1. No category

Kommunikasjon i matematikktimen
av
Nora Heger Voldner
913
Veileder: Bodil Kleve, matematikk
Bacheloroppgave i GLU 5-10
G5BAC3900
Institutt for grunnskole- og faglærerutdanning
Fakultet for lærerutdanning og internasjonale studier
Høgskolen i Oslo og Akershus
23/04, 2015
Antall ord: 7448
Kommunikasjon i matematikktimen
Innhold
Sammendrag ............................................................................................................................... 3
Nøkkelord ................................................................................................................................... 3
Problemstilling ........................................................................................................................... 4
Innledning................................................................................................................................... 4
Bakgrunnslitteratur ..................................................................................................................... 5
Definisjoner av forståelse ................................................................................................... 5
Definisjoner av matematiske sammenhenger ..................................................................... 5
Helklassesamtalen .................................................................................................................. 6
Ulike måter å ha dialog i matematikk ................................................................................ 7
Mattelæreres tilnærming til faget ......................................................................................... 12
Metode ...................................................................................................................................... 14
Funn .......................................................................................................................................... 15
Syn på helklassesamtalen ..................................................................................................... 15
Sammenhenger mellom matematikken og livet utenfor skolen ........................................... 17
IRE-mønster i samtalene ...................................................................................................... 20
Å legge opp spor .................................................................................................................. 25
Oppgaveparadigmet ............................................................................................................. 25
Avslutning ................................................................................................................................ 27
Litteraturliste ............................................................................................................................ 30
2
Sammendrag
I denne oppgaven tar jeg for meg hvordan lærere kan benytte helklassesamtalen for å styrke
elevenes relasjonelle forståelse for temaet de lærer om. Jeg har observert tre forskjellige
lærere i tre timer og gjort et intervju med den ene læreren. Jeg forsøker også å knytte lærerens
samtalemønster sammen med deres innstilling til faget. I observasjonene mine har jeg sett to
lærere som viser flere ganger at de har et syn på matematikk som et sett med regler som skal
overføres fra lærer til elev. Disse lærerne har også samtaler i timene som gjenspeiler dette
matematikksynet. De bruker IRE-mønster i stor grad, og stiller elevene spørsmål preget av å
skulle kontrollere elevenes forståelse.
Nøkkelord
Matematikk, helklassesamtale, relasjonell forståelse, matematikksyn, muntlige ferdigheter
3
Problemstilling
Hvordan kan en lærer bruke kommunikasjon i matematikk for å styrke elevenes forståelse for
emnet?
Innledning
I denne oppgaven vil jeg se på hvordan man som lærer kan styrke elevers forståelse i
matematikk gjennom kommunikasjon med elevene i helklassesamtalen. Jeg tar utgangspunkt i
observasjon av tre timer med tre lærere, og et intervju med en av lærerne. Timene jeg
observerte fulgte ganske like mønstre for kommunikasjon med elevene, og jeg har sett på
hvordan de bruker og hvordan de ikke bruker kommunikasjon med elevene som et verktøy for
å oppnå forståelse. Jeg har også forsøkt å knytte dette til lærernes matematikksyn.
Helklassesamtalen kan benyttes på mange områder i matematikken for å styrke elevers
forståelse. Det er en måte å utnytte mangfoldet i en klasse, og man kan dra nytte av at elever
ser forskjellige ting. Jeg har plukket ut tre sekvenser, en fra hver time, som jeg mener på hver
sin måte understreker disse lærernes matematikksyn og hvordan dette preger deres
samtaleform.
Ettersom timene jeg har observert har vært preget av såpass like mønstre mener jeg at det har
liten effekt å sammenlikne de ulike lærerne, og at det er mer interessant å se de tre lærerne
opp mot teoretiske rammeverk.
Skemp (1976) påpekte at ulike syn på forståelse kan medføre at lærere underviser ulike typer
matematikk i klasserommene. Nesten 30 år seinere viser Beswick (2005) at det fortsatt er et
problem at lærere og lærerstudenter knytter ulike og motstridende innhold til begrepet
forståelse. I denne oppgaven ønsker jeg å se på hvordan samtalen i klasserommet gjenspeiler
lærerens syn på forståelse i matematikk.
4
Navnene jeg har brukt i oppgaven er ikke informantenes ekte navn.
Bakgrunnslitteratur
Definisjoner av forståelse
R. Skemp (1976) skiller mellom to ulike måter å forstå matematikk på, relasjonell og
instrumentell forståelse. Svært enkelt forklart går instrumentell forståelse utpå å forstå hva
man skal gjøre for å løse et problem, mens relasjonell forståelse går utpå å forstå hvorfor en
metode vil løse et problem (Skemp, 1976). Ofte benyttes bare begrepet forståelse uten å skille
mellom de to ulike typene forståelse, videre i oppgaven har jeg skrevet inn «(relasjonell)» før
«forståelse» i de tilfellene jeg mener at det er nærliggende å anta at forfatteren eller
informanten har ment relasjonell forståelse.
I en undersøkelse der elever ble spurt om deres forståelse av matematikk kategoriserer M.
Goos elevers svar på hvordan de vet at de har forstått noe i matematikk i fem ulike nivåer.
Elevene svarer at de forstår noe i matematikk når (i) de får riktig svar, (ii) de får en
følelsesmessig reaksjon (blir interessert, føler seg trygge), (iii) det de gjør gir mening (passer
med tidligere kunnskap, de forstår hvorfor de bruker en regel), (iv) de kan overføre
kunnskapen til nye felter, (v) de kan forklare til andre. Av disse er (i) og (ii) instrumentell
forståelse, mens de tre andre er relasjonell forståelse (Goos, 1995).
Definisjoner av matematiske sammenhenger
Å undervise matematikk for forståelse blir ofte knyttet sammen med å fokusere på å knytte
matematiske sammenhenger (Mousley, 2004). J. Mousley peker på at begrepet sammenhenger
ofte blir brukt med ulikt innhold uten at det blir definert hva som er innholdet i begrepet. Hun
definerer tre ulike innhold for begrepet «sammenhenger» som er de som oftest blir brukt: (a)
sammenhenger elever knytter mellom ny informasjon og eksisterende forståelse, (b)
5
sammenhenger mellom ulike matematiske ideer og representasjonsformer, og (c)
sammenhenger mellom det som læres på skolen og matematiske aspekter i hverdagslivet
(Mousley, 2004).
Det å knytte sammenhenger mellom ulike matematiske ideer (b) blir trukket fram som det å
koble ulike skjemaer innen matematisk kunnskap til hverandre. Det å gjøre disse
sammenkoblingene vil henge tett sammen med relasjonell forståelse, da disse
sammenkoblingene først kan gjøres dersom man har en forståelse for hvordan og hvorfor de
ulike skjemaene virker. Mousley viser videre til Hierbert, Carpenter et. al. som sier at
elevenes forståelse for et tema vil være bestemt av hvor mange og sterke sammenhenger
eleven har mellom ulike matematiske ideer og representasjoner. De peker videre på at
kommunikasjon og refleksjon er avgjørende for å utvikle denne typen forståelse og
sammenhenger (gjengitt i: Mousley, 2004).
Helklassesamtalen
Ettersom forståelsen er en mental prosess som foregår inne i elevenes hoder kan det være
vanskelig å vurdere hvorvidt en elev har relasjonell eller instrumentell forståelse for et tema
basert på oppgaver eleven løser. Det er også mulig at elevene har relasjonell forståelse, men
benytter instrumentelle regler på rutineoppgaver. I følge Skemp (1976) vil den beste måten å
finne ut elevenes forståelse i en læringssituasjon være gjennom å snakke med dem. Men han
påpeker også at det i et klasserom med mange elever kan være vanskelig å få tid til å snakke
med alle elevene (Skemp, 1976).
Å benytte seg av helklassesamtale vil være en måte å få diskutert matematiske problemer med
mange elever på en gang, men det å gjennomføre en produktiv helklassesamtale er ekstremt
vanskelig, og det krever et sett av ulike pedagogiske evner fra lærerens side (Boaler i: Boaler
& Humphreys, 2005, s. 49).
6
Muntlighet i klasserommet er vektlagt i norsk skole i alle fag gjennom grunnleggende
ferdigheter, og om muntlig ferdigheter i matematikk heter det at elevene skal resonnere
omkring ideer i matematikk, og de skal kunne gjøre seg opp en mening, stille spørsmål og
argumentere omkring matematiske problemer (læreplan i matematikk fellesfag, 2013).
Men muntlighet, eller kommunikasjon alene er ikke nok, det finnes mange måter å
kommunisere i matematikk-klasserommet, og måten det blir kommunisert på vil gjenspeile
matematikken. Ulike kommunikasjonsformer vil understreke ulike former for læring og
forståelse, og samtalen vil henge tett sammen med hvilken type læring som foregår i
klasserommet (Alrø & Skovsmose, 2005).
Ulike måter å ha dialog i matematikk
Gjennom et utvalg ledet av Mogens Niss ble KOM-rapporten utarbeidet i 2000. Denne deler
matematisk kompetanse inn i åtte ulike kompetanser som er fordelt i de to hovedkategoriene
«å kunne spørre og svare i, med og om matematikk» og «å kunne håndtere matematikkens
språk og redskaper». Under den sistnevnte finner vi underkategorien
kommunikasjonskompetanse. Denne kompetansen innebærer å sette seg inn i og fortolke
matematikk framstilt av andre og å selv kunne formidle matematikk. Under den andre
hovedkategorien er resonnementskompetansen. Her er kjernen å kunne resonnere matematisk,
både gjennom å forstå eller utvikle matematiske resonnementer, og gjennom å bedømme
holdbarheten av matematiske påstander (gjengitt i: Skott, Hansen & Jess, 2008, s. 294-299).
Disse to kompetansene lar seg for eksempel kombinere gjennom en samtale der elever
kommuniserer sine matematiske tolkninger eller resonnementer mens andre elever aktivt tar
stilling til holdbarheten av disse.
Det er flere fordeler som blir trukket fram ved at elever får diskutert og argumentert for sine
synspunkter i matematikken.
7
Kleve og Solem argumenterer for at elever gjennom diskusjonen får oppdaget flere sider ved
matematikken, og at de på denne måten kan oppnå en forståelse som går utover den
instrumentelle. Gjennom å diskutere matematiske problemer får elevene forståelse for at
matematikk er mer enn et sett med regler (Kleve & Solem, 2014). M. Goos trekker fram at det
at elever forsvarer sine egne ideer og utforsker medelevers resonnering og synsvinkler kan
lage en nærmeste utviklingssone som går to veier (mellom to elever), og beriker og utvikler
tenkingen til alle elevene. Goos peker også på at det at elever gir forklaringer på hva de tenker
har en dobbel effekt, på den ene siden manifesterer elevene sin egen forståelse, de kan også
gjennom forklaringsprosessen utvikle ny forståelse gjennom å koble nye ideer til tidligere
kunnskap (Goos, 1995).
Evnen til å kunne forklare matematikk til andre trekkes fram som en type forståelse (v) av M.
Goos. Denne typen forståelse tillegger hun ekstra tyngde, fordi det ikke bare er evnen til å
kunne forklare for andre, men også en aktivitet som er med på å skape forståelse hos den som
forklarer (Goos, 1995).
Verdien av å ha samtale om matematikk i klasserommet er påpekt flere steder. Muntlighet i
matematikk er også understreket i læreplanen. Likevel er det en trend i både norsk og
internasjonal sammenheng at man i større grad går bort fra muntlige aktiviteter til fordel for
flere skriftlige øvelser (Solem & Ulleberg, 2013).
Det at elevene jobber mer individuelt med oppgaver betegnes av Alrø og Skovsmose (2005)
som oppgaveparadigmet. I denne måten å jobbe med matematikk på er det ett og bare ett
riktig svar på en oppgave, og samtalen mellom elev og lærer vil derfor gi et bestemt
kommunikasjonsmønster der læreren stiller et spørsmål, en elev svarer, og læreren evaluerer
hvorvidt dette svaret var korrekt eller ikke. Målet med denne samtalen vil være for læreren og
kontrollere at eleven får til oppgaven.
8
Det finnes en rekke ulike verktøy for å kunne analysere samtalen om matematikk i
klasserommet. Et av disse identifiserer ulike deler av matematisk kunnskap en lærer innehar
og benytter i et klasserom. Dette er kategorisert i «kunnskapskvartetten» som består av fire
dimensjoner:
-Grunnlag (foundation): matematisk kunnskap læreren innehar,
-Overføring (transformation): lærerens evne til å gjøre sin kunnskap tilgjengelig for elevene,
-Sammenhenger (connection): lærerens evne til å knytte sammenhenger mellom ulike
matematiske elementer og
-Handlingsberedskap (contingency): evnen til å oppdage og utnytte sjanser i klasserommet
som ikke er planlagt for (Rowland, Huckstep & Thwaites, 2005).
Disse dimensjonene står i forhold til hverandre og bygger på hverandre som vist på modellen
under. Handlingsberedskap handler om lærerens evne til å gå bort fra planen , og respondere
på elevenes egne ideer (Kleve & Solem, 2014). En erfaren lærer vil ta høyde for og planlegge
for at det oppstår slike øyeblikk. Kleve og Solem argumenterer også for at en erfaren lærer
kan planlegge såkalte «contingent moments» gjennom å stille gode spørsmål og legge til rette
for klasseromsdiskusjoner (Kleve & Solem, 2014).
(gjengitt i: Kleve & Solem, 2014)
9
En annen måte å analysere samtalen i klasserommet på er å se på hvilke spørsmål læreren
stiller. Både lærerens spørsmålsform og spørsmålstype er med å avgjøre hvilke bidrag elevene
kommer med i mattetimene (Solem & Ulleberg, 2013). Det finnes ulike modeller for å
analysere spørsmål som stilles i matematikklasserommet. Flere av disse skiller mellom åpne
og lukkede spørsmål, eller høyere og lavere ordens spørsmål (Boaler & Humphreys, 2005).
Solem og Ulleberg har utviklet en modell for å analysere hvilke faglige spørsmål som blir stilt
i klassesamtalen i matematikk. Denne modellen tar form som et aksekors der en akse
omhandler lærerens posisjon og strekker seg mellom læreren vet og læreren vet ikke svaret.
Den andre aksen handler om lærerens hensikt med spørsmålet, og strekker seg fra
orienterende til påvirkende hensikt (Solem & Ulleberg, 2013).
10
Denne modellen skaper fire ulike områder (A, B, C, D), og i en samtale vil det være naturlig å
veksle mellom spørsmål fra de ulike områdene. Solem og Ulleberg fremhever at modellen er
utviklet til å analysere klassesamtalen, ikke for at spørsmål i klasserommet bør fordeles på en
bestemt måte. Det er likevel slik at samtaler av undersøkende og utforskende karakter
(læreren vet ikke svaret, påvirkende hensikt, D) er mangelvare i skolen, og Solem og Ulleberg
hevder at denne typen spørsmål er nødvendige for å etterleve målene i LK06.
Mange mattetimer er preget av skriftlige oppgaver, og i den delen som består av samtaler
mellom lærer og elev er denne samtalen i stor grad preget av et IRE-mønster der læreren
initierer (I), elevene responderer (R) og læreren evaluerer (E) elevenes svar (Solem &
Ulleberg, 2013).
Alrø og Skovsmose (2005) beskriver et liknende samtalemønster som de kaller GHLT (gjett
hva læreren tenker). Dette samtalemønsteret knytter de direkte til oppgaveparadigmet, og det
tradisjonelle klasserommet. Denne måten å samtale på kan ifølge Alrø og Skovsmose føre til
en mekanisk læringsstil der elevene blir mer opptatt av å gjette hvilket svar læreren ønsker
enn av å forstå det matematiske innholdet. Fokuset i timer preget av oppgaveparadigmet vil
være å skille mellom riktige og gale svar. (Alrø & Skovsmose, 2005).
I samtaler preget av IRE og GHLT er elevenes respons minimal, og elevene svarer forsiktig
gjennom spørsmål, avvisning av sitt eget svar, avvisning av spørsmålet, gjennom å be om
hjelp, vilkårlig gjetting, ekko-svar, taushet eller ved å beskjeftige seg med noe annet (Alrø &
Skovsmose, 2005).
Både Solem og Ulleberg og Alrø og Skovsmose understreker at det ikke er en bestemt type
samtale eller spørsmål fra læreren som er bedre enn de andre, men begge framhever også at
undersøkende virksomhet er mangelvare i skolen og kan medføre en type læring som rommer
mye.
11
Mattelæreres tilnærming til faget
Fra en undersøkelse om effektive lærere (Askew, Brown, Rhodes, Wiliam & Johnson, 1997)
deles mattelæreres orientering inn i tre ulike typer basert på hvilke tilnærminger de har til
faget, dette er «ideal-typer» og ikke mønstre som man kan lese lærere fullstendig inn i.
Sammenhenger (Connectionist) – Dette synet går ut på både å validere elevenes
metoder, og å lære bort effektive metoder basert på å knytte matematiske
sammenhenger. Lærere som har denne orienteringen i sin undervisning mener at alle
elever har mentale strategier for å kunne løse problemer når de kommer til timen, og
lærerens ansvar er å hjelpe elevene med å gjøre disse strategiene mer effektive. Denne
orienteringen baserer læring på en dialog mellom lærer og elever der målet er å
utforske hverandres forståelse. Dialogen kan foregå på ulike måter, gjennom diskusjon
i mindre grupper eller helklassesamtaler.
Overføring (transmission) – Dette er lærere som har en overbevisning basert på at
premisset for å lære, og grunnlaget i matematikken er en samling av rutiner og
prosedyrer. Lærere med denne overbevisningen vil være opptatt av å lære bort en
rekke rutiner, en for hver type oppgave. Denne læreren fokuserer på å lære bort
metoder gjennom en tydelig forklaring, og vil legge mer vekt på det å lære bort enn
det å lære. Typisk for denne læreren er også det å knytte matematikken fra skolen til
problemer man kan møte i den virkelige verden. Denne orienteringen vil også ofte føre
til en læringsstil der læreren legger opp spor for elevene så det elevene vil få bruk for
tas opp på forhånd av læreren.
Oppdagelse (discovery) – Lærere med denne overbevisningen vil mene at premisset
for læring, og synet på matematikk baserer seg på at elevene selv må oppdage
matematiske sammenhenger. Lærere med denne orienteringen forholder seg til alle
12
metoder for å løse oppgaver på som like gode uavhengig av hvor effektive de er.
(Askew et al., 1997).
Undersøkelsen viste at lærere som hadde en overbevisning basert på sammenhenger hadde
større sannsynlighet for å være svært effektive lærere innen matematikk, og fem lærere
utpekte seg som svært effektive og tydelig opptatt av sammenhenger. Av disse fem lærerne
var det fire som sa at de spesielt forsøkte å vektlegge elevenes forståelse for emnet de jobbet
med (Askew et al., 1997).
B. Kleve analyserer i sin doktorgrad (2007) hvordan tre lærere med ulikt syn på læring legger
opp sin undervisning. I beskrivelsen av en lærer som er typisk opptatt av overføring beskriver
hun hvordan timene hans ofte følger et fast mønster, med en del av timen som er
helklassesamtale, og en del av timen som er individuelt arbeid. Helklassesamtalen til denne
læreren starter alltid med en monolog der læreren prater uten forstyrrelser og forteller hva
som skal skje denne timen, henviser til elevenes forkunnskaper og motiverer for dagens
arbeid. Så stiller læreren noen overgangsspørsmål som omhandler enten faktakunnskaper eller
prosesskunnskaper, disse markerer en overgang til elevene at de nå er invitert til å delta i
samtalen. Videre følger en forelesningsfase der læreren samhandler med elevene, men likevel
kontrollerer retningen samtalen tar. (Kleve, 2007).
Både synet på matematikk som et sett med rutiner og det store fokuset på å jobbe med
oppgaver passer godt overens med det Alrø og Skovsmose kaller oppgaveparadigmet. Det å
se på matematikk som et sett med regler og rutiner henger også sammen med et instrumentelt
syn på matematikken, der forståelsen av hva som skal gjøres blir viktigere enn å forstå
hvorfor dette virker.
13
Metode
I denne oppgaven har jeg observert to mattetimer med to ulike lærere på 10. trinn (Anne og
Lise), og en mattetime med en lærer (Kari) på 6. trinn. Timene jeg var i på tiende trinn var to
timer som var relativt likt oppbygget, med en felles oppstart og etter hvert individuelt arbeid
med oppgaver mens læreren gikk rundt og hjalp til. Denne timen skulle elevene begynne å
jobbe med et nytt kapittel i matteboka. Kapittelet de skulle begynne på var «økonomi», og
timen gikk utpå å snakke om lønn, skatter og avdrag og å gjøre oppgaver hvor de måtte bruke
prosentregning. Her har jeg fokusert på de delene av timen som har foregått i plenum.
På 6. trinn har jeg observert en time der elevene jobbet med oppgaver og gikk opp til læreren
når de hadde spørsmål. Denne læreren har jeg også gjennomført et intervju med i etterkant
hvor hun har fortalt om sine tanker rundt helklassesamtalen, og samtalen med elever i
matematikk.
Mitt fokus i denne oppgaven er helklassesamtalen, og det er derfor ikke så aktuelt med
observasjonene jeg gjorde i 6. klasse, da elevene satt og jobbet individuelt hele timen, og det
ikke var noe helklassesamtale. Jeg har likevel valgt å ta med et av funnene jeg gjorde i denne
klassen, da jeg kunne se et samtalemønster mellom lærer og elever som jeg syns var relevant
for oppgavens problemstilling.
Observasjon som metode for å innhente data egner seg godt når målet er å finne ut hva en
lærer gjør i klasserommet, og ikke bare hva læreren sier at han eller hun gjør (Dalland, 2000).
Fordi min problemstilling handler om å se på hvordan lærere løser situasjoner i klasserommet
er det mest relevant å se på hva de faktisk gjør, og ikke hva de sier at de gjør
Det er naturlig når man gjennomfører en observasjon at det melder seg spørsmål man ønsker å
stille til den man har observert. Det er derfor naturlig å gjennomføre både observasjon og
intervju med den samme informanten (Dalland, 2000). Det at jeg ikke har fått et intervju med
14
Anne og Lise, og ikke har fått en relevant observasjon av Kari er en svakhet ved denne
oppgaven. Et intervju med Anne og Lise kunne gitt meg mulighet til å høre om valgene de
hadde tatt i løpet av timen var bevisste, og hva som var deres tanker rundt det å snakke med
hele klassen. På samme måte ville en observasjon av en time der Kari gjennomførte en
helklassesamtale gitt meg mulighet til å sett hvorvidt hun etterlevde de prinsippene hun
framhevet i intervjuet. Gjennom å observere og intervjue kan man i større grad få mulighet til
å se på lærerens intensjoner opp mot praksis.
Intervjuet som metode er en situasjon der intervjuobjektet selv har kontroll over hvordan han
eller hun vil framstille seg selv og egen praksis. I motsetning er observasjon en metode der
den som blir observert har liten kontroll over egen framstilling (Dalland, 2000).
Funn
Syn på helklassesamtalen
I de to tiendeklassene jeg har observert snakket jeg litt med lærerne i forkant av
undervisningen, og fortalte hvilke deler av timen jeg skulle se på. I denne samtalen fortalte
begge lærerne meg at de i liten grad benyttet helklassesamtale som en del av sin undervisning,
og at ved oppstarten av et nytt kapittel var den eneste timen de benyttet denne samtaleformen.
Lærerne forteller meg at de finner det mest effektivt at elevene jobber selvstendig. Dette
begrunner de forskjellig. Anne sier at dette er et valg hun har tatt av praktiske grunner, hun
sier at hun ikke har tid til å komme gjennom alt stoffet på noen annen måte. Dessuten mener
hun at dette er den måten elevene lærer mest på, og trekker fram repetering og gjentatt øvelse
som argumenter. Lise begrunner det store fokuset på individuelt arbeid med oppgaver med at
hun på denne måten kan gi elevene tilpasset opplæring. Ved at elevene kan velge mellom
15
oppgaver fra tre ulike vanskelighetsgrader mener hun at elevene får jobbet på sitt nivå, og hun
får mere tid til å hjelpe de som trenger det.
I intervjuet med Kari får jeg imidlertid et annet syn på det å gi tilpasset opplæring til alle
elevene når hun skal fortelle om fordeler med helklassesamtalen.
«Det viktigste med den samtalen er å få fram ulike strategier. Om det har noe med
tallsystemer å gjøre, eller om det har med regnemetoder å gjøre, eller om det har med
metoder for konstruksjon og tenkemåter å gjøre. Målet med en sånn type samtale er jo
å få fram mangfoldet. Det er veldig, veldig viktig. Vi som mennesker vi tenker jo veldig
ulikt. (…) når læreren står og viser en metode så har jo læreren skjønt den metoden og
vil jo da fremstille den utfra sin måte å tenke på. Og da favner man sjeldent over mer
enn kanskje en tredel av klassen. Kanskje ikke det engang. Målet med en sånn samtale
må jo være å få frem at det er mulig å tenke på andre måter. Og at det er like riktig».
Kari fremhever her at det å benytte helklassesamtalen gir henne muligheten til å nå flere
elever, da det er sannsynlig at andre elever har tenkt annerledes enn henne. Ved å si at elevene
kan ha en annen strategi enn det hun selv har sier hun også at elevene møter til timen med
verktøy for å løse oppgaver fra før av. Dette vitner om at Kari kan ha en orientering som på
dette området er i tråd med det Askew et al(1997) knytter til sammenhenger.
I sine begrunnelser for hvordan de velger å organisere undervisningen sin er det ingen av
lærerne som vurderer om det å kommunisere i matematikk er et mål i seg selv. Dette er både
for å etterleve de muntlige ferdighetene som er slått fast i læreplanen, og å øve på den
matematiske kompetansen kommunikasjonskompetanse. Men også fordi elevene kan utvikle
sin relasjonelle forståelse for et tema gjennom å forklare det for andre (Goos, 1995).
Det store fokuset på oppgaveløsning vil også gjøre det vanskelig for læreren å vite hvilken
type forståelse elevene har for matematikken. Gjennom oppgaveløsingen vil læreren bare
16
kunne se hvorvidt en elev har valgt riktig metode for å løse en oppgave (instrumentell
forståelse), og ikke hva som er begrunnelsen for metodevalget.
Sammenhenger mellom matematikken og livet utenfor skolen
Timene til både Anne og Lise er bygget opp etter samme mønster, og dette er ganske likt det
mønsteret Kleve (2007) beskriver at den læreren som var opptatt av å overføre kunnskap fra
lærer til elev også fulgte. I begge klassene starter læreren med en monolog der de forteller om
hva de skal jobbe med, og hvordan de skal jobbe med dette kapittelet i matteboka.
Temaet i de to timene omhandlet økonomi, og i kapittelet i matteboka var det lagt opp til å i
stor grad knytte sammenhenger til elevenes hverdag. Disse sammenhengene var lærerne også
svært opptatt av, og særlig Anne klarte gjennom å knytte sammenhenger mellom
matematikken de hadde og hverdagslivet å vekke elevenes engasjement.
Etter at Anne har hilst på elevene, bedt dem finne fram bøker og introdusert dagens tema
legger hun opp til samtale med hele klassen. Hun legger opp til at elevene skal delta, og hun
bruker seg selv som eksempel når hun forklarer hvorfor hun i sin privatøkonomi pleier å
bruke kredittkort i stedet for sitt vanlige bankkort.
Anne: «jeg for eksempel pleier å betale med kredittkortet mitt når jeg skal betale med
kort, og det er fordi jeg bruker [lokalbank] og med det kortet koster det meg to kr hver
gang jeg trekker kortet, og det gidder jeg jo ikke betale så derfor …»
Trond: (avbryter) «Hvorfor har du den banken da?»
Anne: «det er fordi jeg har et lån i den banken, så derfor må jeg også ha kort der»
Mari: (mumler): «Endelig matte vi får bruk for …»
Anne: «Hva sa du, Mari?»
17
Mari: «Jeg sa at endelig skal vi ha noe i matte som vi har bruk for senere»
I denne sekvensen bruker Anne eksempler fra sitt eget dagligliv for å gjøre matematikken
relevant for elevene. Når vi ser at en av elevene også uttaler at endelig skal de ha matematikk
som de får bruk for er dette et tegn på at hun har lyktes i dette. Også i fortsettelsen av timen
fortsetter hun å vise elevene ved å bruke eksempler fra sitt eget liv. Hun har med seg en
powerpoint med bilder av sin egen lønnsslipp som hun viser fram for å forklare hvordan de
ulike trekkene påvirker hennes økonomiske hverdag. Det er tydelig at Anne ønsker å bygge
opp sammenhenger mellom kunnskapen elevene skal tilegne seg på skolen og det virkelige
liv. Det å bygge opp sammenhenger mellom det virkelige liv og matematiske ideer blir av
Cathy Humphreys trukket fram som selve kjernen i matematiske ferdigheter (Boaler &
Humphreys, 2005, s. 11). Av de forskjellige definisjonene av sammenhenger i matematikken
er det å trekke sammenhenger mellom det daglige livet og matematiske ideer den tredje mest
vanlige sammenhengen (Mousley, 2004). Det å bygge opp sammenhengen mellom livet
utenfor skolen og matematikken elever lærer på skolen kan hjelpe elever med å bygge opp
nettverk av kunnskap, og å sette kunnskapen de tilegner seg på skolen i en kontekst (Mousley,
2004).
Også Lise fokuserer i sin time på å trekke sammenkoblinger mellom det virkelige livet og
matematikken elevene lærer på skolen. Når hun trekker sammenhenger til den virkelige
verden viser hun til eksempler hun henter fra skoleboka. Hun forklarer elevene at det de skal
ha om i dette kapittelet er svært relevant, og at dette er sånt de vil få bruk for blant annet når
de skal ta opp lån. Som eksempel på problemstillinger de må forholde seg til som låntagere
viser hun til en side i boka der det står beskrevet ulike typer lån og renter. Elevene virker ikke
spesielt engasjerte, og de svarer når hun stiller dem et spørsmål, men utover dette er det ingen
som rekker opp hånda eller avbryter henne.
18
Anne, som viste fram sin lønnsslipp og tok seg selv som utgangspunkt for samtalen oppnådde
imidlertid mye større grad av engasjement hos elevene. Elevene avbryter henne og stiller
spørsmål som for eksempel «Hvorfor har du valgt den banken?», eller «hvor mange års
ansiennitet har du?». Det kan se ut som om det vekker elevenes engasjement nettopp det at
læreren inviterer elevene inn i sin virkelighet.
I kunnskapskvartetten deles matematisk kunnskap opp i fire ulike deler, der grunnlag ligger
til grunn for å kunne benytte de andre delene av matematisk kunnskap. Denne typen kunnskap
gir seg blant annet til syne i graden av etterlevelse etter matteboka (Kleve & Solem, 2014).
Anne går utenom matteboka for å oppnå større grad av engasjement hos elevene, mens Lise
benytter eksempler og oppgaver fra boka gjennom hele timen. Dette kan være et tegn på at
Anne har større trygghet på sitt matematiske grunnlag.
Begge lærerne jobber gjennom hele timen mye med å knytte det de lærer på skolen sammen
med elevenes hverdag. Gjennom å jobbe med kunnskaper elevene har fra dagliglivet kan man
oppnå å gi de matematiske begrepene en ramme for å konstruere et effektivt nettverk av
kunnskap, forståelse og ferdigheter (Mousley, 2004). Lærerne i begge klassene kan gjennom å
koble dagliglivets kunnskap sammen med det de skal lære i dette kapittelet oppnå en mer
sammensatt kunnskap om for eksempel prosentregning.
Fordelene ved å knytte sammenhenger mellom dagliglivet og skolematematikken kan være
flere. Det kan virke motiverende på elevene og det kan knytte bånd mellom lærer og elev. C.
Humphrey (2005) mener at denne sammenhengen er selve kjernen i matematikk, og Mousley
(2004) peker på viktigheten av å knytte sammenhenger for å oppnå en dypere forståelse for
faget. Det er likevel ikke nødvendigvis slik at det å knytte denne typen sammenhenger vil føre
til en relasjonell forståelse for matematikken. Beswick (2005) peker på at den tredje typen
sammenhenger beskrevet av Mousley (2004), det å knytte sammenhenger mellom
19
matematikken og dagliglivet, ikke kan forstås som relasjonell forståelse, selv om dette kan ha
fortrinn.
Askew et al (1997) trekker fram i sin beskrivelse av ulike overbevisninger at det er typisk for
lærere som er opptatt av læring som overføring at de i stor grad fokuserer på nettopp
sammenhenger mellom livet utenfor skolen og skole-matematikken. Denne orienteringen
legger vekt på matematikk som et sett med regler, og fokuserer i liten grad på hvorfor reglene
virker (relasjonell forståelse)
En av elevene utbryter «endelig matte vi får bruk for» i timen når hun forstår hva som skal
være temaet for mattetimen. Dette er et utsagn som vitner om at temaet virker motiverende på
henne, og nettopp det at sammenhengen mellom det virkelige livet og matematikken på
skolen blir gjort tydelig gir eleven en følelsesmessig reaksjon. Denne typen følelsesmessige
reaksjoner betegnes av Goos (1995) (ii) og er ikke nødvendigvis et tegn på relasjonell
forståelse. Det kan naturligvis likevel hende at eleven utvikler relasjonell forståelse for
temaet.
IRE-mønster i samtalene
Når timen i klassen til Lise er nesten ferdig samler hun oppmerksomheten mot tavla og skal
oppsummere. Alle elevene bes slå opp på en bestemt side og se på en oppgave sammen.
Lise: «(…) se på denne oppgaven: Lotte har 80 kr. i timelønn, også får hun 25 %
ekstra når hun jobber overtid. Så på lørdag jobber hun 4 timer med vanlig lønn, og tre
timer overtid. Se på oppgaven sammen med læringspartnerne deres»
[Elevene jobber i 5 min, Lise skriver på tavla: a) lønn vanlig lørdag: ___ b) lønn med
overtid 1 time: ____ lønn med overtid 3t: ____ c) Lotte får utbetalt: ____] etter at
20
elevene har regnet alene eller sammen med læringspartnerne sine i fem min spør
læreren om det er noen som kan svare på de ulike oppgavene hun har skrevet på tavla.
Lise: «Ja, Jan, hvor mye får hun i lønn en vanlig lørdag?»
Jan: «320»
Lise: «ja. Ikke sant, for det er fire timer ganget med 80 kr som hun får i timen … men
det var jo ganske lett. Hva med hvis hun jobber overtid, da? Elev 2?»
Per: «100 kr»
Lise: «det er riktig. Og hva gjorde du for å komme fram til det?»
Per: «jeg ganga med 1,25»
Lise: «Åja! Bra! Det går jo også an. Snakk med læringspartnerne deres alle sammen
og finn ut av hvorfor Per kan gange med 1,25 for å få riktig svar»
[Elevene snakker lavt med sidemann]
Lise: «Nå, noen som vil forklare hvorfor? Jeg trekker navn [trekker navn fra en bøtte
på kateteret] Siri og Kaja, nå trakk jeg dere, hvorfor har Per valgt å gange med 1,25?»
Siri: (veldig nølende i stemmen) «altså … det blir jo hundre, og hvis man først finner
25 % og så legger sammen blir jo det også hundre …»
Kaja: [tar over] «nei, man slår jo liksom sammen de to tingene, så i stedet for å først
gange med 0,25, og så legge sammen med 80 så bare gjør man begge deler på en
gang»
21
Lise: «ja, det er riktig. Man slår liksom sammen. Jeg viser dere en annen metode også,
jeg, som er litt mer omfattende» Lise skriver på tavla og forklarer trinn for trinn
80
(100∙25) +80
Gjennom hele timen benytter Lise et tradisjonelt mønster i måten hun samtaler med elevene
sine på. I eksempelet over er det tydelig hvordan hun benytter et IRE – mønster der hun spør
elevene hva som er svaret på en oppgave (I), elevene gir et svar (R), og læreren evaluerer
svaret og bekrefter at eleven har svart riktig (E). Læreren er her tydelig opptatt av at elevene
skal komme fram til riktig svar. Hun spør elevene om hvor mye Lotte vil få i lønn en vanlig
lørdag, og en lørdag med overtid. Hun viser gjennom å spørre hvor mye (…) at hun er
interessert i det riktige svaret. Både samtalemønsteret og fokuset på det riktige svaret er
typiske for oppgaveparadigmet (Alrø & Skovsmose, 2005). Læreren har funnet en oppgave
fra læreboka, og samtalen dreier seg om å kontrollere at elevenes besvarelse av denne
oppgaven er riktig. Det å bruke oppgaver fra boka, og kontrollere at disse er løst riktig trekkes
også fram av Alrø og Skovsmose (2005) som typisk for oppgaveparadigmet.
Gjennom timene jeg observerte var fokuset på at elevene skulle finne det riktige svaret på en
gitt oppgave. Mange klasserom er preget av dette fokuset, og en ulempe med dette er at det
for mange elever er en frykt i mattetimene for å svare feil (Boaler & Humphreys, 2005). Hvis
man på den annen side hadde en samtale der frykten for å svare feil ikke var så stor ville man
i mye større grad fått muligheten til å ha en fruktbar samtale mellom mange elever. Dersom
elevene blir oppfordret til å være skeptiske til hverandres svar vil man kunne få til en
klasseromssamtale der elevene må forsvare svarene sine ved å benytte ulike representasjoner
og gjennom å se tilbake på tidligere lært stoff (Boaler & Humphreys, 2005).
I sekvensen over ser vi at Lise stiller spørsmål som handler om å finne ut hvordan eleven har
tenkt eller hvilket svar eleven har kommet fram til. Dette var typiske spørsmål gjennom hele
22
timen. Sett i lys av Solem og Ullebergs (2013) aksekors er dette spørsmål der læreren vet
svaret, og med orienterende hensikt (A). Når læreren ber elevene finne ut hvordan Per har
tenkt er dette et spørsmål hun stiller fordi hun ønsker at de andre elevene skal forsøke å forstå
dette, dette er et spørsmål med påvirkende hensikt, men det er fortsatt et spørsmål læreren vet
svaret på (B). Hverken i denne sekvensen eller i resten av timene jeg observerte har jeg sett
lærerne stille spørsmål innen kategori C eller D.
I sekvensen over spør Lise også etter forståelse, og elevene skal samarbeide om å komme
fram til et svar. Hun etterspør hvorfor Per har gjort som han har gjort, og ber om at elevene
skal begrunne dette, og forklare hverandre. Men når det kommer til elevenes svar på dette
kommer det to elevsvar. Siri begrunner ikke svaret overhodet, hun bare peker på at de to
metodene gir samme svar, og derfor må stemme begge to. Når Kaja skal forklare sier hun at
man «liksom slår sammen de to operasjonene». Det virker som om hun har forstått hvorfor
man kan multiplisere med 1,25, og det kan virke som om Lise forstår at Kaja har forstått. Det
er likevel ikke en grundig forklaring hun gir, og det er ikke sikkert at andre elever vil forstå
noe mer av dette på bakgrunn av hennes forklaring. Hverken Per eller Kaja blir bedt om å
forsvare sin metode overfor skeptiske medelever. På denne måten går både de elevene som
ikke blir bedt om å forklare grundig glipp av muligheten til å utvikle en dypere forståelse ved
å knytte flere sammenhenger (Goos, 1995), og de andre elevene i klassen får en passiv
tilhørerrolle i stedet for en aktiv skeptiker-rolle (Boaler & Humphreys, 2005). Forklaringen
Kaja gir er ufullstendig, men på ingen måte feil. Sannsynligheten er stor for at hun har forstått
stykket, men ettersom forklaringen er gitt til læreren og ikke til medelever krever ikke
forklaringen noen ytterligere begrunnelse. Ettersom Kaja vet at dette er en type spørsmål der
læreren vet svaret trenger hun ikke begrunne mer. Hvis enten læreren ikke hadde visst svaret,
eller medelevene hadde hatt en mer aktiv rolle ville hun blidt bedt om å utdype forklaringen
23
sin, og hun kunne på den måten ha øvd på sin resonnements- og kommunikasjonskompetanse.
Når Lise spør hvordan Per kom fram til svaret sitt, og eleven svarer at han «ganga med 1,25»
er dette det O. G. Drageset (2014) beskriver som et korrekt og uforklart svar (unexplained
answer). Det er åpenbart for læreren og for de elevene som behersker dette godt hvorfor han
kan multiplisere direkte med 1,25 (i stedet for først å regne ut 25 % og så legge dette sammen
med det opprinnelige tallet), men det er sannsynlig at det er elever i klassen som kunne hatt
nytte av en forklaring på hvorfor dette kan gjøres. Dragset trekker fram de uforklarte svarene
som en mulighet for lærere til å fokusere på hvorfor et svar blir riktig eller galt. Dette kan
gjøres gjennom å fortelle det selv, spørre eleven som har foreslått det, eller utfordre noen
andre elever til å forklare (Drageset, 2014). I situasjonen over ser læreren at elevsvaret trenger
en ytterligere fokusering, og utfordrer elevene til å forklare hvorfor dette blir riktig. Læreren
lar elevene snakke med hverandre i par først, før hun utfordrer dem til å forklare høyt. Når
læreren vil fokusere på elevbesvarelsen spør hun klassen om hvorfor det vil gi riktig svar å gå
fram på denne måten. Dette er et eksempel på at elevene må forsvare hvorfor dette er riktig.
Drageset (2014) påpeker at gjennom å forsvare en fremgangsmåte så må elevene benytte
matematisk argumentasjon, og ikke bare beskrive hva som er gjort for å komme fram til
svaret. Når Kaja skal forklare hvorfor denne metoden virker bruker hun liten grad av
argumentasjon i dette tilfellet.
Det må imidlertid nevnes at denne situasjonen er hentet fra det siste kvarteret av timen, og det
kan naturligvis tenkes at læreren ønsket å gå dypere inn i denne situasjonen, men ikke kunne
på grunn av tidsbegrensninger.
24
Å legge opp spor
Når elevene i klassen til Lise skal løse oppgaven om Lottes lønn sammen med
læringspartneren sin skriver Lise noen deloppgaver på tavla. Disse deloppgavene er noe hun
tilføyer, og er ikke en del av oppgaven i matteboka. Ved å skrive disse deloppgavene gir hun
elevene en oppskrift til hvordan oppgaven bør løses trinn for trinn. Dette er en måte å legge
opp et spor for elevene, så de får en oppskrift på hva som vil være den beste framgangsmåten
for å løse denne oppgaven. Dette blir kategorisert som en typisk metode for lærere med fokus
på overføring (Askew et al., 1997).
Ved å legge opp dette sporet viser også læreren at dette er den beste måten å løse denne
oppgaven på. Elevene får i liten grad mulighet til å prøve seg fram selv, og det er ikke behov
for at de selv trekker koblinger til tidligere kunnskap, for disse koblingene blir trukket for
dem av læreren.
Oppgaveparadigmet
Den timen jeg observerte på sjette trinn er timen preget av oppgaver. Elevene sitter stille og
jobber med oppgaver, de skal øve på standard algoritmer i divisjon og multiplikasjon. Når det
er noe de lurer på går de opp til Kari og spør henne om hjelp. Underveis i timen er det flere av
elevene som går opp til læreren flere ganger for å spørre om hjelp. Mange av spørsmålene
som blir stilt ligner på hverandre. Elevene kommer opp for å kontrollere svarene sine «jeg
bare lurer på om dette er riktig», og for å bli støttet gjennom en prosess «hvis jeg flytter den
ned … og setter null her … så kan jeg bare gange disse …». Noen elever trenger at læreren
bare ser på mens de regner en oppgave, hun bekrefter med å nikke mens de regner. Andre
elever trenger mer støtte, og blir veiledet gjennom hele oppgaven
Ella: «jeg skal dele dette. Så da …?» [ser spørrende opp på læreren]
Kari: «da må du starte her. Hvor mange ganger får 2 plass i 4?»
25
Ella: «2»
Kari: «så da må du sette 2 …?»
Ella: «her?»
Kari: «ja. Og nå?»
Ella: «jeg vet ikke. Denne?»
Alrø og Skovsmose (2005) peker på at en konsekvens av GHLT er at elevene gir minimal
med respons på spørsmål. Typiske elevsvar når elevene er mer opptatt av å gjette hva læreren
ønsker enn av matematikken er blant annet spørsmål som svar, anmodning om hjelp og
vilkårlige gjett. Når Kari spør Ella hva hun skal gjøre videre sier hun først at hun ikke vet, for
så å peke på et vilkårlig tall og si «denne?». Dette er et eksempel på vilkårlig gjetting. Hun
peker på et helt vilkårlig tall, og virker mer opptatt av hvorvidt Kari skal gi henne bekreftelse
eller ikke enn å forstå selv hvilket tall hun skal gjøre hva med, og hvorfor. Allerede før hun
begynner spør hun om hjelp, og ser ikke ut til å forsøke selv på noen måte. Også spørsmål
som svar («her?») er et tegn på at hun er mer opptatt av å gjette hva Kari ønsker enn av egen
forståelse.
Denne observasjonen fra timen snakket vi om i intervjuet etter timen. Kari knytter denne
forskjellen til kjønn, og til trygghet.
«Jeg tror gutter er bedre på å huske suksessene sine, og ikke være så opptatt av
nederlagene. Dette tror jeg er en gutt/jente-ting, jeg tror jentene har mye lettere for å
huske nederlagene sine»
Videre forteller hun at guttene kanskje er mer uredde fordi de satser mindre, og på den måten
får lavere fallhøyde.
26
«Jeg tror kanskje også at guttene ofte jobber mindre med svarene sine, og derfor blir
det også mindre å tape, da, hvis det er feil. Hvis de sier noe og det er feil så kan de
svare «jammen jeg bare sa noe, da» uten å tape stolthet, og de har jo regna over, men
bare at det går fort. Mens jentene jobber masse, og da blir fallhøyden også større.»
Som forklaring på hvorfor det er blitt sånn peker hun på kultur og forskjell i hjernen på jenter
og gutter. Hun trekker også fram at dette er en klasse hun nylig har overtatt, og at det er et
mønster i denne klassen at mange er engstelige for å forsøke å svare, hun sier at for å jobbe
med dette forsøker hun å gi individuelle tilbakemeldinger.
Det kan se ut som om mange av de elevene som trenger mye støtte av læreren underveis er
redde for å svare feil. Dette sier også læreren selv i intervjuet. Denne frykten for å svare feil
blir trukket fram av Boaler (2005) som en konsekvens av en kultur i klasserommet som er
preget av at elevene skal finne riktig svar. Hvis man oppnår en klasseromskultur der fokuset
ikke bare er på å finne riktige svar, men også på metoder vil denne frykten bli mindre. Dette
understøtter læreren selv også senere i intervjuet når vi snakker om fordeler ved
helklassesamtalen sier hun at «det er viktig at det ikke blir sånn at hvis du tenker som læreren
har du gjort det riktig, men hvis du tenker annerledes så er det per definisjon feil». Det blir
understreket av Boaler at det å oppnå en klassekultur der det ikke er skummelt å svare feil,
men der heller dette blir sett på som en anledning til å lære noe nytt, eller angripe et problem
fra en ny vinkel krever mye arbeid. Det er naturlig at hvis hun nettopp har tatt over en klasse
som tidligere har hatt et stort fokus på å finne riktig svar så vil enkelte elever være preget av
frykten for å svare feil.
Avslutning
I alle observasjonene jeg gjorde har jeg sett samtalemønstre som gir inntrykk av at dette er
lærere med et tradisjonelt syn på matematikkundervisning. Lærerne har brukt et IRE–mønster
27
i samtalen i matematikktimene, og deres fokus har i stor grad vært rettet mot at elevene skal
komme fram til riktige svar. IRE-mønster er en samtaleform som egner seg godt til å
kontrollere elevens instrumentelle forståelse, da denne samtalen vil gi svar på om eleven har
fått riktig svar (valgt riktig metode). Dette mønsteret egner ser imidlertid ikke dersom målet er
relasjonell forståelse, da grunnene til at en metode virker ikke blir etterspurt. Lærerne jeg
observerte viste mange tegn på å ha et matematikksyn basert på at matematikk er et sett med
regler og rutiner, og at elevene må lære dette gjennom å få det forklart. Denne typen
matematikksyn vil understøtte en mekanisk læringsstil hos elevene der de vil være mer opptatt
av svaret de får enn matematikken de benytter for å komme fram til et svar. Det vil med andre
ord være vanskelig å jobbe med relasjonell forståelse når matematikktimene er preget av dette
fokuset.
Selv om verdiene ved å få til en produktiv helklassesamtale med fokus på prosesser og det å
knytte sammenhenger kan være mange er det også ulemper ved dette. Boaler og Humphreys
(2005) trekker fram at denne samtalen er svært vanskelig, og krever mange pedagogiske evner
fra læreren. De peker også på at det å skape et klasseromsnormer som understøtter gode
samtaler, der frykten for å svare feil ikke dominerer, tar lang tid. Alrø og Skovsmose (2005)
påpeker at et klassisk oppsett der elevenes oppgave er å komme med svar på spørsmål fra
læreren eller matteboka for mange elever kan medføre en trygghet fordi det er velkjent og
forutsigbart.
I læreplanen blir muntlige ferdigheter understreket og spesifisert. Gjennom å utvikle gode
klasseromsnormer, og være oppmerksom på hvilke spørsmål man stiller kan læreren utvikle
både de muntlige ferdighetene i matematikk og elevenes relasjonelle forståelse gjennom
helklassesamtalen. Elevene vil gjennom en god helklassesamtale der de er hverandres aktive
skeptikere få erfaring med å forsvare og argumentere matematisk.
28
29
Litteraturliste
Alrø, H. & Skovsmose, O. (2005). Undersøgende samarbejde i matematikundervisningen-udvikling af
IC-Modellen. Arbejdspapirer om læring, 6, 2005.
Askew, M., Brown, M., Rhodes, V., Wiliam, D. & Johnson, D. (1997). The contribution of professional
development to effectiveness in the teaching of numeracy. An international journal of
teachers' professional development, 1(3), 335-356. doi:10.1080/13664539700200030
Beswick, K. (2005). PRESERVICE TEACHERS’UNDERSTANDINGS OF RELATIONAL AND INSTRUMENTAL
UNDERSTANDING. International Group for the Psychology of M athematics Education, 161.
Boaler, J. & Humphreys, C. (2005). Connecting mathematical ideas : middle school video cases to
support teaching and learning. Portsmouth, NH: Heinemann.
Dalland, O. (2000). Metode og oppgaveskriving for studenter. I (3. utg. utg.).
Drageset, O. (2014). Redirecting, progressing, and focusing actions-a framework for describing how
teachers use students' comments to work with mathematics. Educ. Stud. Math., 85(2), 281304. doi:10.1007/s10649-013-9515-1
Goos, M. (1995). How Do You Know When You Understand? Using Explanation To Monitor and
Construct Mathematical Understanding.
Kleve, B. (2007). Mathematics teachers' interpretation of the curriculum reform, L97. Norway.(Ph.
D.), Doctoral Thesis, Høgskolen i Agder,(5).
Kleve, B. & Solem, I. H. (2014). Aspects of a teacher’s mathematical knowledge in his orchestration of
a discussion about rational numbers. Nordic Studies in Mathematics Education, 19(3&4).
læreplan i matematikk fellesfag. (2013). Hentet 24.02 fra http://www.udir.no/kl06/MAT104/Hele/Formaal/?read=1
Mousley, J. (2004). An aspect of mathematical understanding: The notion of “connected knowing”.
Paper presentert på Proceedings of the 28th Conference of the International
Rowland, T., Huckstep, P. & Thwaites, A. (2005). Elementary teachers’ mathematics subject
knowledge: The knowledge quartet and the case of Naomi. Journal of Mathematics Teacher
Education, 8(3), 255-281.
Skemp, R. (1976). Relational understanding and instrumental understanding. Mathematics Teaching,
77.
Skott, J., Hansen, H. C. & Jess, K. (2008). Delta : fagdidaktik. Frederiksberg: Forlaget
Samfundslitteratur.
Solem, I. H. & Ulleberg, I. (2013). Hva spør lærere om? En modell for å undersøke spørsmål som
stilles i klassesamtalen i matematikk. I I. Ulleberg, & H. Christensen (Red.), Klasseledelse, fag
og danning (s. 139-155 ). Oslo: Gyldendal Akademiske.
30