .הכדור פוגע במוט במרחק X מנקודת התלייה ,בזווית של 90מעלות אל המוט ,ונדבק אליו. נתון :מסת המוט ,Mאורכו ,Lוצפיפות המסה שלו אחידה. א) מהי המהירות הזוויתית המשותפת של המערכת מיד לאחר ההתנגשות? ב) מהי הזווית המקסימלית אליה מגיע המוט? ג) מצא את Xהדרוש על מנת שהכוח שמפעילה התקרה על המוט יתאפס. 16.6 כדור בעל רדיוס Rמונח בגובה Hעל מדרון משופע בעל זווית .θהכדור מתחיל להתגלגל ללא החלקה. א) מצא את מהירות הכדור בתחתית המדרון. ב) מצא את תאוצת הכדור. 59 16.7 גלובוס (כדור) מונח ומקובע לשולחן ויכול להסתובב סביב ציר המאונך לשולחן. מלפפים חוט סביב מרכז הגלובוס (סביב קו המשווה) והחוט ממשיך מהגלובוס דרך גלגלת לא אידיאלית למסה תלוי .m1 נתונים גם m2 :ו R2מסה ורדיוס הגלגלת m3 ,ו R3מסה ורדיוס הגלובוס. המערכת מתחילה ממנוחה. מצא את תאוצת כל הגופים ,קווית וזוויתית ואת המתיחות בחוט. 16.8 יויו (כדור שמלופף סביבו חוט) בעל מסה m2ורדיוס Rמונח על מישור משופע בעל זווית .θהחוט של היויו מחובר דרך גלגלת אידיאלית למסה . m1נתון כי היויו מתגלגל ללא החלקה על המישור וכי קיים חיכוך בין היויו למישור. א) מצא את כיוון התנועה של המערכת וכיוון החיכוך הסטטי. ב) מצא את תאוצת הגופים וגודל כוח החיכוך. 16.9 מוט בעל מסה ( Mצפיפות אחידה) ואורך Lתלוי בקצהו לקיר וחופשי להסתובב סביב נקודת התלייה .משחררים את המוט ממצב אופקי. א) מצא את התאוצה הזוויתית ואת תאוצת מרכז המסה של המוט ברגע השחרור. ב) מצא את הכוח שמפעיל הציר שמחבר את המוט לקיר על המוט ,ברגע השחרור. כעת המוט נופל עד להגיעו למצב מאונך לקרקע. ג) מצא את המהירות הזוויתית של המוט ברגע זה (כשהוא מאונך לקרקע). ד) חזור על סעיפים א' ו ב' עבור רגע זה. 60 16.10 כדור הומוגני בעל מסה Mמתחיל תנועתו עם מהירות v0ללא סיבוב (מהירות זוויתית). מצא את מהירותו הסופית אם נתון מקדם החיכוך הקינטי. 16.11 כדור הומוגני בעל מסה Mמוחזק באוויר ומסתובב סביב מרכז המסה שלו במהירות זוויתית . ω0 הכדור מונח על הרצפה בעודו מסתובב. מצא את מהירותו הסופית אם נתון מקדם החיכוך הקינטי .µk 16.12 חבל מלופף סביב חישוק בעל רדיוס Rומסה ( .mהחבל מחובר לתקרה) א) מהי תאוצת מרכז המסה של החישוק? ב) לאחר כמה זמן ירד החישוק לגובה של ?h 16.13 שתי מסות שונות m1, m2תלויות משני הצדדים של גלגלת לא אידיאלית המקובעת במרכזה. המסות משוחררות ממנוחה. מצא את תאוצת המסות אם נתון M :מסת הגלגלת R ,רדיוס הגלגלת וכי החוט אינו מחליק על הגלגלת. 61 16.14 בגן המדע שבמכון ויצמן יש שתי דיסקות קלות אליהן מודבקות 4מסות כבדות כמתאור בשרטוט. את הדיסקות מניחים על שני מדרונים ובודקים מי תנוע בהגיעה למישור מהר יותר. הסבר כיצד ניתן לחשב מהירות זו על פי נתוני המערכת. 16.15 חישוק בעל מסה mורדיוס Rתלוי מחבל המלופף סביבו. א) מה תהיה מהירותו לאחר שנפל מגובה ?hמה תהיה תאוצתו? כמה זמן תארך הנפילה? חישוק אחר חסר מסה בעל רדיוס Rמכיל מסה נקודתית במרכזו בעלת מסה .m ב) מה תהיה מהירותו לאחר שנפל מגובה ?h ג) מה תהיה מהירותו אם החבל יהיה ללא חיכוך? 16.16 בכלי עבודה רבים קיים מנגנון הקרוי מצמד (קלאץ') .תפקיד המצמד הוא להעביר את הכוח המניע אל החלק המונע בצורה הדרגתית (למשל להעביר את כוח המנוע ברכב אל הגלגלים מבלי לגרום לתנועה פתאומית בגלגלים). המצמד מופעל ע"י הצמדת דיסקה מסתובבת אל דיסקה נייחת והעברת אנרגיה מזו לזו בעזרת כוח החיכוך. לפנייך מצמד הבנוי משתי דיסקות בעלות מומנט התמד שונה .הדיסקה התחתונה מסתובבת במהירות התחלתית נתונה .בשלב מסוים הדיסקה העליונה מונחת על הדיסקה התחתונה ובעזרת כוח המשיכה וכוח החיכוך מתחילה לנוע בעצמה עד ששתי הדיסקות ינועו ביחד. א) מצא את המהירות הסופית של הדיסקות. ב) כמה אנרגיה אבדה בתהליך זה? 62 16.17 מצא את יחס התאוצות בהילוכי אופניים. 16.18 כדור סנוקר ברדיוס Rנמצא במנוח על שולחן ללא חיכוך (חיכוך נמוך מאוד). מצא באיזה גובה מעל תחתית הכדור יש לתת מכה אופקית עם המקל כך שהכדור יתגלגל ללא החלקה. ממנוט ההתמד של הכדור הוא Ic.m = 2/5mR2 : הדרכה :ערוך תרשים כוחות ונתח את הבעיה בשלב המכה עצמה. 16.19 חוט מלופף מסביב לגליל המונח על מישור שאינו חלק .רדיוס הגליל הוא Rומסתו .M כוח Fנתון מושך את הגליל. מצא את תאוצת הגליל במקרים הבאים אם ידוע שהגליל מתגלגל ללא החלקה: א) הכוח םועל בכיוון אופקי ב) הכוח פועל בזווית θביחס לאופק וידוע שהגליל אינו מתרומם. ג) מה כיוון החיכוך בכל מקרה. 16.20 מחליקה על הקרח מסתובבת במהירות .W 0המחליקה בעלת מסה מסה זניחה אך היא מחזיקה מסה mבכל יד. הידיים פרוסות לצדדים ואורך כל יד .L לפתע המחליקה סוגרת את ידייה לחצי מאורכן המקורי. א) מה תהיה מהירות הסיבוב החדש? ב) כמה אנרגיה הושקעה בתהליך? 63 16.21 שתי מחליקות על הקרח בעלות מסה mאוחזות בחבל בעך אורך .lהן מסתובבות סביב מרכז המסה של המערכת במהירות זוויתית נתונה. א) מצא את המתיחות בחבל. בשלב מסוים המחליקות מושכות את עצמן בעזרת החבל ומתקרבות אחת לשניה עד לחצי מהמרחק המקורי. ב) מה האנרגיה שהשקיעו המחליקות? ג) מה המתיחות בחבל כעת? 16.22 אל עבר דיסקה בעלת מסה Mורדיוס Rנורה קליע בעל מסה mבמהירות .v הדיסקה מונחת על מישור בעל מקדם חיכוך נתון. מצא כמה זמן תימשך ההחלקה. 16.23 מוט המחובר לציר משוחרר ממנוחה מזווית נתונה. כשהמוט מגיע לנקודה הנמוכה ביותר הוא פוגע במסה ודוחף אותה במהירות לא ידועה לעבר מסילה מעגלית. נתון כי הקצה התחתון של המוט נע מיד לאחר ההתנגשות במהירות משיקית .u א) מהי הזווית המקסימלית אליה יגיע המוט לאחר הפגיעה? ב) מהי מהירות המסה מיד לאחר הפגיעה? ג) מהו הכוח אותו מפעילה המסילה על המסה מיד לאחר ההתנגשות? 16.24 עיפרון ניצב אנכית על משטח .ברגע מסוים הוא מתחיל ליפול ימינה .כאשר הזווית בינו לבין האנך למשטח מגיעה ל θ1העיפרון מתחיל להחליק. א) עבור זויות θשבהן עדיין אין החלקה .θ < θ1 מצאו את המהירות הזוויתית של העיפרון.ω , מצאו את המהירות הזוויתית של העיפרון – .α מצאו את התאוצה הזוויתית של מרכז המסה של העיפרון. מצאו את גודלו וכיוונו של כוח החיכוך. מצאו את הכוח הנורמלי. ב) מצאו את מקדם החיכוך הסטטי .μs 64 16.25 מוט בעל אורך וצפיפות אחידה מכופף כמתואר בציור .המוט ממוסמר לקיר ויכול להסתובב סביב המסמר. א) ב) ג) ד) ה) מהו מרכז המסה של המוט? מהו מומנט ההתמד של המוט סביב ציר הסיבוב שלו? מהי מהירות הסיבוב כפונקציה של זווית הנפילה? מהי מהירות מרכז המסה כפונקציה של זווית הנפילה? מהן תאוצות מרכז המסה (רדיאלי ומשיקי) במצב מאוזן ובמצב מאונך? 16.26 בקרקס ישנו מכשיר הקרוי טרפז .על הטרפז נתלה לוליין המחזיק בידיו לוליין אחר. נתון כי צמד הלוליינים התחילו את תנועתם במצב מאוזן וניתקו ידיהם במצב מאונך .הניחו כי אורך כל לוליין l ומסתו .mלאחר הניתוק הלוליין המנותק סוגר את גופו לחצי מאורכו. א) מהי המהירות הזוויתית ברגע הניתוק? ב) מהי המהירות הזוויתית של הלוליין המנותק מיד לאחר הניתוק ולפני שסגר את גופו? ג) מהי המהירות הזוויתית לאחר שסגר את גופו? 16.27 מוט בעל מסה mואורך lמונח על רצפה וקיר חלקים בזווית נתונה .מיד לאחר שהניחו את המוט ,המוט מתחיל להחליק עד הפגיעה ברצפה. מצא את מהירות מרכז המסה של המוא בזמן פגיעתו ברצפה. 16.28 נתונה דיסקה המתגלגלת ללא החלקה במעגל רדיוס Rבמהירות זוויתית .ω נתון גם רדיוס הדיסקה. מצא את זווית ההטיה של הדיסקה. 65 תנועה הרמונית 17.1 מסה mמונחת על שולחן ללא חיכוך ומחוברת לקפיץ המחובר לקיר בעל קבוע קפיץ .kמותחים את המסה מרחק dמהמיקום בו הקפיץ רפוי ומשחררים ממנוחה. מצא את ) x(tשל המסה. 17.2 מסה mנעה במהירות v0ומתנגשת התנגשות פלסטית במסה זהה ,הנמצאת במנוחה ומחוברת לקפיץ בעל קבוע קפיץ .k מצא את ) x(tשל המסות הנעות יחדיו לאחר ההתנגשות. 17.3 מסה m1מונחת על שולחן ללא חיכוך ומחוברת לקפיץ בעל קבוע .kמהמסה יוצא חוט העובר דרך גלגלת אידיאלית וקשור למסה נוספת התלויה באוויר .m2 א) מצא את נקודת שיווי המשקל של המערכת (קבע את הראשית בנקודה שבה הקפיץ רפוי). ב) מצא את תדירות התנודה של המערכת. ג) מהי האמפליטודה המקסימלית האפשרית לתנועה כך שהמתיחות בחוט לא תתאפס במהלך התנועה? 17.4 מוט בעל אורך Lומסה ( Mהתפלגות אחידה) תלוי מהתקרה וחופשי להסתובב סביב נקודת התלייה .קצהו השני של המוט מחובר בקפיץ ,בעל קבוע , kלקיר .הקפיץ רפוי כאשר המוט נמצא מאונך לתקרה. א) הראה כי תנועת המוט בזוויות קטנות היא תנועה הרמונית ומצא את תדירות התנועה. ב) מצא את הזווית של המוט כפונקציה של הזמן אם המוט משוחרר ממנוחה בזווית נתונה .θ0 66 17.5 נתונה מטוטלת (מתמטית) התלויה מהתקרה .אורך החוט של המטוטלת הוא .lמצא את תדירות התנודות הקטנות ואת הזווית כפונקציה של הזמן .הנח כי המטוטלת מתחילה את תנועתה ממנוחה בזווית ידועה ( θדרך מומנטים). 17.6 נתונה מטוטלת (מתמטית) התלויה מהתקרה .אורך החוט של המטוטלת הוא .lמצא את תדירות התנודות הקטנות ואת הזווית כפונקציה של הזמן .הנח כי המטוטלת מתחילה את תנועתה ממנוחה בזווית ידועה ( θדרך אנרגיה). 17.7 מסה Mמחוברת באמצעות קפיץ אנכי לקרש אופקי הנע בציר ה Yלפי ).y(t)=y0cos(wt קבוע הקפיץ kואורכו הרפוי l0נתונים .מצא את מיקום המסה כפונקציה של הזמן. 17.8 מצאו את תדירות התנודה ואת נקודת שיווי המשקל בכל אחד מהמצבים הבאים: 67 17.9 קליע נורה וננעץ במסה המחוברת לקפיץ. א) מהי מהירות המסה מיד לאחר פגיעת הקליע? ב) מהו הכיווץ המקסימלי של הקפיץ? 17.10 נתונות המסות שבשרטוט. מהי תדירות התנודות הקטנות של המערכת? 17.11 במערכת הבאה ,המסה m1קשורה בחוט דרך גלגלת אל קפיץ המחובר לקרקע. הגלגלת אינה אידאלית .נתון R :רדיוס הגלגלת m2 ,מסת הגלגלת k ,קבוע הקפיץ. הנח כי החוט לא מחליק על הגלגלת. א) מצא את נקודת שיווי המשקל. ב) מצא את תדירות התנודה. ג) מושכים את המסה אורך dמנקודת שיווי המשקל .מהו 𝑥𝑎𝑚𝑑 המרחק המקסימלי שניתן למשוך את המסה מבלי שהמתיחות בחוט תתאפס במהלך התנועה? 17.12 מוט בעל מסה Mמונח על שני גלגלים המקובעים במרכזם .הגלגלים מסתובבים במהירות זוויתית ωכך שהגלגל הימני מסתובב נגד כיוון השעון והשמאלי עם כיוון השעון. בין המוט והגלגלים קיים חיכוך ומקדם החיכוך הקינטי נתון. מניחים את המוט כך שמרכזו נמצא במרחק Aמהמרכז בין הגלגלים. מצא את תדירות התנודה של המוט. 68 17.13 מצא את התדירות של מטוטלת מתמטית. 17.14 מצא את תדירות התנודות הקטנות של דיסקה בעלת מסה Mורדיוס Rאם ידוע כי במרחק חצי Rממרכז הדיסקה קדחו חור ברדיוס רבע ( Rהדיסקה מחוברת במסמר במרכזה אל הקיר). 17.15 נתונות שתי חצאי דיסקות תלויות על מסמר כמתואר בשרטוט. מסה הדיסקה ורדיוסה נתון. מצא את התדירות של כל אחת מחצאי הדיסקה. 17.16 נתונה צורת האיקס שבשרטוט (הצורה סימטרית). אורך כל מוט lובסופו מסה .mהמוטות חסרי מסה. א) מהי תדירות התנודות הקטנות אם המוט נופל נפילה חופשית? ב) מהי התדירות אם המוט מוחזק בקצהו העליון ע"י מסמר? ג) מהי התדירות אם המוט קשור לחוט הקשור לגוף שמסתו ?8m 69 17.17 עגלה בעלת מסה m2חופשיה לנוע על משטח אופקי ללא חיכוך .אל העגלה מחובר מוט אנכי עליו תלויה מטוטלת מתמטית עם מסה m1ואורך חוט . aמשחררים את המסה (של המטוטלת) בזווית θ0נתונה כאשר כל המערכת נמצאת במנוחה. א) ב) ג) ד) רשמו את מהירות המטוטלת במערכת העגלה כפונקציה של θו ̇𝜃. רשמו את מהירות העגלה והמטוטלת כפונקציה של θו ̇𝜃 רשמו את משוואת שימור האנרגיה המכאנית של המערכת. רשמו את משוואת שימור האנרגיה בתנודות קטנות ומצאו את תדירות התנודות. 17.18 על קפיץ שקבועו kמונח משטח שמסתו ,m1המשטח צמוד לקצהו של הקפיץ. על המשטח מונח גוף שמסתו .m2מכווצים את הקפיץ בשיעור Δyומשחררים. א .מה צריך להיות Δyminכדי שהגוף יתנתק מן המשטח באיזשהוא שלב? Nr ב .הניחו m2=0.06kg , m1=0.04kg,k=10 𝑚 , Δy=2Δyminומצאו את רגע הניתוק. ג .באמצעות הנתונים המספריים מסעיף ב' ,מהו מקומו ומהירותו של המשטח ברגע שהגוף ניתק מן המשטח? 17.19 נתונה מערכת כבשרטוט (אין החלקה במערכת). מהי התדירות? 70 17.20 מסות מתחילות ממנוחה כבשרטוט .המסה הימנית נמתחת במרחק Dימינה ומשוחררת .כשהיא פוגעת במסה השניה היא נדבקת אליה ושניהן ממשיכות יחד. א) מהו הכיווץ המקסימלי של הקפיץ השמאלי? ב) מהו הכיווץ המקסימלי של הקפיץ הימני כאשר שתי המסות חוזרות ימינה? 17.21 נתונה מסה mהמחוברת לקפיץ בעל קבוע .kהמסה גם מחוברת למוט חסר מסה בעל אורך .lהמוט מחובר לרצפה בציר המאפשר לו להסתובב .המערכת בשרטוט נמצאת במצב שיווי משקל. א) מהי תדירות התנודות הקטנות של המערכת? ב) מהי המסה המקסימלית שתאפשר תדירות זו? 17.22 בתוך כדור הארץ נחפרה תעלה כבשרטוט .מסת כדור הארץ .M מהי תדירות התנודות הקטנות של מסה החופשיה לנוע בתעלה? 17.23 דיסקה בעלת רדיוס rמתגלגלת בתוך צינור מקובע לרצפה בעלת רדיוס .Rמותר להשתמש בקירוב זוויות קטנות ומותר להזניח את הרדיוס הקטן ביחד לגדול. א) מה תהיה תדירות התנודות הקטנות של הדיסקה ,בהנחה שאין חיכוך? ב) מה תהיה התשובה לסעיף א' אם יוסיפו חיכוך עם הרצפה והגלגול יהיה ללא החלקה? ג) מה תהיה התדירות עם בנוסף לחיכוך עם הרצפה יתווסף כוח חיכוך ?F= -bv 71 17.24 קליע בעל מסה זניחה נע במהירות לא ידועה לעבר מסה m2שמחוברת למסה m1דרך קפיץ בעל מקדם אלסטי .Kהמסה m1ניצבת בצמוד לקיר כמתואר בשרטוט. א) לאחר פגיעת הקליע הקפיץ מתכווץ במצב המקסימלי ומאבד dמאורכו. מהי מהירות מרכז המסה מייד לאחר שהמערכת מתנתקת מהקיר? ב) על מערכת בעלת נתונים זהים ואורך קפיץ רפוי lמופעל כוח קבוע ואופקי Fלכיוון המסומן בציור. מה ההתארכות המקסימלית של הקפיץ? 17.24 נתונה דיסקה ממוסמרת במרכזה לקיר (כלומר הדיסקה יכולה להסתובב אך לא לנוע מעלה ומטה) .הדיסקה בנויה משתי דיסקות מודבקות בעלות רדיוס rלדיסקה הקטנה ו Rלדיסקה הגדולה .סביב הדיסקות מלופפים חוטים כמתואר בשרטוט .עוד נתון כי אין החלקה לחוטים. א) מצא את תדירות התנודות. ב) מהי האנרגיה הכוללת של המערכת? 72 כוח מרכזי וכבידה 18.1 חללית בעלת מסה mסובבת את כדה"א במסלול מעגלי ברדיוס .Rברגע מסוים החללית מתפצלת לשני חלקים. אחד החלקים בעל מסה של שליש mעף בכיוון הרדיאלי במהירות המילוט. מצא את הרדיוס המינימלי והמקסימלי של החלק השני. 18.2 גוף נע במנהרה הנמצאת במרחק 𝑅 2 ממרכז כדור בעל מסה .Mהגוף מתחיל ממנוחה בקצה המנהרה ואין חיכוך. מצא את מיקום הגוף כפונקציה של הזמן. 18.3 גוף נע סביב השמש במסלול אליפטי כך שמהירותו המקסימאלית ומרחקו המינימלי מהשמש נתונים .נתון גם שטח האליפסה שעושה הגוף. מצא את זמן המחזור של הגוף. 73 יחסות פרטית 19.1 אופנוע נוסע במהירות קבועה בקו ישר .צופה על הקרקע מודד כי האופנוע נסע מרחק של .540km צופה הנע במטוס ממש מהיר ,V= 0.5cבכיוון נסיעת האופנוע ,מודד כי משך זמן נסיעת האופנוע היה 0.01שניה. א) מצא את מהירות האופנוע במערכת כדור הארץ. ב) מצא את המרחק שעבר האופנוע כפי שמדד הצופה במטוס. 19.2 שתי חלליות בעלות אורך מנוחה זהה ,עוברות זו במקביל לזו במהירות גבוהה. בזנב החללית Sמצוי תותח המכוון בניצב לכיוון תנועת החללית ולעבר מסלול התנועה של החללית ( 'sאיור .)1 בחללית Sמתבצעת בדיקת ירי בתותח ברגע שהנקודה aבראש החללית מתלכדת עם הנקודה '( aזנב ' .)sמכיוון שאורך החללית ' sקצר מהאורך העצמי בחללית ב sמניחים כי הטיל יפספס את החללית השניה (איור .)2 אולם במערכת ' sאורך החללית Sקצר מהאורך העצמי ולכן כאשר aו' aמתלכדות האסטרונאוט Sיפגע (איור .)3 ישב/י את הפרדוקס. 19.3 מוט בעל אורך עצמי l0נע במהירות Vנתונה ביחס לכדה"א .נתון כי ב t=0הקצה השמאלי של המוט נמצא ב .x=x'=0 :ברגע זה המוט פולט אור מקצהו הימני .לאחר זמן Tהמוט פולט אור מקצהו הימני. מצא את הפרש הזמנים כפי שרואה אותם צופה מכדה"א (הפרש הזמנים בין הגעת האור משני המאורעות לראשית). 74 19.4 החללית אנטרייז יוצאת מכוכב אלפה חזרה לכדה"א .בדרך היא עוברת ליד הירח של כוכב אלפה ורואה פולס אלקטרו מגנטי חזק יוצא לכיוון הכוכב .ידוע שבירח ישנה קבוצת חייזרים תוקפניים בשם ה"קליגונים" 1.3 .שניות מאוחר יותר היא רואה פיצוץ בכוכב .המרחק בין הכוכב לירח שלו הוא 500מיליון מטרים כפי שנמדד במערכת החללית .מהירות החללית ביחס לכוכב ולירח היא .0.9c א) מהו מרווח הזמן בין גילוי הגל לפיצוץ במערכת הכוכב והירח? ב) מה משמעות הסימן בהפרש הזמן? ג) האם הפולס גרם לפיצוץ או להיפך? 19.5 שתי מכוניות נוסעות האחת במאונך לשניה כך שמהירות המכונית הראשונה היא 0.6cבכיוון ציר ה xביחס למעבדה .מהירות המכונית השניה היא 0.9cבכיוון ציר ה yהשלילי ביחס למעבדה. מצא את המהירות היחסית (המהירות בה מודדת המכונית השניה את מהירות המכונית הראשונה). 19.6 המבחן בפיזיקה התחיל בשעה 9:00והמשגיחה יצאה לטייל במהירות ( 0.8cדודה זריזה במיוחד). לאחר שעה לפי שעונה היא שולחת לסטודנטים אות רדיו לסיים את הבחינה. כמה זמן ארכה הבחינה עבור הסטודנטים? 19.7 חללית בעלת אורך עצמי של 200מטר נעה במהירות 0.9cביחס 0.9cביחס למערכת אינרציאלית .sכדור קטן מתגלגל לאורכה במהירות u’=0.04cבכיוון ציר ,xכפי שנמדד ע"י צופה בחללית. א) מהי מהירות הכדור כפי שנמדדת ע"י צופה ( ?sהבא את התשובה ביחידות .)c ב) מהו הזמן שיקח לכדור לעבור מקצה לקצה של החללית כפי שנמדד ב( ?s-הבא את התשובה במליוניות השניה). ג) איזה מרחק עבר הכדור לפי צופה במערכת ( ?sביחידות של ק"מ). 75 19.8 שני חלקיקים נוצרים בגובה hמעל הקרקע .אחד נפלט בזווית 225מעלות עם ציר ה xוהשני 3h בזווית 45-מעלות עם ציר ה .xהחלקיק הראשון מתפרק לאחר זמן Tבגובה 4והחלקיק השני מתפרק לאחר זמן T2בגובה א) ב) ג) ד) h 4 .הנחיות :התעלם מהכבידה. הבע את מהירויות החלקיקים באמצעות hו .T מצא את זמן החיים העצמי של כל חלקיק (זמן החיים במערכת המנוחה). מצא מערכת 'sהנעה בכיוון החיובי של ציר ה xבה ההתפרקויות מתרחשות באותו הזמן. מה המרחק בין ההתפרקויות במערכת ?'s 19.9 מוט בעל אורך ( lלא נתון) נע במהירות v1בכיוון ציר ה yביחס לצופה הנמצא במעבדה .הצופה במעבדה מודד זווית a1של המוט ביחס לציר ה .x איזו זווית ימדוד צופה הנע במהירות ̂𝑥 ̂𝑣2ביחס למעבדה? 19.10 במערכת ' sהנעה במהירות vביחס למערכת המעבדה ,Sנמצא משדר רדיו הפולט אותות בתדירות .𝑓0 א) מה תהיה התדירות שתיקלט במעבדה? ב) מה תהיה התדירות שתיקלט במערכת ''sהנעה במהירות ̂𝑥𝑣 𝑣 = −ביחס למעבדה? 19.11 76 מצא את האנרגיה הדרושה לנויטרון להגיע לכדור הארץ ממרחק של 5שנות אור בהינתן שזמנן החיים של נויטרון הוא 881שניות והמסה שלו היא.𝑀𝑛 = 940𝑀𝑒 𝑉⁄𝑐 2 : 19.12 חלקיק בעל מסה mמתנגש בחלקיק בעל מסה .3mלחלקיק הראשון אנרגיה כוללת לפני ההתנגשות mc25 ונתון כי התנע הכולל שלהם במערכת המעבדה הוא אפס .כתוצאה מההתנגשות שני החלקיקים מושמדים ונוצר חלקיק חדש הנמצא במנוחה. א) מצאו את האנרגיה הקינטית של החלקיק הראשון. ב) מצאו את פקטור לורנץ של החלקיקים לפני ההתנגשות ואת האנרגיה הקינטית של החלקיק השני. ג) מצאו את מסת החלקיק הנוצר לאחר ההתנגשות. 19.13 חלקיק בעל אנרגיה כוללת E1ומסת מנוחה m1נע במעבדה בכיוון החיובי של ציר ה .xברגע מסוים מתפרק החלקיק לפוטון ולחלקיק נוסף .אנרגיית הפוטון נתונה Eγוידוע כי הפוטון נע בציר ה ,yבכיוון החיובי. א) מהו התנע של החלקיק הראשון לפני ההתפרקות? ב) מהי הזווית של התנע של חלקיק 2ביחס לציר ה ? x ג) מצא מערכת ייחוס חדשה ' Sשבה הפוטון יפלט בכיוון נגדי לכיוון תנועתו של חלקיק מס' .2מה מהירותה של מערכת זו ביחס למערכת המעבדה? 19.14 פוטון פוגע בפרוטון הנמצא במנוחה במערכת המעבדה .נתונות מסת הפרוטון והפיון 𝜋𝑀 .𝑀𝑝 , מהי האנרגיה המינימלית הדרושה לפוטון על מנת שלאחר ההתנגשות יווצרו פרוטון ופיון (?)π 19.15 חלקיק בעל מסה mהנמצא במנוחה מתפרק לשני חלקיקים בעלי מסות מנוחה .𝑚1 , 𝑚2 מה יהיו האנרגיה והתנע של החלקיקים שנוצרו? (כל המסות נתונות) 19.16 הראו כי אלקטרון חופשי הנע בואקום אינו יכול לפלוט פוטון בודד. 19.17 77 חלקיק בעל מסת מנוחה mפוגע בחלקיק זהה לו הנמצא במנוחה .כתוצאה מההתנגשות נוצרים שני חלקיקים בעלי מסות מנוחה ,m1ו .m2 מצא את אנרגיית הסף ליצירת ריאקציה זו( .הנח ש)m1+m2>2m : 19.18 פיון ( )𝜋 +מתפרק למיואון חיובי ( 𝑐 )𝑀𝜇 = 106𝑀𝑒 𝑉⁄וניטרינו חסר מסה. 2 מצא את מסת המנוחה של הפיון אם למיואון אנרגיה קינטית של .5MeV 19.19 אלקטרון נע במהירות vומתנגש בפוטון בעל אנרגיה 𝛾𝐸 הנע לקראתו. מצא את הערך של vאם ידוע כי הפוטון מוחזר באותה אנרגיה בה פגע .הנח כי מסת האלקטרון ידועה. הידרו-סטטיקה והידרו-דינמיקה 78 20.1 נתונה המערכת שברשטוט. מצא את הלחצים בנקודות השונות. 20.2 נתונה זרימה על פי השרטוט (מקדם הצמיגות ידוע) .בחלק מספר 3שטח החתך של הצינור הינו שליש מבשאר הצינור. מצא את הלחץ בכל הנקודות 1-5ומצא את גובה עמוד המים מעל נקודה .3 20.3 נתונה המערכת שבשרטוט. שטח חתך הצינור בנקודה 3כפול מבשאר הצינור. א) מהי מהירות הזרימה בהנחה שאין איבוד אנרגיה? ב) מהי מהירות הזרימה אם נכון מקדם הצמיגות? 20.4 79 צינורית בקוטר dואורך Lמחוברת לתחתית בריכה רדודה. מעלים את הלחץ בבריכה ע"י כך שמניחים אדם בעל מסה mעל משטח בגודל ,Sכך שהמשטח לוחץ את האוויר תחתיו מכובד משקל האדם (המשטח בדיוק בגודל הבריכה ויכול לנוע מעלה ומטה אך האזור תחתיו נשאר אטום). תוך כמה זמן הבריכה תתרוקן אם נתון כי נפל המים בבריכה בתחילה הוא Kוצמיגות המים היא ?l 80 תרגילים ברמת מבחן 21.1 מוט (כחול) מונח על שני תופסנים (שחורים) ועליו מוט חסר מסה באורך .lבקצה המוט מסה .m המסה מתחילה נפילה ממנוחה. התופסנים מחזיקים את המוט מלנוע לצדדים ,אך הוא יכול לנוע מעלה. א) רשום פונקציית המהירות הזוויתית כתלות בזווית הנפילה. ב) מהו הכוח שמפעיל המוט על הכדור ,כפונקציה של זווית הנפילה. ג) מה צריך להיות משקל המוט (הכחול) על מנת שהמסה תוכל להשלים סיבוב שלם ללא ניתוק של המוט? 21.2 כדור הארץ סובב סביב השמש בהקפה אליפטית .נתונים המרחקים בשיא האליפסה (המרחק הקצר ביותר והארוך ביותר) .נתונה גם מהירות כדור הארץ בנקודה הקרובה ביותר. א) מצא את מהירות כדור הארץ בנקודה הרחוקה ביותר. ב) רשום את משוואת שימור האנרגיה לשתי הנקודות אלה. ג) מצא את מסת השמש ,אם נכון קבוע הגרביטציה .G 21.3 נתון גוף הבנוי מחישוק ברדיוס Rבעל מסה ,Mובתוכו משולש שווה צלעות שאורך כל צלע 3Rומסתו .m עובי החלקים בגוף זניח וצפיפותם אחידה. א) ב) ג) ד) מהו מומנט ההתמד של הגוף? מהו כוח Fבמצב של שיווי המשקל? בזמן t=0מתחיל לפעול הכוח ,Fכך ש .F=(m+M)3g-הטבעת מתגלגלת מעלה ללא החלקה. מצאו את התאוצה הזוויתית של הטבעת. מהי האנרגיה הקינטית של הגוף כפונקציה של הזמן? 81 21.4 נתון מוט חסר מסה באורך Lובראשו מסה mהמתחיל נפילה ממנוחה .בטא את הגדלים הבאים כפונקציה של זווית הנפילה- א) מהירות ותאוצה (רדיאלית ומשיקית( של המסה בקצה המוט. ב) נורמל וחיכוך שמפעילה הרצפה. השאלה מתייחסת לשלב הנפילה עד רגע ההחלקה. 21.5 נתון משולש שווה צלעות בעל מסה ( Mצפיפותו אחידה) ועליו מוט חסר מסה ובסופו מסה .mגודל כל האורכים בשרטוט הוא .Lהמשולש מחובר בבסיסו לשני גלגלים קטנים כך שהוא חופשי לנוע לצדדים. המסה מתחילה ליפול ממנוחה כך שברגע pהיא נמצאת מאוזנת לקרקע .שלושת הסעיפים מתייחסים לרגע זה. א) מצא את מרכז המסה של העגלה. ב) מצא את מהירות המסה .m ג) מצא את הנורמלים שמפעילים שני הגלגלים על העגלה. 21.6 חוט מסובב מסה ממנוחה עם תאוצה זוויתית .המתיחות המקסימלית בחוט היא pומעבר למתיחות זו החוט נקרע. א) מה צריכה להיות התאוצה של מנת שהמסה תפגע במטרה? ב) מה תהיה מהירות הפגיעה? התייחס לנתונים כפי שמופיעים בשרטוט .השרטוט מתאר את רגע תחילת התרגיל .על המסה להשתחרר לפני שהיא מסיימת הקפה אחת של המעגל. 82 21.7 גוף נקודתי בעל מסה mנע במסלול ציקלואידי המתואר ע"י: )x = α(θ-sin θ )y = α(1-cos θ כשאר αקבוע ו θ-הינו משתנה של הבעיה .הגוף מתחיל את תנועתו ממנוחה מנק' ( ,)0,0נע בשדה גרביטציה g כמתואר בשרטוט .נקודת החוט לאנרגיה הפוטנציאלית תהיה בתחתית המסלול (בנקודה בה .)y = 2α א) מהי מהירותו של הגוף בתחתית המסלול? ב) כיתבו את משוואת התנועה עבור הגוף θלאורך המסלול .יש לבטא את משוואת התנועה וקבועי השאלה (.)g,α ג) פתור את משוואת התנועה של סעיף ב' על פי תנאי ההתחלה עבור ).θ(t), x(t), y(t ד) הראו שהגוף יבצע תנועה מחזורית עם זמן מחזור המתאים למטוטלת מתמטית בעלת אורך .lמהו l המתאים לבעיה הנ"ל? 21.8 גוף מורכב מחרוט בעל זווית מפתח ,αבסיס הרדיוס aוגובה hהיושב על חצי כדור בעל רדיוס דומה כמתואר בשרטוט .לחצי חרוט ולכדור צפיפות מסה אחידה וזהה .p א) חשב את מרכז המסה של החרוט ביחס לראשית 0הנמצאת על משטח החיבור בין הגופים( .ראה ציור עם הגדרת ראשית הצירים). ב) חשב את מרכז המסה של כל המערכת בהינתן מרכז המסה של חצי כדור.-3a/8=zc.m : ג) מטים את הגוף הנ"ל בזווית θביחס לאנך .מהי האנרגיה הפוטנציאלית כתלות בזווית זו? 21.9 מסה m1נמצאת בתוך קונוס ,בעל זווית מרכזית ,αהמסתובבת במהירות קבועה .ωהמסה מחוברת במסילה לקונוס ,הגורמת לה להסתובב יחס איתו במהירות קבועה .בנוסף המסה יכולה לנוע מעלה ומטה על הדופן של הקונוס ללא חיכוך. א) מהו רדיוס הסיבוב rשבו m1תהיה בשיווי משקל ,כלומר המסה המסתובבת לא תנוע מעלה או מטה על גבי דופן הקונוס( .כמתואר בשרטוט א'). 83 ב) כעת מניחים על גבי מסה m1מסה נוספת( m2 ,כמתואר בשרטוט ב') .מקדם החיכוך הסטטי בין המסות הוא .µsמהירות הסיבוב של מסה m1אינה משתנה כתוצאה מהוספת המסה m2למערכת ,ובנוסף המסה החדשה אינה מחליקה על גבי מסה .m1 האם רדיוס התנועה ,שבו נמצאת המערכת בשיווי משקל ,ישתנה? הסבר. ג) מהו ערכו המינימלי של מקדם החיכוך הסטטי µsשינמע החלקה בין המסות? הנח כי החלק העליון של m1הוא אופקי. 21.10 שני מוטות דקים וארוכים במנוחה ,בעלת מסה mואורך Lכל אחד מחוברים בזווית ישרה בנק' ,0ראשית הצירים, כמתואר בשרטוט .שתי המסות mנעות בניצב למוטות ומתנגשות בקצה המוטות במהירות ⃗ 𝐕̂ 𝒙 ,1= -V0 ⃗ 𝐕̂ 𝒚 .2= V0נתון כי בזמן t=0המסות נצמדות למוטות בבת אחת. א) ב) ג) ד) מצאו את וקטור המיקום של מרכז המסה עבור .t=0 מצאו את וקטור המיקום של מרכז המסה עבור ,t>0ביחס למיקום מרכז המסה בזמן ( t=0ברגע הצמדות המסות למוטות). מהי המהירות הזוויתית של המערכת בתנועה הסיבובית ביחס למרכז המסה שחושב בסעיף ב'? מצאו את וקטור המיקום של הנקודה ,0ביחס למיקומה בזמן .t=0 21.11 נתונים מסה כדורית קטנה mשרדיוסה Rוקפיץ אנכי ,אידיאלי וחסר מסה ,בעל קבוע קפיץ ,Kהקפיץ ממוקם בתוך נוזל צמיגי שצפיפותו pוצמיגותו נתונה .המצב הרפוי של הקפיץ הוא כשאר הוא בגובה פני הנוזל ,כמתואר בשרטוט. א) כאשר המסה ממוקמת על שפת הנוזל ,כמתואר בשרטוט ,מעניקים לה מהירות התחלתית V0כלפי מעלה ,מה יהיה הגובה המקסימלי אליו תגיע המסה? 84 ב) מהי משוואת התנועה של המסה ,כאשר היא נעה בתוך הנוזל? הניחו כי מרגע נגיעת המסה בפני הנוזל מהכדור נכנס במלואו לנוזל (יש להתעלם משלבי כניסת המסה לנוזל) .כמו כן יש להניח כי פני הנוזל לא השתנו בשל כניסת הכדור לנוזל .רמז :לפישוט המשוואה ,יש לבצע החלפת משתנים. ג) בהנחת ריסון חלש ,מהו הפתרון הכללי של משוואת התנועה בתוך הנוזל? מהם תנאי ההתחלה של התנועה? ד) כעבור כמה זמן ,מרגע כניסת המסה למים ,תחזור המסה לפני המים (המצב המתואר בתחילת סעיף ב')? 85
© Copyright 2024