1. No category

Institutt for matematiske fag
Eksamensoppgave i TMA4105 Matematikk 2
Faglig kontakt under eksamen: Ulrik Skre Fjordholm a , Harald Hanche-Olsen b
Tlf: a 7355 0284 , b 7359 3525
Eksamensdato: 13. august 2015
Eksamenstid (fra–til): 09:00–13:00
Hjelpemiddelkode/Tillatte hjelpemidler: C
Godkjent kalkulator
Ingen andre hjelpemidler
Målform/språk: bokmål
Antall sider: 2
Antall sider vedlegg: 1
Kontrollert av:
Dato
Sign
Merk! Studenter finner sensur i Studentweb. Har du spørsmål om din sensur må du kontakte instituttet ditt.
Eksamenskontoret vil ikke kunne svare på slike spørsmål.
TMA4105 Matematikk 2 2015-08-13 – bokmål
Oppgave 1
Side 1 av 2
Finn buelengden til kurven med parameterframstilling
r(t) = (cos t + t sin t)i + (sin t − t cos t)j + t2 k,
for 0 6 t 6 2π.
Oppgave 2
Finn ligningen for tangentplanet til flaten x2 + y 2 − exz − sin y = 0 i
punktet (1, 0, 0), og bruk denne til å finne en tilnærmet verdi for x i det punktet på
flaten som ligger i nærheten av (1, 0, 0) med y = z = 1/10.
Oppgave 3
Funksjonen f er gitt ved f (x, y) = 2x2 − x4 + y 2 .
a) Finn alle kritiske punkter for f , og bestem om disse er lokale maksima, minima
eller sadelpunkter.
b) Finn største og minste verdi for f på kurven x4 + y 2 = 4.
Oppgave 4
Beregn dobbeltintegralet
ZZ
(2x + y 2 ) dA
D
når D er alle punkter i første kvadrant som ligger inni sirkelskiven x2 + y 2 6 4, men
utenfor kvadratet 0 6 x 6 1, 0 6 y 6 1.
Hint: Du kan få bruk for identiteten sin2 u = 21 (1 − cos 2u).
Oppgave 5
Beregn arealet til flaten S gitt ved z = 1 − x2 + y 2 , for x2 + y 2 6 1.
Oppgave 6
a) Finn volumet av legemet T som er avgrenset nedentil av flaten z = x2 + 3y 2 og
oventil av flaten z = 4 − (3x2 + y 2 ).
Hint: Projeksjonen av T ned på xy-planet er en sirkelskive.
b) Vektorfeltet F er gitt ved
F = 2i + y 2 k.
Regn ut divergensen til F, og beregn fluksintegralene
ZZ
S1
F · N̂ dS
og
ZZ
F · N̂ dS
S2
der S1 er den øvre og S2 den nedre overflaten til T ,
og enhetsnormalen N̂ i begge tilfeller peker ut av legemet.
Side 2 av 2
TMA4105 Matematikk 2 2015-08-13 – bokmål
c) Vektorfeltet G er gitt ved
1
G = (x + y 3 )i + (y 3 + 2z)j + z 2 k.
3
Regn ut curl G, og finn verdien av
I
G · dr
C
der C er skjæringskurven mellom de to flatene som avgrenser T . Velg selv orientering, men angi hvilken du bruker.
Oppgave 7
a) Legemet T har form som en kvart smultring, og kan beskrives i sylinderkoordinater ved ulikhetene (r − 2)2 + z 2 6 1 og
0 6 θ 6 π/2. Finn volumet av T .
b) Finn verdien av flateintegralet S F · N̂ dS, der S er den
krumme delen av overflaten til T , vektorfeltet F har formen
RR
F(x, y, z) = xf (x, y, z)i + (y + 1)j + g(x, y, z)k,
og det er kjent at funksjonene f og g oppfyller ligningen
f +x
∂g
∂f
+
= 1.
∂x ∂z
Vedlegg
Side i av i
Formelliste
Annenderiverttesten er basert på
2
fxx fyy − fxy
Koordinatsystemer
Sylinderkoordinater (r, θ, z)
x = r cos θ,
y = r sin θ,
r 2 = x2 + y 2 ,
z=z
dV = r dz dr dθ
Kulekoordinater (R, φ, θ)
x = R sin φ cos θ,
y = R sin φ sin θ,
R 2 = x2 + y 2 + z 2 ,
z = R cos φ
dV = R2 sin φ dR dφ dθ
Variabelskifte
dx dy =
∂(x, y) du dv
∂(u, v) =
∂x ∂y
∂u ∂v
∂x ∂y −
du dv og tilsva∂v ∂u rende i tre dimensjoner
Flateintegral
dS =
∂r
∂u
∂r ×
du dv
∂v eller dS =
|∇G|
dx dy
|∂G/∂z|
Vektoranalyse
Greens teorem:
I
F1 dx + F2 dy =
C
Divergensteoremet:
R
ZZ
F · N̂ dS =
S
Stokes’ teorem:
I
C
ZZ
F · dr =
ZZZ
!
∂F2 ∂F1
−
dA
∂x
∂y
div F dV
T
ZZ
S
(curl F) · N̂ dS