‫‪384‬‬ ‫קיץ תשע"א (‪ - )2011‬התשובות‬ ‫)‪ = E(D) – E(A‬חיכוך‪W‬‬ ‫‬ ‫)‪ - Ek(D‬האנרגיה הקינטית ב‪ - D -‬גודל משתנה‪.‬‬ ‫‪Mv D2‬‬ ‫)‪ - UG(A‬האנרגיה הפוטנציאלית הכובדית‬ ‫ ‪m – MgH A‬‬ ‫‪ = c MgH D +‬חיכוך‪W‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ב‪ –A -‬גודל משתנה‪.‬‬ ‫רואים מהגרף לעיל‪ ,‬כי כאשר ‪HA = 1.1 m‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪m‬‬ ‫על פי קשר (‪ )1‬לעיל‪ ,‬ועל פי הידיעה מהם‬ ‫‪. v D2 = 12 ` s j‬‬ ‫הגדלים הקבועים ומהם הגדלים המשתנים‬ ‫המופיעים בו‪ ,‬אפשר להסיק כי האנרגיה‬ ‫הקינטית ב‪ D -‬נקבעת על ידי ‪ ;HA‬שינוי הגובה‬ ‫‪ HA‬משפיע על גודל המהירות ‪.vD‬‬ ‫(‪ )2‬לא‪ ,‬הגוף לא יגיע ל‪ ,D -‬כי יש "איבוד"‬ ‫אנרגיה לאורך קטע המסלול ‪ ,BC‬בגלל חיכוך‪.‬‬ ‫ב‪ )1( .‬הטבלה‪:‬‬ ‫)‪HA(m‬‬ ‫‪0.6‬‬ ‫‪0.7‬‬ ‫‪0.8‬‬ ‫‪0.9‬‬ ‫‪1.2‬‬ ‫‪vD ` m j‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪1.45‬‬ ‫‪2.00‬‬ ‫‪2.50‬‬ ‫‪2.80‬‬ ‫‪3.75‬‬ ‫‪2.10 v 2D c m2 m‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪4.00‬‬ ‫‪6.25‬‬ ‫‪14.06 7.84‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(‪ )2‬הגרף‪:‬‬ ‫לכן‪:‬‬ ‫‪ = (0.2 · 10 · 0.3 + 0.2 · 12 ) – 0.2 · 10 · 1.1‬חיכוך‪W‬‬ ‫‪2‬‬ ‫פתרון המשוואה‪ = –0.4 J :‬חיכוך‪W‬‬ ‫פתרון בדרך ב‪:‬‬ ‫בסעיף ג מצאנו שהגובה המינימלי‪,‬‬ ‫‪ ,HA, min‬שממנו יש לשחרר את הגוף על מנת‬ ‫שיגיע לנקודה ‪ D‬ללא מהירות )‪ (vD = 0‬הוא‬ ‫‪.EA, min = 0.5 m‬‬ ‫עבודת כוח החיכוך אינה תלויה בגובה ‪ HA‬שווה‬ ‫להפרש בין האנרגיה המכנית הכוללת בנקודה‬ ‫‪ ,E(D) ,D‬לבין האנרגיה המכנית הכוללת‬ ‫בנקודה ‪.E(A) ,A‬‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪ = E(D) – E(A‬חיכוך‪W‬‬ ‫‬ ‫‪ = MgHD – MgHA, min‬חיכוך‪W‬‬ ‫) ‪( ms‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪VD2‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪14‬‬ ‫אזי‬ ‫‪ = 0.2 · 10 · 0.3 – 0.2 · 10 · 0.5‬חיכוך‪W‬‬ ‫‬ ‫‪ = –0.4J‬חיכוך‪W‬‬ ‫‬ ‫‪12‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪HA(m‬‬ ‫‪1.2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0.8‬‬ ‫‪0.6‬‬ ‫‪0.4‬‬ ‫‪0.2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫כאשר‬ ‫מתקבל‬ ‫המינימלי‬ ‫ג‪ .‬הגובה‬ ‫‪ .vD = 0‬בגרף שבסעיף ב (‪ )2‬נקודת חיתוך‬ ‫העקומה (הקו הישר) עם הציר האופקי שווה‬ ‫לערך של הגובה ההתחלתי שעבורו הגוף ייעצר‬ ‫בנקודה ‪ .D‬על פי הגרף ‪.HA, min = 0.5 m‬‬ ‫ד‪ .‬פתרון בדרך א‪:‬‬ ‫ עבודת כוח החיכוך שווה להפרש בין האנרגיה‬ ‫המכנית הכוללת בנקודה ‪ ,E(D) ,D‬לבין האנרגיה‬ ‫המכנית הכוללת בנקודה ‪.E(A) ,A‬‬ ‫‪ .5‬א‪ .‬לווין התקשורת נמצא כל הזמן מעל אותה‬ ‫נקודה ‪ A‬שעל פני כדור הארץ‪ ,‬מכאן שזמן‬ ‫המחזור שלו שווה לזמן המחזור של סיבוב כדור‬ ‫הארץ סביב צירו‪ ,‬דהיינו ל‪ 24 -‬שעות‪.‬‬ ‫‪SFR = maR‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪M m‬‬ ‫‪G E2 = mv‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪r‬‬ ‫=‪v‬‬ ‫‪T‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‬ ‫נציב‪:‬‬ ‫לאחר צמצום ב‪ m -‬נקבל‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ME‬‬ ‫‪= 8 2pr B · 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪GME · T = 4p r‬‬ ‫‬ ‫‪G‬‬ ‫‬ ‫נציב מספרים‪:‬‬ ‫‬ ‫= ‪· (24 · 3600)2‬‬ ‫‪1024‬‬ ‫·‪·6‬‬ ‫‪10–11‬‬ ‫· ‪6.67‬‬ ‫‪385‬‬ ‫קיץ תשע"א (‪ - )2011‬התשובות‬ ‫‪= 4 · 3.142r3‬‬ ‫‬ ‫פתרון המשוואה‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫ג‪ .‬‬ ‫‬ ‫‪– 6.4 · 106‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪107‬‬ ‫‪107‬‬ ‫· ‪r = 4.23‬‬ ‫· ‪h = r – RE = 4.23‬‬ ‫‪m = 35,900 km‬‬ ‫‪107‬‬ ‫‬ ‫‪T 2‬‬ ‫‪r 3‬‬ ‫‪e T1 o = c r1 m‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪r1‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪4.23 · 10‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪12 2‬‬ ‫‪` 24 j = c‬‬ ‫פתרון המשוואה‪:‬‬ ‫הגובה ‪ h‬מעל פני כדור הארץ‪:‬‬ ‫‪h = r1 – RE = 26.6 · 106 – 6.4 · 106‬‬ ‫‬ ‫ה‪ .‬היגד (‪ )2‬אינו נכון‪.‬‬ ‫הסבר‪ :‬היקף המעגל שמשלים הלווין גדול‬ ‫מהיקף המעגל שמשלימה נקודה ‪ ,A‬אך זמני‬ ‫התנועות שווים‪ .‬מכאן שהמהירויות שונות‪.‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪107‬‬ ‫· ‪h = 2.02‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪Vr‬‬ ‫=‪& q‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪k‬‬ ‫(‪)2‬‬ ‫‪–11‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪= 6.67 · 10 · 67 ·210‬‬ ‫‪g * = GM‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪^ 4.23 · 10 h‬‬ ‫‪g* = 0.224 m/s2‬‬ ‫‪r1 = 2.66 · 107 m‬‬ ‫‬ ‫‪ .1‬א‪ )1( .‬המטען על פני הכדור הוא חיובי כי‬ ‫הפוטנציאל חיובי‪.‬‬ ‫· ‪h = 3.59‬‬ ‫ד‪ .‬נסמן‪" - 1 :‬הלוויין האחר"‬ ‫ ‪ - 2‬לויין התקשורת עמוס ‪1‬‬ ‫‬ ‫אלקטרומגנטיות‬ ‫‬ ‫‪C‬‬ ‫‪· 10 –8‬‬ ‫‪= 1.78‬‬ ‫‪V=k‬‬ ‫‪8000 · 20 · 10 –3‬‬ ‫‪9 · 10 9‬‬ ‫=‪q‬‬ ‫ב‪ .‬פתרון בדרך א‪:‬‬ ‫)‪WA→B = q1(VA – VB) = 8 · 10–9(6000 – 3000‬‬ ‫‬ ‫‪WA→B = 2.4 · 10–5 J‬‬ ‫עבודת השדה כאשר המטען מועבר מנקודה ‪B‬‬ ‫ל‪ C-‬שווה לאפס כי הפרש הפוטנציאלים בין שתי‬ ‫הנקודות שווה לאפס‪.‬‬ ‫‪WA→C = WA→B = 2.4 · 10–5 J‬‬ ‫‬ ‫מכאן‪:‬‬ ‫פתרון בדרך ב‪:‬‬ ‫הכוח החשמלי הוא משמר‪ ,‬לכן עבודתו אינה תלויה‬ ‫במסלול‪ .‬עבודה השדה מ‪ A -‬ל‪ B -‬ואחר‪-‬כך ל‪C -‬‬ ‫שווה לעבודה השדה מ‪ A -‬ל‪.C -‬‬ ‫)‪WA→C = q1(VA – VC) = 8 · 10–9(6000 – 3000‬‬ ‫‪WA→C = 2.4 · 10–5 J‬‬ ‫‬ ‫= )‪WL→D = q2(VL – VD‬‬ ‫ג‪ )1( .‬‬ ‫זהירות מוקשים‬ ‫=‬ ‫= )‪– 1800‬‬ ‫‬ ‫היגד ‪ 1‬בסעיף ה של השאלה הוא "תנועת לוויין‬ ‫במסלולו היא נפילה חופשית"‪.‬‬ ‫התקבלה עבודה שלילית כי השדה של‬ ‫רבים מזהים בטעות את המושג "נפילה חופשית"‬ ‫הכדור מפעיל על המטען ‪ q1‬כוח דחייה‬ ‫עם תנועת גוף המשוחרר ממנוחה ונופל לארץ‬ ‫(מ‪ D-‬ל‪ )L-‬המנוגד לכיוון התנועה‪.‬‬ ‫לאורך קו ישר‪.‬‬ ‫ (‪ )2‬הביטוי למרחק נקודה ממרכז הכדור‪:‬‬ ‫אבל חשוב לדעת ש"נפילה חופשית" מוגדרת‬ ‫‪kq‬‬ ‫‪kq‬‬ ‫=‪& r‬‬ ‫ ‬ ‫= ‪V‬‬ ‫כתנועת גוף בהשפעת כוח הכובד בלבד‪ .‬לכן תנועת‬ ‫‪r‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪kq‬‬ ‫לוויין‪ ,‬זריקה אופקית‪ ,‬זריקה משופעת‪ ,‬זריקה מטה‬ ‫= ‪rL‬‬ ‫ עבור הנקודה ‪:L‬‬ ‫‪VL‬‬ ‫וזריקה מעלה ‪ -‬כל התנועות האלה הן "נפילה‬ ‫‪kq‬‬ ‫= ‪rD‬‬ ‫ עבור הנקודה ‪:D‬‬ ‫חופשית" (ראה בספר מכניקה ניוטונית כרך א‪ ,‬עמוד‬ ‫‪VD‬‬ ‫‪ 63‬ועמוד ‪.)293‬‬ ‫הפרש המרחקים של שתי נקודות ממרכז‬ ‫הכדור‪:‬‬ ‫‪–10–7J‬‬ ‫‬ ‫‪kq‬‬ ‫‪kq‬‬ ‫–‬ ‫‪VL VD‬‬ ‫‪10–9(1700‬‬ ‫= ‪Tr = rL – rD‬‬