מבוא לבקרה (034040)

‫'&‪."$"%-!./0$'(!'&("12' !# ()*+#(!#,"("$%&!!"%-! " !!"#$%‬‬
‫‪TECHNION — Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬
‫מבוא לבקרה )‪(034040‬‬
‫גליון תרגילי בית מס׳ ‪5‬‬
‫‪d‬‬
‫ ‬
‫ ‬
‫?‬
‫‪r - le‬‬‫‪y‬‬‫‬‫‪l‬‬
‫‬‫)‪C(s‬‬
‫)‪P(s‬‬
‫‬‫ ‬
‫ ‬
‫‪6‬‬
‫ציור ‪ :1‬דיאגרמת הבלוקים‬
‫שאלה מס׳ ‪1‬‬
‫נתונה המערכת המתוארת בציור ‪.1‬‬
‫‪ .1‬מהי שגיאת המצב המתמיד כאשר‬
‫‪s+1‬‬
‫)‪(s−2)(s+3‬‬
‫‪ .2‬מהי שגיאת המצב המתמיד כאשר‬
‫‪s+10‬‬
‫‪(s+1)2‬‬
‫‪ .3‬נתון כי‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪(s+a)(s+3‬‬
‫= )‪,P(s‬‬
‫= )‪,P(s‬‬
‫‪3‬‬
‫‪s+1‬‬
‫‪s+10‬‬
‫‪s+1‬‬
‫‪ r(t) = 1(t) ,C(s) = 1 −‬ו־‪? d(t) = 0‬‬
‫= )‪ r(t) = 1(t) ,C(s‬ו־‪? d(t) = 0‬‬
‫= )‪ r(t) = 1(t) ,C(s) = 1 ,P(s‬ו־‪ .d(t) = 0‬חשב את ‪ a‬אם נתון כי שגיאת המצב המתמיד הינה‪:‬‬
‫)א( ‪ess = 0.75‬‬
‫)ב( ‪ess = 0‬‬
‫‪ .4‬נתון כי‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪s(τs+1)(s+2‬‬
‫= )‪.C(s) = K ,P(s‬‬
‫)א( האם יתכן מצב בו שגיאת המצב המתמיד הינה ‪ ess = 0.1‬כאשר ‪ r(t) = 0‬ו־)‪? d(t) = 1(t‬‬
‫)ב( מהי שגיאת המצב המתמיד כאשר ‪ r(t) = 0‬ו־)‪? d(t) = t · 1(t‬‬
‫)ג( חשב את ‪ K‬אם נתון כי שגיאת המצב המתמיד הינה ‪ ess = −0.1‬כאשר ‪ r(t) = 0‬ו־)‪ .d(t) = 1(t‬מה ניתן לומר על ‪τ‬‬
‫במקרה זה ?‬
‫)ד( האם ‪ τ‬משפיע על שגיאת המצב המתמיד כאשר‪:‬‬
‫‪ r(t) = t1(t) .i‬ו־‪.d(t) = 0‬‬
‫‪ r(t) = 0 .ii‬ו־)‪.d(t) = t1(t‬‬
‫הסבר‪.‬‬
‫‪ .5‬נתון כי‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪0.2(0.2s+1‬‬
‫= )‪,P(s‬‬
‫)‪2(0.5s+1‬‬
‫‪s‬‬
‫= )‪ .C(s‬מצא את שגיאת המצב המתמיד עבור הכניסות הבאות‪:‬‬
‫)א( ‪.d(t) = 0.5 ,r(t) = 2‬‬
‫)ב( ‪.d(t) = 0.5 ,r(t) = 2t‬‬
‫)ג( ‪.d(t) = 0.5t ,r(t) = 2‬‬
‫)ד( ‪.d(t) = 0.5t ,r(t) = 2t‬‬
‫פתרון לשאלה מס׳ ‪1‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪s−2‬‬
‫‪s+1‬‬
‫= )‪ ⇐ C(s‬החוג הסגור לא יציב )יש צמצום לא יציב( ⇐ ∞ → ‪.ess‬‬
‫‪ .2‬פ״א של המערכת בחוג סגור‪ .χcl (s) = (s + 1)3 + (s + 10)2 = s3 + 4s2 + 23s + 101 :‬נבדוק את היציבות לפי קריטריון‬
‫ראוט‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪23‬‬
‫‪101‬‬
‫‪s3‬‬
‫‪s2‬‬
‫‪s1‬‬
‫‪s0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪−9/4‬‬
‫‪101‬‬
‫יש החלפת סימן ⇐ החוג הסגור לא יציב ⇐ ∞ → ‪.ess‬‬
‫‪ .3‬נמצא את המשוואה האופיינית של החוג הסגור‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪e‬‬
‫=‬
‫‪r‬‬
‫‪1+P‬‬
‫החוג הסגור יציב עבור ‪ .a > − 13‬במקרה זה‪:‬‬
‫=⇐‬
‫‪3a‬‬
‫‪3a+1‬‬
‫=‬
‫‪χcl (s) = s2 + (a + 3)s + 3a + 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1+ 3a‬‬
‫= ‪.ess‬‬
‫• כאשר‪a = 1 ⇐ ess = 0.75 :‬‬
‫• כאשר‪) a = 0 ⇐ ess = 0 :‬אינטגרטור ב־‪(P‬‬
‫‪ .4‬נמצא את פ״ת‬
‫‪e‬‬
‫‪r‬‬
‫ו־ ‪: de‬‬
‫‪e‬‬
‫‪P‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪=−‬‬
‫=‬
‫‪.‬‬
‫‪d‬‬
‫‪1 + CP‬‬
‫‪s(τs + 1)(s + 2) + K‬‬
‫‪e‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪s(τs + 1)(s + 2‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪r‬‬
‫‪1 + CP‬‬
‫‪s(τs + 1)(s + 2) + K‬‬
‫הפ״א של המערכת בחוג סגור‪ .χcl (s) = τs3 + (2τ + 1)s2 + 2s + K :‬נבדוק את היציבות לפי קריטריון ראוט‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪K‬‬
‫‪τ‬‬
‫‪2τ + 1‬‬
‫‪τK‬‬
‫‪2 − 2τ+1‬‬
‫‪K‬‬
‫‪s3‬‬
‫‪s2‬‬
‫‪s1‬‬
‫‪s0‬‬
‫בהנחה ש־‪ τ > 0‬נקבל ש־)‪ χcl (s‬יציב אמ׳׳מ ‪. τ2 + 4 > K > 0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .Ted (0) = − K‬היות ו־‪) K > 0‬אחרת ∞ → ‪ .ess < 0 (ess‬לא ייתכן ‪.ess = 0.1‬‬
‫)א( אם החוג הסגור יציב‪:‬‬
‫)ב( ∞ = ‪) ess‬אין אפילו אינטגרטור אחד בבקר(‪.‬‬
‫)ג( ‪> τ > 0 ⇐ K = 10 ⇐ ess = −0.1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫)אחרת החוג הסגור לא יציב(‪.‬‬
‫)ד( מטבלה בשקף ‪ 18‬פרק מס׳ ‪:5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪K‬‬
‫‪α‬‬
‫‪kv‬‬
‫= ‪ .ess‬בוודאי ש־‪ τ‬משפיע‪ .‬היות והחוג הסגור יציב רק עבור‬
‫=‬
‫‪ .i‬מע׳ מסוג ‪ ⇐ 1‬עבור כניסת ריצה‬
‫‪ τ , τ2 + 4 > K > 0‬קובע את השגיאה המינימלית במצב מתמיד‪.‬‬
‫‪ .ii‬פ״ת מ־‪K d‬־‪ e‬מסוג ‪ ⇐ 0‬עבור כניסת ריצה ∞ → ‪ τ .ess‬לא משפיע‪.‬‬
‫‪ .5‬כדי למצוא את ‪ ess‬נשתמש בטבלאות שבשקפים ‪18‬־‪ 19‬בפרק ‪.5‬‬
‫• שגיאת המצב המתמיד עקב הכניסה בערך הרצוי‪ :‬יש ב־‪ CP‬אינטגרטור‪ ,‬ולכן‬
‫‪ ess = 0‬ועבור ‪ r(t) = 2t‬נקבל ‪.ess = 0.2‬‬
‫‪e‬‬
‫‪r‬‬
‫מע׳ מסוג ‪ :1‬עבור כניסה ‪ r(t) = 2‬נקבל‬
‫• שגיאה במצב מתמיד עקב כניסת ההפרעה‪ ⇐ B = C ,F = P ,R = −1 :‬מע׳ מסוג ‪ :1‬עבור כניסה ‪ d(t) = 0.5‬נקבל‬
‫‪ ess = 0‬ועבור ‪ d(t) = 0.5t‬נקבל ‪.ess = −0.25‬‬
‫‪.ess = erss + ed‬‬
‫המערכת ליניארית‪ ,‬לכן ניתן לעשות סופרפוזיציה‪ss :‬‬
‫)א( ‪.ess = 0 + 0 = 0‬‬
‫)ב( ‪.ess = 0 + 0.2 = 0.2‬‬
‫)ג( ‪.ess = −0.25 + 0 = −0.25‬‬
‫)ד( ‪.ess = −0.25 + 0.2 = −0.05‬‬
‫‪2‬‬
‫שאלה מס׳ ‪2‬‬
‫נתונה סכימת הבקרה בציור ‪ .1‬בכל אחד מהסעיפים הבאים עליכם לקבוע את מספר האינטגרטורים המינימלי האפשרי ב־)‪ P(s‬ו־)‪C(s‬‬
‫כך שתתקבלנה התגובות הבאות‪:‬‬
‫‬
‫‪−2t‬‬
‫‪ y(t) = 1(t) − e‬ותגובת אותה מערכת‬
‫א‪ .‬תגובת המערכת עבור כניסת מדרגה‪ ,r(t) = 1(t) ,‬היא )‪cos(2t) + 0.01 sin(2t‬‬
‫עבור כניסת מדרגה בהפרעה‪ ,d(t) = 1(t) ,‬היא )‪.y(t) = e−2t sin(2t‬‬
‫‬
‫ב‪ .‬שגיאת המערכת לכניסת מדרגה )‪ ,r(t) = 1(t‬היא )‪ e(t) = 1(t) − 1.2e−3t cos(2t) + 0.01 sin(2t‬ושגיאת אותה מערכת‬
‫להפרעת מדרגה )‪ ,d(t) = 1(t‬היא )‪.e(t) = −0.5e−3t sin(2t‬‬
‫ג‪ .‬שגיאת המערכת לכניסת ריצה ‪ ,r(t) = t‬היא )‪ e(t) = 0.85e−3t sin(10t‬ושגיאת אותה מערכת להפרעת מדרגה )‪,d(t) = 1(t‬‬
‫היא )‪.e(t) = −0.5e−3t sin(10t‬‬
‫פתרון לשאלה מס׳ ‪2‬‬
‫הערה‪ :‬היות ובכל סעיפי השאלה כל התגובות בזמן חסומות ברור שהחוג הסגור צריך להיות יציב‪.‬‬
‫ולכן שגיאת‬
‫א‪ .‬מתגובת המערכת )‪ ys (t‬הנתונה עבור כניסת מדרגה‪ ,r(t) = 1(t) ,‬ניתן לראות כי ‪= y(t → ∞) = 1‬‬
‫המצב המתמיד עבור כניסה זו היא ‪ .erss = 0‬לפי הטבלה הכללית לשגיאת המצב המתמיד‪ ,‬עבור כניסת מדרגה מספר‬
‫האינטגרטורים המינימלי הדרוש ב־)‪ B(s) = C(s)P(s‬הוא ‪) 1‬או ב־)‪ P(s‬או ב־)‪ .(C(s‬תגובת אותה מערכת לכניסת מדרגה‬
‫‪ .yb‬מאחר והתגובה להפרעה היא עבור ‪ ,r = 0‬אזי שגיאת המצב המתמיד‬
‫בהפרעה‪ ,d(t) = 1(t) ,‬נתונה כ־‪ss = y(t → ∞) = 0‬‬
‫‪ .ed‬מהטבלה הכללית לשגיאת המצב המתמיד‪ ,‬עבור כניסת מדרגה מספר האינטגרטורים המינימלי‬
‫עבור כניסת הפרעה היא ‪ss = 0‬‬
‫‪ .ed‬משתי הדרישות הנ״ל מס׳ האינטגרטורים המינימלי הוא אינטגרטור אחד‬
‫=‬
‫‪0‬‬
‫לקבל‬
‫ע״מ‬
‫הדרוש ב־)‪ B(s) = C(s‬הוא ‪1‬‬
‫‪ss‬‬
‫ב־)‪ C(s‬ואפס אינטגרטורים ב־)‪.P(s‬‬
‫‪yrss‬‬
‫‪ .ed‬מהטבלה‬
‫ב‪ .‬משגיאת המערכת עבור כניסת מדרגה‪ ,r(t) = 1(t) ,‬מתקבל כי שגיאת המצב המתמיד היא ‪ss = e(t → ∞) = 1‬‬
‫הכללית‪) 0 < |erss | < ∞ ,‬סופית אך שונה מאפס( מתקבלת אם ל־)‪ B(s) = C(s)P(s‬אין אינטגרטורים‪ .‬מתגובת אותה מערכת‬
‫‪ .ed‬לכן נדרש שב־)‪ B(s) = C(s‬יהיה אינטגרטור אחד‬
‫לכניסת מדרגה בהפרעה‪ ,d(t) = 1(t) ,‬מתקבל ש־‪ss = e(t → ∞) = 0‬‬
‫לפחות‪ .‬דבר זה סותר את הנתון )‪ .(erss = 1‬לפיכך‪ ,‬לא ניתן לקיים את שתי הדרישות בו זמנית‪.‬‬
‫ג‪ .‬משגיאת המערכת עבור כניסת ריצה‪ ,r(t) = t ,‬מתקבל ‪ .erss = e(t → ∞) = 0‬לשם כך נדרש שמספר האינטגרטורים המינימלי‬
‫‪.ed‬‬
‫ב־)‪ B(s) = C(s)P(s‬יהיה ‪ .2‬מתגובת אותה מערכת עבור כניסת מדרגה בהפרעה‪ ,d(t) = 1(t) ,‬מתקבל ‪ss = e(t → ∞) = 0‬‬
‫לכן דרוש שמספר האיטגרטורים המינימלי ב־)‪ B(s) = C(s‬יהיה ‪ .1‬לפיכך‪ ,‬יש שתי אפשרויות‪ :‬שני אינטגרטורים ב־)‪ C(s‬או‬
‫אינטגרטור אחד ב־)‪ C(s‬ואינטגרטור אחד ב־)‪ .P(s‬ס״ה מספר אינטגרטורים מינימלי ‪.2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪-‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‬‫‪s‬‬
‫
‬
‫‪d‬‬
‫‬
‫‬
‫?‬
‫‪1‬‬
‫‪- l‬‬‫‪Js‬‬
‫‬
‫
‬
‫‬
‫‬
‫ ‪K2‬‬
‫
‬
‫‬
‫‬
‫‪- l- l - K‬‬
‫‪1‬‬
‫‬‫‬‫
‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪r‬‬
‫ציור ‪ :2‬דיאגרמת הבלוקים‬
‫שאלה מס׳ ‪3‬‬
‫ציור ‪ 2‬מתאר מערכת לבקרת מתקן ״הליכה״ בחלל‪ J = 25 (kg m2 ) .‬הינו מומנט האינרציה של האסטרונאוט כולל הציוד‪.‬‬
‫‪ .1‬חשבו את פונקציות התמסורת הבאות‪, er :‬‬
‫‪e‬‬
‫‪d‬‬
‫)‪.(e = r − y‬‬
‫‪ .2‬מצאו את תחום ערכי ‪ K2 ,K1‬המבטיח את יציבות החוג הסגור‪.‬‬
‫‪ .3‬בציור ‪ 3‬נתונה תגובת המערכת לכניסת מדרגה בערך הרצוי‪ .‬מצאו את ערכי ‪ K2 ,K1‬המתאימים לתגובה זו‪.‬‬
‫‪ .4‬עבור הפרעת מדרגה בעוצמת יחידה )‪ d = 1(t‬ו־ ‪ K2 ,K1‬שמצאתם בסעיף ‪ ,3‬חשבו את שגיאת המצב המתמיד‪ ,‬תגובת היתר‪ ,‬זמן‬
‫הרגיעה ל־‪ ±5%‬מערך המצב המתמיד‪.‬‬
‫‪ .5‬ציירו במישור הפרמטרים את תחום ערכי ‪ K2 ,K1‬בו שגיאת המצב המתמיד ‪ ess < 0.05‬כאשר )‪ d = 1(t‬ו־)‪.r = t · 1(t‬‬
‫‪ .6‬בנוסף לסעיף ‪ 5‬דרישות הביצועים עבור כניסת מדרגה בערך הרצוי הן‪ :‬תגובת יתר ‪ ,OS < 15%‬וזמן רגיעה )‪ts < 15(sec‬‬
‫)לרמת הרגיעה של ‪ .(±5%‬רשמו את התנאים שעל ‪ K2 ,K1‬לקיים‪.‬‬
‫‪3‬‬
Step Response
1.4
1.2
Amplitude
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
5
10
15
20
25
Time (sec)
‫ תגובת המדרגה‬:3 ‫ציור‬
3 ‫פתרון לשאלה מס׳‬
:‫ נעביר את הדיאגרמת הבלוקים לצורה הבאה‬.1
r - lK1
6
d
?
1
- lJs2
1 + K2 s y
-
‫ דיאגרמת הבלוקים האקוויולנטית‬:4 ‫ציור‬
:‫נקבל‬
K
Tyr =
Ter =
K1 K2
J
1
y
Js2
=
=
r
1 + K1 (1 + K2 s) Js12
s2 +
K1
J
K1 K2
J s
1
+
,
K1
Tyd =
y
Js2
=
=
d
1 + K1 (1 + K2 s) Js12
s2 +
Ted =
e
−y
=
=
d
d
s2 +
J
s2 + K1JK2 s
e
r−y
=
=
,
r
r
s2 + K1JK2 s + KJ1
> 0 , KJ1 > 0 ‫ יציבות מובטחת כאשר‬:‫ מערכת מסדר שני‬χcl (s) = s2 +
1
J
K1 K2
J s
+
K1
J
− 1J
K1 K2
J s
K1 K2
K1
J s+ J
+
K1
J
:‫ הפ״א של המערכת בחוג הסגור‬.2
.K1 > 0 ∪ K2 > 0 ⇐
:‫ נקבל‬.tp = 5(sec) ,OS = 0.3 :‫ ניתן לחלץ את שני הפרמטרים‬5 ‫ שבגליון תרגילים‬2 ‫ מציור‬.3
s
ζ=
ln2 (OS)
π2 + ln2 (OS)
⇐
−πζ
ln (OS) − ζ ln (OS) = π ζ
⇐ ln(OS) = √
1 − ζ2
π
π
π
√
ωn = √
⇐ tp =
=
ωd
tp 1 − ζ2
ωn 1 − ζ2
2
2
2
2 2
√−πζ
⇐
OS = e
1−ζ2
:‫ ונקבל‬ωn = 0.67 ,ζ = 0.36 ‫נציב מספרים‬
K2 =
2Jζωn
K1
= 1.06
⇐
K1 K2
J
, K1 = Jω2n = 11.32
= 2ζωn
4
⇐
K1
J
= ω2n
‫‪ .4‬כדי למצוא את שגיאת המצב המתמיד נשתמש במשפט הערך הסופי עבור פה״ת מ־‪ d‬ל־‪ e‬שמצאנו בסעיף ‪:1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪= −0.0883‬‬
‫‪K1‬‬
‫‪ed‬‬
‫‪ss = Ted (0) = −‬‬
‫מכיוון שבמקרה שלנו לפונקציות התמסורת ‪ Tyr‬ו־ ‪ Tyd‬יש אותם קטבים ואפסים‪ ,‬תגובת היתר עבור כניסת הפרעה וכניסה בערך‬
‫הרצוי היא אותה תגובת יתר ‪ OS = 0.3‬וזמן הרגיעה ל־‪ ±5%‬הוא ‪.ST = ω3n ζ = 12.44‬‬
‫‪r‬‬
‫‪d‬‬
‫‪ ed‬מצאנו בסעיף ‪ ,4‬באותו אופן נמצא את ‪:erss‬‬
‫‪ .5‬מערכת ליניארית‪ ,‬לכן מתוך סופרפוזיציה‪ .ess = ess + ess :‬את ‪ss‬‬
‫‪s2 + K1JK2 s‬‬
‫‪1‬‬
‫‪K1 K2‬‬
‫‪s‬‬
‫=‬
‫‪= K2‬‬
‫‪s→0 s2 s2 + K1 K2 s + K1‬‬
‫‪K1‬‬
‫‪J‬‬
‫‪J‬‬
‫‪erss = lim‬‬
‫‬
‫‬
‫ ‪2 −1‬‬
‫‪< 0.05 ⇐ |ess | = K1 K‬‬
‫נקבל‪< 0.05 :‬‬
‫‪K1‬‬
‫‪− 0.05‬‬
‫‪1‬‬
‫‪K1‬‬
‫‪K1 K2 −1‬‬
‫‪K1‬‬
‫< ‪.−0.05‬‬
‫נקבל שני אי שיויונים‪:‬‬
‫‪+ 0.05‬‬
‫‪1‬‬
‫‪K1‬‬
‫> ‪ K2‬ו־‬
‫> ‪) K2‬בנוסף לתנאי היציבות‪ .( K2 > 0 , K1 > 0 :‬תחום ערכי ‪ K2 ,K1‬הדרוש נתון בציור מס׳ ‪.5‬‬
‫ציור ‪ :5‬מישור הפרמטרים‬
‫‪r‬‬
‫)‪ln2 (OS‬‬
‫> ‪ ζ‬ועבור ‪ ts |δ=0.05 < 15‬נקבל ‪= 0.2‬‬
‫‪ .6‬עבור ‪ OS < 0.15‬נקבל ‪= 0.52‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪π +ln2 (OS‬‬
‫‬
‫‪10‬‬
‫‪0.2 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪nζ‬‬
‫‪ K2 > K2J1 0.2 = K‬ו־‪= 3.7‬‬
‫‪ K2 = 2Jω‬ולכן נקבל‬
‫‪ .K1 > J 0.52‬לכן‪:‬‬
‫את הקשר ‪ K1 = Jωn‬ו־ ‪K1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪15‬‬
‫ו־‬
‫‪10‬‬
‫‪K1‬‬
‫> ‪ .ωn ζ‬בסעיף ‪ 3‬מצאנו‬
‫‪K1 > 3.7‬‬
‫> ‪. K2‬‬
‫שאלה מס׳ ‪4‬‬
‫בציור מס׳ ‪ 6‬נתונה תגובה למדרגת יחידה של מערכת מסוימת‪.‬‬
‫‪ .1‬מהו סדר המערכת המינימלי ?‬
‫‪ .2‬תכננו בקר כך ש‪ ess = 0 :‬עבור כניסות מדרגה בערך הרצוי ובהפרעה‪ OS < 10% ,‬עבור כניסות מדרגה בערך הרצוי‪.‬‬
‫פתרון לשאלה מס׳ ‪4‬‬
‫‪K‬‬
‫‪ .1‬התגובה של המערכת היא תגובה אופיינית למערכת מסדר ראשון מהצורה‪:‬‬
‫‪ .P(s) = τs+1‬ברור ש־‪ ,K = 5‬נמצא ‪ :τ‬עבור‬
‫מערכת מסדר ראשון זמן הרגיעה ל־‪ 37%‬שווה ל־‪ .τ‬מציור רואים שב־‪ 10‬שניות תגובת המערכת שווה בערך ל־‪,3.15‬כלומר‬
‫‪.τ = 10‬‬
‫‪ .2‬כדי לאפס את שגיאת המצב המתמיד עבור כניסת מדרגה בערך הרצוי ובהפרעה נשתמש בבקר עם אינטגרטור מהצורה‪:‬‬
‫‪0.5ki‬‬
‫‪CP‬‬
‫‪i‬‬
‫‪= 10s25k‬‬
‫‪ .G(s) = 1+CP‬מהדרישה ‪ OS < 0.1‬נחשב‬
‫‪= s2 +0.1s+0.5k‬‬
‫‪ .C(s) = ksi‬פה״ת של המערכת בחוג סגור‪:‬‬
‫‪+s+5ki‬‬
‫‪i‬‬
‫‪r‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪ .ki > 0.01 ⇐ 0.5ki = ωn ,2ζωn = 0.1 ⇐ ωn > 0.08 ,ζ = π2ln+ln(OS‬קיבלנו את הבקר‬
‫את ערכו של ‪> 0.59 :ζ‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪(OS‬‬
‫הבא‪:‬‬
‫‪0.02‬‬
‫‪s‬‬
‫= )‪. C(s‬‬
‫‪5‬‬
‫‪Step Response‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4.5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3.5‬‬
‫‪2.5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Amplitude‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪60‬‬
‫‪40‬‬
‫‪50‬‬
‫‪30‬‬
‫)‪Time (sec‬‬
‫‪20‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪10‬‬
‫ציור ‪ :6‬תגובת המדרגה‬
‫‪y‬‬
‫‪-‬‬
‫‪d‬‬
‫ ‬
‫ ‬
‫?‬
‫)‪- l - C(s) - l - P(s‬‬
‫‬‫ ‬
‫ ‬
‫‪6‬‬
‫‪r‬‬
‫ציור ‪ :7‬דיאגרמת הבלוקים‬
‫שאלה מס׳ ‪5‬‬
‫התהליך‬
‫‪1‬‬
‫)‪s(0.1s+1‬‬
‫= )‪ P(s‬מבוקר בחוג סגור כמתואר בציור מס׳ ‪ .7‬דרישות הביצועים הן‪:‬‬
‫• ‪ ess = 0‬עבור כניסת מדרגה בערך הרצוי‪.‬‬
‫• ‪ ess 6 0.1Ad‬לכניסת מדרגה בגובה ‪ Ad‬בהפרעה‪.‬‬
‫‪ .1‬עבור בקר ‪:C(s) = kp ,P‬‬
‫)א( מצאו את כל ערכי ‪ kp‬עבורם מתקיימות דרישות הביצועים‪.‬‬
‫)ב( מצאו את זמן הרגיעה ‪) ts‬מוגדר לפי רמת הרגיעה של ‪ (±5%‬ותגובת היתר אשר ניתן להשיג באמצעות בקר ‪ P‬עבור ערכו‬
‫המינימלי של ‪ kp‬המקיים את דרישות הביצועים‪.‬‬
‫)ג( מצאו את הערך המקסימלי של התגובה עם הבקר שהתקבל בסעיף ב׳ עבור‪:‬‬
‫‪.d = 0 ,r = 2 .i‬‬
‫‪.d = 1 ,r = 0 .ii‬‬
‫‪.d = 1 ,r = 2 .iii‬‬
‫‪ .2‬עבור בקר ‪.C(s) = kp + kd s :PD‬‬
‫)א( מצאו את תחום ערכי ‪ kd ,kp‬עבורם דרישות הביצועים מתקיימות‪.‬‬
‫)ב( ‪ .d = 1 ,r = 0‬בכל אחד מן המקרים הבאים חשבו את תגובת היתר‪ ,‬זמן העלייה וזמן הרגיעה ל־‪) ±1%‬מומלץ להשתמש‬
‫ב־‪ .(M ATLAB‬הסיקו מסקנות‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1000‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪10‬‬
‫‪1‬‬
‫‪6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1000‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪10‬‬
‫‪0‬‬
‫‪kp‬‬
‫‪kd‬‬
‫פתרון לשאלה מס׳ ‪5‬‬
‫‪ .1‬עבור בקר ‪.C(s) = kp :P‬‬
‫)א( נבדוק יציבות‪ :‬הפ״א של המערכת בחוג סגור ‪ ,χcl (s) = s2 + 10s + 10kp‬המערכת יציבה עבור ‪.kp > 0‬‬
‫‪1‬‬
‫•‬
‫‪ : er = 1+CP‬מערכת מסוג ‪ erss = 0 ⇐ 1‬שגיאת המצב המתמיד עבור כניסת מדרגה בערך הרצוי לא תלויה ב־ ‪.kp‬‬
‫תשובה‪ :‬כל ‪ kp‬עבורו מערכת יציבה‪.‬‬
‫ )‪ R(0‬‬
‫‪−P‬‬
‫‪−‬‬
‫)‪ ,ed = −1R(0‬נקבל‪ 6 0.1R(0) :‬‬
‫•‬
‫‪ :R = −1 ,B = C ,F = P , de = 1+CP‬מערכת מסוג ‪:0‬‬
‫)‪= − R(0‬‬
‫‪ss‬‬
‫‪Kp‬‬
‫‪kp‬‬
‫‪F (0)+kp‬‬
‫⇐ ‪) −10 > kp > 10‬נוסיף תנאי היציבות‪.Kp > 10 ⇐ (Kp > 0 :‬‬
‫‪100‬‬
‫‪s2 +10s+100‬‬
‫)ב( פה״ת של המערכת בחוג הסגור כאשר ‪:kp = 10‬‬
‫√‬
‫‪2‬‬
‫‪.OS = e−πζ/ 1−ζ = 0.163 ,ts |δ=0.05 = ω3n ζ = 0.6‬‬
‫=‬
‫‪10kp‬‬
‫‪s2 +10s+10kp‬‬
‫=‬
‫‪CP‬‬
‫‪1+CP‬‬
‫=‬
‫‪y‬‬
‫‪r‬‬
‫⇐ ‪.ζ = 0.5 ,ωn = 10‬‬
‫)ג( לפי ההגדרה‪.ymax = (1 + OS)yss :‬‬
‫‪ymax = (1 + 0.163)2 = 2.326 .i‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ 0.1) ymax = (1 + 0.163)0.1 = 0.1163 .ii‬הינו ההגבר הסטטי של‬
‫‪(d‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ d‬יש אותם קטבים ואפסים ולכן לאחר כניסת המדרגה בערך הרצוי ובהפרעה תגובות‬
‫‪ .iii‬לפונקציות התמסורת ‪ yr‬ו־‬
‫המערכת מגיעות למקסימום בו זמנית‪ymax = (1 + 0.163)(2 + 0.1) = 2.4423 .‬‬
‫‪ .2‬עבור בקר ‪.C(s) = kp + kd s :PD‬‬
‫)א( נבדוק יציבות‪ :‬הפ״א של המערכת בחוג סגור ‪ ,χcl (s) = s2 +10(1+kd )s+10kp‬מערכת יציבה עבור ‪ kp > 0‬ו־‪.kd > −1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ : er = 1+CP‬מערכת מסוג ‪ erss = 0 ⇐ 1‬שגיאת המצב המתמיד עבור כניסת מדרגה בערך הרצוי לא תלויה ב־ ‪kp‬‬
‫•‬
‫ו־ ‪ .kd‬תשובה‪ :‬כל ‪ kp‬ו־ ‪ kd‬עבורם מערכת יציבה‪.‬‬
‫ )‪ R(0‬‬
‫‪−P‬‬
‫‪−‬‬
‫)‪ ,ed = −1R(0‬נקבל‪ 6 0.1R(0) :‬‬
‫‪ :R = −1 ,B = C ,F = P , de = 1+CP‬מערכת מסוג ‪:0‬‬
‫•‬
‫)‪= − R(0‬‬
‫‪ss‬‬
‫‪kp‬‬
‫‪kp‬‬
‫‪F (0)+kp‬‬
‫⇐ ‪) −10 > kp > 10‬נוסיף תנאי היציבות‪ kp > 10 ⇐ (kd > −1 ,kp > 0 :‬ו־‪.kd > −1‬‬
‫)ב( בציור ‪ 8‬מתוארת תגובת המערכת לכניסת מדרגה בהפרעה עבור ‪ kp‬ו־ ‪ kd‬שונים‪.‬‬
‫‪Step Response‬‬
‫‪Step Response‬‬
‫‪−3‬‬
‫‪x 10‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−0.2‬‬
‫‪Kp=1000, Kd=0‬‬
‫‪Kp=1000, Kd=1‬‬
‫‪−0.02‬‬
‫‪Kp=10, Kd=0‬‬
‫‪Kp=10, Kd=1‬‬
‫‪−0.4‬‬
‫‪−0.6‬‬
‫‪−0.04‬‬
‫‪Amplitude‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪−1.2‬‬
‫‪−0.08‬‬
‫‪Amplitude‬‬
‫‪−0.06‬‬
‫‪−0.8‬‬
‫‪−1.4‬‬
‫‪−1.6‬‬
‫‪−0.1‬‬
‫‪−1.8‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪Time (sec‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪−0.12‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0.8‬‬
‫‪0.4‬‬
‫‪0.6‬‬
‫‪0.2‬‬
‫‪−2‬‬
‫‪0‬‬
‫)‪Time (sec‬‬
‫)ב(‬
‫)א(‬
‫ציור ‪ :8‬תגובת המערכת עבור ‪ Kp‬ו־ ‪ Kd‬שונים‬
‫הנתונים שהתקבלו מ־‪:M ATLAB‬‬
‫)‪ts (sec‬‬
‫‪0.878‬‬
‫‪0.915‬‬
‫‪0.664‬‬
‫‪0.448‬‬
‫)‪tr (sec‬‬
‫‪0.165‬‬
‫‪0.0106‬‬
‫‪0.336‬‬
‫‪0.011‬‬
‫)‪OS(%‬‬
‫‪16.3‬‬
‫‪85.4‬‬
‫‪0‬‬
‫‪72.9‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫ע״י שינוי ‪ kp‬ניתן לשנות את ה־ ‪ tr‬ואת שגיאת המצב המתמיד של המערכת‪ .‬ע״י שינוי ‪ kd‬ניתן להשפיע על הריסון של המערכת‬
‫ובכך לשנות את ה־‪.OS‬‬
‫‪7‬‬
‫כדי לחשב את תגובת המערכת ב־‪ M ATLAB‬ניתן להשתמש בתוכנית הבאה‪:‬‬
‫;‪Kp = 1000‬‬
‫;‪Kd = 1‬‬
‫;)]‪P = tf([1],[0.1 1 0‬‬
‫‪% Process‬‬
‫;)]‪C = tf([Kd Kp],[1‬‬
‫‪% Controller‬‬
‫‪%%%%%% another way to define P and C : %%%%%%‬‬
‫‪%‬‬
‫;‪% s=tf(’s’); P=1/(0.1*sˆ2+s); C=Kp+Kd*s‬‬
‫‪%‬‬
‫‪%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%‬‬
‫;)‪Ted = -P/(1+C*P‬‬
‫‪% TF from d to e‬‬
‫;‪t = 0:0.0005:1‬‬
‫‪% time‬‬
‫;)‪step(Ted,t‬‬
‫‪% Step response of Ted‬‬
‫‪y‬‬
‫‪-‬‬
‫‬
‫‬
‫‪d‬‬
‫‬
‫ ‬
‫?‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪l‬‬‫‬‫‪Js+B‬‬
‫‪s‬‬
‫‬‫
‬
‫‬
‫
‬
‫‪6‬‬
‫‬
‫‬
‫ ‪KT‬‬
‫
‬
‫‬
‫‬
‫‬‫‬
‫‪K‬‬
‫‬
‫‪- l‬‬‫‬‫
‬
‫‪6‬‬
‫‪r‬‬
‫ציור ‪ :9‬דיאגרמת הבלוקים‬
‫שאלה מס׳ ‪6‬‬
‫‪Nm‬‬
‫‪ B = 1 [ rad/sec‬ו־] ‪ .J = 1 [kg m2‬הבקרים‬
‫ציור מס׳ ‪ 9‬מתאר מערכת סרוו בעלת שני משובים‪ :‬משוב מהירות ומשוב מקום‪ .‬נתונים ]‬
‫‪ K‬ו־ ‪ KT‬ניתנים לכיוונון‪.‬‬
‫‪y y‬‬
‫‪ .1‬חשבו את פונקציות התמסורת ‪, r‬‬
‫‪.d‬‬
‫‪ .2‬מהם ערכי ‪ K‬ו־ ‪ KT‬המבטיחים את יציבות החוג הסגור ?‬
‫‪ .3‬מצאו ערכי ‪ K‬ו־ ‪ KT‬המבטיחים זמן שיא ראשון של )‪ tp ≈ 0.57(sec‬וזמן רגיעה של )‪) ts ≈ 2.86(sec‬לרמת הרגיעה של ‪.(±5%‬‬
‫‪ .4‬מהו ה־‪ OS‬הצפוי בתגובה לכניסת מדרגה בערך הרצוי עם ‪ K‬ו־ ‪ KT‬שחושבו בסעיף ‪? 3‬‬
‫‪ .5‬מהן שגיאות המצב המתמיד לכניסת מדרגה בערך הרצוי ? בהפרעה ? )‪.(e = r − y‬‬
‫‪ .6‬מהן שגיאות המצב המתמיד לכניסת ריצה בערך הרצוי? בהפרעה ?‬
‫פתרון לשאלה מס׳ ‪6‬‬
‫‪ .1‬נמצא את פה״ת של החוג הפנימי‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫) ‪Js + (B + KT‬‬
‫‪1‬‬
‫‪Js+b‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 + KT Js+b‬‬
‫= )‪Gin (s‬‬
‫נקבל‪:‬‬
‫)‪(1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪K Js+(B+K‬‬
‫‪K‬‬
‫‪y‬‬
‫‪K‬‬
‫‪T) s‬‬
‫=‬
‫‪= 2‬‬
‫‪= 2‬‬
‫‪,‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪r‬‬
‫‪Js‬‬
‫‪+‬‬
‫‪(B‬‬
‫‪+‬‬
‫‪K‬‬
‫‪)s‬‬
‫‪+‬‬
‫‪K‬‬
‫‪s‬‬
‫‪+‬‬
‫‪(1‬‬
‫‪+‬‬
‫‪KT )s + K‬‬
‫‪1 + K Js+(B+KT ) s‬‬
‫‪T‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪(2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪y‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪Js+(B+KT ) s‬‬
‫=‬
‫‪= 2‬‬
‫‪= 2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪d‬‬
‫‪Js‬‬
‫‪+‬‬
‫‪(B‬‬
‫‪+‬‬
‫‪K‬‬
‫‪)s‬‬
‫‪+‬‬
‫‪K‬‬
‫‪s‬‬
‫‪+‬‬
‫‪(1‬‬
‫‪+‬‬
‫‪KT )s + K‬‬
‫‪1 + K Js+(B+K‬‬
‫‪T‬‬
‫‪T) s‬‬
‫‪ .2‬הפ״א של המערכת בחוג הסגור‪ .χcl (s) = s2 + (1 + KT )s + K :‬המערכת יציבה עבור‪ K > 0 :‬ו־‪.KT > −1‬‬
‫‪8‬‬
‫‪ .3‬אנו יודעים ש‬
‫‪π‬‬
‫√ = ‪tp‬‬
‫‪1 − ζ2 ωn‬‬
‫מכאן נקבל‪:‬‬
‫‪2.88‬‬
‫≈‬
‫ו־‬
‫‪3‬‬
‫‪(−ζ + 0.64ζ2 + 0.96ζ)ωn‬‬
‫‪ts |δ=0.05‬‬
‫‪2.88‬‬
‫‪π‬‬
‫=‬
‫√ = ‪ωn‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(−ζ + 0.64ζ2 + 0.96ζ)ts‬‬
‫‪1 − ζ tp‬‬
‫או‪ ,‬בהצבת הערכים המספריים של ‪ tp‬ו־ ‪:ts‬‬
‫‪1.01‬‬
‫‪5.51‬‬
‫=‬
‫√ = ‪ωn‬‬
‫‪.‬‬
‫‪−ζ3 + 0.64ζ2 + 0.96ζ‬‬
‫‪1 − ζ2‬‬
‫ניתן להיווכח כי הערך הממשי היחיד של ‪ ζ‬בתחום )‪ (0, 1‬המתקבל מפתרון המשוואה הנ״ל הינו‪:‬‬
‫‪ζ ≈ 0.173‬‬
‫ומכאן‪:‬‬
‫‪ωn ≈ 5.596.‬‬
‫ממשוואה )‪ (1‬ניתן לראות ש־ ‪ K = ω2n‬ו־‪ .KT = 2ζωn − 1‬מכאן נמצא ש־ ‪ K = 31.314‬ו־ ‪ . KT = 0.935‬כדי לבדוק‬
‫שפרמטרים שמצאנו אמנם נכונים נבצע סימולציה של המערכת בחוג הסגור עבור כניסת מדרגה‪ .‬בציור מס׳ ‪ 10‬ניתן לראות‬
‫שהפרמטרים שמצאנו אכן מקיימים את הדרישות‪.‬‬
‫‪Step Response‬‬
‫‪1.6‬‬
‫‪1.4‬‬
‫‪1.2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪Amplitude‬‬
‫‪0.8‬‬
‫‪0.6‬‬
‫‪0.4‬‬
‫‪0.2‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫)‪Time (sec‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫ציור ‪ :10‬תגובת המדרגה‬
‫√‬
‫‪ .4‬נמצא את תגובת היתר‪· 100% ≈ 57.6 :‬‬
‫‪ .5‬נסמן ‪C(s) = K‬‬
‫‪1‬‬
‫ו־‬
‫‪s2 +(1+KT )s‬‬
‫‪1−ζ2‬‬
‫‪.OS = e−πζ/‬‬
‫˘‬
‫)‪.P(s‬‬
‫=‬
‫• שגיאת המצב המתמיד עקב כניסת המדרגה בערך הרצוי‪ :‬פ״ת מ־‪ r‬ל־‪:e‬‬
‫• שגיאת המצב המתמיד עקב כניסת המדרגה בהפרעה‪ :‬פ״ת מ־‪ d‬ל־‪:e‬‬
‫‪1‬‬
‫‪= −K‬‬
‫מסוג ‪= −0.03 ⇐ 0‬‬
‫‪.6‬‬
‫)‪R(0‬‬
‫‪L−1‬‬
‫‪f (0)+kp‬‬
‫‪1‬‬
‫˘‬
‫‪1+CP‬‬
‫˘‬
‫‪−P‬‬
‫˘‬
‫‪1+CP‬‬
‫=‬
‫‪e‬‬
‫‪r‬‬
‫⇐ מערכת מסוג ‪.erss = 0 ⇐ 1‬‬
‫= ‪ ⇐ R = −1 ,B = C ,F = P ; de‬מערכת‬
‫‪.ed‬‬
‫= ‪ss‬‬
‫• שגיאת המצב המתמיד עקב כניסת ריצה בערך הרצוי עבור מערכת מסוג ‪= 0.07 :1‬‬
‫‪ed‬‬
‫• שגיאת המצב המתמיד עקב כניסת ריצה בהפרעה עבור מערכת מסוג ‪ss = ∞ :0‬‬
‫‪9‬‬
‫‪KT +1‬‬
‫‪K‬‬
‫=‬
‫‪1‬‬
‫‪kv‬‬
‫= ‪.erss‬‬