VURDERINGSINNLEVERING
Anna Therese Rossebø Robinson VURDERINGSINNLEVERING Emnekode: LU2-PEL415 Emnenamn: Pedagogikk og elevkunnskap 5-10 2b Vurderingsform: Bacheloroppgåve Kandidatnummer: Anna Therese Rossebø Robinson 529 Leveringsfrist: 19.05.2015 kl. 14:00 Vurderingstype: Ordinær (ordinær eller kontinuasjon) Fagansvarleg: Andreas Christiansen og Paul Erik Rosenbaum 1 Anna Therese Rossebø Robinson Matematisk forståing Kva legg eleven i omgrepet matematisk forståing, og korleis jobbar eleven for å tileigna seg forståing i matematikk? Av Anna Therese Rossebø Robinson 2 Anna Therese Rossebø Robinson Samandrag Formålet bak forskings og utviklingsarbeidet mitt var å danna eit bilete av kva faktorar som bidreg til læring i matematikkfaget hos elevane. Eg valde dette fokusområdet for undersøkinga slik at eg som framtidig matematikklærar kan vera rusta til å rettleia elevane mot å utvikle forståing i matematikk. Difor lydar problemstillinga som følgjar: «Kva legg eleven i omgrepet matematisk forståing, og korleis jobbar eleven for å tileigna seg forståing i matematikk?» I teorikapittelet presenterer eg ulik teori som er knytt til forståing i matematikk. Eg nyttar konstruktivisme, sosiokulturell læringsteori og sosialkonstruktivismen for å belyse kompleksiteten av læringsprosessane hos elevane. Artikkelen «Relational Understanding and Instrumental Understanding» av Richard R Skemp (2006) spiller ei sentral rolla for å setja ord på elevens forståing og oppfatningar av omgrepet matematisk forståing. I tillegg ser eg på forventningar Utdanningsdirektoratet kjem med i høve til korleis undervisninga skal gå føre seg for å fremme elevens forståing. For å undersøke problemstillinga mi har eg nytta ein kvalitativ metode der eg har gjennomført 6 semistrukturerte intervju. Utvalet fall på 3 gutar og 3 jenter som representerer mangfaldet i klassen. Ettersom eg intervjua informantane skreiv eg ein oppsummering av kvart intervju. Deretter delte eg datamaterialet i tre delar og presenterte informantane sine svar, i kortare form, i to tabellar for å lettare kunne samanlikna. Resultatet tilseier at elevane er avhengige av varierte arbeidsformar. Fleire elevar ytra ønskje om at læraren visar ting på tavla før dei sjølv løyser tilsvarande oppgåver som ber preg av den tradisjonelle matematikkundervisninga. Datamaterialet visar til spreiing blant informantanes tankar om forståing i matematikk. På bakgrunn av Skemps (2006) teori, om at omgrepet forståing kan ha to tydingar, kan det tenkjast at elevane har ulike oppfatningar av omgrepet som fører til at dei har ulik respons. Det må presiserast at denne konklusjonen er henta ut frå mitt datamateriale og kan ikkje generaliserast. 3 Anna Therese Rossebø Robinson Innhaldsliste Samandrag..............................................................................................................................3 Innhaldsliste ...........................................................................................................................4 Introduksjon ...........................................................................................................................5 Teoretiske perspektiv..............................................................................................................7 Læringsteori .......................................................................................................................7 Relasjonell og instrumentell .............................................................................................. 10 Problemløysing ................................................................................................................. 11 Motivasjon ....................................................................................................................... 12 Tilpassa undervisning ....................................................................................................... 14 Metode ................................................................................................................................. 15 Kvantitativ og kvalitativ ................................................................................................... 15 Intervju ............................................................................................................................. 15 Utval ................................................................................................................................ 17 Gjennomføring av undersøkinga ....................................................................................... 17 Gyldighet og pålitelegheit ................................................................................................. 18 Presentasjon av data ............................................................................................................. 19 Samandrag av intervjua .................................................................................................... 19 Samanlikning av data ........................................................................................................ 23 Drøfting ................................................................................................................................ 25 Korleis jobbar eleven for å lære i matematikk? ................................................................ 25 Elevane sine tankar om matematisk forståing .................................................................... 28 Eleven sine oppfatningar av eigne prestasjonar i matematikk ............................................ 29 Konklusjon ........................................................................................................................... 32 Litteratur liste ....................................................................................................................... 34 Vedlegg 1 ............................................................................................................................. 36 Vedlegg 2 ............................................................................................................................. 37 Vedlegg 3 ............................................................................................................................. 38 4 Anna Therese Rossebø Robinson Introduksjon Matematikk er eit sentralt allmenndannande fag, som mange på ungdomstrinnet sliter med, eller har eit dårlig forhold til. Programme for International Student Assessment, eller betre kjent som PISA, er ein internasjonal undersøking med formål å evaluera undervisningssystem og avdekke 15- år gamle elevar sine ferdigheitar og kunnskapar i ulike fag, blant anna matematikk. «The assessment does not just ascertain whether students can reproduce knowledge; it also examines how well students can extrapolate from what they have learned and apply that knowledge in unfamiliar settings, both in and outside of school.» (OECD, 2015) Ein slik tilnærming kan spegle at ein blir ikkje lønna for kva ein veit, men kva ein kan gjera med det ein veit. Resultata frå PISA undersøking gir ein indikasjon på kva forståing elevane har tileigna seg i løpet av grunnskulen, og kva verdiar og holdningar elevane har utvikla i førebuingsprosessen mot å delta i eit demokratisk samfunn. Resultata frå Noreg i 2012 tydar at elvar presterte rundt OECD gjennomsnittet i matematikk, men avdekker eit fall sidan forgje PISA undersøking i 2009 (OECD, 2015). Det kommer fram at elevar har svak forståing i bruke av matematiske omgrep, fakta, prosedyrar og resonnement (OECD, 2015). I Meld. St. 22 (2010–2011) Motivasjon – Mestring – Muligheter, kommer det fram at mellom 25 og 30 prosent av elevar på 10. trinn får 1 eller 2 til standpunktkarakter. Seinare i vidaregåande opplæring vil opp til 20 prosent av elevane oppleve vanskar for å gjennomføre matematikk på grunnen av lav faglig kompetanse, og allereie på Vg1 vil ein av seks elevar ikkje bestå matematikk (Meld. St. nr. 22 2010-2011). Elevar manglar dei mest elementære og grunnleggjande dugleikar frå grunnskulen som ein treng for å meistre matematikkfaget. Dette var den primære årsaka til fråfall i vidaregåande opplæring (Meld. St. nr. 22 2010-2011). Departementet ønskjer å gå i retning mot ein meir praktisk, variert og utforskande opplæring som skal engasjera ungdomen gjennom utfordrande undervisning som visar fagets nytteverdi og relevans. Til dømes er det mange elevar som har behov for å konkretisere teoretisk kunnskap gjennom praktiske aktivitetar. Den sentrale bodskapen er at læraren må tilpassa undervisninga gjennom eit større spekter av læringsstrategiar slik at fleire elevar får større utbytte av grunnskulen. Som framtidig matematikklærar er resultata frå PISA undersøkinga, og statistikken frå kunnskapsdepartementet oppsiktsvekkande, og får meg til å resonnera om kva matematisk forståing elevane har. På dette grunnlaget har eg vald å få djupare innsikt gjennom denne bacheloroppgåva. Eg blei derfor ført fram til følgjande problemstillinga: 5 Anna Therese Rossebø Robinson Kva legg eleven i omgrepet matematisk forståing, og korleis jobbar eleven for å tileigna seg forståing i matematikk? For å danna meg eit bilete av elevane sine oppfatningar rundt matematisk forståing har eg vald å gjennomføre ei kvalitativ undersøking der eg intervjua seks elevar frå ein 10. klasse. Gjennom intervjua tileigna eg meg forståing for kva faktorar elevar hevda bidreg til læring i matematikkfaget, og kva dei legg i omgrepet matematisk forståing. Eg vil finne ut om elevane er bevist på korleis dei kan oppnå forståing innan matematikk og eventuelt korleis dei jobbar mot forståing. Eg vil sjå på om elevane meiner at karakterane reflekterer eit sant bilete av det dei kan i matematikk, og eg vil undersøke om elevane utviklar ein relasjonell eller instrumentell forståing. Eg vil drøfte mine funn i lys av relevant teori og diskutera korleis ulike fagsyn påverkar elevens evne til å lære med matematisk forståing. Eg håpar resultata vil ruste meg som framtidig matematikklærar til å danna eit læringsmiljø som vart prega av læring med forståing. Det finnes mange ulike definisjonar av, og syn på, kva matematisk forståing er. Dersom eg skal presisera kva matematisk forståing elevane i undersøkinga har, vart det nødvendig for oppgåva å fastslå min oppfatninga av omgrepet. I Store norske leksikon, der omgrepet blir definert i ein generell kontekst, står det at: «Forståelse, betegner den menneskelige evne til å begripe, fatte, gjøre bruk av forstanden, innse, oppfatte; betegner også resultatet av å forstå (som i “å komme til en forståelse”), resultatet av en undersøkelse, det å gripe en mening med noe». I tillegg henvisar eg til Carpenter og Lehrer (1999) som har karakterisert læring med forståing i matematikk gjennom fem kjenneteikn: «Konstruerer relationer mellom det, hun allereie kan, og det nye, der skal læres. Utvider og anvender matematisk viden. Reflekterer over sine faglige erfaringer, dvs. bevidst overvejer og undersøger nye begreber og metoder i stedet for blot at overtage en definition eller en procedure. Udtrykker sine faglige forståelser i tale, skrift, tegninger, diagrammer, matematiske symboler eller på anden vis. Gør det faglige indhold til sit eget.» (sitert i Skott, Jess & Hansen, 2008, s. 157) 6 Anna Therese Rossebø Robinson Teoretiske perspektiv «Ingen teori alene gir “hele sannheten”. De fleste teoriene befatter seg med bare en del av læringsfeltet, og vi må orientere oss i mange teorier om vi vil ha en mest mulig helhetlig forståelse av hvordan læring skjer.» (Imsen, 2005, s. 164) Ein læringsteori bidrar til at lærarar er meir bevist på elevens kognitive prosessar. Gjennom ulike læringsteoriar kan ein lærar få eit innblikk i elevens forståingsprosess. Skulen har ei plikt å akkommodere tilpassa opplæring. Undervisning skal tilpassast elevens evne, sosiale og kulturelle bakgrunn, kjønn og bustad. Dette medfører at ein må ha kjennskap til elevane, korleis dei tenker, kva læring er, og korleis læring skjer i samspill med omgivnadane. Læringsteoriar bidrar til betre innsikt i dette. Læringsteori «Kjennetegnet på den kognitive konstruktivisme er at den ser læring som et individuelt anliggende, hvor læring skjer gjennom samspill mellom barnet og den fysiske omverden.» (Imsen, 2005, s.227) Med dette meiner konstruktivistar at kunnskap ikkje finnes i individet, men er eit produkt av stimulanse frå våre omgivnadar og strevet etter å forstå og forklare opplevingar. Ein kan sei utvikling går frå det fysiske og motoriske til det indre og symbolske. Piagets teoriar om barnets intellektuelle utvikling frå fødsel til vaksen alder har ein konstruktivistisk karakter. Piaget sin teorien vart basert på indre tilpassing i våre mentale strukturar ettersom ein utforskar, erfarer og tolkar ytre handlingar. Det ytre vart ikkje lagra som eit statisk minnespor på det indre mentale planet, men som eit aktivt handlingsmønster. Den indre representasjonen av slike handlingsmønster kalla Piaget skjema. Desse skjema konstruerer ein struktur som Piaget kalla kognitiv struktur. «Vi kan tenke oss at flere skjemaer kan være beslektet gjennom likheter og indre sammenhenger. Kognitive strukturer er slike større grupperinger av skjemaer som er vokst sammen fordi de “hører sammen” på en eller annen måte.» (Imsen, 2005, s. 231) Slike endringar er avhengig av at ein ser relasjonar mellom dei allereie eksisterande skjema og kan medføre utvikling mot høgare nivå i tenking. Piaget skiljar mellom to delprosessar i utviklinga i den mentale tilpassingsprosessen, assimilasjon og akkomodasjon, som er eit resultat av tilpassing mellom individ og miljø. Når ein er eksponert overfor nye fenomen eller ukjente situasjonar, vil ein forsøke å bruke kjent kunnskap som vart lagra i indre skjema for å tolke og forstå det ein sansar. Med andre ord ein forklarar det nye ved bruk av allereie eksisterande kunnskap. Dette kalla Piaget assimilasjon. Sjølvregulerande prosessar fører til at tidlegare oppfatningar vart revurderte dersom individet ikkje lenger er tilfredsstilt med forklaringa. Det skapar ein ubalanse i individets indre plan som vart retta opp av likevektsprinsippet, barnets drivkraft i den intellektuelle utviklinga. «Det 7 Anna Therese Rossebø Robinson er trangen til indre likevekt som driv barnet til omstrukturering (akkomodasjon) og dermed til ny erkjennelse.» (Imsen, 2005, s.234) Dersom eksisterande skjema ikkje er tilstrekkelig etter behova individet har for å tolke og fatta nye fenomen vil akkomodasjonsprosessen overta og føre til reorganisering og utviding av skjema. Dei indre skjema vart omdanna og dei kognitive strukturane vart justerte for å passe situasjonen og resulterer i at ein kan ta inn nye sider ved omgivnadane. Det er denne endringa som utgjer heile læringsprosessen i følgje Piaget. Piagets teori er basert på at individet er ikkje passivt, men kjemper aktivt for erobre kunnskap gjennom eigne erfaringar. Dette medfører at arbeidsoppgåver må ligge på eit nivå som byr på utfordringar, men likevel er innan rekkevidde. «Undervisningen må tilpasses elevens forutsetninger, og det vil blant annet si å kommunisere i grenselandet for elevens egne kognitive strukturer.» (Imsen, 2005, s.243) Oppgåver som ikkje utfordrar eleven og skapar ubalanse krevjar bare assimilasjon, og motorisk gjennomføring. Oppgåver som er tilpassa slik at eleven må tenkje sjølv, fører til akkomodasjon og bidrar til ny læring. Piaget fokuserte på individuelt konstruert kunnskap, medan det sosiokulturell perspektivet river seg vekk frå det individualistiske, og det sosiale felleskapet, kulturen og språket som dannar grunnmuren i barnets utvikling blir trekt fram. Vygotsky, som var ein sentral teoretikar innan det sosiokulturelle perspektivet, la vekt på kommunikasjon, samspill og aktivitet med spesielt fokus på betyding av sosial aktivitet, pedagogisk støtte og kulturelle overleveringar i elevenes erfaring. «Det som kjennetegner menneskelig utvikling, ifølge Vygotsky, er samspillet mellom modning og forhold i miljøet, i retning av å nyttiggjøre seg språket som reiskap til å mestre omgivelsene» (Imsen, 2005, s. 254). Læring er stimulerande for utvikling, ikkje omvendt. Vygotsky meinte at utvikling førekommer først i sosial samanheng, og deretter på eit individuelt plan. Med dette meiner ein at ein er i stand til å utføre ein handling i samspill med andre før ein er i stand til å utføre den sama handlinga aleine. Skilnaden mellom grensa til det ein klarar sjølv og det ein klarar i samspill med andre kalla Vygotsky den proksimale utviklingssonen. «Vygotsky (1978) emphasized the importance of social interaction with more Figur 1: knowledgeable others in the zone of proximal development Diagram av eleven sin proksimale utviklingssone. Hentet frå google.no 08.01.158 Anna Therese Rossebø Robinson and the role of culturally developed sign systems as psychological tools for thinking.» (Cobb, 1994) Ein må utnytte utviklingssona ved å stimulera eleven til å jobbe aktivt saman med andre, og støtte eleven i den gradvisprosessen mot å klara oppgåva på eigenhand. Undervisninga skal tilpassast elevens intellektuelle utvikling, og leggast på eit litt høgare nivå enn det eleven allereie beherskar. Vygotskys teori støtter opp under gammeldags tavleundervisning med ideen om at ein gjennomgår oppgåver i fellesskap der det førekommer eit tankesamarbeid mellom læraren og eleven. Med første augekast kan ein tru at den konstruktivistiske og sosiokulturelle læringsperspektiv står i strid. Det er ulike formeiningar om læring er ein prosess der individet konstruerer og tileigna kunnskap, eller om læring er ein prosess som førekommer av sosiale interaksjon og deltaking (Skott et al., 2008). Sosialkonstruktivisme er ein vidare utvikling av både dei konstruktivistiske og sosiokulturelle læringsteoriane, og Paul Cobb, som er ein sentral teoretikar innan sosialkonstruktivisme, hevdar at læringsteoriane er komplimentære. «Det individuelle perspektiv i tilegnelsesmetaforen er altså ikke uden et socialt element. Og det gennemgående sociale perspektiv i deltagelsesmetaforen er, i hvert fald i nogle udgaver, ikke uden et aspekt af individuel tilegnelse» (Skott et al., 2008, s.130). Med eit sosialkonstruktivistisk syn på læring må ein forholda seg pragmatisk, og bruke element frå begge teoriane som kan nyttiggjerast for å beskrive kompleksitet av elevars utvikling. Cobb legg vekt på at eleven må vera aktiv i læringsprosessen. «The understanding of learning and teaching mathematics ...supports a model of participating in a culture rather than a model of transmitting knowledge.» (Yackel & Cobb, 1996) Med dette oppmuntra Cobb til matematiske situasjonar der elevane må forklare, grunngjev, og argumentera. Kunnskap er heller ikkje til nytte dersom eleven ikkje er i stand til å anvende dei nødvendige elementa for å passe til situasjonen. I artikkelen siterer Cobb til Voigt (1992) som skriv at omgrep som sosialisering og internalisering forklarar ikkje direkte målet med matematikkundervisning. Målet er ikkje at eleven kan produsera riktige løysingar, men at dei finn svar på problema gjennom innsikt og logisk tenking. 9 Anna Therese Rossebø Robinson Relasjonell og instrumentell I artikkelen «Relational Understanding and Instrumental Understanding» opplyser psykologen, Richard R. Skemp at ordet forståing har to tydingar, nemlig relasjonell og instrumentell forståing. Skemp (2006) beskriv instrumentell forståing som «rules without reasons». Å tileigna forståing på eit instrumentelt nivå fører til at ein kan bruke matematiske reglar og formlar, men ein er ikkje bevist på relasjonane mellom kvart trinn som er gjort undervegs. «The kind of learning that leads to instrumental mathematics consists of the learning of an increasing number of fixed plans, by which pupils can find their way from particular starting points (the data) to required finishing points (the answer to the questions)»(Skemp, 2006, s.14). Då resultata av instrumentell forståing er meir umiddelbare, vil elevar kunne tilfredsstille behova for å svare rett på nokon oppgåver. Dette fører til at eleven opplever meistring, som kan bidra til å auke elevens motivasjon, spesielt om eleven opplev at utfordringane er innanfor rekkevidde. Med kompetanse til å svara rett på oppgåver vil eleven kanskje argumentera for at han har forstått matematikken. Elevar med instrumentell forståing vil ikkje ha kompetanse til å anvende og bruke reglane i andre situasjonar. Som ein konsekvens av dette vil elevane støtte på problem då oppgåvene får ei anna utforming der reglane ikkje gjeld. Eleven må då pugge eit mangfald av reglar i staden for å lære nokre prinsipp for meir allsidig bruk (Skemp, 2006, s.4). Elevar med relasjonell forståing vil ha ei anna tilnærming til eit matematisk problem enn elevar med instrumentell forståing. Elevar som har tileigna seg relasjonell forståing vil ha kjennskap til kva ein må gjera for å løyse eit problem, korleis ein skal utføre framgangsmetoden, og kvifor framgangsmetoden fører fram til rett svar (Skemp, 2006). «In contrast, learning relational mathematics consists of building up a conceptual structure (schema) form which its possessor can (in principle) produce an unlimited number of plans for getting from any starting point within his schema to any finishing point»(Skemp, 2006, s.15). Elevar som har realsjonell forståing for grunnleggande prinsipp i matematikk er kompetente til å vidareføre matematiske prinsipp for å løyse problem. Ein kan sei at vidare læring og matematisk forståing er avhengig av reasjonell utvikling av grunnleggande ferdigheitar (Skemp, 2006). Å svara rett på nokon oppgåver er ikkje tilfredstillande for elevar som oppsøkje relasjonell forståing. Elevar som strever og er motiverte til å oppnå relasjonell forståing har behov for å oppdaga matematisk samanheng og å kunne anvende matematikken. 10 Anna Therese Rossebø Robinson Det er både fordelar og ulemper med relasjonell og instrumental forståing. Elevane vil lettare forstå og beherske matematikken på eit instrumental nivå, men dette er berre ei «kjapp» løysing. Å tileigna seg relasjonell forståing byr på større utfordringar samt er ein meir tidkrevjande prosess. Resultatet av denne læringsprosessen er dermed ei meir langvarig forståing, og kan føre til mindre behov for repetisjon (Skemp, 2006). Elevar som har behov for å tilfredsstilt lærelysten og tileigna seg relasjonell forståing vil i større grad ta ansvar for eiga læring (Skemp, 2006.) Med relasjonell forståing vil eleven kunne generalisera matematikken og ha grunnlag for å sjå samanheng, men etter kriteria ein treng for å bestå faget, er det kanskje ikkje behov. Skemp skriv at realsjonell forståing kan vera for vanskeleg og tidkrevjande å tileigna for elevar på grunnskulen. Elevane har for mykje pensum å komme gjennom og derfor har ein ikkje muligheit til å lære på eit relasjonelt nivå. Likevel har elevane behov for overflatekunnskap for å kunne bestå eksamen(Skemp, 2006). Problemløysing I Essayet «Hvilke konsekvenser kan ulike filosofisk baserte syn på matematikk få for problemer og problemløsingens rolle i matematikk?» drøfter Tuset (2008) konsekvensane ulikt syn på problemløysning i matematikk kan ha for praksisen i skule. Tradisjonell matematikkundervisning har vore oppfatta som ei undervisninga som er prega av at læraren overleverer kunnskapar medan elevane puggar reglar og prosedyrar (Skott et al., 2008, s.29). Det er ikkje nødvendigvis ein samanheng mellom å beherske desse ferdigheitene, og å utvikla forståing i matematikk. Eit produktorientert undervisning der verken framgangsmetodar, resultater eller hypoteser vart diskutert kalla Ernest (1991) det «absoluttistiske synet» på matematikk. Med eit slikt syn på undervisning vart formålet å løyse rutineoppgåver der elevene anvendte kjente prosedyrar med fokus på korleis matematikk presenterast som ferdig produkt. Oppgåvene har eit objektivt svar som er enten rett eller galt. I motsetning handlar det «fallibilistiske synet», som Ernest (1991) kalla det, om menneskets sentrale rolle i utviklinga av matematiske kunnskapar gjennom sosiale prosessar og aktiv deltaking. Læring skal førekomme av problemløysande og utforskande undervisning med fokus på oppdagingar gjennom hypotesar, og forsøk på å bevise og kritisere (Tuset, 2008). I læreplanverket for den 10-årige grunnskolen 2006 [LK06] står det at «Matematisk kompetanse inneber å bruke problemløysing og modellering til å analysere og omforme eit problem til matematisk form, løyse det og vurdere kor gyldig løysinga er. Dette har òg språklege aspekt, som det å formidle, samtale om og resonnere omkring idear.» 11 Anna Therese Rossebø Robinson (Utdanningsdirektoratet, 2015) Undervisninga skal leggast til rette med fokus på fem grunnleggande ferdigheitar som er integrerte inni kompetansemåla: munnleg ferdigheitar, å kunne skrive, å kunne lese, å kunne rekne og digitale ferdigheiter. LK06 legg føringar for undervisning som er utforskande, leikande, kreative med problemløysande aktivitetar og ferdigheitstrening (Utdanningsdirektoratet, 2015). Motivasjon Motivasjon er ansett som drivkrafta som står bak læring, og fører til engasjerte, målretta og uthaldne menneske. Når ein snakkar om motivasjon kan ein skilje mellom indre og ytre motivasjon. «Indre motivasjon handler om interesse for en aktivitet, mens ytre motivasjon handler om aktivitetens instrumentelle verdi» (Lillejord, Manger, Nordahl & Helland, 2013, s.280.) Elevar som blir motiverte for å jobba med eit fag på grunnen av forhåpningar om ros, gode karakterar eller andre form for lønningar er ytre motiverte. Det er ytre påverkningar som driver fram engasjementet for å prestera. Indre motivasjon førekommer når elevar er uavhengig av konstant oppmuntring og aktiviteten appellerer til nysgjerrigheit og skapar interesse, entusiasme eller glede for faget. Med ein indre motivasjon vil elevar lettare ta initiativ for eigen læring og i staden for å gi opp når oppgåvene blir vanskelege, aukar dei innsatsen og prøver nye problemløysingsmetodar. Forsking illustrerer at ein ikkje skal vera ukritisk til ytre lønningar når aktiviteten i seg sjølv er lønning nok. Manger et al. siterer til Lepper og Greenes forsking som konstaterer at dersom ein gir ytre lønningar i samanheng med ein aktivitet som vart opprinnelig stimulert av gleda ved oppgåva, vil dette føre til lågare motivasjon. Motivasjonsforskarar er i mindre grad opphengt i omgrepa indre og yrte motivasjon og tyr heller til omgrepa mestringsorientering og prestasjonsorientering. «Carol Dweck (1986) identifiserer to ulike motivasjonelle disposisjoner, mestringsorientering (læringsorientering eller oppgåveorientering), hvor målet er å øke ens egen kompetanse, og Prestasjonsorientering (ego.orientering), hvor man ønsker å gjøre det godt og dermed oppnå en positiv vurdering av egen kompetanse» (Manger et al. 2013, s.283). Elevar med mestringsorientert tilnærming vil vera oppteken av kva læringsutbytte dei vil få, og legg vekt på kva eigenskapar eller ferdigheiter dei tileignar seg. Fokus på å oppnå ny kompetanse driv elevar til å vera engasjerte og uthaldne. Desse elevane vil gjerna utvikla seg gjennom ein prosess av prøving og feiling, der erfaringane fører til utbygging av kompetanse. Prestasjonsorienterte elevar vil derimot vera bekymra for om dei klarar å utføre aktiviteten 12 Anna Therese Rossebø Robinson like godt eller betre enn andre. Dette kan tyde på at eleven har eit dårlig sjølvbilete eller ikkje får nok positiv oppmerksamheit hos læraren som han trengte for å motiverast. Desse elevane stillar så høge krav til seg sjølv at det er usannsynleg at produkta kan tilsvara eleven sine forventingar. «Corpley (1992) skriver at overdreven vektlegging av suksess, eller prestasjonsmål, skaper store hindringar for skolebarns kreative tenkning» (Manger et al. 2013, s.283). Det er viktig at elevane ikkje blir drilla for hardt med fokus på korrektheit fordi autentiske meistringskjensler er den viktigaste kjelda til elevens motivasjon. For stort press på å oppnå resultat kan føre til meir fokus på resultata enn sjølve læringsprosessen. PISA har utført undersøkingar med hensikt å belyse elevanes motivasjon for matematikk. Resultata avdekker at elevar frå land som ligg rundt OECD gjennomsnittet rapporterer at dei har lite interesse for matematikkfaget. I Norge vart 50% av elevane som deltok i PISA undersøkinga i 2012 einige eller sterkt einige i at dei har lite interesse og indre motivasjon for å lære matematikk, der jenter har ein tendens til å vera minst motivert (OECD, 2015). «On average across OECD countries, 58% of boys but only 49% of girls reported that they are interested in the things they learn in mathematics. In Norway, 54% of boys and 47% of girls agreed with that statement.»(OECD, 2015) Lite motivasjon kan føre til uheldige konsekvensar for prestasjonane til elevar, og påverka vedkommande sine kjensler, motiver og åtferd. Dæhlen, Smette & Strandbu (2011) offentleggjord ei undersøking som dei kalla «Institutt for forskning om oppvekst, velferd og aldring» (NOVA, 2011). I undersøkinga vart det 52 deltakande elevar frå ungdomstrinnet som ytra meiningar om kva faktorar som påverka skulemotivasjon og skuleinnsats. Svara frå NOVA (2011) avdekka at utdanning og gode skuleprestasjonar var viktige verdiar for elevane. Med dette sagt kom det og fram i undersøkinga at dårlige karaterar resultera i at elevane mister motivasjon for skulearbeid (Dæhlen et al.,2011). Ytre motivasjonskjelder, som karakterar, kan medføre prestasjonsorienterte elevar som prioriterer at andre oppfattar at dei er flinke, framfor å tileigna seg forståing. I tillegg blei det påpeikt av informantane i NOVA (2011) at å hjelpa kvarandre førte til positive verknadar då elevane blei lydhøyre for kvarandre sine måtar å tenkje på. 13 Anna Therese Rossebø Robinson Tilpassa undervisning Lærarane vert tildelt eit samfunnsmandat der dei vart plikta til å overhalde lovpålagte retningslinjer som bidrar til å ruste skulen i møte med mangfaldet elevane representerer. Blant anna har lærarane ansvar om å tilpassa undervisninga slik at elevane tileignar seg kompetanse, og får forutsetningar til å fungere og delta i eit demokratisk samfunn. «Tilpasset opplæring handler om å skape god balanse mellom evnene og forutsetningene til den enkelte elev og fellesskapet. Denne balansen skapes gjennom læringsmiljøer med varierte arbeidsoppgaver, lærestoff, arbeidsmåter, læremidler og organisering» (Meld. St. 18 (2010–2011). For å syte for at eleven får godt læringsutbytte, vil eit læringsmiljø som er prega av grunngjevingar, bevis og bevisliknande aktiviteter som til dømes utforskande oppgåver, opne oppgåver, og oppgåver med fleire mulige løysingar, føre til at elevane lærer å argumentere i matematikk. «A proofs potensial to promote understanding and conviction is one of the main reasons for which proof is so important for students’ learning of mathematics» (Stylianides 2009 s. 10). Aktivitetar som fremmer elevens evne til å resonnera og gjer reie for sin tankegang, er vesentlege aspektar som dannar forståing hos elevane (Hovik, E.A & Solem, I.H, 2013). I tillegg til å bruke kommunikasjonsevner til å formidle eins resonnement, vart forståing om eins tankegang er korrekt og kvifor den er korrekt, danna gjennom evna til å bevise resonnementet (Yackel & Hanna 2003). 14 Anna Therese Rossebø Robinson Metode Kvantitativ og kvalitativ I samfunnsvitskap kan ein skildra mellom kvantitativ og kvalitativ metode. Desse metodane eignar seg til å belyse ulike typar spørsmål. Med ei kvantitativ undersøking vil ein kunne nytta forskingsmetodar som spørjeskjema, som vil eigne seg til å spørje mange personar om det sama, og tillate muligheita til å samla inn eit stort datamateriale. Med ei kvantitativ undersøking førekommer det målbare resultat som gir eit meir generelt svar på det ein søkar om. Ei kvantitativ undersøking vil ha ei deduktiv tilnærming. Dette inneberer at forskaren har utarbeida hypotesar som ikkje endrar seg i løpet av forskingsarbeidet, og blir bekrefta eller avkrefta i resultata. Med andre ord har dei eit definert tema dei ønskjer å belyse. Enkelte kvantitative undersøkingar kan vera opne i den forstand at dei ikkje er sikre på kva data vil vise (Postholm & Jacobsen, 2011). Ei spørjeundersøking som vart komponert av ein som har ein hypotese vil gjerna fører til bias i svaralternativa. Dette kan fører til at ein påverkar eller manipulerer informanten til å svara slik ein ønskjer. Med mitt studie er hensikta å belyse kunnskap basert på informanten, derfor er det hensiktsmessig å bruke eit forskingsmetode som tillatar informanten til å formulera utfyllande svar med eigne ord. På dette grunnlaget vel eg derfor å nytta ei kvalitativ forskingsmetode, semistrukturert intervju, for å samla inn datamateriale til bacheloroppgåva. Kvalitativ metode vert mellom anna kjenneteikna ved at ein får mange opplysningar om få undersøkingseiningar. Studiet mitt vil ha ein pragmatisk innfallsvinkel. Dette inneber at eg har hypotesar, men i utføringa av forskinga stiller eg meg open for nye faktorar som kan bli avdekka. På denne måten vil forskingsarbeidet mitt ha ein induktiv og deduktiv karakter, medan eg registrera det som skjer, og la datamaterialet tale for seg (Postholm & Jakobsen, 2011, s.40 ). Intervju «Et intervju er bokstavelig talt et inter view (fra fransk entrevue), en utveksling av synspunkter mellom to personer i samtale om et tema som opptar dem begge.» (kvale & Binkmann, 2009, s.22) Eit kvalitativt forskingsintervju er ein samtale med struktur og eit formål. Intensjonane som ligg bak ein slik forskingsmetode er at ein søker å forstå erfaringane og opplevingane frå informanten sin side. Informanten får mulegheita til å uttrykke seg grundigare enn det eit spørjeundersøking tillat. Det skal konstruerast kunnskap i samspill eller interaksjon mellom intervjuaren og informanten (kvale & Binkmann, 2009). 15 Anna Therese Rossebø Robinson Når ein skal gjennomføre eit semistrukturert intervju har ein førebudd nokre relevante spørsmål som vil belyse problemstillinga. Spørsmåla som eg formulerte i forkant, vart mest mogleg opne slik at eg ikkje påverka informanten (Vedlegg 1). I eit semistrukturert intervju kan ein stille oppfølgingsspørsmål ettersom informanten nemnar noko av interesse. Oppfølgjande spørsmål, eller oppklaringsspørsmål, inneber at ein stillar spørsmål til det som nettopp blei sagt for å innhenta meir utfyllande informasjon. Det stilles slik at ein kan få tak i det informanten verkeleg meiner. Denne form for intervju vil vera til ein viss grad spontan då samtalen blir styrt av intervjuaren og informanten. Samtalen kan bli ført i ein retning som ikkje vart planlagt, og intervjuaren kan velje vekk spørsmål som ein innser ikkje er relevante undervegs. Eg har vald å gjennomføre intervjua individuelt, andlet til andlet. På denne måten vil eg kunne etablera relasjonar med informanten som kan føre til ein open samtale. Eg har vald å trekke informantane ut av ein sosial samanheng, slik at dei vil kunne svara open hjerteleg og ærleg, utan å ta omsyn til korleis dei framstår for andre. Dette medfører at informantane sine eigne meiningar vil komme tydeleg fram utan å vera påverka av andre. «Dermed er det individuelle intervjuet sterkt når det gjelder å få fram hvordan den enkelte oppfatter en situasjon, og hvordan han eller ho fortolker virkeligheten» (Postholm & Jacobsen, 2011, s. 65). Med å gjennomføre intervju andlet til andlet, vil ein kunne observere kroppsspråk og ansiktsuttrykk som kan bidra til å kommunisere informantane sine opplevingar rundt det diskuterte tema. Ei svak side med individuelle intervju er at metoden er svært ressurskrevjande å gjennomføre. Mykje informasjon vil komme fram på kort tid i samtalen, medan det vil ta lang tid å transkribera og analysere datamaterialet. Ofte vil tidspresset snevra inn samtalane slik at dei blir relativt korte, og ein har ikkje tid til å intervjua mange ulike informantar som vil føre til eit relativt lite datamateriale. Informasjonen ein får frå denne type dialogen er avgrensa til det enkelte individ. I tillegg kan eit slikt intervju opplevast som lite anonymt, og om ein ikkje etablerer eit tillitsforhold kan dette føre til at informanten er forsiktig i sine utalingar. Det kan vera vanskeleg å notera medan ein fører eit intervju då intervjuaren skal vera ein aktiv lyttar og føre ein naturleg samtale medan ein gjer forsøk på å skape meining og forståing. Dette har medført at eg har nytta lydopptakar under intervjua slik at eg kan konsentrera meg om samtalen. Når ein nyttar lydopptakar for å ta opptak av personintervju 16 Anna Therese Rossebø Robinson kan ein ha meldeplikt til personverneombodet for forsking i NSD avhengig om korleis ein behandlar personopplysningar undervegs. «Dersom du utelukkende skal registrere anonyme opplysninger er prosjektet ikke meldepliktig. Et anonymt datamateriale består av opplysninger som ikke på noe vis kan identifisere enkeltpersoner, verken direkte, indirekte, eller via koblingsnøkkel.» (NSD) På dette grunnlaget har eg ikkje hatt behov for å melde ifrå om mitt prosjekt. Lydopptaket vart transkribert slik at eg har datamateriale både visuelt og auditivt då det skal analyserast. «I følge Atkinson and Heritage (1984) er produksjonen av transkripsjoner “en forskningsaktivitet” fordi den innebærer at lærerforskeren stadig på ny må lytte til opptakene og dermed ofte oppdager forhold som tidligere ikke er fanget opp.» (Postholm & Jacobsen, 2011, s. 81) Utval I forkant av undersøkinga utforma eg ein søknad om løyve til å bruka elevar frå praksisskulen til informantar. Dette vart sendt til administrasjonen ved skulen (Vedlegg 2). Rektor responderte positivt på min søknad med munnleg godkjenning. Vidare sendte eg eit informasjonsskriv til alle føresette og elevar der dei fekk opplyst om forskingsarbeide mitt, og at ein kunne melde i frå dersom ein ikkje ville delta (Vedlegg 3). Eg fekk ingen negativ respons. Utvalet av informantar kom til på bakgrunn av samtale med praksislæraren min. På grunn av at eg ikkje har kjennskap til klassen har praksislæraren min, som var faglærar i matematikk, kome med forslag til utval med utgangspunkt i kven vil best kunne belyse problemstillinga. Praksislæraren hevda at desse elevane, 3 jenter og 3 gutar frå 10 klasse, kunne danna eit hensiktsmessig utval for min problemstilling. Valet vart basert på elevar som er representative for klassen, og er gode til å formidle sine synspunkt. «Utvalget av dem som intervjues, skal gjenspeile sammensetningen i klassen.» (Postholm & Jacobsen, 2011, s.67) Gjennomføring av undersøkinga Eg spurte elevane andlet til andlet om dei ville vera med på eit intervju. Intervjua vart utført på eit grupperom, slik at samtalen vart upåverka av omgjevnadane. Eg presenterte meg og fortalte informanten litt generelt om arbeidet mitt. Informanten vart forsikra om at informasjon innhenta frå samtale blir behandla konfidensielt, men kunne bli referert til i den ferdige oppgåva. Eg brukte intervjuguiden (vedlegg 1) då me førte samtalen, for å sikre at eg stilte dei spørsmåla eg hadde tenkt gjennom på førehand. Innkomne datamateriell hadde eg eit transparent forhold til då informasjonen må tolkast i størst mogleg grad objektivt. 17 Anna Therese Rossebø Robinson Gyldighet og pålitelegheit Bruk av fleire forskingsmetodar vil kompensera for den eine metodens svakheiter. Observasjon er ein ypparleg metode for å kartlege om informantane sine oppfatningar er realistiske, og kva som faktisk finner sted. Dette ville vert ideelt å kombinera med intervju, men det er vanskeleg å finne noko å observere som kan indikera matematisk forståing. Med dette sagt har eg utført så mange semistrukturerte intervju at datamaterialet gir tydelege indikasjonar, og validiteten i oppgåva er sterk. Likevel må eg ta omsyn til feilkjelder i kommunikasjonsprosessen. Informantane kan ha misoppfatta spørsmåla i intervjua, og eg kan ha misoppfatta informantanes utalingar. I tillegg kan eg ha oversett viktig informasjon. På bakgrunn av dette, og basert på eit lite utval, vil eg ikkje kunne trekke generelle konklusjonar frå datamaterialet. 18 Anna Therese Rossebø Robinson Presentasjon av data I dette kapittelet vil eg legge fram data som er relevant for å svara på problemstillinga. På dette grunnlaget fell informasjon som er utfor rammene av denne oppgåva vekk. Med omsyn til personvern vart informantane nummerert 1 til 6, der 1-3 er jenter og 4-6 er gutar. På denne måten kan eg skilje mellom informantane og visa til dei seinare i oppgåva. Når elevane vise til læreverk bruker denne ungdomsskulen boka Tetra, der oppgåvene er inndelt i tre ulike nivå som er fargekode. Samandrag av intervjua Informant 1 Då eg spurte eleven korleis ho likte å jobba i matematikktimane kom det fram at ho føretrekk å jobba i gruppe, i staden for å jobba slik den tradisjonelle tavleundervisninga legg opp til. Dette grunngjev ho med at når ho jobbar individuelt med ei oppgåva vart ho freista til å gi opp. Dersom eleven jobba i grupper eller med andre vel ho heller å spørje om hjelp frå medelevar enn å gi opp då ho treff på utfordringar. Ettersom eg spurte om eleven lærar av å jobbe sjølvstendig med oppgåve svarte ho at det er mindre kjekt. Då eleven skal lære noko nytt meiner ho det er nyttig å følje med på læraren sine forklaringar. I tillegg spør ho etter rettleiing dersom ho synes det er vanskeleg eller ho ikkje forstår. Eleven har positive haldningar til å hjelpa andre dersom ho sjølv har forstått oppgåva. Ho meiner ho sjølv drar nytte av å hjelpa andre fordi ho sett ord på sine kunnskapar og konstaterer at det sitter inne. Det å vera flink i matematikk meiner eleven er å få gode karakterar og å kunne svara korrekt på oppgåver. For å bli god i matematikk legg eleven vekt på å ha interesse for faget og intensjonar om å bli god. Ho understreker at eleven sjølv må ville lære for å bli god. Då eg spurte om det var samsvar mellom hennes karakter og hennes ferdigheitar i matematikk, meinte ho sjølv at karakteren i matematikk var dårligare enn det ho eigentlig kunne prestere. Eit resultat av panikk og prestasjonsangst meinte eleven førte til det uheldige utfallet. I tillegg trekk ho fram at det er ingen hjelpemiddlar på del 1 på prøven. Ho forklarar at i boka er det ei «verktøykasse» med formlar og forslag til framgangsmetodar som er til stor hjelp. Informant 2 Då eleven skulle beskrive kva ho meinte ligg i å forstå matematikk, svarte ho at ein må forstå oppgåvene, og vera i stand til å løyse dei. For å bli god i matematikk vektlegg eleven at ein må øve. Eleven føretrekk å jobbe sjølvstendig med å løyse oppgåver og repetera for å lære matematikk. Eleven er ikkje så veldig glad i tavleundervisning, men trekk fram kva nytte 19 Anna Therese Rossebø Robinson tavleundervisning har i samanheng med å lære noko nytt. I møte med nytt lærestoff vil eleven først følgje med på tavla, og deretter forsøke å løyse nokon oppgåver på eigenhand. Dersom eleven fortsatt ikkje forstår, spør eleven etter hjelp frå læraren. Gruppearbeid er ein arbeidsmetode eleven trives med. Eleven beskriv sjølv at gruppearbeid er ein sjanse for å læra av å læra andre. Ho meiner at denne repetisjonen er nyttig i læringsprosessen, men poengterer og at ho har kontroll på det meste, med mindre det er noko nytt. Eleven meiner at hennes resultat frå prøver ikkje viser til det ho verkeleg kan i matematikk. I følgje henne er oppgåvene irrelevante i forhold til det dei har lært på skulen. Då eg forsøkte å få djupare innsikt i kva eleven meinte med irrelevante oppgåve, begynte ho å beskrive at oppgåvene vert utfordrande då dei har ei anna utforming. Då læraren går gjennom prøven med klassen i etterkant, får elevane ei «aha» oppleving. Ny lærdom eleven får av å gå gjennom oppgåvene på prøven er dermed allereie gløymt til neste prøve fortel ho. Informant 3 Ettersom eg spurte kva eleven legg i det å forstå matematikk, svarte ho at det er å skjønne kva det går ut på. Eleven påstår at matematikk går for det meste ut på formlar, og ein må kunne forstå formlane. I tillegg snakkar ho om at ein må kjenne til kva metode ein skal bruke, korleis denne fungerer, og kvifor du bruker nettopp denne framgangsmetoden. Då eleven fortalte om korleis ho meiner ho lærar best, kom det fram at eleven liker å rekna gjennom mange oppgåver. Dersom ho møter på utfordring, spør ho etter hjelp frå læraren. Dette får ho i form av eit ark med løysningsforslag som forklara oppgåva, og korleis ho kan kome fram til korrekt svar. Deretter prøver eleven å rekna gjennom oppgåva på eigenhand med støtte frå lærarens forklaring. Eleven har ein negativ innstilling til gruppearbeid. Ho utdjupar denne påstanden med å legge til at ho liker heller ikkje å ha diskusjonar eller jobba digitalt med matematikk. Ho forsvarar sine haldningar med at ho har behov for å ha fokus på ein plass, nemlig på tavla eller i boka. Sjølv om eleven ikkje er begeistra for gruppearbeid ser ho nytte i å hjelpa andre og å forstå. Då er ho nøydt til å tenke gjennom, og sette ord på det ho har lært, og det blir ein form for repetisjon. Eleven forklara at ho liker best å ligga i forkant av dei andre, og bruker derfor ein del tid på å øve heima. Denne ekstra innsatsen fører til at eleven er rusta til å gå rett på dei vanskelegaste oppgåvene, rød, då dei skal jobbe med oppgåver på skulen. Eleven har ein førestilling om at denne strategien fører til hennes utvikling i faget. Dette står i samsvar med hennes meiningar 20 Anna Therese Rossebø Robinson om kva ein må gjer for å bli god i matematikk. Ho forklara at ein må repetera, pugge og øve så mykje som ein kan, då matematikk er generelt eit vanskeleg og krevjande fag. Ho legg ved at det er ingen snarvegar for å bli god i matematikk. Eleven meiner hennes karakter ikkje er i samsvar med det ho eigentlig kan i matematikk. Ho grunngjev dette med at det er eit veldig stort nivå skilje i klasse. I eit forsøk på tilpassa opplæringa for dei som slit i matematikk, vart det ein del unødvendig repetisjon for dei som har kontroll, seier eleven. På grunn av dette vart prøvane ein del vanskelegare enn det som er gjennomgått i undervisninga. Ho har forståing for elevane som treng ekstra støtte, men tida kunne vert disponert meir effektivt for å utfordra elevane som har forstått, slik at dei kan nå lenger. På dette grunnlaget meiner eleven at ho kan meir enn det hennes karakter tyder. Informant 4 I møte med nytt lærestoff ønskjer eleven at læraren grunngjev kvifor ein har bruk for nettopp det ein lærar. Ved å kunne knytte matematikken til praktiske situasjonar, fører dette til at eleven forstår nytteverdien av det ein lærar og dermed auke han innsatsen for å tileigna forståing. Eleven har dermed behov for at læraren forklarar korleis ein skal utføre matematikken og så må han forstå kvifor ein skal gjera det slik. Eleven må då prøve å rekna nokon oppgåver på eigenhand medan han følgjer med på tavla. Å forstå noko i matematikk forklarar eleven at ein må ha kjennskap til kva metode ein skal bruke, korleis ein skal utføre det, og kvifor ein gjer slik ein gjer. For å bli god i matematikk presiserer eleven at ein må følgje med i timen. Ein må vera aktiv med å skrive eigne notatar, og ta initiativ til å øve på fritida. Dersom ein ikkje lykkast må ein ikkje gi opp, men spørje om hjelp. Eleven sett pris på variert undervisning og meiner at dette er den beste metoden for å lære matematikk. Han nemnar spesielt det å jobba individuelt med å rekna gjennom forskjellige oppgåver, gruppearbeid og tavleundervisning. I tillegg kommer det fram at det er eit positivt og trygt læringsmiljø som fører til at elevane kan ytre sine tankar og meiningar. Eleven meiner at han lære av å lære vekk det han sjølv kan. Dette gir og muligheita til å fanga opp eventuelle misoppfatningar han sjølv har. Med dette poengterer han at han lærar av sine eigne feil. Eleven meiner at hans karakterar ikkje er eit sant bilete av det han verkeleg kan i matematikk, fordi når han reknar gjennom oppgåver heima så får han rette svar. Det som ligger bak dette meiner han er nervar på prøven som fører til at kunnskapen dette vekk. I tillegg fortel han at hans negative oppfatning av hans eigne prestasjonar kan vera medverkande til dei dårlige resultata. Oppgåvene på prøvene er mykje vanskelegare enn det elevane har øvd på i timane, 21 Anna Therese Rossebø Robinson meiner han, og då ein ikkje har hjelpemiddel som løysningsforslaga frå boka klarar han ikkje å få rette svar. Informant 5 Å forstå matematikk går ut på at ein kan lese oppgåva og vite korleis ein skal løyse den, meiner eleven. Han lærar best av å jobbe med dei vanskelege oppgåvene og prøve å forstå dei. Dersom dette viserer seg til å vera utfordrande spørjar han læraren. Det som er til hjelp for denne eleven er då læraren gir ein forklaring om korleis elevane skal rekna fram til svara på tavla. Denne framgangsmetoden skriv han ned, og lærar den ved å pugge. I tillegg nytter han seg av døma i boka som gir alternativ på korleis ein kan komme fram til korrekt svar. For å bli god i matematikk meiner eleven ein må gjer ein innsats sjølv og jobbe med matematikken både heima og på skulen. Då eg spurte kva han legg i å jobba, svarte han at ein må øve ved å rekna gjennom mange oppgåver. Eleven trives ikkje med gruppearbeid i matematikk fordi han har eit større utbytte av å konstruere eigen kunnskap gjennom individuelle aktivitetar. Eleven forklarar at ein kan ha gode og dårlige dagar, og grunngjev at slurvefeil kan vera kjelda til hans dårlige karakterar på prøver. Han meiner at hans karakterar ikkje visar til det han kan i matematikk. Informant 6 For å bli god i matematikk meiner eleven at ein må jobbe med faget ofte, og ikkje gi seg når ein støtter på utfordringar. Å ha forståing innan matematikk meiner eleven ein må vite kvifor ein gjer slik ein gjer, korleis ein skal utføre det, og kva tid ein skal bruke det. Eleven påpeikar at han lærar matematikk best gjennom variert undervisning. Han meiner at ein må bytte ut den tradisjonelle tavleundervisninga der læraren forklarar og elevane skal gjere oppgåver. Han er spesielt begeistra for gruppearbeid, men vegrar seg frå matematiske diskusjonar. Å forklara til andre fører til at ein kan avdekke om ein har feil, og få rette opp i misoppfatningar gjennom rettleiing, seier han. Dersom ein kan bruke eigne ord, og meistrer å forklarar det ein kan til nokon andre, vil ein få bekrefta at ein har forstått. For å forstå eit nytt tema i matematikk fortel eleven at ein må ha det grunnleggjande på plass og begynnar med det enkle før ein jobbar oppover i vanskegrada. Han legg ved at det er læraren som tilpassar nivå for elevane. Eleven snakkar om at hans karakterar ikkje er i samsvar med det han kan fordi nokon oppgåver kan han eigentlig veldig godt, men på prøver får han jernteppe. Då han skal «gulpa opp» rette svar, kommer han ikkje på korleis ein skulle gjera det. Han forklarar at dersom ein puggar kort tid før prøver, fører dette til at ein hugsar 22 Anna Therese Rossebø Robinson alt akkurat å prøven, men ikkje i ettertid. Samanlikning av data Jenter Informant 1 Informant 2 Informant 3 korleis jobbar eleven for å lære i matematikk? Eleven liker å jobba i grupper fordi elevane kan hjelpe kvarandre i staden for å gi opp i møte med utfordringar. Då eleven skal lære noko nytt meiner ho det er nyttig å følje med på lærarens forklaringar. I tillegg spør ho etter hjelp dersom ho ikkje forstår. Eleven meiner det er mindre kjekt å jobbe sjølvstendig med oppgåve. Gruppearbeid er ein arbeidsmetode eleven trives med. Eleven meiner gruppearbeid gir muligheit for å lærar av å lære andre. Eleven er ikkje glad i tavleundervisning, men synes det er nyttig i møte med nytt lærestoff, i tillegg til å løyser oppgåver med hjelp frå læraren og individuelt. Ho vektlegger at ein må øve. Elevane sine tankar om matematisk forståing. Eleven legger vekt på gode karakterar og korrekte svar på oppgåver. I tillegg meiner ho ein må ha interesse for faget, og eleven må ville lære for å bli god. Då eleven skulle beskrive kva ho meinte ligg i å forstå matematikk, svarte ho at ein må forstår oppgåvene, og vera i stand til å løyse dei. Eleven sine oppfatningar av eigne prestasjonar i matematikk. Eleven synes at karakteren i matematikk er dårligare enn det ho eigentlig kan prestere fordi ho får panikk og prestasjonsangst. I tillegg trekker ho fram at det er ingen hjelpemiddlar på del 1 på prøven. Ho bruker flittig «verktøykasse» i boka som oppgir formlar og forslag til korleis ein ho skal rekna gjennom oppgåvane. Eleven meiner hennes resultat viser ikkje til det ho kan i matematikk fordi oppgåvene er irrelevante og har ein anna utforming. Då læraren går gjennom prøven i etterkant, får elevane ein «aha» oppleving, men lærdomen frå feila er allereie gløymt til neste prøve. Eleven bruker tid på å repetere, pugge og øve for å ligge i forkant. Innsatsen fører til at ho jobbar med dei vanskelegaste oppgåvene på skulen. Eleven liker ikkje gruppearbeid fordi ho meiner ho er meir fokusert dersom ho jobbar frå tavla eller i boka. Då eleven møte på utfordringar får ho hjelp frå læraren i form av eit ark som forklara oppgåva, og korleis ho skal løyse den. Stort omfang av matematikk er formlar, og ein må kunne forstå formlane påstår eleven. I tillegg snakkar ho om at ein må kjenne til kva metode ein skal bruke, korleis denne fungerer, og kvifor du bruker nettopp denne framgangsmetoden. Eleven meiner hennes karakter er ikkje i samsvar med det ho kan i matematikk fordi det er stort nivå skilje i klasse som fører til unødvendig repetisjon. På grunnen av dette vart prøvene vanskelegare enn det som er gjennomgått i undervisninga. 23 Anna Therese Rossebø Robinson Gutar Informant 4 Informant 5 Informant 6 korleis eleven jobbar for å lære i matematikk? Eleven setter pris på variert undervisning spesielt det å jobba individuelt med å rekna, gruppearbeid og tavleundervisning. Eleven meiner at ein lære av å lære vekk fordi ein kan fanga opp misoppfatningar, og lærar av eigne feil. Eleven ønskjer at læraren grunngjev korleis temaet er relevant og forklara nytteverdien. Eleven liker at læraren forklarar korleis ein skal rekna og kvifor ein gjer det slik. Eleven presiserer at ein må følgje med i timen, skrive eigne notatar og øve ved å rekna. Å forstå noko i matematikk forklara eleven at ein må ha kjennskap til kva metode ein skal bruke, korleis ein skal utføre det, og kvifor ein gjer slik ein gjer. Eleven lærar best av å jobbe med vanskelege oppgåver og spør læraren i møte med utfordringar. Eleven trives ikkje med gruppearbeid i matematikk fordi han har større utbytte av å konstruere eigne kunnskap gjennom individuelle aktivitetar, men liker at læraren gir forklaringar om korleis ein skal rekna. Han skriver ned framgangsmetoden og puggar den. I tillegg nytter han seg av døme i boka og legger vekt på at ein må øve og gjer ein innsats sjølv. Å forstå matematikk går ut på at ein kan lese oppgåva og vite korleis ein skal løyse den, meiner eleven. Eleven lærar matematikk best gjennom variert undervisning. Han meiner at ein må bytte ut den tradisjonelle tavleundervisninga, og er begeistra for gruppearbeid, men vegrar seg frå matematiske diskusjonar. For å bli god i matematikk meiner eleven at ein må ha grunnleggande ferdigheitar på plass før ein jobbar oppover i vanskegrada. Ein må jobbe ofte med faget, og ikkje gi seg når ein støtter på utfordringar. Eleven meiner at hans karakter er ikkje ein sann bilete av det han kan, fordi når han reknar gjennom oppgåver heima så får han rette svar. Ein kombinasjon av nervar og negative oppfatning av eigne prestasjonar har medverking til dei dårlige resultata. Oppgåvene er vanskelegare enn det elevane har øvd på, og då ein ikkje har hjelpemiddel sliter han. Eleven forklara at ein kan ha gode og dårlige dagar, og grunngjev at slurve feil kan vera kjelda for hans dårlige karakterar på prøver. Han meiner at hans karakterar ikkje visar til det han kan i matematikk. Eleven snakkar om at hans karakterar er ikkje i samsvar med det han kan fordi på prøver får han jernteppe. Han forklara at dersom ein pugge kort tid før prøver, fører dette til at ein huske alt akkurat på prøven, men ikkje i ettertid. Elevene sine tankar om matematisk forståing. Eleven sin oppfatningar av eigne prestasjonar i matematikk. Å forstå matematikk meiner eleven ein må vite kvifor ein gjer slik ein gjer, korleis ein skal utføre det, og kva tid ein skal bruke det. Dersom ein kan bruke eigne ord til forklarar til nokon andre, vil ein få bekrefta at ein har forstått. 24 Anna Therese Rossebø Robinson Drøfting Korleis jobbar eleven for å lære i matematikk? Den enkelte læraren må forholda seg til læreplanen LK06, der mål som legg vekt på at eleven skal utvikle ein brei matematisk kompetanse vart skildra (Utdanningsdirektoratet, 2015). Læraren skal tolke og konkretisera måla som legg føringar for undervisninga, og skal sikra kvalitet til tross for ulikskapar blant lærarar. På bakgrunn av dette vil lærarens fagsyn ha innverknad på undervisninga og prege miljøet i klasserommet. I teorikapittelet introduserte eg to motstridane syn på matematikkfaget, nemleg det absoluttistiske synet og det fallibillistiske synet. Måla som vart skildra i LK06 vektlegg verdien av både fakta og ferdigheitstrening som har assiasjonar til det absoluttistiske synet, og undervisning som vart prega av utforskande, leikande, kreative og problemløysande aktivitetar (Utdanningsdirektoratet, 2015), som kommer fram i det fallibillistiske synet (Tuset, 2008). Med andre ord, læreplanen etterspør trekk frå den tradisjonelle undervisningsforma der læraren overfører kunnskap ved å formidle og elevane gjer oppgåver, og ein klasseromspraksis som legg føringar for at elevane skal konstruere eigen kunnskap gjennom utforskande og problemløysande aktivitetar. Eit produkt av desse undervisningsforma resulterer i variertundervisning som var eit nøkkelord som ofte kom fram i intervjua. I ein mangfaldig klasse som informantane representerer, vart det naturleg at dei nytta ulike metodar for å lære og få best mogleg utbytte av undervisninga. Resultata framhevar at nokon elevar like å jobba individuelt med å løyse oppgåver. Dette kan gi assosiasjonar til Piagets teori om at kunnskap finnes ikkje i individet, men er eit produkt av stimulanse frå omgivnadane og strevet etter å forstå (Imsen, 2005). Nokon elevar poengterte at dei liker best å løyse mange oppgåve, medan andre snakkar om å løyse utfordrande oppgåver. Ut i frå teorien, kan eg tolke at elevane som meinte dei lærte av å løyse mange oppgåver oppfatta relasjonar mellom allereie eksisterande kunnskap og oppgåvene dei skulle løyse. Oppgåver som ikkje er tilpassa eit nivå som utfordra elevane, krevjar bare motorisk gjennomføring og er ein form for ferdigheitstrening der eleven øver på ferdige algoritmar. Piaget forklarar med hans teori at dette er assimilasjon (Imsen, 2005). Då elevane fortel i intervjua at å løyse mange oppgåver er ein effektiv måte for dei å lære matematikk på, seier det at elevane har ein produktorientert haldning til matematikkfaget. Då fleire av elevane meiner dei lærar av å løyse mange oppgåver, kan dette gje oss eit inntrykk av at den læringa dei snakkar om, gjeld ikkje forståing for prosessane bak dei ulike formlane, men gjeld truleg det å pugge ein framgangsmåte som fører fram til rett svar. Sjølv om ein aldri skal undervurdere effekten av mestringskjensla, vil elevane ikkje oppleve kognitiv utvikling 25 Anna Therese Rossebø Robinson dersom dei løyser mange oppgåver og aldri møter på utfordringar (Imsen, 2005). Informant 3 og 5 skiljar seg ut då dei seier at dei lærar av å jobbe med dei vanskelege oppgåvene. Elevane utdjupare ikkje korleis dei lærar av dei vanskelege oppgåvene, eller kva som gjer oppgåvene vanskelege, men elevane må truleg tenkje sjølv og utforske forskjellige måtar å løyse oppgåva på, før dei får rett svar. Når elevane møter på utfordringar oppstår det ein ubalanse i elevens indre plan, i følgje Piaget, og er drivkrafta som fører til at elevane ikkje gir opp. Behovet for likevekt på det mentale planet fører til omstrukturering og erkjenning som utgjør læringsprosessen og den intellektuelle utviklinga (Imsen, 2005). Oppgåver som er tilpassa slik at eleven strever og må tenke sjølv, fører til akkomodasjon og bidrar til ny læring seier Piaget. Då desse to elevane meiner at dei lærar av å løyse vanskelege oppgåver, kan me få eit inntrykk av at den læringa dei snakkar om, gjeld forståing for prosessane som ligg bak dei ulike formlane. Datamaterialet seier at elevane ikkje er interessert i å jobbe raskt gjennom mange lette oppgåver og få mange rette svar. Dei vil heller anstrenge seg over nokon få oppgåver og lære noko nytt, enn å repetera ting dei allereie kan. Ut i frå intervjua, har eg identifisert at gjennomsnittet av elevane seier dei lærar av å jobbe individuelt med oppgåver. Datamaterialet gir dermed ikkje indikasjonar på om oppgåvene bidrar til repetisjon og ferdigheitstrening, eller om oppgåvene har ein undersøkande, leikande eller kreativ karakter. Nokon elevar har gitt inntrykk om at matematikk må puggast. Dersom oppgåvene fører elevane gjennom ein oppdagingsprosess ved å laga hypotesar, gjennomføre forsøk og vera kritisk til bevis, vil det å pugga reglar ikkje vera eit tema (Tuset, 2008). Elevane vil ha forståing for kvifor formlane fører fram til rette svar, og dermed vil det ikkje vera behov for å pugge formlane. Elevane vil i større grad vera opptekne av framgangsmåtar og prosessane i staden for å svara riktig på mange oppgåver. Dette fører til at eg spekulera om oppgåvene legg vekt på faktakunnskap og ferdigheitstrening, der elevane må pugge og gjennomføre mange rutineoppgåver. Oppgåvene legg ikkje vekt på å utfordra elevane, men gir elevane muligheit på å repetera og øve på allereie kjente kunnskapar. Eg må understreke at dette er noko eg ikkje kan fastslå utan å gjennomføre eit oppfølgingsintervju. Då eg intervjua elevane burde eg har stilt oppfølgingsspørsmål om kva type oppgåver som fremma læring, og kva som gjer nokon oppgåver vanskelegare enn andre. 26 Anna Therese Rossebø Robinson Det som vart gjennomgåande i alle intervju er at elevane har behov for variertundervisning. Fleire av elevane beskriv positive verknadar av å jobbe med matematikk gjennom gruppearbeid. Gjennom intervjua argumenterer elevane for at dei lærar av å lære andre det dei kan. Dette er fordi elevane kan hjelpa kvarandre i møte med utfordringar i staden for i gi opp, og ein kan fanga opp eventuelle misoppfatningar og lære av eigne feil. Elevane skildrar eit læringsmiljø der dei lærar av å utføre handlingar i samspill med andre, før dei er i stand til å utføre den sama handlinga aleine. Med andre ord, sosialt interaksjon med andre som kunne ha meir kunnskap kan tolkast som erkjennelseutvikling innanfor den proksimale utviklingssonen (Imsen, 2005). Det samsvarar med Vygotskys teori om at elevane bruker kommunikasjon som eit verktøy for å systematisera si faglege tenking. Elevane blir lydhøre for kvarandre sin måte å tenke på (Dæhlen et al., 2011), og det å bruke samtale til å forklara noko i matematikk framhevar det prosessorienterte fagsynet (Scott et al., 2008). Med dette sagt kan ein tenke seg at det spelar ei rolle kven elevane samarbeider med. Det kan ha negative innverknadar dersom elevar av ymse grunnar ikkje går overeins, eller ikkje klarar å halde fokus på skulearbeidet med dei dei skal samarbeide med. Informant 6 skiljar seg ut då han fortel at han trivest med gruppearbeid, men likar ikkje å diskutera matematikken. På bakgrunn av denne påstanden, spekulerer eg rundt kva han legg i omgrepet gruppearbeid. Dersom han samanliknar svar med andre medelevar, snakkar dei saman om produkta og har ein produktorientert tilnærming til matematikken. Slik eg tolkar dette vil eleven få bekrefta om svara hans er rett eller galt, men ikkje få innsikt i kvifor det er rett eller galt. Dersom eleven forklarar korleis han kom fram til sine svar, vil fokuset i samtalen ha ei prosessorientert vinkling. Gjennom ei slik form for gruppearbeid vil eleven få innsikt i korleis andre tenkjer, og setja ord på det han sjølv kan. Mange av elevane trekk fram i intervjua at det er nyttig å jobba i grupper slik at ein kan fanga opp eventuelle misoppfatningar. På bakgrunn av dette er det mogleg at det er fleire elevar som meiner at det å samanlikna svar er gruppearbeid. Med ein slik påstand kan ein tenkja seg at datamaterialet som først antyda at elevane hadde eit prosessorienter syn, har kanskje ikkje det likevel. Datamateriale er ikkje tilstrekkeleg for å konkludera om kva elevane meiner med omgrepet gruppearbeid. Det ville vert nyttig å stille spørsmål rundt kva som føregjekk då elevane jobba i grupper for å få innsikt i kva det er som gjer at elevane lærer av å jobbe saman. 27 Anna Therese Rossebø Robinson Informant 3 og 5 meiner dei ikkje har læringsutbytte av gruppearbeid, men ser nytteverdien av å følgje med på læraren og hennes tavleundervisning. Vygotskys teori støtter opp under gammeldags tavleundervisning og framhevar tankesamarbeid mellom læraren og elevane i eit sosialt fellesskap (Imsen, 2005). Sjølv om informant 3 og 5 legg vekt på å konstruera eigne kunnskapar gjennom individuelle aktivitetar, visar det seg at dei også har utbytte av undervisningsformar som har eit sosialt element. Dette er i samsvar med det sosial konstruktivistiske teorien Paul Cobb beskriver. Den pragmatiske tilnærminga til læring seier at elevane lærar ved å konstruerer og tileigne kunnskapar, i tillegg til sosial interaksjon og deltaking (Cobb, 1994). Datamateriale indikerer at ein finn ei utvikling på fleire områder i matematikkfaget, men det er framleis eit stykke å gå for å tilfredstille balansen LK06 krevjar. Mange av informantane har kommentert at dei lærer av å følgje med på tavleundervisninga eller få hjelp av læraren. Dette tilseier at elevane er til ein viss grad avhengig av at læraren overleverer kunnskapar. Elevane sine tankar om matematisk forståing Eit spørsmål som er sentralt då ein skal snakka om elevens tankar om matematisk forståing er, kva legg elevane i omgrepet forståing. Datamaterialet visar til spreiing blant responsa frå informantane som antyder at elevane har ulike syn på kva matematisk forståing er. Ser ein tilbake på Skemps (2006) forklaring om at omgrepet forståing har to tydingar, relasjonell og instrumentell forståing, kan det tenkast at elevane har ulike oppfatningar av omgrepet. Det som vart gjennomgåande i alle intervjua er at elevane meiner forståing er viktig. Ser ein tilbake på drøftinga omkring korleis elevane jobbar for å lære i matematikk, legg fleire elevar vekt på den tradisjonelle undervisninga der læraren overleverer kunnskapar som elevane puggar og nyttar i eit reproduktivt praksis. Oppgåvene elevane beskriv er stort sett frå læreboka som er designa for å gi elevane trening i spesifikke algoritmar eller framgangsmåtar. Dersom elevane arbeidar med mange oppgåver og gjentek øving og pugging av algoritmar, vil dei truleg har føresetnader for å hugsa, og i det minste kunna utvikle ei instrumentell forståing (Skemp, 2006). Tidspresset for å dekke alle måla LK06 skildrar, kan vera ein medverkande faktor for at forståing må vike plass for progresjon i undervisninga og derfor kan det tenkjast at ei instrumentell forståing er i nokon tilfelle «nok» (Skemp, 2006). Informant 2 og 5 forklarar at det å forstå matematikk handlar om å vite kva oppgåva spør om, og korleis ein bruker ulike formlar for å kome fram til rette svar. Dette gir indikasjonar på at elevane har ein instrumentell forståing, som i følgje teoretikaren Skemp (2006) fremmer eins 28 Anna Therese Rossebø Robinson emne til å bruke reglar og formlar. Då oppgåvene får ei anna utforming, vil ikkje eleven ha kompetanse til å anvende og bruke reglane. Elevane ser ikkje relasjonar mellom nytt stoff og det som er kjent med sikte på at ein skal kunne skjønne korleis dei ulike delane av matematikken er knyt saman. Elevane må då pugge eit mangfald av reglar i staden for å kjenne til nokon enkle prinsipp for meir allsidig bruk (Skemp, 2006). Informant 1 skiljar seg ut i frå dei andre informantane då ho trekk fram at gode karakterar er å ha forståing i matematikk. Det kan tenkjast at eleven har misoppfatta spørsmåla, eller at ho er i mindre grad reflektert rundt kva det å forstå matematikk inneber. Det som kommer tydeleg fram er at ho er oppteken av produkta i faget som gir indikasjonar på ei instrumentell forståing. Basert på datamaterialet vil eg ikkje trekke nokon slutningar rundt kva tankar informant 1 har til forståing i matematikk. Informant 3, 4 og 6 legg vekt på kva metode ein skal bruke, korleis ein skal utføre framgangsmetoden, og kvifor dette resulterer i rett svar. Desse informantane skiljar seg frå informant 1, 2 og 5 då dei hevdar at det er viktig å forstå prosessane bak produkta. Informant 6 legg ved at dersom ein kan bruke eigne ord til å forklare til nokon andre, vil ein få bekrefta at ein har forstått. Det tyder på at eleven bruker kommunikasjon som reiskap for å systematisera kunnskapen. Elevane si beskriving av kva dei legg i det å forstå matematikk samsvarar med Skemps (2006) tankar rundt relasjonell forståing der elevane skal kunne generalisera og anvende matematikken i ulike situasjonar. Informant 3 verkar som om ho har ein relasjonell haldning til omgrepet forståing, men i forklaringa hennes om korleis ho jobbar for å lære i matematikk, kommer det fram at ho meiner ho lærar ved å repetera, øve og pugge. Slik eg tolkar eleven sin respons vil eg tru at pugging gir henne føresetnader for ei instrumentell forståing (Skemp, 2006). På bakgrunn av avvik mellom hennes holdningar til omgrepet forståing, og korleis ho jobbar for å tileigna seg forståing, vart det vanskeleg å konkludera om kva tankar eleven har rundt omgrepet forståing i matematikk. Eleven sine oppfatningar av eigne prestasjonar i matematikk Gjennomgåande i alle intervjua ytrar elevane meiningar om at karakteren vart dårlegare enn dei sjølv hadde trudd, og av ulike grunner meiner elevane at dei eigentleg kunne prestert betre på prøver i matematikk. Informant 1, 2 og 4 trekk fram at dei får dårlige resultat på prøvar når dei ikkje har tilgang på hjelpemiddel. Informantane fortel at i arbeidsboka er det eksemplar på korleis ein kan løysa problema som førekommer i kapittelet. Oppgåvene har som regel same utforminga med ulike tall som variable, og elevane bruker desse eksemplane som ein «mal». 29 Anna Therese Rossebø Robinson Ved å bytte ut variablane med dei gjeldande talla for oppgåva, får elevane korrekte svar. På dette grunnlaget argumentere elevane for at dei har forståing i matematikk. Problema oppstår når oppgåvene har ei anna utforming, eller når elevane ikkje har tilgang på hjelpemiddlar. Karakteren reflekterer dermed at elevane ikkje har forstått. Slik eg tolkar dette på bakgrunn av Skemps teori (2006), har desse elevane ei instrumentell forståing. Elevane seier sjølv at oppgåver som har ei anna utforming fører til vanskar som gir indikasjonar på at dei ikkje er kompetente til å anvende reglane (Skemp, 2006). Informant 4 og 6 nemner at nervar eller «jernteppe» på prøven fører til at kunnskapen fell vekk, og er grunnen til at karakteren ikkje samsvarar med sjølvoppfatningane dei har. Informant 6 fortel at dersom ein puggar i kort tid før prøven, hugsar ein alt på prøven, men ikkje i ettertid. Skemp (2006) hevdar at ei instrumentell forståing i matematikk er lettare å forstå eller beherske, men det er bare ei «kjappe» løysing. Med ei instrumentell forståing seier Skemp (2006) at det er vanskelegare å hugsa matematikken. Det å hugsa korleis ein skal utføre matematikken er ein av vanskane informant 4 og 6 trekker fram i intervjua, og er grunnlaget for at eg trekk sluttinga om at elevane kan ha ei instrumentell forståing. Å tileigna seg relasjonell forståing er ein meir omfattande prosess, men resultatet er ei meir langvarig forståing, og kan føre til mindre behov for repetisjon (Skemp, 2006). NOVA (2011) legg fram at skuleprestasjonar er viktige verdiar for elevar og dårlige karakterar kan føre til at eleven mister motivasjon for skulearbeid (Dæhlen et al., 2011). Informant 1 og 4 har gitt utrykk for at panikk, nervar, prestasjonsangst og negative sjølvoppfatningar av eigne prestasjonar er medverkande til dei uheldige karakterane. Slik eg tolkar det, er informant 1 og 4 bekymra for å utføre aktiviteten godt nok eller betre enn andre, som gir assosiasjonar til prestasjonsorienterte elevar. Då elevane hevdar at karakterane ikkje samsvarar med dei forventingane dei har, spekulerer eg om dette kan vera på grunn av at elevane har urealistiske oppfatningar av eigne prestasjonar, og sett uoppnåelege mål. Elevane stiller for høge krav til seg sjølv, og då dei ikkje mestrer forventningane, kan dette vera skadeleg for motivasjonen hos elevane (Manger et al., 2009). Gjennomsnittet av informantane hevdar i intervjua at ein må ha lyst til å bli god i matematikk for å bli god. Resultata frå PISA undersøkinga i 2012 avdekker at 50% av norske elevar er lite interessert for å lære matematikk (OECD, 2015). Dette er oppsiktsvekkande og kan vera kjelda til at elevane ikkje presterer betre på prøver eller undersøkinga som PISA. Ytre motivasjonskjelda, som karakterar, kan medføre at elevane prioriterer at andre skal oppfatta at dei er flink, framfor å 30 Anna Therese Rossebø Robinson tileigna forståing (Dæhlen et al., 2011). Denne påkjenninga kan føre til uheldige konsekvensar for prestasjonane til elevane slik det har hatt i dette tilfellet hos informant 1 og 4. Det står i stortingsmelding 18 (2010-2011) at alle elevar har rett på tilpassa opplæring, og det er ein del av lærarens samfunnsmandant å syte for at undervisninga gir oppnåelege utfordringar til kvar elev. Informant 3 hevdar at stor nivå skilnad i klassen fører til at enkelte elevar ikkje når sine potensial då mykje av undervisninga omfattar unødvendig repetisjon. Ho påstår hennes karakterar er dårlig fordi mykje av undervisningstida blir brukt på det som er lett, som fører til at prøvane er vanskelegare enn det læraren har gjennomgått i timen. Min erfaring frå praksis tilseier at det kan vera utfordrande å tilpassa undervisninga til kvar elev, spesielt når det er mange elever i klassen. I tillegg har eg erfart at fokuset på tilpassa opplæring ofte kan falle på fagleg svake elevar, medan faglig sterke elevar kan bli sittande å arbeide med oppgåver som ikkje tilbyr på noko som helst utfordring. Imsen (2005, s.243) skriv: «Å regne femti like matematikkoppgaver krever bare assimilasjon, ikke akkomodasjon, og bidrar derfor lite til ny læring.» Då fagleg sterke elevar bare får oppgåver som krevjar motorisk gjennomføring vil det aldri oppstå ubalanse som sett i gang akkomodasjonsprosessen der læring skjer (Imsen, 2005). På dette grunnlaget er det viktig at lærarane kjenner til elevane sine biologiske og intellektuelle utviklingsnivå slik at ein kan harmonera presentasjonsformar samt arbeidsmetodar for å tilpassa undervisninga. Tidlegare i intervjuet snakkar informant 3 om nivådelinga i læreboka, og ho fortel at ho øver ein del heima slik at ho kan jobba med dei vanskelegaste oppgåvene på skulen. Fordelen med læreverket er at elevane kan sjølv finne fram til oppgåvene som er overkommelege samt byr på tilstrekkeleg utfordring. Læreverket har dermed ei tilnærming til tilpassa opplæring, men eg må understreke i lys av teorien og datamaterialet, at læreboka ikkje kan brukast uavhengig, men som eit nyttig verktøy for læring. 31 Anna Therese Rossebø Robinson Konklusjon Resultat frå intervjua dannar eit komplekst bilete av informantane sin læringsprosess i matematikkfaget. Datamaterialet bekreftar bodskapen frå Stortingsmelding 18 (2010-2011) om ein må tilpassa undervisninga gjennom variertundervisning, og undervisning må ta utgangspunkt i evne og forutsetningane til elevane. Slik eg tolkar datamaterialet ønskjer fleire av elevane å få ting vist på tavla, før de sjølv løyser tilsvarande oppgåver. Dette samsvarer med den tradisjonelle matematikkundervisninga der læraren formidlar og elevane puggar reglar og gjer oppgåver. Med ein slik praksis er det ikkje enkelt å implementere utforskande metodar og læraren dominerer klasserommet. Når eg ser på datamaterialet i lys av det eg har presentert i teorikapittelet, meiner eg ein må i større grad skapa balanse mellom den tradisjonelle undervisninga som gir plass for ferdigheitstrening, og eit prosessorientert syn på matematikken som er prega av oppdagingsprosessar. Likevel, metodikken som elevane påstår gir best resultat i læringsprosessen ber preg av ein passiviserande formidlingsdidaktikk. Eg meiner dette er grunnlaget for dei låge karakterane. Eg meiner lærarane må auke motivasjonen for matematikkfaget samt å aktivera elevane slik at dei ikkje sitt som passive mottakarar. For å auke forståing i matematikk må elevane i mindre grad krevja at læraren overleverer kunnskapar. I staden visar teorien til at elevar lærar av utforskande aktivitetar og derfor må ein gå i retning av ein praksis som har ein pragmatisk haldning til matematikkfaget slik Paul Cobb implementerer. Når det gjeld elevane si forståing i matematikk visar datamaterialet til spreiing blant responsa frå informantane. Skemp (2006) trekk fram viktige poeng med hans skildring av to ulike formar for forståing, instrumentell forståing og relasjonell forståing. På bakgrunn av Skemps artikkel (2006) kan det tenkjast at elevane har ulike oppfatningar av omgrepet som fører til ulik respons. Likevel kommer det tydeleg fram i intervjua at elevane meiner forståing er viktig. Eg som framtidig matematikklærar vil legge vekt på at min praksis fremmer elevens relasjonelle forståing i matematikk, men eit resultat av denne oppgåva har ført til at eg også ser nytteverdien av instrumentell forståing. Eg sitt igjen med inntrykk av at mesteparten av elevane har ei instrumentell forståing. Elevane seier sjølv at oppgåver som har ei anna utforming fører til vanskar som gir indikasjonar på at dei ikkje er kompetente til å anvende reglar (Skemp, 2006). I tillegg seier fleire informantar at det er vanskeleg å hugse utan hjelpemiddlar som fører til at dei tek til å pugge i kort tid før prøvar slik at dei hugsar på prøven, men ikkje i ettertid. Vanskane elevane trekk fram samsvarer med Skemps teori (2006) om at ei instrumentell forståing i matematikk fører til at det er vanskelegare å hugsa. Det må 32 Anna Therese Rossebø Robinson presiserast at denne konklusjonen er henta ut frå mitt datamateriale og ikkje kan generaliserast. Eg kan ikkje ta stilling til kva som faktisk skjer i undervisninga for å fremme matematisk forståing, då eg i mitt forskingsarbeid har hatt fokus på elevens perspektiv og oppfatningar. Om det er samsvar mellom det som eleven trur fremmar forståing, og det som faktisk fremmar forståing vil resultata mine derfor ikkje vera i stand til å belyse. På bakgrunn av dette hadde det vert gunstig å samla inn datamateriale gjennom observasjon i forkant av intervjua. Likevel kan eg konkludera med at det er viktig å legge til rette undervisning slik at elevar kan auka forståing og ferdigheter rundt matematikk. 33 Anna Therese Rossebø Robinson Litteratur liste Cobb, P. (1994).Where Is the Mind? Constructivist and Sociocultural Perspectives on Mathematical Development. American Educational Research Association. Dælien M.,Smette I.,Strandbu Å.(2011).Ungdomskoleelevers meninger om skolemotivasjon: en fokusgruppestudie Oslo: NOVA. Henta 21.04.15 frå http://www.nova.no/asset/4538/1/4538_1.pdf Hovik, E.A & Solem, I.H (2013) Argumentasjon, begrunnelse og bevis på barnetrinnet In: Pareliussen, I., Moen, B.B., Reinertsen A., Solhaug, T.: FoU i praksis 2012 conference proceedings, Akademika forlag Trondheim, pp. 120-126 Imsen, G. (2005). Elevens verden: Innføring i pedagogisk psykologi (5. utg.). Oslo: Universitetsforlaget. Kvale, S., & Brinkmann, S. (2009). Det kvalitative forskningsintervju (2. utg.). Oslo: Gyldendal akademisk. Lillejord, S., Manger, T., & Nordahl, T. (2013). Livet i skolen 2: Grunnbok i pedagogikk og elevkunnskap: Lærerprofesjonalitet (2. utg.) Bergen: Fagbokforlaget. Meld. St. 18 (2010-2011). Læring og fellesskap Hentet 15.04.15 frå: http://www.regjeringen.no /nb/dep/kd/dok/regpubl/stmeld/2010-2011/meld-st-1820102011/1/2.html?id=639490# Meld. St 22 (2010-2011). Motivasjon – Mestring – Muligheter Hentet 28.04.15 frå: https://www.regjeringen.no/nb/dokumenter/meld-st-22-2010-2011/id641251/?docId=STM201020110022000DDDEPIS&q=&navchap=1&ch=5 Norsk samfunnsvitenskapelig datatjeneste (NSD), henta 03.02.15 frå: http://www.nsd.uib.no/ PISA, henta 20.03.15 frå: http://www.oecd.org/pisa/keyfindings/PISA-2012-resultsnorway.pdf 34 Anna Therese Rossebø Robinson Postholm, M. B., & Jacobsen, D. I. (2011). Læreren med forskerblikk: Innføring i vitenskapelig metode for lærerstudenter. Kristiansand: Høyskoleforlaget. Skemp, R. R. (2006). Relational understanding and instrumental understanding.Mathematics Teaching in the Middle School, 12(2), 88-95. Tilgjengeleg frå: http://math.coe.uga.edu/olive/EMAT3500f08/instrumental-relational.pdf Skott, J., Jess, K. & Hansen, H. C. (2008). Matematik for lærerstuderende: Delta fagdidaktikk. Fredriksberg: Forlaget Samfundslitteratur. Store norske leksikon, henta 21.04.15 frå: https://snl.no/forst%C3%A5else%2Fpsykologi%2C_filosofi%2C_pedagogikk Stylianides, A. J. (2009). Breaking the equation «empirical argument = proof ». Mathematics Teaching, 213, 9-14. (Available also at the NRICH website.) Tuset, A. G. (2008). Hvilke konsekvenser kan ulike filosofisk baserte syn på matematikk få for problemer og problemløsningens rolle i matematikk? Hvilke konsekvenser kan det få for skolematematikken og praksisen? Høgskolen Stord /Haugesund Utdanningsdirektoratet, henta 15.04.15 frå: http://www.udir.no/kl06/MAT1-04/Hele/Formaal/ Yackel, E. & Cobb, P. (1996) Sociomathematical Norms, Argumentation, and Autonomy in Mathematics. National Council of Teachers of Mathematics Yackel, E. & Hanna, G. (2003). Reasoning and Proof. I Kilpatrick, J., Martin, W., G.,Schifter, D. (Red).A research companion to Principles and Standards for School Mathematics (s 227 – 236). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics 35 Anna Therese Rossebø Robinson Vedlegg 1 Intervju spørsmål 1. Korleis meiner du at du lærar matematikk best? 2. Kva gjer du for å forstå eit nytt tema i matematikk? 3. kva meiner du ein må ein gjera for å bli god i matematikk? 4. Meiner du at dine karakterar visar til kva du kan i matematikk? 5. Kva meiner du ligger i det å forstå matematikk ? 6. Meiner du sjølv at du har like god forståing innan alle tema i matematikk? 7. Bruker du matematikk i kvardagen? 36 Anna Therese Rossebø Robinson Vedlegg 2 Anna Therese Rossebø Robinson Ådlandslio 39 5416 Stord Grunnskulelærarstudent 5-10 Høgskulen Stord/Haugesund Stord 15.01.15 Til Trude Aamot Nysæter Ungdomsskule Utslettevegen 60 5410 Sagvåg Forespørsel om deltakelse på undersøkelse Eg er 3. års lærarstudent ved Høgskolen Stord/Haugesund. Denne våren skal eg gjennomføre ein undersøking i forbindelse med min bacheloroppgåva i pedagogikk og elevkunnskap. Eg sender deg derfor ein søknad om å få lov til å gjennomføre ein undersøking blant lærarane og elevene ved Nysæter Ungdomsskule. Temaet for oppgåva er forståing innan matematikk. Eg vil spørje og observere nokon matematikklærarar, blant anna Åshild Grov, om kva dei meiner ligg i omgrepet forståing, korleis dei legge til rette undervisning for å fremme forståing og korleis der vurdere om eleven har tileigna forståing innan matematikk. I tillegg vil eg spør elevane kva dei meiner ligg i omgrepet forståing, om dei veit kva dei må gjer/kva gjer dei for å tileigna forståing og om dei meiner karakterane dei får reflekterer i kor stor grad di har forstått. Det vil ta omtrent 30 minutt å delta på undersøkinga for kva deltakar. Det er frivillig å delta. Datamaterialet eg innhentar i undersøkinga kommer bare til å bli brukt i arbeidet med bacheloroppgåva der eg vil analysera funna/datamaterialet og samanlikna resultata med anna forsking på område og pedagogisk/fagdidaktisk teori. Eg er gjennom høgskulen underlagt teieplikt og all informasjon som blir samla inn gjennom denne undersøkinga vil behandlast konfidensielt og anonymt og vil bli makulert etter at materialet er analysert og oppgåva er levert. Om du har nokon spørsmål om undersøkinga, kan du ta kontakt på e-post og/eller på mobil. Tlf. 94869535 e-post: [email protected] Mvh Anna Therese Rossebø Robinson 37 Anna Therese Rossebø Robinson Vedlegg 3 Informasjon til føresette Eg er ein student som går 3. året på grunnskulelærarutdanning på HSH, Rommetveit. I veke 5,6 og 7 skal eg vera i praksis i 8,9 og 10 trinn på Nysæter Ungdomsskule. Dette semesteret skal eg skriva ei bacheloroppgåve i pedagogikk og elevkunnskap med fordjuping i matematikkfaget. Temaet for bacheloroppgåva er matematisk forståing. Eg vil i løpet av praksisperioden nytta intervju og observasjon for å få inn data om dette. Alle data vert handsama konfidensielt, ingen namn eller kjenneteikn på elevane vil verta brukt. Dette er frivillig, og dersom ein ikkje vil ha barnet sitt med på dette, ta kontakt med kontaktlærar. Åshild Grov [email protected] Dersom de ynskjer meir informasjon kan de ta kontakt med underteikna. Med vennleg helsing Anna Therese Rossebø Robinson Tlf. 94869535 [email protected] 38
© Copyright 2025