s - Technion moodle

‫טכניון – הפקולטה להנדסת חשמל‬
‫חורף תשע"ו‬
‫הרצאות במערכות בקרה ‪)044191( 1‬‬
‫פרופ' נחום שימקין‬
‫הרצאה ‪ :11‬דיאגרמת ‪Root Locus‬‬
‫דיאגרמת )‪ Root Locus (R.L.‬מהווה כלי נוסף להסקת תכונות מערכת משוב ישירות מתוך תמסורת‬
‫החוג )‪ . G( s) H ( s‬בדיאגרמה זו אנו מתארים את המיקום הגיאומטרי )‪ (Locus‬של קטבי החוג‬
‫הסגור כתלות בפרמטר ההגבר ‪ ,K‬תוך שימוש בכללים גיאומטריים פשוטים‪.‬‬
‫דיאגרמת ‪ R.L.‬הוצעה ע"י )‪ Walter R. Evans (1920-1999‬ב‪ ,1949 -‬והיא מהווה כלי חשוב בניתוח‬
‫ותכן מערכות משוב‪.‬‬
‫אנו עוסקים במערכת המשוב הבסיסית‪:‬‬
‫) ‪y (t‬‬
‫) ‪G( s‬‬
‫‪‬‬
‫‪K‬‬
‫) ‪r (t‬‬
‫‪‬‬
‫)‪H (s‬‬
‫ההגבר ‪ K‬הוא כמובן חלק מהתמסורת הקדמית‪ ,‬אולם פה אנו מציינים אותו בנפרד כפרמטר הניתן‬
‫לשינוי‪ .‬תמסורת החוג היא ) ‪ . L( s)  K G( s ) H ( s‬פונקציית התמסורת של החוג הסגור הינה‪:‬‬
‫)‪K G( s‬‬
‫) ‪1  KG( s ) H ( s‬‬
‫‪T ( s) ‬‬
‫עיקר עיסוקנו בהרצאה זו יהיה במיקום הקטבים של המערכת‪ ,‬כלומר שורשי המשוואה האופיינית‬
‫‪ . 1  K G( s) H ( s)  0‬אולם לפני כן נבדוק מיהם האפסים של ) ‪. T ( s‬‬
‫‪11 - 1‬‬
‫מערכות בקרה ‪1‬‬
‫הרצאה ‪Root Locus :11‬‬
‫‪ .11.1‬מיקום האפסים של תמסורת החוג הסגור‬
‫מהתבוננות ב‪ T ( s ) -‬ברור כי האפסים של ) ‪ G ( s‬הינם גם אפסים של ) ‪ . T ( s‬אולם עשויים להיות גם‬
‫אפסים נוספים‪.‬‬
‫כדי לראות זאת‪ ,‬נרשום את ) ‪ G ( s‬ו‪ H ( s ) -‬כמנת פולינומים‪:‬‬
‫) ‪nH ( s‬‬
‫)‪d H ( s‬‬
‫‪H ( s) ‬‬
‫) ‪nG ( s‬‬
‫‪,‬‬
‫)‪dG ( s‬‬
‫‪G( s) ‬‬
‫נניח כי אין גורמים משותפים בין המונה למכנה‪ ,‬וכן כי פונקציות התמסורת שונות מאפס‪ .‬לאחר הצבה‬
‫והכפלה נקבל‪:‬‬
‫) ‪nG ( s‬‬
‫)‪dG ( s‬‬
‫) ‪K nG ( s )d H ( s‬‬
‫‪T ( s) ‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪n ( s ) nH ( s ) d G ( s )d H ( s )  KnG ( s )nH ( s‬‬
‫‪1 K G‬‬
‫)‪dG ( s) d H ( s‬‬
‫‪K‬‬
‫מכן נקבל כי‪ T ( s)  0 :‬אם ורק אם ‪. nG ( s)d H ( s)  0‬‬
‫‪‬‬
‫הערה‪ :‬כדי לוודא טענה "ברורה" זו יש לוודא כי אם ‪ nG ( s)d H ( s)  0‬אזי המכנה שונה מאפס‪.‬‬
‫בדקו זאת!‬
‫קיבלנו את המסקנה הבאה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫אפסי פונקציית התמסורת ) ‪ T ( s‬הינם‪{ :‬אפסי ) ‪{ + } G ( s‬קטבי ) ‪} H ( s‬‬
‫("‪ "+‬במובן איחוד)‪.‬‬
‫בפרט‪ ,‬נציין כי אפסי ) ‪ T ( s‬אינם תלויים בהגבר ‪. K‬‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫‪s 1‬‬
‫‪2 s  10‬‬
‫‪, H ( s) ‬‬
‫)‪s( s  3‬‬
‫‪s  10‬‬
‫‪G( s) ‬‬
‫‪ T ( s) ‬‬
‫‪11 - 2‬‬
‫מערכות בקרה ‪1‬‬
‫הרצאה ‪Root Locus :11‬‬
‫‪ .11.2‬מיקום קטבי החוג הסגור ‪ -‬דוגמאות‬
‫נעבור עתה לקטבי החוג הסגור‪ .‬נתחיל בשתי דוגמאות פשוטות‪.‬‬
‫‪s 1‬‬
‫‪, H ( s)  1‬‬
‫‪s3‬‬
‫דוגמא ‪:1‬‬
‫‪G( s) ‬‬
‫‪KG‬‬
‫)‪K ( s  1‬‬
‫‪ ... ‬‬
‫‪1  KGH‬‬
‫)‪( s  3)  K ( s  1‬‬
‫פונקציית התמסורת‪:‬‬
‫‪T ( s) ‬‬
‫את הקטבים ניתן לקבל (גם) ישירות מהמשוואה האופיינית‪:‬‬
‫‪s 1‬‬
‫‪ 0  ( s  3)  K ( s  1)  (1  K ) s  (3  K )  0‬‬
‫‪s3‬‬
‫‪3 K‬‬
‫‪1 K‬‬
‫‪1  KG( s) H ( s)  1  K‬‬
‫‪pc  ‬‬
‫נצייר את מיקום הקוטב שקיבלנו כתלות בהגבר ‪ , K‬כאשר ‪ K‬משתנה מ‪ 0 -‬ל‪:  -‬‬
‫}‪Im{s‬‬
‫}‪Re{s‬‬
‫‪O‬‬
‫‪X‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪s( s  4‬‬
‫דוגמא ‪:2‬‬
‫‪K‬‬
‫‪ 0  s 2  4s  K  0‬‬
‫)‪s( s  4‬‬
‫‪KG( s ) H ( s )  K‬‬
‫‪1  KG( s) H ( s)  1 ‬‬
‫קטבי החוג הסגור (שהם פתרונות המשוואה האופיינית)‪:‬‬
‫‪c‬‬
‫‪p1,2‬‬
‫‪ ...‬‬
‫‪11 - 3‬‬
‫מערכות בקרה ‪1‬‬
‫הרצאה ‪Root Locus :11‬‬
‫‪K ‬‬
‫}‪Im{s‬‬
‫‪K 0‬‬
‫}‪Re{s‬‬
‫‪K 4‬‬
‫‪X‬‬
‫‪2‬‬
‫‪K 0‬‬
‫‪X‬‬
‫‪4‬‬
‫‪K ‬‬
‫‪‬‬
‫הציור כולל שני "ענפים"‪ ,‬כאשר כל ענף כזה מתאר את השתנותו של קוטב אחד‪ ,‬כאשר ‪ K‬גדל מ‪-‬‬
‫‪ 0‬ל‪.  -‬‬
‫‪‬‬
‫‪c‬‬
‫‪ . p1,2‬אלו נקודות ההתחלה של הענפים‪.‬‬
‫עבור ‪ K  0‬הקטבים הם בנקודות ‪ 0, 4‬‬
‫‪‬‬
‫‪c‬‬
‫עבור ‪ K  4‬מתקבל קוטב כפול‪ 2, 2 ,‬‬
‫‪ . p1,2‬גרפית‪ ,‬הענפים נפגשים בנקודה זו‪ ,‬ונפרדים‬
‫שוב‪.‬‬
‫‪‬‬
‫עבור ‪ K  4‬מתקבלים שני קטבים מרוכבים‪.‬‬
‫‪ .11.3‬כלל הפאזה וכלל ההגבר‬
‫מטרתנו בהמשך לפתח כללים גיאומטריים שיאפשרו לשרטט (בקרוב) את דיאגרמת מיקום השורשים‬
‫גם למערכות מסובכות יותר‪ .‬הבסיס לכללים אלה הם כלל ההגבר והפאזה שנתאר פה‪ .‬ראשית נגדיר‬
‫פורמאלית את דיאגרמת מיקום השורשים‪.‬‬
‫הגדרה‪ :‬דיאגרמת מיקום השורשים (‪ )Root Locus‬עבור הגבר ‪ K  0‬מתארת באופן גראפי את‬
‫השתנות הפתרונות של המשוואה האופיינית ‪ , 1  KG( s) H ( s)  0‬כאשר ההגבר ‪ K‬משתנה מ‪0-‬‬
‫עד ‪. ‬‬
‫באופן דומה ניתן להגדיר את דיאגרמת מיקום השורשים עבור ‪ , K  0‬כלומר ‪ K‬משתנה מ‪ 0-‬עד‬
‫‪. ‬‬
‫‪11 - 4‬‬
‫מערכות בקרה ‪1‬‬
‫הרצאה ‪Root Locus :11‬‬
‫נרשום את המשוואה האופיינית באופן הבא‪ ,‬כך שההגבר ‪ K‬מופרד מהתמסורת‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪K‬‬
‫‪G( s) H ( s)  ‬‬
‫(*)‬
‫על ידי התייחסות נפרדת לפאזה של משוואה זו‪ ,‬נקבל את הכלל החשוב הבא‪:‬‬
‫א‪ .‬כלל הפאזה‪ :‬ממשוואה (*) אנו מסיקים כי נקודה ‪" s0‬נמצאת על ה‪ "R.L. -‬עבור ‪( K  0‬כלומר‪:‬‬
‫מהווה שורש של המשוואה האופיינית עבור ‪ K  0‬כלשהו) אם ורק אם ) ‪ G( s0 ) H ( s0‬הוא מספר‬
‫ממשי שלילי‪ .‬לפיכך‪:‬‬
‫‪‬‬
‫נקודה ‪ s0‬נמצאת על ה‪( R.L. -‬עבור ‪ ) K  0‬אם ורק אם מתקיים כי‪:‬‬
‫‪ 0,1,2,‬‬
‫‪G( s0 ) H ( s0 )  180o  360o ,‬‬
‫באופן דומה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫נקודה ‪ s0‬נמצאת על ה‪( R.L. -‬עבור ‪ ) K  0‬אם ורק אם‪:‬‬
‫‪G( s0 ) H ( s0 )  0o  360o ,‬‬
‫‪ 0,1,2,‬‬
‫ב‪ .‬כלל ההגבר‪ :‬נניח כי נקודה ‪ s0‬נמצאת על ה‪ ,R.L. -‬כלומר מהווה שורש של המשוואה האופיינית‬
‫עבור הגבר ‪ K‬מסוים‪ .‬מהו ‪ K‬זה?‬
‫התשובה מיידית‪ :‬מתוך השוויון ‪ , 1  KG( s0 ) H ( s0 )  0‬נקבל‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫) ‪G ( s0 ) H ( s0‬‬
‫‪K‬‬
‫כיוון ש‪ K -‬ממשי‪ ,‬ניתן לכתוב את ערכו גם כערך מוחלט‪:‬‬
‫באם ‪ s0‬נמצאת על ה‪ R.L. -‬עבור ‪ , K  0‬אזי‬
‫‪1‬‬
‫| ) ‪| G ( s0 ) H ( s0‬‬
‫‪K‬‬
‫עבור ‪ K  0‬יש להוסיף כמובן סימן מינוס‪.‬‬
‫סיכום ביניים‪:‬‬
‫‪‬‬
‫כלל הפאזה מאפשר לקבוע באם נקודה נמצאת על ה‪( R.L.-‬עבור הגבר כלשהו)‪.‬‬
‫‪‬‬
‫כלל ההגבר מאפשר לחשב את ההגבר המתאים לנקודה שנמצאת על ה‪.R.L.-‬‬
‫‪‬‬
‫מסקנה מכלל ההגבר‪ :‬לכל נקודה ‪ s0‬על ה‪ R.L. -‬מתאים הגבר אחד ויחיד ‪.‬‬
‫‪11 - 5‬‬
‫מערכות בקרה ‪1‬‬
‫הרצאה ‪Root Locus :11‬‬
‫הפרוש הגיאומטרי של כלל הפאזה‪ :‬לכלל הפאזה פירוש גיאומטרי בעל חשיבות‪ .‬נניח כי תמסורת החוג‬
‫(ללא ההגבר ‪ ) K‬נתונה על ידי‪:‬‬
‫‪A0‬‬
‫) ‪A( s  z1 )   ( s  zm‬‬
‫‪,‬‬
‫) ‪( s  p1 )   ( s  pn‬‬
‫‪n‬‬
‫‪m‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪j 1‬‬
‫‪G( s) H (s) ‬‬
‫) ‪G ( s ) H ( s )   ( s  z j )  ( s  pi‬‬
‫לפיכך‪:‬‬
‫את כלל הפאזה (עבור ‪ ) K  0‬ניתן עתה לפרש באופן הבא‪ .‬נקודה ‪ s0‬נמצאת על ה‪ RL-‬אם ורק אם‪:‬‬
‫‪m‬‬
‫‪( s0  pi )   ( s0  z j )  180o  360o‬‬
‫‪j 1‬‬
‫‪( s0  z j ) , i‬‬
‫אם נגדיר (עבור נקודה ‪ s0‬נתונה) ) ‪( s0  pi‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪ , j‬נקבל את התנאי‪:‬‬
‫‪m‬‬
‫‪n‬‬
‫‪j 1‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪i   j  180o  360o‬‬
‫הפירוש הגיאומטרי של זוויות אלו מוראה בציור‪.‬‬
‫‪s0‬‬
‫}‪Im{s‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪X‬‬
‫‪p1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪d1‬‬
‫‪3‬‬
‫}‪Re{s‬‬
‫‪p3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪X‬‬
‫‪2‬‬
‫‪O‬‬
‫‪2‬‬
‫‪p2 X‬‬
‫הפרוש הגיאומטרי של כלל ההגבר‪ :‬לכלל ההגבר פירוש גיאומטרי דומה (אם כי חשיבותו פחותה)‪.‬‬
‫מכלל ההגבר נקבל (ראו הציור לעיל)‪:‬‬
‫‪in1 i‬‬
‫‪A  mj 1d j‬‬
‫| ‪in1 | s0  pi‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫| ‪| G ( s0 ) H ( s0 ) | A  mj 1 | s0  z j‬‬
‫‪11 - 6‬‬
‫‪K‬‬
‫מערכות בקרה ‪1‬‬
‫הרצאה ‪Root Locus :11‬‬
‫‪ .11.4‬כללי שרטוט דיאגרמת ‪Root-Locus‬‬
‫ראשית‪ ,‬יש להביא את פונקציית התמסורת של החוג ל"צורה סטנדרטית לציור ‪:"RL‬‬
‫) ‪( s  z1 )   ( s  zm‬‬
‫) ‪( s  p1 )   ( s  pn‬‬
‫‪KG ( s) H ( s)  K‬‬
‫נשים לב כי ההגבר הקבוע של )‪ G( s) H (s‬נכלל בפרמטר ההגבר ‪ , K‬לשם נוחיות‪.‬‬
‫המשוואה האופיינית של המערכת היא ‪ , 1  KG( s) H ( s)  0‬או בצורת פולינום‪:‬‬
‫‪in1 (s  pi )  K   mj 1( s  z j )  0‬‬
‫הכללים להלן מתייחסים לשתי האפשרויות‪:‬‬
‫א‪ .‬שרטוט ‪ R.L.‬עבור ‪ : K  0‬כלומר ההגבר ‪ K‬משתנה מ‪ 0 -‬עד ‪. ‬‬
‫ב‪ .‬שרטוט ‪ R.L.‬עבור ‪ : K  0‬כלומר ההגבר ‪ K‬משתנה מ‪ 0 -‬עד ‪. ‬‬
‫חלק מהכללים משותפים‪ ,‬כאשר קיימים הבדלים הם יצוינו במפורש‪.‬‬
‫כלל ‪ 1‬מספר ענפי ה‪ R.L. -‬הוא‬
‫‪. n0  max(m, n)  max  # p,# z ‬‬
‫השרטוט כולו הוא סימטרי ביחס לציר הממשי‪.‬‬
‫כלל ‪ 2‬נקודות קצה של ה‪: R.L. -‬‬
‫כל ענף של ה‪ R.L. -‬מתחיל ‪ K  0‬בקוטב שונה של החוג הפתוח ( ‪ ) pi‬ומסתיים )‪( K  ‬‬
‫באפס שונה של החוג הפתוח ( ‪ .) z j‬כשמספר הקטבים (או האפסים) גדול ממספר האפסים (קטבים)‬
‫אזי לצורך זה האפסים \קטבים החסרים נמצאים ב‪ ,  -‬והענף שואף לאינסוף לאורך "אסימפטוטות"‬
‫(ראו להלן)‪.‬‬
‫כלל ‪ 3‬ה‪ R.L. -‬על הציר הממשי‪:‬‬
‫עבור ‪: K  0‬‬
‫נקודה על הציר הממשי תימצא על ה‪ R.L. -‬אם סכום מספר הקטבים והאפסים‬
‫הממשיים (של החוג הפתוח) מימינה הוא אי זוגי‪.‬‬
‫עבור ‪: K  0‬‬
‫כלל ‪4‬‬
‫כנ"ל‪ ,‬עם מספר זוגי‪.‬‬
‫אסימפטוטות‪:‬‬
‫האסיפטוטות הן קווים ישרים (קרניים) אליהם שואפים ענפי ה‪ R.L. -‬ההולכים ל‪.  -‬‬
‫‪‬‬
‫מספר האסיפטוטות‪:‬‬
‫‪n m‬‬
‫‪11 - 7‬‬
‫‪# p #z‬‬
‫‪N‬‬
‫מערכות בקרה ‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫הרצאה ‪Root Locus :11‬‬
‫זווית האסיפטוטות‪: K  0 :‬‬
‫‪0, 1,..., N 1‬‬
‫‪l‬‬
‫‪:K 0‬‬
‫‪0, 1,..., N 1‬‬
‫‪l‬‬
‫‪1‬‬
‫‪N‬‬
‫‪2l‬‬
‫‪2l‬‬
‫‪N‬‬
‫מפגש האסימפטוטות‪ :‬כל האסימפטוטות נפגשות בנקודה אחת על הציר הממשי‪ ,‬שערכה‪:‬‬
‫‪ pi   z j‬‬
‫‪# p #z‬‬
‫‪0 ‬‬
‫כלל ‪ 5‬א' זווית עזיבה מקוטב מרוכב (או כניסה לאפס מרוכב( של החוג הפתוח‪:‬‬
‫‪ : K  0‬זווית עזיבה ‪ ‬מקוטב בנקודה ‪: s0‬‬
‫זווית כניסה ‪ ‬לאפס בנקודה ‪: s0‬‬
‫כאשר‬
‫‪#‬‬
‫‪GH  s0 ‬‬
‫‪#‬‬
‫‪GH  s0   ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪#‬‬
‫‪GH  s0   ‬‬
‫‪‬‬
‫זו הזווית של ‪ GH s ‬המחושבת ב‪ s0 -‬ללא תרומת הקוטב (אפס) הנדון‪.‬‬
‫‪ : K  0‬כנ"ל עם ‪ 0‬במקום ‪. ‬‬
‫כלל ‪ 5‬ב' זוויות עזיבה מקוטב ממשי מרובה (או כניסה לאפס ממשי מרובה) ניתן לקבל מצירוף‬
‫העובדות הבאות‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫קיום ‪ /‬אי קיום ענף של ה‪ R.L. -‬על הציר הממשי משני צידי הקוטב ‪ /‬אפס‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫הזוויות בין הענפים היוצאים (נכנסים) הן שוות‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ה‪ R.L. -‬הינו סימטרי ביחס לציר הממשי‪.‬‬
‫כלל ‪ 5‬ג'‬
‫זוויות עזיבה\כניסה מקוטב\אפס ממשי בעל ריבוי ‪ :1‬הכניסה היציאה תמיד לאורך הציר‬
‫הממשי (זווית ‪ 0‬אן ‪ 180‬מעלות)‪ ,‬הכיוון מתקבל מכלל ‪ R.L. ( 3‬על הציר הממשי)‪.‬‬
‫‪11 - 8‬‬
‫מערכות בקרה ‪1‬‬
‫הרצאה ‪Root Locus :11‬‬
‫כלל ‪ 6‬נקודות פיצול של ה‪: R.L. -‬‬
‫נקודת פיצול היא נקודה בה נפגשים שני ענפים (או יותר) של ה‪. R.L. -‬‬
‫בד"כ נקודות הפיצול יהיו על הציר הממשי‪.‬‬
‫נקודות אלו מתקבלות מתוך אחת מהמשוואות השקולות הבאות‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫‪d‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ds GH s‬‬
‫)‪(1‬‬
‫או‬
‫‪d‬‬
‫‪GH s   0‬‬
‫‪ds‬‬
‫או‬
‫‪#z‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪s p sz‬‬
‫‪i‬‬
‫‪j‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪j 1‬‬
‫)‪(2‬‬
‫‪#p‬‬
‫)‪(3‬‬
‫כללים נוספים (במידת הצורך)‪:‬‬
‫"כלל" ‪ 7‬חיתוך ציר ‪: j‬‬
‫לנקודות החציה של הענפים עם הציר המדומה (ולהגבר בו חציה זו קורית) חשיבות מיוחדת בקשר‬
‫ליציבות המערכת‪.‬‬
‫ניתן למצוא את נקודות חיתוך הענפים עם ציר ‪( j‬במידה וקיימות) בשתי שיטות‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫הצבת ‪ s  j‬במשוואה האופיינית‪ .‬השוואת החלק הממשי והמדומה לאפס תיתן את‬
‫‪ K 0‬ו ‪. 0 -‬‬
‫ב‪.‬‬
‫בעזרת קריטריון רות – הורוביץ‪:‬‬
‫ חשבו את מערך ‪ R.H .‬עבור הפולינום האופייני של החוג הסגור ‪.‬‬‫ מצאו ‪ K 0‬עבורו המקדם בשורה ‪ s1‬מתאפס‪.‬‬‫ את ‪ 0‬ניתן למצוא מהשורה שמעליה (ראו הסבר על ‪.) R.H .‬‬‫‪ -‬ניתן גם להציב ‪ K 0‬זה בפולינום האופייני של החוג הסגור ולפתור עבור ‪. s0  j0‬‬
‫כלל ‪ 8‬שימור מרכז הכובד‬
‫אם מספר הקטבים של החוג הפתוח גדול לפחות בשניים ממספר האפסים ‪ , # p  # z  2‬אזי סכום‬
‫קטבי החוג הסגור קבוע (לכל ‪ ) K‬ושווה לסכום קטבי החוג הפתוח‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪pic‬‬
‫‪pi‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪11 - 9‬‬
‫‪n‬‬
‫‪i 1‬‬
1 ‫מערכות בקרה‬
Root Locus :11 ‫הרצאה‬
G( s) H (s) 
s 1
,
s( s  1)( s  3)
K 0
:3 ‫דוגמא‬
G( s) H (s) 
1 s
,
s( s  1)( s  3)
K 0
:4 ‫דוגמא‬
>> s=tf('s'); G=(s-1)/(s*(s+1)*(s+3));
>> rlocus(G)
11 - 10
‫מערכות בקרה ‪1‬‬
‫הרצאה ‪Root Locus :11‬‬
‫הסבר\הוכחת הכללים (פרטים בכיתה)‪:‬‬
‫נזכור כי ה‪ R.L. -‬הוא שרטוט השורשים של המשוואה האופיינית כאשר ‪ K‬חיובי או שלילי‪.‬‬
‫המשוואה האופיינית היא ‪ , 1  KG( s) H ( s)  0‬ובצורת פולינום‪:‬‬
‫‪in1 ( s  pi )  K   mj 1 ( s  z j )  0‬‬
‫) ‪aK ( s‬‬
‫כלל ‪( 1‬מספר הענפים‪ ,‬סימטריה)‪ :‬לפי הגדרתם‪ ,‬מספר הענפים הוא כמספר השורשים של המשוואה‬
‫האופיינית‪ ,‬שהיא פולינום מסדר )‪. n0  max(m, n‬‬
‫הסימטריה ביחס לציר הממשי נובעת מכך שאם ‪ s0‬שורש (מרוכב) אזי גם הצמוד ‪ s0‬הוא שורש‪.‬‬
‫כלל ‪( 2‬נקודות קצה)‪ :‬עבור ‪ K  0‬הפולינום האופייני שואף ל‪ , in1 ( s  pi ) -‬ולכן השורשים‬
‫(הסופיים) שואפים ל‪ ( pi ) -‬שהם קטבי החוג הפתוח‪.‬‬
‫כאשר ‪ , | K | ‬החלק הדומיננטי של הפולינום האופייני הוא ) ‪ , K   mj1 ( s  z j‬והשורשים‬
‫(הסופיים) שואפים ל‪. ( z j ) -‬‬
‫לגבי השורשים השואפים ל‪  -‬ראו הדיון באסימפטוטות‪.‬‬
‫כלל ‪ R.L. ( 3‬על הציר הממשי)‪ :‬נובע מהפעלת כלל הזווית על נקודה הנמצאת על הציר‪ ,‬כאשר‪:‬‬
‫ קוטב או אפס ממשיים משמאלה תורמים ‪1800‬‬‫ קוטב או אפס ממשיים מימינה תורמים ‪00‬‬‫ צמד של אפס או קוטב מרוכבים (במיקום כלשהו) תורמים ביחד ‪. 00‬‬‫כלל ‪( 4‬אסימפטוטות)‪ :‬נדון במקרה ‪ . m  n‬עבור ‪ , | K | ‬אנו מעוניינים בקטבים בעלי‬
‫‪ . | s | ‬לקבלת הזוויות‪ ,‬קרוב ראשון של המשוואה האופיינית עבור | ‪ | s‬גדול נותן‪:‬‬
‫‪ , s n  Ks m  0‬עם שורשים‪:‬‬
‫‪ 0,1,, n  m‬‬
‫‪(  K )  360‬‬
‫‪),‬‬
‫‪nm‬‬
‫( | ‪s  n m  K  n m | K‬‬
‫לקבלת נקודת המפגש יש לבצע קירוב עדין יותר של המשוואה האופיינית‪ .‬הוספת החזקות השניות‪-‬בגודלן‬
‫נותנת‪:‬‬
‫‪ j 1 z j‬‬
‫‪m‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪ i1 pi ,‬‬
‫‪n‬‬
‫‪P‬‬
‫‪a(s) s n  Ps n1  ...‬‬
‫‪‬‬
‫‪,‬‬
‫‪b( s) s m  Zs m1  ...‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪G(s) H ( s‬‬
‫‪K ‬‬
‫עבור ‪ | s |  , | K | ‬נקבל על ידי חלוקה‪ K  s n-m - ( P - Z )s n-m-1  o(s nm2 ) :‬‬
‫‪11 - 11‬‬
‫מערכות בקרה ‪1‬‬
‫הרצאה ‪Root Locus :11‬‬
‫וניתן להראות מכאן‪ ,‬לאחר הוצאת שורש ושימוש בקירוב‬
‫‪PZ‬‬
‫‪nm‬‬
‫‪0 ‬‬
‫‪ , 1  x  1  x /‬כי‬
‫‪ K  s   0  o(1),‬‬
‫‪nm‬‬
‫כלל ‪( 5‬זוויות יציאה מקוטב)‪ :‬מתקבל על ידי הפעלת כלל הזווית על נקודה ‪-‬קרובה לקוטב‪.‬‬
‫כלל ‪( 6‬נקודות פיצול)‪" :‬נקודת פיצול" היא מפגש של שני ענפים (או יותר)‪ ,‬שמשמעותו קוטב כפול‬
‫(לפחות) המתקבל עבור ‪ K‬מסוים‪ .‬יהיה ‪ K 0‬הגבר כזה‪ ,‬שעבורו המשוואה האופיינית היא בעלת‬
‫שורש כפול בנקודה ‪ . s0‬לפיכך‪:‬‬
‫)‪1  K0G( s) H ( s)  ( s  s0 )2 X ( s‬‬
‫גזירה לפי ‪ s‬והצבת ‪ s  s0‬נותנת‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫| ) ‪d G( s ) H ( s‬‬
‫‪1  K0 ds‬‬
‫‪s  s0  [2( s  s0 ) X ( s )  ( s  s0 ) X '( s )]s  s0  0‬‬
‫| ) ‪d G( s ) H ( s‬‬
‫‪ ds‬‬
‫‪s  s0  0‬‬
‫כלל ‪( 8‬שימור מרכז כובד)‪ :‬נזכור כי עבור פולינום כלשהו‬
‫) ‪ q( s‬מסדר ‪( n‬עם מקדם מוביל ‪)1‬‬
‫מתקיים‪:‬‬
‫‪q( s)  in1 ( s  i )  s n  ( i 1 i ) s n 1  ‬‬
‫‪n‬‬
‫לפיכך‪ ,‬המקדם של ‪ s n 1‬הוא מינוס סכום השורשים‪.‬‬
‫נניח עתה ‪ , n  m  2‬ונחשב את המקדם המתאים של הפולינום האופייני‪:‬‬
‫) ‪aK ( s )  in1 ( s  pi )  K   mj 1 ( s  z j‬‬
‫)‪ s n  ( i 1 pi ) s n 1  (lower-order terms‬‬
‫‪n‬‬
‫מכאן נקבל כי‬
‫‪ , i 1 pic‬סכום שורשי )‪ , aK ( s‬שווה ל‪i 1 pi -‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪11 - 12‬‬
‫‪.‬‬
‫מערכות בקרה ‪1‬‬
‫הרצאה ‪Root Locus :11‬‬
‫‪ .11.5‬שרטוט ‪ Root-Locus‬לפי פרמטר כללי‬
‫לעיתים נדרש לחקור את השתנות קטבי החוג הסגור כתלות בפרמטר שאינו בהכרח ההגבר ‪ . K‬פרמטר‬
‫כזה עשוי להיות מיקום אפס או קוטב של המערכת המבוקרת או של הבקר‪.‬‬
‫במקרים מסוימים ניתן לעשות זאת על ידי הבאת המשוואה האופיינית של חוג הבקרה לצורה‬
‫הסטנדרטית של ציור ‪ . R.L.‬נראה זאת באמצעות דוגמא‪:‬‬
‫) ‪y (t‬‬
‫‪‬‬
‫‪sZ‬‬
‫‪s 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪s1‬‬
‫) ‪r (t‬‬
‫‪‬‬
‫פה ) ‪ (  Z‬הוא מיקום האפס של הבקר‪ ,‬ואנו מעוניינים לבדוק את השפעת ‪ Z‬על קטבי החוג הסגור‪.‬‬
‫נרשום את המשוואה האופיינית‪:‬‬
‫בעזרת מעט אלגברה נקבל‪:‬‬
‫‪sZ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪( s  1)2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪( s  1)2  s  Z  0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪( s  1)2  s‬‬
‫‪1 Z‬‬
‫ניתן עתה לצייר ‪ R.L.‬לפי הפרמטר ‪ , Z‬לפי הכללים הרגילים‪.‬‬
‫‪11 - 13‬‬