1. No category

Velkommen til graftegnerkurs
11. april 2015
12.00 til 14.00 (15.00)
Et elevsamarbeid med Hovedbiblioteket og Lektorjakobsen
For mer oppgavehjelp i fagene matematikk ungdomsskolen, 1P, 1T, 2P og 2PY besøk
www.lektorjakobsen.no
https://www.facebook.com/Lektorjakobsen
https://www.facebook.com/groups/lektorjakobsenmedlem
For graftegner gjennom videoer besøk http://lektorjakobsen.no/GeoGebra/001_Innl%C3%A6ring
Jeg har dårlig syn. Og det har kanskje en venn eller venninnen din -foreldrene dine, besteforeldre eller læreren din. Derfor kan du forandre skriftstørrelsen til større
Fra menylinjen klikk INNSTILLINGER, klikk fjerdevalget SKRIFTSTØRRELSE, selv bruker jeg 18
pt. Grunninnstillingene er 12 pt og du velger den som passer deg best. For at den skal forbli
slik må du igjen klikke INNSTILLINGER og rulle deg ned til LAGRE INNSTILLINGER. Klikk denne.
Geogebra liker ikke kommatall. Bruk derfor punktum for komma
Dette gjelder inntastingsfeltet der det står Skriv inn:
Skal du skrive 7,3 skriv 7.3
Skal du skrive 2,3x skriv 2.3x
Hvordan fikser jeg ‘i andre’ eller ‘i sjette’ for den slags skyld
Dette gjøres på en av to måter.
Måte 1. Bruk ‘hatten’ som ser slik ut ^ Derfor ‘x i andre’ bruker du x^2. Hatten ^ finner du
opp mot høyre på tastaturet.
Måte 2. Fra inntastingsfeltet bruk knappen ‘alt’ og hold den inne mens du trykker i hvilken
orden. Derfor ‘i andre’ gjøres ‘hold alt-knappen inne og trykk 2’ og ² dukker opp.
Hvor mange desimaler?
Grunninnstillingene er 2 desimaler. Noen ganger kan det være bra med flere desimaler og særlig ved
bruk av vekstfaktor og regresjon –så hvorfor ikke bruke flere allerede fra starten?
Fra menylinjen klikk INNSTILLINGER, klikk andrevalget AVRUNDING, deretter klikk 5
desimaler.
Denne grunninnstillingen kan du nå lagre gjennom å klikke INNSTILLINGER, klikk
syvendevalget LAGRE INNSTILLINGER. Akkurat som tidligere.
Zoome inn og ut på koordinataksene
Trykk på boksen helt til høyre, FLYTT GRAFIKKFELTET. Når den har en blå ramme er den aktivert og du
kan flytte rundt på koordinatsystemet og zoome inn og ut på koordinataksene.
Sette navn på aksene
Dette er et krav på eksamen og du vil miste poeng uten navn på aksene
Vanligvis setter vi på y og x, men vi kan også sette på f(x) og setninger som; lønn i kroner. Disse
navnene gjøres på samme måte.
Marker ABC ved å klikke på den (boks nummer 3 fra høyre). Denne får nå en blå ramme. Flytt
markøren ned til grafikkfeltet og klikk.
www.lektorjakobsen.no
Side 1
Dermed dukker TEKSTboks opp. I REDIGERfeltet skriver du x og klikker OK.
Nå flytter du markøren over x og venstreklikker samtidig som du flytter x’en til der du vil at
en skal være.
Plassere funksjonsuttrykket i grafikkfeltet
Dette kan være et krav på eksamen og du kan miste poeng uten dette
Dette gjøres på samme måte som ‘Sette navn på aksene’.
Du skriver f. eks 0.5x-1 inn i REDIGERfeltet fra TEKSTboksen og trykker ok.
Bildene 1, 2, 3 og 4 nedenfor forklarer ytterligere
bilde 1
bilde 2
www.lektorjakobsen.no
Side 2
bilde 3
bilde 4
Da er vi klare for de viktigste kommandoene for matematikkfagene 1P, 2P og 2PY
Nullpunkt har kommandoen Nullpunkt[] og innenfor klammene [] plasserer vi funksjonsnavnet enten
det er f, f(x) eller 0.5x-1 hvis funksjonen var som ovenfor.
(Nullpunkt er det punktet grafen skjærer x-aksen, så det vi finner er x-verdi. I nullpunktet er alltid yverdi lik null. Derfor navnet ‘nullpunkt’).
Husk at et punkt er beskrevet med x og y-koordinat (x,y) og y-koordinaten vil alltid være 0 for et
nullpunkt (x,0)
www.lektorjakobsen.no
Side 3
Nullpunkt, eksempeloppgave
Petronella har 3000 kroner og bruker 125 kroner per dag. Sett opp et førstegradsuttrykk for
situasjnen og bestem når Petronella har 0 kroner igjen.
Løsningen på denne er a=-125 og b=3000 som gir oss ax + b som -125x + 3000
Fra bildene 5, 6, 7, 8 og 9 kan dere se, i algebrafeltet, at Geogebra gir funksjonsuttrykket navnet f(x).
Kommandoen Nullpunkt [] får vi opp ved å skrive ‘nu’ i inntastingsfeltet. Vi velger
Nullpunkt[<polynom>]. Vi setter inn f, f(x) eller algebrauttrykket -125x + 3000 for <polynom> og vi vil
få resultat at nullpunktet er (24,0)
Merk videre at punktet er merket som A på grafikkfeltet og med koordinatene i algebrafeltet A(24,0).
Dette betyr at vi har 0 kroner igjen (y=0) når x=24, altså etter 24 dager.
Bilde 6 forklarer hvordan jeg ville levert oppgaven, eller…?
bilde 5
bilde 6
www.lektorjakobsen.no
Side 4
Egentlig ikke, faktisk. Her har jeg både ‘negative’ dager og ‘negativ’ verdi og det vil jeg ikke. I alle fall
ikke ‘negative’ dager. Derfor må jeg være flinkere til å definere hvilke x-verdier som er interessante
og vil med det introdusere funksjonsuttrykk og definisjonsmegde i samme kommando.
For oppgaven over bruker vi;
Funksjon[<funksjon>,<start>,<slutt>] og det holder at vi skriver ‘fun’ og den kommer opp i
inntastingsfeltet som valgalternativ 2 som bilde 7.
Vi skal løse denne oppgaven grafisk og det eneste vi er 100% sikre på er at vi ikke har negative dager.
Altså vet vi kun at vi starter på x=0, men ikke hvor vi slutter. Derfor antar vi et nullpunkt før x=100 og
bruker slutt på x=100 (Hvis dette ikke stemmer, skriver vi inn Funksjon[<funksjon>,<start>,<slutt>] på
nytt med mer korrekte sluttverdier.
Merk at Funksjon[<funksjon>,<start>,<slutt>] starter med Funksjon[<funksjon>,<start>,<slutt>] og
det betyr at vi kan taste inn f, f(x) eller -125x + 3000 direkte som bilde 8. Vi bruker piltastene for å
hoppe til start og slutt. Bilde 9 er den endelige presentasjonen av oppgaven.
bilde 7
bilde 8
Legg merke til at jeg ikke har trykket ‘enter’ i bilde 8.
bilde 9
www.lektorjakobsen.no
Side 5
Nullpunkt, øvingsoppgave 1
Du skal tappe vann fra en full vanntank på 7000 liter (L) i en hastighet på 150 L per minutt. Sett opp
et lineært uttrykk (lineært uttrykk er det samme som rett linje/ førstegradsuttrykk) og beskriv
tappingen grafisk og bestem nullpunkt grafisk. Merk at stigninstallet er negativt. Nemlig -150 L/ min.
Nullpunkt, øvingsoppgave 2
Et barn fram til og med 24 måneder lærer seg/ produserer ord gitt uttrykket O(x) = 20x – 150 hvor x
er gitt i måneder og O(x) er antall ord. Beskriv situasjonen grafisk, bestem nullpunktet og forklar hva
nullpunktet betyr. Her er det viktig med riktig start og slutt for x-verdier, ikke bare start.
Skjæringspunkt kan være mellom to funksjonsuttrykk eller mellom en bstemt verdi for x eller y og et
funksjonsuttrykk. For å lære oss kommandoen skjæringspunkt skal vi først benytte oss av det
tidligere funksjonsuttrykket f(x) = -125x + 3000
Hvor mange penger hadde Petronella igjen etter 8 dager eller hvor mange dager tok det før hun
hadde 1000 kroner igjen?
Skjæringspunkt, eksempeloppgave
Først skriver vi inn kommandoen fun og velger Funksjon[<funksjon>,<start>,<slutt>] hvor funksjon er
-125x+3000 og start er 0. For stopp kan vi velge alle verdier, men verdien må være større enn 24 for
x=24 er nullpunktet vårt. Vi kan velge 25 denne gangen. Kommandoen for skjæringspunkt får vi ved å
skrive inn ‘skj’ i inntastingsfeltet. Da velger vi alternativet Skjæring[<objekt>,<objekt>] hvor vårt
første objekt er funksjonsuttrykket. Altså, f, f(x) eller det algebraiske uttrykket -125x+3000
Vårt andre objekt er ‘etter 8 dager’. Da må vi først representere dette på grafikkfeltet. Skriv derfor
x=8 i inntastingsfeltet. Bilde 10 vil nå være ditt skjermbilde.
bilde 10
For du husket vel å sette navn på aksene og skrive inn funksjonsuttrykket?
www.lektorjakobsen.no
Side 6
Nå har vi to objekt, det ene f, f(x) eller -125x+300 og det andre x=8 og vi kan skrive inn ‘skj’ i
inntastingsfeltet. Vi finner skjæringspunktet gjennom kommandoen Skjæring[<objekt>,<objekt>] og
vi får bilde 11 som skjermbilde.
bilde 11
Skjæringspunktet er markert med A i grafikkfeltet og i algebrafeltet som A(8,2000). Legg også merke
til at jeg har skrevet inn tekst i grafikkfeltet. Det er viktig at vi kommuniserer regnesvaret med noen
ord også.
Videre skal vi finne hvor mange dager det har gått til Petronella har1250 kroner igjen. Derfor må vi ha
et nytt objekt og denne gangen er det y=1250. Vårt første objekt er det samme som tidligere. Nemlig
f, f(x) eller -125x+300
Vårt nye skjermbilde er som på bilde 12.
bilde 12
www.lektorjakobsen.no
Side 7
Skjæringspunkt brukes veldig ofte i praktsike situasjoner som ovenfor hvor vi finner en verdi basert
på kunnskap om et funksjonsuttrykk og en annen gitt og bestemt x eller y-verdi.
Men vi kan også finne skjæringspunkt mellom to funksjonsyttrykk på tilsvarende måte hvor
objektene er disse to forskjellige funksjonsuttrykk. Legg derfor merke til at Geogebra gjerne gir
funksjonsuttrykkene navnene f(x) for det første og g(x) for det andre. Hadde vi hatt tre
funksjonsuttrykk ville det tredje fått navnet h(x) og så videre.
Du kan også gi funksjonsuttrykket ditt eget navn, med eller uten definisjonsmengde, slik:
S(x)=16x+100 eller
S(x)=Funksjon[16x+100,0,30] hvor den siste har start – og sluttverdier på henholdsvis 0 og 30
La oss se på et nytt praktisk eksempel. Lena er en raskere svømmer enn Benjamin og gir ham et
forsprang på 25 meter. Benjamin har en gjennomsnittlig svømmehastighet på 0,4 m/s mens Lena har
en gjennomsnittlig svømmehastighet på 0,65 m/s. Vi skal, grafisk, finne når de har tilbakelagt like
mange meter og trenger funksjonsuttrykkene først og deretter bruke dem som objekter i
kommandoen Skjæring[<objekt>,<objekt>]
Lena blir 0,65x og Benjamin blir 0,4x+25 og etter å ha grafte dem og satt inn i
Skjæring[<objekt>,<objekt>] har vi Skjæring[f,g] hvor f er Lena og g er Benjamin. Husk at vi bruker
punktum for komma. Se bilde 13 og bilde 14.
bilde 13
www.lektorjakobsen.no
Side 8
bilde 14
Og bilde 14 er en flott besvarelse med kommunikasjon.
Skjæringspunkt, øvingsoppgave 1
To elektriske sykler, Liten og Stor, har en månedlig oppladningsavgift for Liten som 75 kroner og Stor
for 125 kroner. Den Lille kan kun ha sjåfør, men den Store kan ha sjåfør pluss passasjer. Per person
fraktet bruker den Lille 0,05 kroner per mil og den Store bruker 0,035 kroner per mil. Den Store
frakter alltid sjåfør pluss passasjer. Beskriv skjæringspunktet grafisk og hva forteller det? Et hint til
oppgaven er at y-alsen kun er gitt som kroner, uavhengig av antall personer involvert.
Andregradsfunksjoner og en tredjegradsfunksjon
Andregradsfunksjoner er parabler og de har alltid symmetri om ekstremalpunkter. Ekstremalpunkter
er enten toppunkt – eller bunnpunkt og en andregradsfunksjon har kun ett av dem. Et
andregradsfunksjon har modellen ax^2 + bx + c og er ikke mer mystisk enn at førstegradsfunksjoner
har modellen ax + b. For andregradsfunksjoner har a, b og c tallverdier og kan f.eks. se slik ut
1x^2+x-1 som kan uttrykkes x^2+ x–1 og dette er altså funksjonsuttrykket. Skriv dette i
inntastingsfeltet og du vil ha skjermbilde som bilde 15.
bilde 15
www.lektorjakobsen.no
Side 9
Fra teorien vet vi at, for dette funksjonsuttrykket, er a=1, b=2 og c=-1. Siden a=1 og 1>0 har vi et
ekstremalpunkt som er bunnpunkt. Videre fra teorien har vi at det finnes symmetri på venstre – og
høyreside av symmetrilinja. Symmetrilinja finner vi som x(symmetri)=-b/2a. Setter vi inn verdier for b
og a i –b/2a får vi at vi har symmetrilinje x=-1 (-b/2a gir -2/2*1 gir -2/2 gir -1). Skriv x=-1 i
inntastingsfeltet og ‘dander’ med navn på aksene og bilde 16 vil være ditt skjermbilde.
bilde 16
Nå er det enklere å se at det er symmetri og samtidig vet vi at bunnpunktet ligger på denne
symmetrilinja. Nå innfører vi kommandoen for bunn – eller toppunkt som
Ekstremalpunkt[<polynom>] og du får opp dette alternativet med å taste ‘ekst’. Prøv dette og skriv
inn f for <polynom> og du vil motta bilde 17 som ditt skjermbilde.
bilde 17
Ekstremalpunktet er markert som A i grafikkfeltet og som A(-1,-2) i algebrafeltet og det betyr at når
x=-1 er y=-2 og funksjonen x^2+2x-1 har sin laveste verdi som -2. Denne gangen tok vi med
symmetrilinja for en bedre visuell beskrivelse, men dette er ikke nødvendig. Det holder med
kommandoen Ekstremalpunkt[<polynom>] og vi kan slette symmetrilinja ved å markere denne i
algebrafeltet og trykke ‘delete’ som på bilde 18.
www.lektorjakobsen.no
Side 10
bilde 18
Deretter skriver vi inn kommandobruken og vi har bilde 19 som skjermbilde.
bilde 19
Legg også merke til at grafen har nullpunkter og vi finner dem i tillegg til at vi kommuniserer hva vi
har gjort og resultatet. Da har vi en veldig god løsning som bilde 20.
bilde 20
www.lektorjakobsen.no
Side 11
Mange praktiske situasjoner kan beskrives med andregradsfunksjoner og vi må hele tiden være
oppmerksom på definisjonsmengden som i de foregående oppgavene.
Et godt praktisk eksempel kan være et underarmskast hvor ballens bane er uttrykt og beskrevet
som andregradsfunksjonen -0,05x^2+2x+0,4
Her er det mange interessante måter å angripe denne oppgaven på. Først ville jeg lagt merke til;
-
-
Vi har en andregradsfunksjon, altså symmetrilinje om ekstremalpunkt, og a=-0,05. Siden
-0,05<0 betyr dette toppunkt. Dette forventer vi siden ballen først kastes oppover i
høyden.
Finner jeg x verdi for symmetrilinje, tripler jeg den vanligvis, og dermed vet jeg, vanligvis,
sluttpunkt på definisjonsmengde.
Andregradsfunksjonen skjærer y-aksen i 0,4 for c=0,4 som er konstantleddet
X(symmetri)=-b/2a=-2/-0,1=20 Altså kan jeg ha en sluttverdi på definisjonsmengden som 60.
Startverdien er 0, for der starter jo kastet og jeg kan skrive inn kommandoen
Funksjon[<funksjon>,<start>,<slutt>] som blir Funksjon[-0.05x^2+2x+0.4,0,60]. Finn også
ekstremalpunkt, nullpunkt, navngi aksene og bruk noen ord, tekst og kommunikasjon og du vil få
bilde 21
bilde 21
For oppgaven ovenfor kan det også være interessant å beskrive når, altså mellom hvilke
lengdemeter, ballen har en høyde større eller lik 8 meter. Høyde er gitt som y-verdi og vi kan starte
med å skrive i inntastingsfeltet y=8. Deretter kan vi klikke oss inn på andre firkant fra venstre. Vi
velger ‘skjæring mellom to objekt’. Deretter kan vi la markøren gli over skjæringspunktene. Når
begge grafene markerer seg med litt fetere linje kan vi ‘klikke’ og vi får først skjæringspunkt D og
deretter E. Prøv dette og dere får bilde 22.
www.lektorjakobsen.no
Side 12
bilde 22
For P-fagene, ny av året, kan en også bli bedt om å beregne stigningstallet mellom to punkter på en
polynomfunksjon og derfor skal vi lære oss å sette av punkter gitt at vi har punktkoordinater.
Deretter skal vi bruke en ny kommando ‘linje’ som vi finner som førstevalget under andre boks fra
venstre.
På andregradsfunksjonen x^2-3 finner vi punktene A(-1,2) og B(-1,-2) og vi skal bestemme
stigningstallet til den rette linja mellom punktene. Først skriver vi inn andregradsuttrykket og
deretter skriver vi i inntastingsfeltet punktkoordinatene (-1,2) og deretter (-1,-2). Deretter trekker du
en linje mellom punktene og finner ax+b til denne rette linja fra algebrafeltet hvor a-verdi er
stigningstall. Se bilde 23.
bilde 23
Andre – og tredjegradsfunksjoner, øvingsoppgave 1
Tredjegradfunksjonen -0.03x^3+2x^2-12x+3 kan beskrive noe i naturen når den har x verdier større
eller lik -10 til x-verdier mindre eller lik 80. Graf funksjonen og bestem hvor den skjærer y-aksen.
Bestem også ekstremalpunktene og når tredjegradsfunksjonen er større enn 600. Bilde 24 gir deg
innblikk i selve funksjonen, men ikke noe annet.
www.lektorjakobsen.no
Side 13
bilde 24
2P, 2PY
For disse fagene kan du også få i oppgave å grafe/ tegne eksponential – og potensfunksjoner. De har
det generelle funksjonsuttrykket som:
Eksponentialfunksjoner som a*b^x hvor a er funksjonens startverdi og b er vekstfaktor. Den variable,
x, er ofte tid gitt som år, men også i andre perioder som sekunder, minutter, dager.
Potensfunksjoner som a*x^b hvor den variable er vekstfaktor, og hvor b, i dette tilfellet, er en
bestemt verdi.
Nedenfor, to eksempler, en fra hvert uttrykk og merk at du skal arbeide med disse uttrykkene slik du
har gjort i 1P.
Eksponentialfunksjon, eksempeloppgave
En bakteriekultur vokser med en prosentvis vekst på 35% per 3 timer. Bakteriekulturen har en
startverdi på femti tusen.
a) Beskriv funksjonsuttrykket og graf dette fra og med -5 perioder til og med 10 perioder
Fra de medisinske lærebøkene får du vite at menneskekroppen først viser symptomer på sykdom
etter at bakteriekulturen har en verdi på åttehundre tusen.
b) Etter hvor mange timer vil dette skje?
Etter at du viser symptomer kan en få behandling som vil redusere bakteriekulturen med 75% per
periode på 3 timer.
c) Graf denne situasjonen på samme koordinatsystem
d) Etter hvor mange perioder vil bakteriekulturen være på etthundre tusen eller færre
www.lektorjakobsen.no
Side 14
Bilde under gir et godt utgangspunkt for ditt eget løsningsforslag og husk å kommuniser svaret ditt
med tekst og navn på aksene.
Potensfunksjon, eksempeloppgave
Du skal ta opp et lån til en ny moped og vil gjerne låne 5000 kroner. Du innhenter lånetilbud fra 3
banker hvor bank A tilbyr 7% rente, bank B tilbyr 5,5% rente og bank C tilbyr 8% rente.
a) Graf de forskjellige situasjonene 5 år fram i tid på samme koordinatsystem og beskriv
funksjonene med A(x), B(x) og C(x)
Regn ut
b) Hvor stor er prisforskjellen i prosent mellom det ‘dyreste’ og ‘rimeligste’ lånetilbudet etter 10
år med bakgrunn i renteutgiftene.
Bildet under er en god beskrivelse på oppgave a) hvor du selv må skrive inn kommunikasjon.
Oppgave b) må du regne ut og svaret vil være omtrentlig 38,9%. Hvis du fikk 20,9% inkluderte du
sikkert også lånebeløpet i din utregning.
www.lektorjakobsen.no
Side 15
Kostnadsfunksjon og overskudd
Litt forenklet kan vi si at overskudd tilsvarer inntekter – kostnader og videre hvis vi har en
inntektsfunksjon kan vi dermed trekke kostnader fra inntektene og vi har overskudd. I eksemplet
nedenfor er x produserte enheter og alle funksjonene I(x), K(x) og O(x) er gitt i kroner hvor I(x) er
inntekter, K(x) er kostnader og O(x) er overskuddsfunksjon. Derfor er
O(x)=I(x) – K(x)
Bedriften som produserer enhetene (har ikke noe å si hva disse enhetene egentlig er) har en
I(x)=250x og en K(x)=0,035x^2+125x+35000
Graf disse funksjonene og skjermbildet ditt vil være som bilde 25.
bilde 25
Over, i teksten, ble vi enige om at når g(x)>f(x) har vi overskudd. Altså når inntektene er større enn
kostnadene og inntektene er g(x) og kostnadene er f(x). Se nøye på skjermbildet deres og finn når
avstanden grafene er størst og kun i definisjonsmengden når g(x) ‘ligger høyere’ enn f(x). Jeg vil si at
den avstanden er størst når vi har x-verdier som nærmer seg 2000. Altså, 2000 enheter produsert. Vi
finner
h(x)=g(x)-f(x)
www.lektorjakobsen.no
Side 16
h(x)=250x-(0,035x^2+125x+35000)
h(x)=-0,035x^2+125x-35000
Nå kan vi grafe h(x) og ved toppunktet har vi maksimert overskuddet og igjen funnet en fin praktisk
anvendelse for toppunkt. Bilde 26 gir en beskrivelse på dette.
Det kan også være interessant å bestemme når inntekter er større enn kostnader. Altså i hvilket
intervall og først finner vi skjæringspunkt mellom g(x) og f(x) og kan videre lese av x-koordinatene når
dette skjer som på bilde 27.
bilde 26
bilde 27
www.lektorjakobsen.no
Side 17
Regresjon
Kort fortalt, ved regresjon finner vi det beste matematiske uttrykket/ modellen ved at vi kjenner
mange nok historiske punkter. Fra denne matematiske modellen kan vi nå beskrive ‘hva som kan
skje’ i framtiden. Dette kalles ekstrapolere og jeg kaller det gjerne ‘å spå inn i framtiden’ for absolutt
alle funksjoner har en iboende usikkerhet, har blitt meg fortalt.
Veldig mye mer om dette finner dere som videoer her:
http://lektorjakobsen.no/2P/005_Modellering_funksjoner
Og en artikkel om hvorfor jeg synes regresjon er viktig og praktisk:
http://lektorjakobsen.no/pub/tangenten.4.14.pdf
Det er gjennom koeffisienten R og denne ‘i andre’, altså R^2, vi bestemmer hvilken modell som
passer best (best tilnærming).
Jo nærmere denne er 1 jo bedre er modellen du har valgt.
Rett linje (lineær, førstegradsfunksjon) regresjon med graftegner (Geogebra)
Tabellen nedenfor gir kvadratmeterpris på leiligheter i Oslo. Ved hjelp av lineær modellering
(regresjon) skal vi bestemme hva kvadratmeterprisen kan være i år 2020 (altså, spå inn i framtiden).
Årstall
2009
x
0
f(x)=y, kroner 30000
per
kvadratmeter
2010
1
32000
2011
2
35000
2012
3
36000
2013
4
36500
2014
5
37000
Fra tabellen ser dere at jeg ikke bruker årstallene som mine x-koordinater. Til det er årstallene for
store. Derfor setter jeg at i år 2009 er x=0. Dette betyr at i år 2014 er x=5 og i år 2020, som jeg er
interessert i, x=11
Videre kan vi se at det er muligens en rett linje (lineær, førstegradsfunksjon) som passer best med et
stigningstall på omtrentlig 1500 kroner per år (7000/5).
Men jeg vil gjerne ha funksjonsuttrykket ax+b mest mulig korrekt og bruker derfor matematikk og
regresjon.
Fra menylinja klikk på VIS og velg REGNEARK. Overfør så verditabellen til REGNEARKET og husk at Akolonnen er x og B-kolonnen er y. Se bilde 28.
bilde 28
www.lektorjakobsen.no
Side 18
Deretter skal du forklare Geogebra hvilke verdier du vil at de skal analysere for deg ved hjelp av
regresjon. Derfor mørklegger du (markerer) de aktuelle rutene fra REGNEARKET og sender disse til
REGRESJONSANALYSE. Med rutene mørklagt (markert) utgave velger du nå boks to fra venstre og
andrevalget REGRESJONSANALYSE. Skjermbildet ditt er som bilde 29.
bilde 29
Du klikker nå ANALYSER og under REGRESJONSMODELL velger du LINEÆR. Lineær er jo det samme
som rett linje som igjen er det samme som førstegradsfunksjon. Skjermbildet ditt er nå som bilde 30.
bilde 30
Dette bildet forklarer mer enn 1000 ord. Det røde uttrykket er den røde rette linja som passer best til
alle punktene fra verditabellen. Det er fra denne vi skal ekstrapolere hvor mye det vil koste i år 2020.
Altså, når x=11.
Derfor velg og skriv tallet 11 inn i den tomme ruta under det røde funksjonsuttrykket og trykk enter.
Skjermbildet ditt er nå bilde 31 og y=46438. Altså, med samme utvikling til år 2020 som det var
mellom årene 2009 og 2014 vil kvadratmeterprisen være 46438.
www.lektorjakobsen.no
Side 19
bilde 31
R^2 finner du ved å trykke på ∑x knappen og bilde 32 representerer ditt skjermbilde.
bilde 32
Her kan vi lese R^2 til 0,8928 som er relativt nærme 1 og dermed akseptabelt. Hvis du sjekker for R^2
for polynomfunksjoner vil den, nesten alltid, være bedre. Men i denne oppgaven skulle vi lage en
lineær modell.
Sjekk også med x=50 og spør deg selv om dette vil være en riktig utvikling? Matematisk er det jo
korrekt, men jeg er samtidig ganske sikker på at andre vil argumentere at det ikke kan stemme. Dette
gjør denne typen matematikk utrolig interessant. Kan det finnes andre matematiske modeller som
passer bedre jo lengre ‘inn i framtiden’ vi reiser? Dette er spørsmål dere må diskutere på høgskoler
og universiteter –og ikke i 2P, dessverre, egentlig.
www.lektorjakobsen.no
Side 20
For et bedre bilde av bilde 30 på skjermen din kan du overføre DATAANALYSEboksen til grafikkfeltet
ved å trykke på den tomme ruten med en pil pekende mot høyre (denne ligger mot høyresiden og
mot toppen) og velg KOPIER TIL GRAFIKKFELTET. Skjermbildet ditt vil nå være bilde 33.
bilde 33
Klikk nå på grafikkfeltet og ‘kryss ut’ REGNEARKET og etter å navngi aksene vil bilde 34 være ditt
skjermbilde. Merk at jeg har tilpasset aksene som vi lærte først i kurset eller som innlæring på
http://lektorjakobsen.no/GeoGebra/001_Innl%C3%A6ring
bilde 34
Nå kan du selv bruke ABCboksen og skrive inn passende kommunikasjon, ord og tekst.
Merk at etter at du har bilde 34 kan du arbeide med denne på tilsvarende måte som tidligere i kurset
med alle de samme kommandoene. Dette er kun begrenset av hva du blir spurt om i oppgaven.
www.lektorjakobsen.no
Side 21
Rett linje (lineær, førstegradsfunksjon) regresjon for hånd, ‘på øyemål’.
Jeg har gjort mange forsøk, med blant annet et hundretalls av elever, på lineær regresjon for hånd
med den samme verditabellen og resultatet er nærmest likt som ved Geogebra. Prøv dette selv, men
husk at du må være nøyaktig med å sette av punktene korrekt. Derfor bruk ruteark og en
gjennomsiktig linjal. Ikke ‘juks’ ved å titte på Geogebraløsningen.
Du vil ikke få verdier for R^2, men lengdeavstandene du skal benytte kan oppmåles og dermed
regnes ut. Dette skal vi ikke gjøre i dette kurset.
Eksponentialfunksjon, regresjon
Dette foregår på samme måte som med lineær, men her velger du EKSPONENTIELL som
REGRESJONSMODELL.
Folketallet i en kommune i Brasil er beskrevet eksponentielt og med bakgrunn i verditabellen
nedenfor skal du undersøke hva folketallet var i 1995 og vil bli i 2030.
Årstall
x
Y,
folketall
2000
0
1200000
2001
1
1100000
2002
2
1090000
2003
3
1000000
2004
4
950000
2005
5
890000
2006
6
855000
2007
7
800000
Dette, synes jeg, er en markant nedgang i folketallet og den store fraflyttingen skyldes muligens
politiske beslutninger eller naturkatastrofer. Tross alt har kommunene en nedgang på 33% over 7 år.
Jobb systematisk med denne å se om du får samme resultat som meg:
Folketallet i år 1995 (x=-5) er 1581601
Folketallet i år 2030 (x=30) er 217871
Begge gjennom den eksponentielle funksjonen 1191546,97*0.94494^x
Som du legger merke til er bilde 38 uten kommunikasjon og det er din oppgave å rette på.
bilde 35
www.lektorjakobsen.no
Side 22
bilde 36
bilde 37
bilde 38
www.lektorjakobsen.no
Side 23