1. No category

Arbeid og kinetisk energi
29.02.2016
FYS-MEK 1110
29.02.2016
1
Friksjon
empirisk lov for statisk friksjon:
empirisk lov for dynamisk friksjon:
f s  f s ,max  s N
f d  d N
s: statisk friksjonskoeffisient
d: dynamisk friksjonskoeffisient
d   s
kraft virker motsatt bevegelsesretning:
FYS-MEK 1110
29.02.2016

 v
f d  d N 
v
2
http://pingo.upb.de/
access number: 891289
Ranger størrelsen på friksjonskraften i disse situasjonene.
Klossen og gulvet er de samme i alle tilfellene.
farten øker
i ro
T
fa
(a)
fb
29.02.2016
fc >
fb >
fa >
fa =
fb >
fd >
fc >
fc =
fb >
fc =
fe >
fd >
fd =
fc =
fd =

a
T
fd
(c)
farten minker
 
a0
T
fc
(b)
1.
2.
3.
4.
5.
FYS-MEK 1110
konstant fart

a
akkurat før den
begynner å skli
(d)
T
fe
(e)
fb > fa
fe > fa
fe > fb
fd = fe
fe > fa
3
N
Friksjon
T
f
f
f s ,max  s N
G
f d  d N
0
kiste i ro
kiste beveger seg
farten øker
i ro
T
fa
(a)
fb
FYS-MEK 1110
(b)
29.02.2016
konstant fart
T
fc
(c)
farten minker
 
a0

a
akkurat før den
begynner å skli
T

a
T
fd
(d)
5. fb > fc = fd = fe > fa
T
fe
(e)
4
Svingen ved Daytona Speedway har en
helningsvinkel  = 31 og krumningsradius
R = 316 m. Hvor fort kan en bil kjøre?
først uten friksjon
Gravitasjon G = mg

Normalkraft N

vertikal:
N cos   mg  0
horisontal:
v2
N sin   m
R
N
mg
cos 
mg
v2
sin   m
cos 
R
Uten friksjon må du kjøre med
denne farten for å holde banen.
Hva hvis det er friksjon?
FYS-MEK 1110
29.02.2016
v2
g tan  
R
v  gR tan   155 km/h
5
http://pingo.upb.de/
access number: 891289
Hvis det er friksjon, hvilken retning har friksjonskraften?

A.
B.
C.
innover
utover
avhengig av farten



stor fart:
trenger ekstrakraft for å gi oss
nok sentripetalakselerasjon
statisk friksjonskraft:
FYS-MEK 1110
29.02.2016
f s  f s ,max  s N
sakte fart:
trenger kraft for
å ikke skli ned
 ukesoppgave
6
Eksempel: Et innsekt sitter på en roterende DVD i en avstand r fra sentrum.
DVD-platen roterer med en vinkelhastighet . Den statiske
friksjonskoeffisienten er μs. Hvor langt ut kan mauren være før den sklir?

N
N2L y
y
f
x
r
N2L x
N  mg  0  N  mg
f  ma
G
v2
mauren trenger sentripetalakselerasjon a N 
 r 2
r
for å holde sirkelbanen
mauren sklir når f  s N  s mg
f  mr 2  s mg
r
FYS-MEK 1110
29.02.2016
s g
2
Hvordan er bevegelsen når mauren sklir?
7
en vanlig problemstilling: finn hastighet som funksjon av posisjon.
vi kan bruke den vanlige metoden:
 identifiser kreftene
 Newtons andre lov  akselerasjon
 integrasjon  hastighet v(t)
 integrasjon  posisjon x(t)
 finn tid t1 for å komme til posisjon x1
 bruk tiden t1 for å finne v(x1) = v(t1)
Denne metoden vil alltid fungere.
Det kan være vanskelig eller umulig å gjøre analytisk
 bruk numeriske metoder
Vi får hastighet v(t) og posisjon x(t) for alle tider.
I utgangspunkt var vi ikke interessert i tiden,
bare i hastighet for en viss posisjon.
 Vi prøver å finne en enklere og mer direkte metode.
FYS-MEK 1110
29.02.2016
8
vi ser bort fra luftmotstand
eneste kraft er gravitasjon
initialbetingelser: y (0)  0
 F  mg  ma
integrasjon:
v(0)  v0
2v
2h
t  0 t1 
0
g
g
2
1
 a  g
v(t )  v0  gt
1
y (t )  v0 t  gt 2
2
v0
v02 2h
t1  

g
g2 g
v(t1 )  v0  gt1   v02  2 gh
gt1  v0  v02  2 gh
to løsninger:
på veien opp og ned
v 2  v02  2 gh
1 2 1 2
mv  mv0  mgh
2
2
FYS-MEK 1110
29.02.2016
 energi
9
Hva er energi ?
” … den evne et mekanisk system har til å utføre arbeid.”
Store Norsk Leksikon:
Hvordan kan vi kvantifisere energi ?
“It is important to realize that in physics today, we
have no knowledge of what energy is. … However,
there are formulas for calculating some numerical
quantity, and we add it all together it gives “28” always the same number. It is an abstract thing in
that it does not tell us the mechanism or the
reasons for the various formulas.”
The Feynman Lectures on Physics, Vol.1, 4-1
Richard Feynman (1918 - 1988)




FYS-MEK 1110
29.02.2016
kinetisk energi
gravitasjonsenergi
elektrostatisk energi
strålingsenergi




termisk energi
kjemisk energi
kjerneenergi
…
10
Energi
”størrelse som er bevart”
Noether teorem:
symmetri  bevaringslov
homogenitet av tiden  bevaring av energi
(valg av tid null)
homogenitet av rommet  bevaring av bevegelsesmengde
(valg av standpunkt)
isotropi av rommet  bevaring av spinn
(valg av retning)
FYS-MEK 1110
29.02.2016
Emmy Noether
1882 - 1935
11
Newtons andre lov i en dimensjon:
 Fx  Fxnet  max  m
Fxnet vx  m
t1
F
d 1 
dvx
vx  m  vx2 
dt  2 
dt
t1
net
x
1 2
mvx
2
1 2
1 2
d 1 2
 mvx  dt  mvx (t1 )  mvx (t0 )
2
2
dt  2

t0
vx dt  
t0
K
dvx
dt
kinetisk energi
t1
W0,1   Fxnet (t , x, vx ) vx dt
arbeid utført av kraften F mellom tid t0 og t1
t0
arbeid-energi teorem:
FYS-MEK 1110
29.02.2016
W0,1  K1  K0
arbeid er tilført mekanisk energi.
12
t1
vi trenger fortsatt hastigheten v(t)
for å beregne arbeidet
W0,1   Fxnet (t , x, vx ) vx dt
t0
hvis kraften er bare posisjonsavhengig
og ikke hastighetsavhengig:
t1
Fxnet (t , x, vx )  Fxnet ( x(t ))
t1
eksempler:
 gravitasjon
 fjærkraft
x (t )
1
dx
W0,1   F ( x) vx dt   F ( x) dt   Fxnet ( x) dx
dt
t0
t0
x ( t0 )
net
x
net
x
x1
arbeid-energi teorem:
1 2 1 2
net
F
(
x
)
dx

mv1  mv0
x x
2
2
0
vi måler arbeid i Joule:
FYS-MEK 1110
29.02.2016
m2
1 J  1 Nm  1 kg 2
s
13
W0,1  K1  K0
arbeid-energi teorem:
 alternativ formulering for Newtons andre lov
 bare gyldig i inertialsystemer
 arbeid utført av nettokraften
F net   Fj
summe av alle kreftene
j
t1
W
net
 F
t0
t1
net
t1
v dt    F j v dt    F j v dt  W j
t0
j
j t0
j
for å bruke arbeid-energi teoremet må vi ta hensyn til alle kreftene
t1
 hvis kraften er hastighetsavhengig:
net
F
x
 (t, x, vx ) vx dt  K1  K0
t0
x1
 hvis kraften er bare posisjonsavhengig:
net
F
x
 ( x) dx  K1  K 0
x0
FYS-MEK 1110
29.02.2016
14
konstant kraft Fx:
t1
x1
x1
t0
x0
x0
W   Fx v dt   Fx dx  Fx  dx  Fx ( x1  x0 )  Fx x
eksempel: vertikal kast uten luftmotstand
y
h
m
v1
Fy  mg
y1
W   Fy dy  mg  dy  mgh
y0
0
h
m
v0
arbeid er negativ
0
kinetisk energi
blir mindre
arbeid-energi teorem: W0,1  K1  K 0
1
1
 mgh  mv12  mv02
2
2
v1  v0
0
hvis massen faller ned igjen:
W  mg  dy  mg (0  h)   mgh
h
arbeid er positiv  kinetisk energi øker
på høyde null: kinetisk energi er det samme som i utgangspunkt
massen beveger seg i motsatt retning
v  v0
K
1 2
mv0
2
arbeidet utført av gravitasjonskraften på massen for hele bevegelsen er null
FYS-MEK 1110
29.02.2016
15
http://pingo.upb.de/
access number: 891289
En vektløfter løfter en vekt fra gulvet.
Mens han løfter den:
1.
2.
3.
4.
gjør han positivt arbeid på vekten, og vekten gjør positivt arbeid på ham.
gjør han negativ arbeid på vekten, og vekten gjør positivt arbeid på ham.
gjør han positivt arbeid på vekten, og vekten gjør negativt arbeid på ham.
gjør han negativt arbeid på vekten, og vekten gjør negativt arbeid på ham.
arbeid utført av vektløfteren på vekten:
 kraft fra vektløfteren på vekten
 kraft og forflytning har samme fortegn
 arbeid er positiv
arbeid utført av vekten på vektløfteren:
 kraft fra vekten på vektløfteren (motkraft)
 kraft og forflytning har motsatt fortegn
 arbeid er negativ
FYS-MEK 1110
29.02.2016
16
http://pingo.upb.de/
access number: 891289
En vektløfter setter en vekt ned på gulvet.
Mens han senker den:
1.
2.
3.
4.
gjør han positivt arbeid på vekten, og vekten gjør positivt arbeid på ham.
gjør han negativ arbeid på vekten, og vekten gjør positivt arbeid på ham.
gjør han positivt arbeid på vekten, og vekten gjør negativt arbeid på ham.
gjør han negativt arbeid på vekten, og vekten gjør negativt arbeid på ham.
arbeid utført av vektløfteren på vekten:
 kraft fra vektløfteren på vekten
 kraft og forflytning har motsatt fortegn
 arbeid er negativ
arbeid utført av vekten på vektløfteren:
 kraft fra vekten på vektløfteren (motkraft)
 kraft og forflytningen har samme fortegn
 arbeid er positiv
FYS-MEK 1110
29.02.2016
17
http://pingo.upb.de/
access number: 891289
Du beveger en masse m en meter til høyre og tilbake
igjen en meter til venstre. Friksjonskraften er F = N.
For den totale bevegelsen gjør friksjonskraften:
1.
2.
3.
positivt arbeid på klossen.
negativt arbeid på klossen.
ingen arbeid på klossen.
v
Friksjon virker alltid i motsatt bevegelsesretning
v
F
F
 arbeidet er negativ for bevegelsen til høyre
 arbeidet er også negativ for bevegelsen til venstre
Friksjonskraft er hastighetsavhengig:


v
F   N
v
klossen taper energi når den beveger seg
systemet gjenvinner ikke energien ved å invertere bevegelsen
Vertikal kast med luftmotstand?
FYS-MEK 1110
29.02.2016
18
En mann dytter en kiste med
en konstant kraft F.
friksjon:

f  d N iˆ
0

kraft fra mannen på kisten: F  F iˆ

normalkraft: N  N ˆj

gravitasjon: G  mg ˆj
arbeid fra mann på kisten:
s
ingen bevegelse i vertikalretning:
N  mg  may  0  N  mg
s
s
0
0
WF   F dx  F  dx  Fs  0
s
s
0
0
arbeid fra friksjon på kisten: W f   f dx    d mg  dx    d mgs  0
nettoarbeid:
s
s
0
0
Wnet   Fnet dx   ( F   d mg ) dx  Fs  d mgs  WF  W f
arbeid-energi teorem: Wnet  K1  K 0
1
1
Fs  d mgs  mv12  mv02
2
2
FYS-MEK 1110
29.02.2016
19
http://pingo.upb.de/
access number: 891289
En traktor som kjører med konstant fart trekker en slede
lastet med tømmer. Det er friksjon mellom sleden og veien.
Når sleden har flyttet seg en avstand d er arbeidet som er
utført på sleden:
1.
2.
3.
4.
Positivt
Negativt
Null
Ikke nok informasjon til å avgjøre
farten er konstant:
1
1
K1  mv12  mv02  K 0
2
2
arbeid-energi teorem:
W0,1  K1  K0  0
traktoren gjør positiv arbeid på sleden,
friksjonen gjør negativ arbeid på sleden