Regning i alle fag Hva er å kunne regne? Å kunne regne er å bruke matematikk på en rekke livsområder. Å kunne regne innebærer å resonnere og bruke matematiske begreper, fremgangsmåter, fakta og verktøy for a løse problemer og for å beskrive, forklare og forutse hva som skjer. Det innebærer å gjenkjenne regning i ulike kontekster, stille spørsmål av matematisk karakter, velge holdbare metoder når problemene skal løses, være i stand til å gjennomføre dem og tolke gyldigheten og rekkevidden av resultatene. Videre innebærer det å kunne gå tilbake i prosessen for å gjøre nye valg. Å kunne regne innebærer å kommunisere og argumentere for valg som er foretatt ved å tolke konteksten og arbeide med problemstillingen fram til en ferdig løsning. Å kunne regne er nødvendig for å kunne ta stilling til samfunnsspørsmål på en reflektert og kritisk måte ved å forstå sammenhenger og vurdere fakta. Videre er det en viktig forutsetning for egen utvikling og for å ta hensiktsmessige avgjørelser på en rekke områder i eget arbeidsog dagligliv. Prinsipper for god regneopplæring 1.Sett klare mål, og form undervisningen deretter Helhetsperspektiv på undervisningen God undervisning krever grundig planlegging, gjennomføring og vurdering. Før læreren starter planleggingen, må han ha et helhetsperspektiv på undervisningen for å kunne svare på spørsmål som: Hva er dette temaet en del av? Hvorfor skal vi arbeide med dette? Hvordan henger dette sammen med andre temaer vi har arbeidet med? Denne kunnskapen og oversikten som må være en del av lærerens kompetanse, kalles horisontkunnskap (Ball m. fl., 2008). Et eksempel er arbeid med prosent i samfunnsfag. Prosentregning kan fort bli en mekanisk prosedyre elevene utfører uten å forstå hva de egentlig holder på med. Elevene godtar da gjerne et meningsløst svar uten å reflektere nærmere over det. Klarer elevene å vurdere tallstørrelsene som inngår i beregningene og se prosent i sammenheng med brøk og desimaltall, har de et bedre grunnlag for å velge løsningsstrategi og vurdere resultatene de kommer fram til. Elevene må også erfare hvordan prosentregning i samfunnsfag kan øke deres forståelse for samfunnsfaglige emner. Denne sammenhengen må synliggjøres for elevene. Bruk av matematiske grunnelementer i kontekster fra andre fag kan øke relevansen for elevene og styrke utvikling av regneferdigheten. Læringsmålene må være relevante Læreplanene for fag viser hvordan regning som grunnleggende ferdighet utgjør en del av kompetansen i de ulike fagene. Læringsmål må utformes på bakgrunn av kompetansemålene slik at elevene forstår hva de skal lære og hva som forventes av dem. I den forbindelse er elevenes forkunnskaper viktige. Undervisningen må bygge på kunnskaper elevene allerede har, enten elevene skal arbeide med regning i matematikkfaget eller andre fag. Læreren kan skaffe seg informasjon om denne kunnskapen gjennom samtaler med elevene, diagnostiske oppgaver og/eller småtester. Deretter må han utforme læringsmål basert på Informasjonen om forkunnskapene til elevene, lærerens horisontkunnskap og kompetansemålene i faget. Læringsmålene skal være relevante, presise, vurderbare, tydelige og individuelle (Bergem & Dalland, 2010). Elevene og foreldrene må forstå hva som skal læres, og læreren må greie å måle hva eleven har lært. 2. Vær bevisst i valg av oppgaver Oppsummering som en del av underveisvurderingen Oppsummering av økter og temaer kan gi læreren en pekepinn på hvordan elevene ligger an i forhold til læringsmålene. I den forbindelse kan muntlige spørsmål og svar, logg eller egenvurderingsskjema være nyttige. Oppsummeringen trenger ikke å ta lang tid, men den er svært viktig i forhold til å etablere sammenhenger mellom forkunnskaper, aktiviteter og de matematiske begrepene som aktivitetene er knyttet til. Kunnskapen læreren får gjennom oppsummering og vurdering er med på å justere eksisterende læringsmål og lage nye. Ulike oppgavetyper En betydelig del av undervisningstiden består i å arbeide med oppgaver og aktiviteter. Ulike typer oppgaver tjener ulike formål i undervisningssituasjonen. Oppgaver kan bidra til å avdekke elevers misoppfatninger, gi lærere innsikt i hva elevene kan, automatisere og effektivisere ferdigheter eller gi rom for kommunikasjon. Oppgavene læreren velger å introdusere klassen for, er med på å forme læringsmiljøet (Berg, 2011). Lærere i alle fag kan legge et godt grunnlag for regning ved å gi elevene oppgaver som svarer til målet for timen. I det følgende beskriver vi karakteristiske trekk ved ulike oppgavetyper og formålet med dem. Noen av oppgavene er mer relevante for regneopplæringen i matematikk enn for regning i andre fag. Diagnostiske oppgaver Diagnostiske oppgaver kan benyttes både som introduksjon til et nytt emne, underveis i arbeidet med emnet og i vurderingen ved avslutningen av emnet. Oppgavene er mer rettet mot å kartlegge begrepsforståelse enn å kontrollere elevenes ferdigheter i å gjennomføre prosedyrer. Oppgavene har som hovedmål å oppdage hvilke tanker elevene har om ulike begrep, å bli kjent med vanskene som er knyttet til begrepene og å hjelpe læreren med å planlegge undervisningen Oppgavene har ikke som hensikt å vurdere elevene med tanke på rangering (Brekke, 2002). En del elever utvikler for eksempel en misoppfatning om at det lengste tallet alltid har størst verdi. 1,234 vil da bli oppfattet som større enn 1,5. En diagnostisk undervisning som utfordrer slike misoppfatninger vil typisk inneholde fire faser: 1. Identifisere misoppfatninger og delvis utviklede begreper hos elevene. 2. Tilrettelegge undervisningen slik at eventuelle misoppfatninger eller delvis utviklede begreper blir framhevet og gir grunnlag for en kognitiv konflikt. 3. Løse den kognitive konflikten gjennom diskusjoner og refleksjoner i undervisningen. 4. Bruke det utvidede (eller nye) begrepet i andre sammenhenger. Rike oppgaver En rik oppgave er en problemløsningsoppgave som byr på muligheter til diskusjoner med andre når det gjelder ideer til løsninger og forståelse av matematiske begreper. En rik oppgave skal:        introdusere viktige ideer eller løsningsstrategier være lett å forstå og alle skal kunne komme i gang og ha muligheter til å jobbe med den (lav inngangsterskel) oppleves som en utfordring, kreve anstrengelse og tillates å ta tid kunne løses på flere ulike måter, med ulike strategier og representasjoner kunne initiere en faglig diskusjon som viser ulike strategier, representasjoner og ideer kunne fungere som brobygger mellom ulike faglige områder kunne lede til at elever og lærere formulerer nye interessante problemer (Hva hvis…? Hvorfor er det sånn…?) En rik oppgave kan i tillegg til ferdighetstrening også gi elevene erfaring med problemløsing, utforsking, matematisk tenking, samarbeid og kommunikasjon. Rike oppgaver er selvdifferensierende på grunn av den lave inngangsterskelen og mulighetene for å utvide oppgaven. Realistiske oppgaver Realistiske oppgaver er med på å vise matematikkens relevans i dagligliv og samfunnsliv. Realistiske oppgaver kan tjene to hensikter: Oppgavene gir elevene erfaring med at matematikk anvendes i mange sammenhenger, og de kan brukes som utgangspunkt for å gi elevene innsikt i den rene matematikken (van den Heuvel-Panhuizen, 2003). Ved bruk av realistiske oppgaver står læreren overfor en del didaktiske utfordringer. God planlegging og struktur på timen er viktig. Læreren må tenke gjennom hva som er matematikken i den realistiske konteksten i de ulike fagene, og hvilke spørsmål som er relevante for at elevene skal erfare og oppleve det realistiske i oppgaven, samtidig som de lærer fagets innhold. 3. Varier mellom arbeid i hel klasse, i mindre grupper og individuelt Ved å variere aktiviteter og oppgaver, samt organiseringen av undervisningen, imøtekommer læreren det faktum at elever lærer på ulike måter. Samtidig vil variasjon i undervisningen kunne føre til økt motivasjon for å utvikle den grunnleggende ferdigheten å kunne regne. Elevene kan organiseres individuelt, i par, i smågrupper eller i helklasse. Det bør være samsvar mellom valg av aktivitet eller oppgave og gruppering av elevene. Praktiske oppgaver knyttet til for eksempel måling og beregninger i naturfag, egner seg best i smågrupper. Treningsoppgaver kan gjøres individuelt eller i par, mens den faglige samtalen egner seg i helklasse der læreren har regien, eller i smågrupper der læreren er observatør og veileder. Ulike organiseringsformer innenfor en skoletime Ulike former for organisering av elevene kan gjerne skje innenfor samme time. I arbeidet med en rik oppgave kan elevene først se på oppgaven individuelt før de samles i grupper og utveksler erfaringer med hverandre. Deretter presenterer gruppene resultatene de har kommet fram til og løsningsstrategier de har valgt i helklasse. Til slutt sammenfatter og oppsummerer læreren sentrale punkter fra elevenes arbeid og legger til det som er nødvendig for å få en helhet i arbeidet. Som avslutning kan elevene individuelt få i oppgave å presentere skriftlig hvilken løsningsstrategi som foretrekkes (bruk av den grunnleggende ferdigheten å uttrykke seg skriftlig). 4. Ta utgangspunkt i noe elevene kan eller kjenner fra før Et undervisningsopplegg bør ta utgangspunkt i en situasjon elevene kan kjenne seg igjen i og som kan gi støtte til tankeprosessen, slik at de får mulighet til å utvikle helhetlig kompetanse. Lærere i alle fag bør kunne gjenkjenne elevers misoppfatninger og bruke dem som utgangspunkt for diskusjon og refleksjon slik at elevene kan få justert dem underveis. Ulike representasjoner i form av tegninger, tabeller, diagrammer, skriftlige og muntlige uttrykk kan tjene som bindeledd mellom det konkrete og abstrakte. Ved å arbeide med regning knyttet til kontekster i ulike fag, kan elevene få erfaring med ulike representasjoner. 5. Bruk det matematiske språket aktivt Mange av oppgavetypene som er omtalt under punkt nummer 2 krever at elevene kommuniserer og utvikler et fagspråk. Læreren og elevene må bruke fagspråket aktivt, også matematiske begreper som er naturlige innenfor fagets kontekst. Det innebærer å stille gode spørsmål, forklare, beskrive, og argumentere. Spørsmål av høyere orden I klassesamtaler og i veiledning av enkeltelever og elevgrupper må læreren stille spørsmål av høyere orden: Hvordan tenkte du nå? Hvorfor brukte du denne framgangsmåten? Hvorfor er det en korrekt måte å løse problemet på? Kan det være flere svar? Hvilket svar foretrekker du? Hva skjer hvis…? Hva betyr dette svaret for …? Elevene utfordres intellektuelt, og de må forklare og begrunne framgangsmåter, løsningsstrategier og resultater. Elevene må flytte fokus fra hva de har gjort til hva de har lært. Prosessen fram mot svaret og den betydningen svaret har for den aktuelle situasjonen må vektlegges. Det er ikke tilstrekkelig å kontrollere om tallet, tabellen, diagrammet eller figuren som angir svaret er korrekt. Feilsvar kan fremme læring Oppgaver som er løst feil kan være en rik kilde til læring. Gjennom begrunnelser og forklaringer vil elevenes misoppfatninger lettere komme til syne. Disse vil igjen påvirke lærerens kunnskap om elevenes forkunnskaper, se punkt 1. Læreren må tenke ut og forberede spørsmål som klart slår fast om eleven forstår det klassen arbeider med. En sentral del av planleggingen i regning må dreie seg om å forberede spørsmål man som lærer kan stille for at eleven skal komme videre. Elevene må utfordres til å resonnere framfor å gjette på svaret når oppgaven er vanskelig for eleven. Læreren må bruke ulike representasjoner, for eksempel grafer, bilder, ord og konkreter når han gir forklaringer og begrunnelser. Han må også utfordre elevene til å bruke ulike representasjoner. Elever som kan veksle mellom ulike representasjoner og begrunne sammenhengene mellom dem har gjerne en dypere forståelse enn elever som bare kan se et problem på en måte. 6. Benytt hjelpemidler slik at de fremmer læring og kreativitet Måleinstrumenter Arbeid med måling er aktuelt for mange fag. Undervisningen bør inneholde så mye praktisk arbeid med ulike måleinstrumenter at elevene kan bruke dem korrekt og nøyaktig og gjøre erfaringer rundt valg av måleenheter i ulike situasjoner. Den praktiske erfaringen vil da gi en nødvendig bakgrunn for at elevene fullt ut skal forstå sammenhengen mellom måleenheter og hvordan samme matematiske ide ligger til grunn for ulike måleenheter. Videre kan denne forståelsen øke elevens kompetanse i fag som naturfag, mat og helse, kunst og håndverk, engelsk med flere. Digitale verktøy Digitale verktøy som lommeregnere, regneark og dynamisk programvare kan brukes både som regnetekniske hjelpemiddel og som pedagogiske verktøy. Læreplanene forutsetter at elevene utvikler digitale ferdigheter i arbeidet med alle fag. Ved å bruke digitale verktøy til utforsking, eksperimentering og refleksjon kan elevene øke forståelsen for lærestoffet i fagene og utvikle regneferdigheten.