s - Technion moodle
טכניון – הפקולטה להנדסת חשמל
חורף תשע"ו
הרצאות במערכות בקרה )044191( 1
פרופ' נחום שימקין
הרצאה :11דיאגרמת Root Locus
דיאגרמת ) Root Locus (R.L.מהווה כלי נוסף להסקת תכונות מערכת משוב ישירות מתוך תמסורת
החוג ) . G( s) H ( sבדיאגרמה זו אנו מתארים את המיקום הגיאומטרי ) (Locusשל קטבי החוג
הסגור כתלות בפרמטר ההגבר ,Kתוך שימוש בכללים גיאומטריים פשוטים.
דיאגרמת R.L.הוצעה ע"י ) Walter R. Evans (1920-1999ב ,1949 -והיא מהווה כלי חשוב בניתוח
ותכן מערכות משוב.
אנו עוסקים במערכת המשוב הבסיסית:
) y (t
) G( s
K
) r (t
)H (s
ההגבר Kהוא כמובן חלק מהתמסורת הקדמית ,אולם פה אנו מציינים אותו בנפרד כפרמטר הניתן
לשינוי .תמסורת החוג היא ) . L( s) K G( s ) H ( sפונקציית התמסורת של החוג הסגור הינה:
)K G( s
) 1 KG( s ) H ( s
T ( s)
עיקר עיסוקנו בהרצאה זו יהיה במיקום הקטבים של המערכת ,כלומר שורשי המשוואה האופיינית
. 1 K G( s) H ( s) 0אולם לפני כן נבדוק מיהם האפסים של ) . T ( s
11 - 1
מערכות בקרה 1
הרצאה Root Locus :11
.11.1מיקום האפסים של תמסורת החוג הסגור
מהתבוננות ב T ( s ) -ברור כי האפסים של ) G ( sהינם גם אפסים של ) . T ( sאולם עשויים להיות גם
אפסים נוספים.
כדי לראות זאת ,נרשום את ) G ( sו H ( s ) -כמנת פולינומים:
) nH ( s
)d H ( s
H ( s)
) nG ( s
,
)dG ( s
G( s)
נניח כי אין גורמים משותפים בין המונה למכנה ,וכן כי פונקציות התמסורת שונות מאפס .לאחר הצבה
והכפלה נקבל:
) nG ( s
)dG ( s
) K nG ( s )d H ( s
T ( s)
) n ( s ) nH ( s ) d G ( s )d H ( s ) KnG ( s )nH ( s
1 K G
)dG ( s) d H ( s
K
מכן נקבל כי T ( s) 0 :אם ורק אם . nG ( s)d H ( s) 0
הערה :כדי לוודא טענה "ברורה" זו יש לוודא כי אם nG ( s)d H ( s) 0אזי המכנה שונה מאפס.
בדקו זאת!
קיבלנו את המסקנה הבאה:
אפסי פונקציית התמסורת ) T ( sהינם{ :אפסי ) { + } G ( sקטבי ) } H ( s
(" "+במובן איחוד).
בפרט ,נציין כי אפסי ) T ( sאינם תלויים בהגבר . K
דוגמא:
s 1
2 s 10
, H ( s)
)s( s 3
s 10
G( s)
T ( s)
11 - 2
מערכות בקרה 1
הרצאה Root Locus :11
.11.2מיקום קטבי החוג הסגור -דוגמאות
נעבור עתה לקטבי החוג הסגור .נתחיל בשתי דוגמאות פשוטות.
s 1
, H ( s) 1
s3
דוגמא :1
G( s)
KG
)K ( s 1
...
1 KGH
)( s 3) K ( s 1
פונקציית התמסורת:
T ( s)
את הקטבים ניתן לקבל (גם) ישירות מהמשוואה האופיינית:
s 1
0 ( s 3) K ( s 1) (1 K ) s (3 K ) 0
s3
3 K
1 K
1 KG( s) H ( s) 1 K
pc
נצייר את מיקום הקוטב שקיבלנו כתלות בהגבר , Kכאשר Kמשתנה מ 0 -ל: -
}Im{s
}Re{s
O
X
1
3
1
)s( s 4
דוגמא :2
K
0 s 2 4s K 0
)s( s 4
KG( s ) H ( s ) K
1 KG( s) H ( s) 1
קטבי החוג הסגור (שהם פתרונות המשוואה האופיינית):
c
p1,2
...
11 - 3
מערכות בקרה 1
הרצאה Root Locus :11
K
}Im{s
K 0
}Re{s
K 4
X
2
K 0
X
4
K
הציור כולל שני "ענפים" ,כאשר כל ענף כזה מתאר את השתנותו של קוטב אחד ,כאשר Kגדל מ-
0ל. -
c
. p1,2אלו נקודות ההתחלה של הענפים.
עבור K 0הקטבים הם בנקודות 0, 4
c
עבור K 4מתקבל קוטב כפול 2, 2 ,
. p1,2גרפית ,הענפים נפגשים בנקודה זו ,ונפרדים
שוב.
עבור K 4מתקבלים שני קטבים מרוכבים.
.11.3כלל הפאזה וכלל ההגבר
מטרתנו בהמשך לפתח כללים גיאומטריים שיאפשרו לשרטט (בקרוב) את דיאגרמת מיקום השורשים
גם למערכות מסובכות יותר .הבסיס לכללים אלה הם כלל ההגבר והפאזה שנתאר פה .ראשית נגדיר
פורמאלית את דיאגרמת מיקום השורשים.
הגדרה :דיאגרמת מיקום השורשים ( )Root Locusעבור הגבר K 0מתארת באופן גראפי את
השתנות הפתרונות של המשוואה האופיינית , 1 KG( s) H ( s) 0כאשר ההגבר Kמשתנה מ0-
עד .
באופן דומה ניתן להגדיר את דיאגרמת מיקום השורשים עבור , K 0כלומר Kמשתנה מ 0-עד
.
11 - 4
מערכות בקרה 1
הרצאה Root Locus :11
נרשום את המשוואה האופיינית באופן הבא ,כך שההגבר Kמופרד מהתמסורת:
1
K
G( s) H ( s)
(*)
על ידי התייחסות נפרדת לפאזה של משוואה זו ,נקבל את הכלל החשוב הבא:
א .כלל הפאזה :ממשוואה (*) אנו מסיקים כי נקודה " s0נמצאת על ה "R.L. -עבור ( K 0כלומר:
מהווה שורש של המשוואה האופיינית עבור K 0כלשהו) אם ורק אם ) G( s0 ) H ( s0הוא מספר
ממשי שלילי .לפיכך:
נקודה s0נמצאת על ה( R.L. -עבור ) K 0אם ורק אם מתקיים כי:
0,1,2,
G( s0 ) H ( s0 ) 180o 360o ,
באופן דומה:
נקודה s0נמצאת על ה( R.L. -עבור ) K 0אם ורק אם:
G( s0 ) H ( s0 ) 0o 360o ,
0,1,2,
ב .כלל ההגבר :נניח כי נקודה s0נמצאת על ה ,R.L. -כלומר מהווה שורש של המשוואה האופיינית
עבור הגבר Kמסוים .מהו Kזה?
התשובה מיידית :מתוך השוויון , 1 KG( s0 ) H ( s0 ) 0נקבל:
1
) G ( s0 ) H ( s0
K
כיוון ש K -ממשי ,ניתן לכתוב את ערכו גם כערך מוחלט:
באם s0נמצאת על ה R.L. -עבור , K 0אזי
1
| ) | G ( s0 ) H ( s0
K
עבור K 0יש להוסיף כמובן סימן מינוס.
סיכום ביניים:
כלל הפאזה מאפשר לקבוע באם נקודה נמצאת על ה( R.L.-עבור הגבר כלשהו).
כלל ההגבר מאפשר לחשב את ההגבר המתאים לנקודה שנמצאת על ה.R.L.-
מסקנה מכלל ההגבר :לכל נקודה s0על ה R.L. -מתאים הגבר אחד ויחיד .
11 - 5
מערכות בקרה 1
הרצאה Root Locus :11
הפרוש הגיאומטרי של כלל הפאזה :לכלל הפאזה פירוש גיאומטרי בעל חשיבות .נניח כי תמסורת החוג
(ללא ההגבר ) Kנתונה על ידי:
A0
) A( s z1 ) ( s zm
,
) ( s p1 ) ( s pn
n
m
i 1
j 1
G( s) H (s)
) G ( s ) H ( s ) ( s z j ) ( s pi
לפיכך:
את כלל הפאזה (עבור ) K 0ניתן עתה לפרש באופן הבא .נקודה s0נמצאת על ה RL-אם ורק אם:
m
( s0 pi ) ( s0 z j ) 180o 360o
j 1
( s0 z j ) , i
אם נגדיר (עבור נקודה s0נתונה) ) ( s0 pi
n
i 1
, jנקבל את התנאי:
m
n
j 1
i 1
i j 180o 360o
הפירוש הגיאומטרי של זוויות אלו מוראה בציור.
s0
}Im{s
1
1
X
p1
3
d1
3
}Re{s
p3
1
X
2
O
2
p2 X
הפרוש הגיאומטרי של כלל ההגבר :לכלל ההגבר פירוש גיאומטרי דומה (אם כי חשיבותו פחותה).
מכלל ההגבר נקבל (ראו הציור לעיל):
in1 i
A mj 1d j
| in1 | s0 pi
1
| | G ( s0 ) H ( s0 ) | A mj 1 | s0 z j
11 - 6
K
מערכות בקרה 1
הרצאה Root Locus :11
.11.4כללי שרטוט דיאגרמת Root-Locus
ראשית ,יש להביא את פונקציית התמסורת של החוג ל"צורה סטנדרטית לציור :"RL
) ( s z1 ) ( s zm
) ( s p1 ) ( s pn
KG ( s) H ( s) K
נשים לב כי ההגבר הקבוע של ) G( s) H (sנכלל בפרמטר ההגבר , Kלשם נוחיות.
המשוואה האופיינית של המערכת היא , 1 KG( s) H ( s) 0או בצורת פולינום:
in1 (s pi ) K mj 1( s z j ) 0
הכללים להלן מתייחסים לשתי האפשרויות:
א .שרטוט R.L.עבור : K 0כלומר ההגבר Kמשתנה מ 0 -עד .
ב .שרטוט R.L.עבור : K 0כלומר ההגבר Kמשתנה מ 0 -עד .
חלק מהכללים משותפים ,כאשר קיימים הבדלים הם יצוינו במפורש.
כלל 1מספר ענפי ה R.L. -הוא
. n0 max(m, n) max # p,# z
השרטוט כולו הוא סימטרי ביחס לציר הממשי.
כלל 2נקודות קצה של ה: R.L. -
כל ענף של ה R.L. -מתחיל K 0בקוטב שונה של החוג הפתוח ( ) piומסתיים )( K
באפס שונה של החוג הפתוח ( .) z jכשמספר הקטבים (או האפסים) גדול ממספר האפסים (קטבים)
אזי לצורך זה האפסים \קטבים החסרים נמצאים ב , -והענף שואף לאינסוף לאורך "אסימפטוטות"
(ראו להלן).
כלל 3ה R.L. -על הציר הממשי:
עבור : K 0
נקודה על הציר הממשי תימצא על ה R.L. -אם סכום מספר הקטבים והאפסים
הממשיים (של החוג הפתוח) מימינה הוא אי זוגי.
עבור : K 0
כלל 4
כנ"ל ,עם מספר זוגי.
אסימפטוטות:
האסיפטוטות הן קווים ישרים (קרניים) אליהם שואפים ענפי ה R.L. -ההולכים ל. -
מספר האסיפטוטות:
n m
11 - 7
# p #z
N
מערכות בקרה 1
הרצאה Root Locus :11
זווית האסיפטוטות: K 0 :
0, 1,..., N 1
l
:K 0
0, 1,..., N 1
l
1
N
2l
2l
N
מפגש האסימפטוטות :כל האסימפטוטות נפגשות בנקודה אחת על הציר הממשי ,שערכה:
pi z j
# p #z
0
כלל 5א' זווית עזיבה מקוטב מרוכב (או כניסה לאפס מרוכב( של החוג הפתוח:
: K 0זווית עזיבה מקוטב בנקודה : s0
זווית כניסה לאפס בנקודה : s0
כאשר
#
GH s0
#
GH s0
#
GH s0
זו הזווית של GH s המחושבת ב s0 -ללא תרומת הקוטב (אפס) הנדון.
: K 0כנ"ל עם 0במקום .
כלל 5ב' זוויות עזיבה מקוטב ממשי מרובה (או כניסה לאפס ממשי מרובה) ניתן לקבל מצירוף
העובדות הבאות:
א.
קיום /אי קיום ענף של ה R.L. -על הציר הממשי משני צידי הקוטב /אפס.
ב.
הזוויות בין הענפים היוצאים (נכנסים) הן שוות.
ג.
ה R.L. -הינו סימטרי ביחס לציר הממשי.
כלל 5ג'
זוויות עזיבה\כניסה מקוטב\אפס ממשי בעל ריבוי :1הכניסה היציאה תמיד לאורך הציר
הממשי (זווית 0אן 180מעלות) ,הכיוון מתקבל מכלל R.L. ( 3על הציר הממשי).
11 - 8
מערכות בקרה 1
הרצאה Root Locus :11
כלל 6נקודות פיצול של ה: R.L. -
נקודת פיצול היא נקודה בה נפגשים שני ענפים (או יותר) של ה. R.L. -
בד"כ נקודות הפיצול יהיו על הציר הממשי.
נקודות אלו מתקבלות מתוך אחת מהמשוואות השקולות הבאות:
0
d
1
ds GH s
)(1
או
d
GH s 0
ds
או
#z
1
1
s p sz
i
j
i 1
j 1
)(2
#p
)(3
כללים נוספים (במידת הצורך):
"כלל" 7חיתוך ציר : j
לנקודות החציה של הענפים עם הציר המדומה (ולהגבר בו חציה זו קורית) חשיבות מיוחדת בקשר
ליציבות המערכת.
ניתן למצוא את נקודות חיתוך הענפים עם ציר ( jבמידה וקיימות) בשתי שיטות:
א.
הצבת s jבמשוואה האופיינית .השוואת החלק הממשי והמדומה לאפס תיתן את
K 0ו . 0 -
ב.
בעזרת קריטריון רות – הורוביץ:
חשבו את מערך R.H .עבור הפולינום האופייני של החוג הסגור . מצאו K 0עבורו המקדם בשורה s1מתאפס. את 0ניתן למצוא מהשורה שמעליה (ראו הסבר על .) R.H . -ניתן גם להציב K 0זה בפולינום האופייני של החוג הסגור ולפתור עבור . s0 j0
כלל 8שימור מרכז הכובד
אם מספר הקטבים של החוג הפתוח גדול לפחות בשניים ממספר האפסים , # p # z 2אזי סכום
קטבי החוג הסגור קבוע (לכל ) Kושווה לסכום קטבי החוג הפתוח:
n
pic
pi
i 1
11 - 9
n
i 1
1 מערכות בקרה
Root Locus :11 הרצאה
G( s) H (s)
s 1
,
s( s 1)( s 3)
K 0
:3 דוגמא
G( s) H (s)
1 s
,
s( s 1)( s 3)
K 0
:4 דוגמא
>> s=tf('s'); G=(s-1)/(s*(s+1)*(s+3));
>> rlocus(G)
11 - 10
מערכות בקרה 1
הרצאה Root Locus :11
הסבר\הוכחת הכללים (פרטים בכיתה):
נזכור כי ה R.L. -הוא שרטוט השורשים של המשוואה האופיינית כאשר Kחיובי או שלילי.
המשוואה האופיינית היא , 1 KG( s) H ( s) 0ובצורת פולינום:
in1 ( s pi ) K mj 1 ( s z j ) 0
) aK ( s
כלל ( 1מספר הענפים ,סימטריה) :לפי הגדרתם ,מספר הענפים הוא כמספר השורשים של המשוואה
האופיינית ,שהיא פולינום מסדר ). n0 max(m, n
הסימטריה ביחס לציר הממשי נובעת מכך שאם s0שורש (מרוכב) אזי גם הצמוד s0הוא שורש.
כלל ( 2נקודות קצה) :עבור K 0הפולינום האופייני שואף ל , in1 ( s pi ) -ולכן השורשים
(הסופיים) שואפים ל ( pi ) -שהם קטבי החוג הפתוח.
כאשר , | K | החלק הדומיננטי של הפולינום האופייני הוא ) , K mj1 ( s z jוהשורשים
(הסופיים) שואפים ל. ( z j ) -
לגבי השורשים השואפים ל -ראו הדיון באסימפטוטות.
כלל R.L. ( 3על הציר הממשי) :נובע מהפעלת כלל הזווית על נקודה הנמצאת על הציר ,כאשר:
קוטב או אפס ממשיים משמאלה תורמים 1800 קוטב או אפס ממשיים מימינה תורמים 00 צמד של אפס או קוטב מרוכבים (במיקום כלשהו) תורמים ביחד . 00כלל ( 4אסימפטוטות) :נדון במקרה . m nעבור , | K | אנו מעוניינים בקטבים בעלי
. | s | לקבלת הזוויות ,קרוב ראשון של המשוואה האופיינית עבור | | sגדול נותן:
, s n Ks m 0עם שורשים:
0,1,, n m
( K ) 360
),
nm
( | s n m K n m | K
לקבלת נקודת המפגש יש לבצע קירוב עדין יותר של המשוואה האופיינית .הוספת החזקות השניות-בגודלן
נותנת:
j 1 z j
m
Z
i1 pi ,
n
P
a(s) s n Ps n1 ...
,
b( s) s m Zs m1 ...
1
)G(s) H ( s
K
עבור | s | , | K | נקבל על ידי חלוקה K s n-m - ( P - Z )s n-m-1 o(s nm2 ) :
11 - 11
מערכות בקרה 1
הרצאה Root Locus :11
וניתן להראות מכאן ,לאחר הוצאת שורש ושימוש בקירוב
PZ
nm
0
, 1 x 1 x /כי
K s 0 o(1),
nm
כלל ( 5זוויות יציאה מקוטב) :מתקבל על ידי הפעלת כלל הזווית על נקודה -קרובה לקוטב.
כלל ( 6נקודות פיצול)" :נקודת פיצול" היא מפגש של שני ענפים (או יותר) ,שמשמעותו קוטב כפול
(לפחות) המתקבל עבור Kמסוים .יהיה K 0הגבר כזה ,שעבורו המשוואה האופיינית היא בעלת
שורש כפול בנקודה . s0לפיכך:
)1 K0G( s) H ( s) ( s s0 )2 X ( s
גזירה לפי sוהצבת s s0נותנת:
2
| ) d G( s ) H ( s
1 K0 ds
s s0 [2( s s0 ) X ( s ) ( s s0 ) X '( s )]s s0 0
| ) d G( s ) H ( s
ds
s s0 0
כלל ( 8שימור מרכז כובד) :נזכור כי עבור פולינום כלשהו
) q( sמסדר ( nעם מקדם מוביל )1
מתקיים:
q( s) in1 ( s i ) s n ( i 1 i ) s n 1
n
לפיכך ,המקדם של s n 1הוא מינוס סכום השורשים.
נניח עתה , n m 2ונחשב את המקדם המתאים של הפולינום האופייני:
) aK ( s ) in1 ( s pi ) K mj 1 ( s z j
) s n ( i 1 pi ) s n 1 (lower-order terms
n
מכאן נקבל כי
, i 1 picסכום שורשי ) , aK ( sשווה לi 1 pi -
n
n
11 - 12
.
מערכות בקרה 1
הרצאה Root Locus :11
.11.5שרטוט Root-Locusלפי פרמטר כללי
לעיתים נדרש לחקור את השתנות קטבי החוג הסגור כתלות בפרמטר שאינו בהכרח ההגבר . Kפרמטר
כזה עשוי להיות מיקום אפס או קוטב של המערכת המבוקרת או של הבקר.
במקרים מסוימים ניתן לעשות זאת על ידי הבאת המשוואה האופיינית של חוג הבקרה לצורה
הסטנדרטית של ציור . R.L.נראה זאת באמצעות דוגמא:
) y (t
sZ
s 1
1
s1
) r (t
פה ) ( Zהוא מיקום האפס של הבקר ,ואנו מעוניינים לבדוק את השפעת Zעל קטבי החוג הסגור.
נרשום את המשוואה האופיינית:
בעזרת מעט אלגברה נקבל:
sZ
0
( s 1)2
1
( s 1)2 s Z 0
1
0
( s 1)2 s
1 Z
ניתן עתה לצייר R.L.לפי הפרמטר , Zלפי הכללים הרגילים.
11 - 13
© Copyright 2024