1. No category

‫טכניון – הפקולטה להנדסת חשמל‬
‫חורף תשע"ו‬
‫מערכות בקרה ‪)044191( 1‬‬
‫תרגיל בית ‪5‬‬
‫תרגיל בית ‪ :5‬תכן ‪ Root Locus‬ותכן בתדר‬
‫חלק יבש‬
‫תרגיל ‪( 1‬שאלה ממבחן)‬
‫נתונה מערכת משוב יחידה‪:‬‬
‫‪ H s‬הינו בקר טורי‪ ,‬ואילו ‪ G s‬הינה פונקציית התמסורת של המערכת המבוקרת‪ .‬נתון כי‬
‫‪s 4‬‬
‫‪( s 2)3‬‬
‫‪G s‬‬
‫הערה‪ :‬בחלק מהסעיפים העוסקים ב‪ ,RL-‬שימוש מושכל בעקרון "שימור מרכז הכובד" עשוי לפשט חישובים‪.‬‬
‫א‪ .‬עבור בקר הגבר‪K ,‬‬
‫‪ , H s‬חשבו את תחום ההגברים שעבורם החוג הסגור יציב‪.‬‬
‫ב‪ .‬שרטטו דיאגרמת ‪ Root Locus‬של המערכת (מיקום גיאומטרי של קטבי המערכת בחוג סגור) עבור הגבר‬
‫‪ K 0‬ועבור ‪. K 0‬‬
‫הנחיה‪ :‬יש לחשב את כל הפרמטרים הנדרשים לציור‪ ,‬כולל אסימפטוטות ונקודות פיצול‪ .‬ולסמן באופן ברור את‬
‫הענפים וכיווניהם‪ ,‬וכן זוויות יציאה מהקטבים‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫על מנת לקבל זמן התייצבות של כ‪ 3 -‬שניות עבור התגובה לכניסת מדרגה‪ ,‬הוצע לבחור הגבר ‪ K‬כך‬
‫שיתקבלו בחוג הסגור קטבים דומיננטיים בעלי חלק ממשי ‪1.5‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ .1‬מיצאו הגבר ‪ K 0‬אשר מבטיח זאת‪.‬‬
‫‪ .2‬חשבו את מיקום כל הקטבים והאפסים של החוג הסגור עבור הגבר זה‪.‬‬
‫‪ .3‬חשבו את קבוע שגיאת המצב המתמיד לכניסת מדרגה‪.‬‬
‫‪ .4‬ציירו בקרוב את התגובה למדרגה של המערכת (כולל הערך הסופי)‪ .‬חוו את דעתכם לגבי השימוש במערכת‬
‫כמערכת עקיבה‪.‬‬
‫על מנת לשפר את שגיאת המצב המתמיד‪ ,‬הוצע להוסיף למערכת בקר‪ ,‬בעל פונקציית תמסורת‪:‬‬
‫‪s‬‬
‫‪2‬‬
‫‪s‬‬
‫‪H s‬‬
‫‪K‬‬
‫‪ .1‬שרטטו דיאגרמת ‪ Root Locus‬של המערכת עבור הגבר חיובי‪.‬‬
‫‪ .2‬האם קיים הגבר שעבורו מתקבל זמן התייצבות של כ‪ 3 -‬שניות? נמקו‪.‬‬
‫‪ .5‬לקבלת התגובה הדינאמית הרצויה הוחלט לבסוף לתכנן את המערכת כך שיתקבלו קטבים דומיננטיים‬
‫בנקודות ‪j 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪c‬‬
‫‪. p1,2‬‬
‫‪1‬‬
‫תרגיל בית ‪5‬‬
‫מערכות בקרה ‪1‬‬
‫‪ .1‬תכננו רשת תיקון מתאימה מסדר נמוך ככל האפשר (בנוסף‪ ,‬כלומר בטור‪ ,‬לבקר מהסעיף הקודם עם‬
‫‪ ) K 1‬כך שיתקיימו הדרישות‪.‬‬
‫‪ .2‬שרטטו דיאגרמת ‪( Root Locus‬עבור הגבר חיובי) של המערכת עם הבקר שתכננתם‪ ,‬ציינו על גבי‬
‫הדיאגרמה את המיקום המקורב (אין צורך בערכים מספריים) של כל קטבי החוג הסגור‪.‬‬
‫תרגיל ‪( 2‬שאלה ממבחן)‬
‫נתונה מערכת משוב יחידה‪ ,‬כבתרגיל הקודם‪.‬‬
‫)‪ H ( s‬הינו בקר טורי‪ ,‬ואילו )‪G( s‬‬
‫הינה פונקציית התמסורת של המערכת המבוקרת‪ ,‬כאשר‬
‫‪3‬‬
‫‪2s 5‬‬
‫בסעיפים א' עד ג' נתון כי‬
‫‪K‬‬
‫‪s‬‬
‫‪s‬‬
‫‪G s‬‬
‫‪s2‬‬
‫‪.H‬‬
‫א‪ .‬שרטטו דיאגרמת ‪ R.L.‬של המערכת עבור‬
‫‪0‬‬
‫‪ K‬ועבור ‪0‬‬
‫‪.K‬‬
‫עבור כל שרטוט‪ ,‬חשבו את‪ :‬האסימפטוטות ומפגשן; ערכי נקודות הפיצול (אם יש); זוויות יציאה מקטבים‬
‫מרוכבים‪.‬הקפידו על ציון כיווני הענפים בציור‪ ,‬וכן על ציור נכון של זוויות כניסה\יציאה לציר הממשי‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצאו את כל ערכי ההגבר‬
‫‪| 0.05‬‬
‫‪K‬‬
‫שעבורם שגיאת המצב המתמיד לכניסת מדרגת‪-‬יחידה מקיימת‬
‫‪. | ess‬‬
‫ג‪ .‬מצאו את ערכי ההגבר‬
‫(כלומר‪ ,‬מהצורה ‪ja‬‬
‫‪K‬‬
‫‪a‬‬
‫שעבורם מתקבלים קטבים בחוג סגור בעלי ערך ממשי ומדומה זהים‬
‫‪c‬‬
‫‪p1,2‬‬
‫(‪.‬‬
‫שרטטו עקרונית את התגובה למדרגה עבור ערכי הגבר אלה‪ ,‬על מערכת צירים משותפת‪ .‬ציינו בציור‬
‫את ערך היציאה במצב המתמיד‪ ,‬וכן בקירוב את הזמן שבו מתקבל השיא הראשון (מינימום \‬
‫מכסימום) של התגובה‪.‬‬
‫איזו משתי התגובות דומה יותר לתגובה למדרגה של מערכת סטמדרטית מסדר שני? הסבירו‪.‬‬
‫ד‪ .‬על מנת להגדיל את רוחב הסרט של המערכת ולהקטין את שגיאות המצב המתמיד‪ ,‬הוחלט לתכנן רשת‬
‫תיקון‬
‫‪H s‬‬
‫כך שהקטבים הדומיננטיים של המערכת ימוקמו בנקודות‬
‫‪ 10  10 j‬‬
‫רשת התיקון תורכב מרשתות פיגור\קידום בסיסיות (אחת או יותר) בעלות ‪ 10‬‬
‫‪‬‬
‫תכננו רשת תיקון מתאימה‪ .‬עם מספר דרגות קטן ככל האפשר‪.‬‬
‫‪‬‬
‫עבור הרשת שתכננתם חשבו את‪:‬‬
‫‪ .1‬שגיאת המצב המתמיד לכניסת מדרגה‪.‬‬
‫‪ .2‬מיקום כל הקטבים והאפסים של המערכת בחוג סגור‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. 0.1  ‬‬
‫‪. p1,2‬‬
‫תרגיל בית ‪5‬‬
‫מערכות בקרה ‪1‬‬
‫תרגיל ‪( 3‬שאלה ממבחן)‬
‫נתונה המערכת הבאה‪:‬‬
‫‪s 1‬‬
‫המערכת נתונה על ידי פונקצית התמסורת‪:‬‬
‫‪s  s  10 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪G s ‬‬
‫א‪ .‬שרטטו דיאגרמת בודה (הגבר ופאזה) של המערכת‪ .‬ציינו שיפועים ונקודות שבירה‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתונודת דרישות הבאות עבור המערכת בחוג סגור‪:‬‬
‫‪ rad ‬‬
‫‪ .1‬רוחב סרט‪:‬‬
‫‪B  1 ‬‬
‫‪ sec ‬‬
‫‪ .2‬מקדם ריסון שקול‪  0.5 :‬‬
‫‪ .3‬שגיאת מצב מתמיד‪ ,‬עבור כניסת ריצה‪essv  0.01 :‬‬
‫דרישות ‪ 1‬ו‪ 2-‬תורגמו לדרישות על החוג הפתוח באופן הבא‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪ rad ‬‬
‫‪ sec ‬‬
‫‪co  0.5 ‬‬
‫‪PM  500 .2‬‬
‫רשמו את הנוסחאות שמתרגמות בקירוב את דרישות החוג הסגור לאלה של החוג הפתוח‪.‬‬
‫תכננו בקר ‪ H  s ‬המורכב מרשתות קידום ו\או פיגור בלבד‪ ,‬פשוט ככל הניתן‪ ,‬אשר ייצב את המערכת‬
‫ויקיים את התרישות הנ"ל‪.‬‬
‫הערה‪ :‬אין להסתמך על הקירוב האסימפטוטי של דיאגרמת בודה בחישוב עודף הפאזה‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫האם הבקר שתכננתם מקיים את הדרישה הראשונה עבור רוחב הסרט?‬
‫הראו זאת בסימולציה וכן מחישוב פשוט – ללא עזרת מחשב‪ ,‬כפי שעשינו בתרגול ‪ .10‬קבעו בעזרת חישוב‬
‫זה האם רוחב הסרט גדול או קטן ממה שתכננתם‪.‬‬
‫ד‪ .‬נניח שקיבלתם רוחב סרט בפועל הקטן מרוחב הסרט הדרוש‪ .‬כיצד הדבר יבוא לידי ביטוי בתגובת החוג‬
‫הסגור למדרגה? כיצד תשנו את הדרישות על החוג הפתוח מסעיף ב' כדי לקבל בקר הנותן את רוחב הסרט‬
‫הדרוש?‬
‫ה‪ .‬נניח שבסימולציה התקבלה תגובה למדרגה בעלת תגובת יתר גדולה מדי‪ .‬ניתן לבצוע סינון מקדים בעזרת‬
‫המסנן ‪ F‬כפי שניתן לראות באיור הבא‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪sa‬‬
‫‪‬‬
‫כאשר המסנן ‪ F‬מהצורה‪:‬‬
‫‪100 s  0.01a‬‬
‫‪F s ‬‬
‫הציעו ערך של הפרמטר ‪ a‬אשר צפוי להקטין את תגובת היתר‪ .‬הסבירו את תשובתכם‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫תרגיל בית ‪5‬‬
‫מערכות בקרה ‪1‬‬
‫תרגיל ‪4‬‬
‫‪sz‬‬
‫נתון בקר קידום מהצורה‪:‬‬
‫‪s p‬‬
‫‪z‬‬
‫‪  ‬גדול או קטן מ‪ ?1-‬נמקו‪.‬‬
‫‪ .1‬האם היחס‬
‫‪p‬‬
‫‪ , H  s  ‬בעל אפס וקוטב יציבים – בחצי המישור השמאלי‪.‬‬
‫‪ .2‬פתחו את הביטוי‪z  p :‬‬
‫‪ max ‬לפי השלבים הבאים‪:‬‬
‫א‪ .‬מצאו ביטוי לפאזה שתורם בקר הקידום‪.‬‬
‫ב‪ .‬גזרו את הביטוי שקיבלתם למציאת התדר בו מתקבלת תוספת הפאזה המקסימלית‪.‬‬
‫‪ .3‬מצאו את תוספת הפאזה‪ ,  m ,‬על ידי הצבת ‪ max‬בביטוי של פאזת הבקר‪.‬‬
‫‪ x y ‬‬
‫‪ .4‬פשטו את הביטוי על ידי שימוש בזהות‪ :‬‬
‫‪ 1  xy ‬‬
‫‪. tan 1  x   tan 1  y   tan 1 ‬‬
‫‪ .5‬הציבו את ‪ ‬בביטוי שמצאתם ומצאו את הקשר בין ‪ ‬לבין ‪. sin  m ‬‬
‫השתמשו בנוסחה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1  x2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪. sin tan 1  x  ‬‬
‫‪4‬‬
‫תרגיל בית ‪5‬‬
‫מערכות בקרה ‪1‬‬
‫חלק רטוב‬
‫‪1 K0   ‬‬
‫תכנון בקר המנוע‪ :‬בתרגיל הקודם ראינו שתמסורת המנוע מהצורה‪:‬‬
‫‪s  s m  1 V ‬‬
‫‪M‬‬
‫תזכורת‪ :‬הכניסה היא מתח והמוצא זווית‪.‬‬
‫מהנדס אפיין את המערכת ומצא שתגובת התדר של המערכת מתאימה לערכים הבאים‪:‬‬
‫‪ m  0.01‬‬
‫‪K0  35‬‬
‫א‪ .‬הציעו ניסוי שיאפיין את תגובת התדר של מערכת זו‪.‬‬
‫מוצע לייצב את התמסורת הזו בחוג פנימי כחלק מהמערכת הכוללת‪ ,‬לפי השרטוט הסכמטי‪:‬‬
‫דרישות התכנון על החוג‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪r ‬‬
‫תדר חצייה‪. co  50   :‬‬
‫‪s‬‬
‫‪‬‬
‫‪PM  800‬‬
‫ב‪ .‬תכננו בקר קידום בתחום התדר‪ ,‬מינימלי ככל הניתן‪ ,‬כך שתתקיימנה הדרישות‪.‬‬
‫‪ o‬בסעיף זה יש להציג את כל החישובים האנליטיים והסבירו את השלבים‪.‬‬
‫ג‪ .‬הציגו את תגובת התדר של הבקר שתכננתם (הגבר ופאזה)‪.‬‬
‫ד‪ .‬בחנו את ה‪ RL-‬בחוג הפתוח‪.‬‬
‫ה‪ .‬הציגו את התגובה למדרגה של החוג שתכננתם‪ .‬מהו זמן ההתייצבות‪? ts  2%  ,‬‬
‫ו‪ .‬הציגו את תגובת התדר של המערכת בחוג סגור‪ .‬חשבו את רוחב הסרט‪.‬‬
‫ז‪ .‬מהו היחס בין תדר החציה לרוחב הסרט?‬
‫הבקר והמנוע הם חלק מהמערכת הבאה‪:‬‬
‫הערה‪ :‬במשובי היחידה הניחו שקיים הגבר יחידה בעל היחידות המתאימות‪.‬‬
‫ח‪ .‬מה צריך להיות רוחב הסרט של החוג הפנימי ביחס לחוג החיצוני? תנו תשובה איכותית והסבירו‪.‬‬
‫ט‪ .‬רשמו את הביטוי למערכת הנ"ל‪ .‬האם היא יציבה?‬
‫‪5‬‬
‫תרגיל בית ‪5‬‬
‫מערכות בקרה ‪1‬‬
‫נסגור חוג באופן הבא‪:‬‬
‫כאן ה‪ Plant-‬הוא כמובן מערכת ה ‪.Ball & Beam‬‬
‫י‪ .‬תכננו בקר מהצורה‬
‫‪s  z‬‬
‫‪s  p‬‬
‫‪ H 2  K‬כך שתתקיימנה הדרישות הבאות‪:‬‬
‫‪‬‬
‫זמן התכנסות כולל‪ts  2%   0.75sec :‬‬
‫‪‬‬
‫תגובת יתר‪OS  10% :‬‬
‫התנסו עם הכלי הגרפי ‪ Sisotool‬ותכננו בקר שיעמוד בדרישות‪.‬‬
‫יא‪ .‬הציגו את תגובת התדר של המערכת הכוללת בחוג סגור‪ ,‬הגבר ופאזה‪.‬‬
‫יב‪ .‬חשבו את רוחב הסרט של המערכת‪.‬‬
‫יג‪ .‬האם רוחב הסרט תואם את ההנחה מסעיף ח'?‬
‫בהצלחה!‬
‫‪6‬‬