1. No category

GeoGebra
brukt på eksamensoppgaver i 10. kl.
Sigbjørn Hals
Innhold
Hva er GeoGebra? ..................................................................................................... 2
Hvilken nytte har elevene av å bruke GeoGebra? ...................................................... 2
HVor finner vi GeoGebra? .......................................................................................... 2
Oppbyggingen av programmet ................................................................................... 3
Eksamensoppgave 6, våren 2011 ........................................................................... 7
Oppgaven .......................................................................................................... 7
Framgangsmåten med GeoGebra ....................................................................... 8
Korrekt føring av løsningen ............................................................................... 11
Eksamensoppgave 3, våren 2010 ......................................................................... 13
Oppgaven .......................................................................................................... 13
Framgangsmåten med GeoGebra ..................................................................... 14
Korrekt føring av løsningen ............................................................................... 16
1
Hva er GeoGebra?
GeoGebra er et gratis matematikkprogram som finnes på både bokmål og nynorsk.
Programmet er laget av Markus Hohenwarter fra Østerrike, og er (ved siden av
Excel) trolig det mest brukte dataverktøyet i matematikkopplæringen på
ungdomstrinnet og i den vidaregående skolen i Norge. (Sjå www.interped.no/masteroppgave.) Mange av figurene i eksamensoppgavene frå
Utdanningsdirektoratet er laget ved hjelp av GeoGebra.
Hvilken nytte har elevene av å bruke GeoGebra?







Det går raskere å tegne og analysere grafer enn å gjøre dette for hand.
GeoGebra er derfor svært nyttig på tentamen og eksamen.
Det er mye enklere å tegne grafer i GeoGebra enn å gjøre dette i Excel eller
andre lignende regneark.
Grafene blir finere og mer nøyaktige enn om en tegner disse for hand.
Programmet er lett å bruke.
GeoGebra er et dynamisk geometriprogram, og er svært godt egnet til å
utforske matematiske problemer.
Programmet gjør det lettere for elevene å se og å forstå matematiske
sammenhenger.
Til bedre kjendt en blir med GeoGebra, til flere områder ser en hvor nyttig
dette programmet er.
HVor finner vi GeoGebra?
GeoGebra kan lastes ned fra nettsiden www.geogebra.org. Den raskeste måten å
installere programmet, er å klikke på Download og deretter på Webstart. OBS! Ikke
klikk på GeoGebra Prim. Det er en enklere versjon som er ment for barnetrinnet.
Det blir nå laget et programikon på skrivebordet. Når en skal starte programmet,
klikker en på dette ikonet.
Når GeoGebra er installert, trenger en ikke tilgang til Internett for å bruke
programmet. Av og til kan det likevel dukke opp en feilmelding som viser at en ikke
kan åpne det. Dette skjer fordi GeoGebra søker etter oppdateringer på nettet.
Dersom en er i et passordbeskyttet nettverk som er stengt, kan en derfor få en
feilmelding om at en ikke kan ta i bruk programmet.
2
For å vere helt sikker på å unngå slike problemer (spesielt på tentamen og
eksamen), kan en laste ned en versjon som ikke søker etter oppdateringer. Denne
versjonen finner en ved å klikke på "offline installer", og deretter på Windows, Mac
eller et annet operativsystem som en har.
Oppbyggingen av programmet
Første gangen du åpner GeoGebra 4.2, kan det se ut som på figuren nedenfor.
Dersom du vil skifte "språk" frå nynorsk til bokmål, klikker du på Innstillinger,
velger Språk, I - Q og Norwegian (Bomål). Se figuren på neste side.
3
Det kan være lurt å gjøre følgende justeringer:

Klikk på Innstillinger, velg Skriftstørrelse. Det blir lettere å lese utskriftene,
dersom du øker skriftstørrelsen fra 12 til for eksempel 16 eller 20. Prøv deg
fram.

Klikk på Vis og pass på at det er merket av for både Akser, Rutenett,
Grafikkfelt 1, Algebrafelt, Inntastingsfelt og CAS. Om du vil, kan du også vise
regnearket.

Det kan være en fordel å ha inntastingsfeltet øverst oppe for lærere. Da blir
det lettere for elevene å se om læreren viser noe i GeoGebra via videokanon.
Klikk da på Innstillinger, Avansert og klikk på de innringete feltene slik figuren
øverst på neste side viser.
4
Da kan inntastingafeltet bli plassert slik figuren nedenfor viser.
Flytt på vinduet ved å holde nede venstre musetast og dra i dem. Juster deretter
størrelsen på hvert vindu til du får et oppsett som du er fornøyd med. Det kan da se
omtrent ut som på figuren nedenfor.

Klikk nå på Innstillinger og Lagre innstillinger. Da vil innstillingene være slik du
nå har gjort, neste gang du åpner programmet.
5
Løysing av eksamensoppgaver med GeoGebra
I vurderingsrettleidningen fra Utdanningsdirektoratet for eksamen i matematikk for 10.
trinn, står det på side 15:
Det vil altså være en klar fordel for elevene om de kan bruke GeoGebra til å tegne
grafer som er avgrenset til et bestemt område. Sensorene vil også legge vekt på slik
digital kompetanse når de skal gi karakter på eksamenssvarene.
En kan lese hele eksamensrettledningen her:
http://www.udir.no/Upload/Eksamen/Grunnskolen/2012/Vurderingsveiledninger_2012
/MAT0010_Vurderingsveiledning_2012_Bokm%C3%A5l.pdf
Vi vil nå se hvordan vi kan utnytte GeoGebra til å løse to slike eksamensoppgaver.
Her vil vi se nærmere på oppgave 6, våren 2011 og oppgave 3, våren 2010.
6
Eksamensoppgave 6, våren 2011
Kilde: www.udir.no
Oppgaven
7
Framgangsmåten med GeoGebra
Vi vil her bare se på løsningen av oppgavene c og d.


Åpne GeoGebra.
Klikk på Innstillinger, Avrunding og vel 3 desimaler.

Skriv i inntastingsfeltet: Funksjon[0.125x2, 0, 12]
OBS! Det skal være punktum som desimaltegn, men komma på begge
sider av startverdien 0.
Her er det noen andre viktige tips:
1. Når du har skrevet Fun, kommer det opp et forslag til kommando. Du klikker
da på det blå feltet som kommer opp.
2. Skriv først 0.125x
3. Hold nede Alt-tasten og trykk 2 for å få fram 2. (Alt og 3 gir 3 osv.)
Du kan også skrive 0.125x^2. (Du får fram "hatten" ved å holde nede Shifttasten
og trykke tasten til høyre for "Å" på tastaturet. Når du da
trykker 2, viser 0.125x^2 i inntastingsfeltet. Dette er det samme som
0.125x2.)
4. Bruk høyre-piltasten på tastaturet for å komme til startverdien. Skriv 0.
5. Bruk den samme piltasten for å komme til sluttverdien. Skriv 12.
Trykk så Enter.
8

For at hele grafen skal vise, stiller du inn aksene ved å bruke dette verktøyet:
Før musepekeren over aksene og dra i disse til du får vist et passe utsnitt av
grafen.

Høyreklikk på grafen og velg Egenskaper. Klikk på nedtrekkspila ved Navn og
velg Navn og verdi i stedet for Navn.

Flytt på teksten med navnet ved å bruke dette verktøyet:
Da kommer ikke navnet oppå selve grafen.

Det er veldig viktig at vi har tekst langs aksene. Dette gjør du slik:
1. Høyreklikk på en tom plass på grafikkfeltet (feltet der grafen er tegnet) og
velg Grafikkfelt 1. Velg x-Akse, skroll deg nedover og skriv "x (Fart i m/s)"
som navn på aksen.
2. Bytt til y-aksen og skriv der "y (Bremselengde i m)"
9

I oppgave d skal vi finne farten når bremselengden er 10 meter. Da er det y
som har verdien 10. Vi tegner nå grafen til y = 10 for x-verdier mellom 0 og 12
i det samme koordinatsystemet. Det gjør vi ved å skrive i inntastingsfeltet:

Høyreklikk på den nye grafen, velg Egenskaper og velg Navn og verdi i stedet
for Navn. Flytt på teksten med navnet slik du gjorde for den første grafen.

Vi vil nå finne skjæringspunktet mellom grafene. Det gjør vi ved å velge
verktøyet Skjæring mellom to objekt. Deretter klikker vi etter tur på de to
grafene.

Koordinatene til skjæringspunktet blir nå viste i algebrafeltet (feltet helt til
venstre i programmet). På grafen står bare navnet på skjæringspunktet. For å
vise koordinatene til dette punktet på selve figuren, høyreklikker vi på punktet
10
og velg Verdi i staden for Navn. (Her er det ikke viktig å ha med navnet på
punktet.)

Nå står det bare igjen å overføre grafen til Word eller et annet skriveprogram.
Det gjør vi på denne måten:
1. Bruk dette verktøyet
og dra et rektangel over den delen du vil ha
kopiert over til Word (som du har åpnet på forhånd).
2. Hold nede Ctrl, Shift og C samtidig. Grafen er nå kopiert til utklippstavla.
3. Klikk på den plassen i Word der du vil sette inn grafen. Trykk Ctrl og V for å
lime inn figuren. Juster størrelsen på bildet ved å dra i ett av hjørnene.
4. Viktig: Husk å skrive kandidatnummeret ditt, navnet på skolen og
nummeret på oppgaven på svararket. (Se eksempel på korrekt føring av
oppgave 6 c og d på neste side.)
Korrekt føring av løsningen
Se neste side.
11
Kandidatnummer: xxxx Skole: yyyy
Oppgave 6c
Jeg brukte programmet GeoGebra, og skrev inn Funksjon[0.125x2, 0, 12] for å
avgrense grafen til x-verdier mellom 0 og 12.
Oppgave 6 d
Når bremselengden er 10 meter, er det y som har verdien 10.
Jeg skrev inn Funksjon[10, 0, 12] for å avgrense denne grafen til x-verdier mellom 0
og 12.
Jeg brukte så verktøyet Skjæring mellom to objekt for å finne skjæringspunktet.
Jeg fikk vist koordinatene til punktet på figuren ved å velge Verdi i stedet for Navn.
Når bremselengden er 10 meter, er farten 8,9 m/s. Dette tilsvarer en fart på
8,9 * 3,6 km/h = 31 km/h
12
Eksamensoppgave 3, våren 2010
Kilde: www.udir.no
Oppgaven
13
Framgangsmåten med GeoGebra
Vi vil her bare se på løsningen av oppgavene c, d, e og f.
Oppgave c og d

Fra oppgave a og b har vi nå de to likningene
Snakkis:
Talkis:

y = 0,99x + 49
y = 0,29x + 139
Klarer dere å tegne disse grafene for x-verdier mellom 0 og 200, og å finne
skjæringspunktet mellom grafene, slik at dere får figuren nedenfor?
OBS! Husk punktum som desimaltegn, og riktig tekst langs aksene.
Oppgave e og f

I oppgave e er vi ikke lenger interesserte i de totale utgiftene per måned. De
vet vi er 229 kroner. Her skal vi i stedet se på utgifter for hvert ringeminutt.
Når Alexandra ringer 100 minutter per måned blir prisen:
229 kr
 2,29 kr/min.
100 min
Når Alexandra ringer x minutter per måned, blir prisen:
229 kr 229
229

kr/min. Likningen blir da y 
.
x min
x
x
14
Dette kaller vi en omvendt proporsjonalitet. Til mer hun ringer, til billigere blir
det per minutt.

Her kan vi bruke regnearket i GeoGebra for å fylle ut tabellen:
1. Skriv inn x-verdiene fra tabellen i kolonne A.
2. I celle B1 skriver du "=229/A1" og trykker Enter. (I GeoGebra trenger vi
ikke å ha med = først.)
3. Klikk i celle B1 og kopier denne nedover. Nå har du fylt ut tabellen, og kan
overføre dette til svararket ditt.
(Her går det egentlig like raskt å bruke en kalkulator og regne ut 229/50,
229/150 osv.)

Tegn grafen til y = 229/x i GeoGebra for x-verdier mellom 50 og 500 ved å
åpne et nytt GeoGebra-vindu og skrive inn:

Still inn aksene til du får omtrent den figuren som står øverst på neste side.

For å finne når utgiftene er 0,79 kr per minutt, skriver du inn:
OBS! Husk å bruke punktum som desimaltegn i stedet for komma.
15
Vi ser fra figuren at utgiftene til Alexandra er 0,79 kroner per minutt, når hun
ringer ca. 290 minutt hver måned.
Korrekt føring av løsningen
Se neste side.
16
Kandidatnummer: xxxx Skole: yyyy
Oppgave 3c
Jeg brukte programmet GeoGebra og skrev inn disse kommandoene for å avgrense
grafane til x-verdier mellom 0 og 200: Funksjon[0.29x +139, 0, 200] og deretter
Funksjon[0.99x + 49, 0, 200].
Oppgave 6d
Jeg brukte verktøyet Skjæring mellom to objekt.
Vi ser av grafen at det vil lønne seg å bytte til abonnementet Snakkis dersom Nikolai
ringer minst 129 minutter per måned.
Oppgave 6e
Når Alexandra ringer x minutter per måned blir prisen y kroner per minutt: y 
229
x
Ved å sette inn de ulike x-verdiene i tabellen, får jeg:
x (Ringeminutter)
y (Pris per minutt i kr)
10
22,90
50
4,58
150
1,53
250
0,92
350
0,65
500
0,46
Dette kaller vi en omvendt proporsjonalitet. Til mer hun ringer til billigere blir det per
minutt.
17
Kandidatnummer: xxxx Skole: yyyy
Oppgave 6f
229
for x-verdier mellom 50 og 500, ved å skrive denne
x
kommandoen inn i GeoGebra: Funksjon[229/x, 50, 500]. Deretter skrev jeg inn
Funksjon[0.79, 50, 500]. Jeg brukte så verktøyet Skjæring mellom to objekt, og fant
at: Utgiftene per minutt var 0,79 kroner når Alexandra ringte minst 290 minutter per
måned.
Jeg tegnet grafen til y 
18