29.04.
Fiktive krefter 29.04.2015 FYS-MEK 1110 29.04.2015 1 Eksempel: Gyroskop z y x spinn i x retning: L I L r gravitasjon: G mg kˆ G angrepspunkt: rG r iˆ kraftmoment: rG G r iˆ ( mg kˆ) rmg ˆj d L spinnsats: dt presesjon om z aksen med vinkelhastighet y L(t t ) L (t ) L x 1 L rmg t t L I L FYS-MEK 1110 29.04.2015 2 Fiktive krefter problem: Newtons lover gjelder bare i inertialsystemer hvordan analyserer vi en bevegelse i et akselerert system? z z x y x y transformasjon transformasjon upraktisk å bruke et inertialsystem for å beskrive pendelen på FI (eller skyene i atmosfæren) FYS-MEK 1110 29.04.2015 bruk Newtons lover ? vi kan bruke akselererte referansesystemer, men det oppstår fiktive krefter 3 http://pingo.upb.de/ access number: 8178 Du sitter på en buss som svinger til høyre og bremser. Du føler en kraft som er rettet: 1. 2. 3. 4. 5. FYS-MEK 1110 Bakover og mot venstre Bakover og mot høyre Fremover og mot venstre Fremover og mot høyre Du føler ingen kraft 29.04.2015 4 Eksempel: du sitter i en bil som bremser koordinatsystem S: festet til gaten koordinatsystem S’: festet til bilen r R r v V v a A a v din hastighet mot gaten v din hastighet mot bilen V hastighet til bilen er system S et inertialsystem? egentlig ikke på grunn av jordens rotasjon, men i dette tilfelle er effektene neglisjerbar vi kan bruke Newtons lover i system S F m a m A m a ma F mA F FA hvis vi introdusere den fiktive kraften FA mA så kan vi bruke Newtons andre lov også i systemet S’ FYS-MEK 1110 29.04.2015 5 Bilen kjører rund en sving akselerasjon til bilen som kjører med konstant hastighet v i en kurve med radius 𝜌: v2 A uˆr r R r v V v a A a 𝜌 y sentripetalakselerasjon x v2 i system S’: ma ma mA F m uˆr passasjeren føler en fiktiv kraft v2 FA m uˆr sentrifugalkraft FYS-MEK 1110 29.04.2015 6 fri legeme diagram i system S N f 𝜌 G (bilen er en del av omgivelsen) friksjonskreftene mellom passasjer og sete fungerer som sentripetalkraft, passasjer beveger seg i en sirkelbane fri legeme diagram i system S’ N f FA G FYS-MEK 1110 29.04.2015 normalkraft og gravitasjon kompenserer hverandre sentrifugalkraft og friksjon mellom kroppen og setet kompenserer hverandre passasjer sitter i ro det kan være et kraftmoment på grunn av sentrifugalkraften 7 http://pingo.upb.de/ access number: 8178 To personer står på en skive som roterer som vist i figuren. Person A kaster en ball mot person B. Fra A’s perspektiv B A 1. går ballen forbi B på venstre 2. treffer ballen B 3. gar ballen forbi B på høyre FYS-MEK 1110 29.04.2015 8 B A person A kaster en ball mot person B mens person C observerer B A C C B B A A C C han bommer fordi person B har dreiet seg ut av skuddlinjen mens ballen beveger seg mot ham FYS-MEK 1110 29.04.2015 han bommer fordi en mysteriøst kraft har avledet ballen 9 Corioliskraft sett utenfra beveger ballen seg på en rett linje i det roterende referansesystem virker en fiktiv kraft som avleder ballen: Corioliskraft FYS-MEK 1110 29.04.2015 10 Corioliskraft Harvard Natural Sciences Lecture Demonstrations http://www.youtube.com/watch?v=7TjOy56-x8Q FYS-MEK 1110 29.04.2015 11 Roterende referansesystemer eksempel: punkt i ro 𝑧 𝜔 𝑟 = 𝑟𝑖 systemet roterer med 𝜔 om 𝑧 aksen 𝑎 𝑥 𝑣 = 𝜔 × 𝑟 = 𝜔𝑘 × 𝑟𝑖 = 𝜔𝑟𝑗 𝑣2 𝑎 = 𝜔 × 𝑣 = 𝜔𝑘 × 𝜔𝑟𝑗 = −𝜔 𝑟𝑖 = − 𝑖 𝑟 2 𝑦 𝑣 sentripetalakselerasjon system S i ro, system S’ roterer med 𝜔 𝑟 ′ = 𝑥′𝑖′ + 𝑦′𝑗′ + 𝑧′𝑘′ 𝑑𝑟 ′ = 𝑥 ′𝑖′ + 𝑦′𝑗′ + 𝑧′𝑘′ + 𝑥′𝑖′ + 𝑦′𝑗′ + 𝑧′𝑘′ = 𝑣′ + 𝜔 × 𝑟′ 𝑑𝑡 𝑑𝑣 ′ = 𝑥 ′𝑖′ + 𝑦′𝑗′ + 𝑧′𝑘′ + 𝑥 ′𝑖′ + 𝑦′𝑗′ + 𝑧′𝑘′ = 𝑎′ + 𝜔 × 𝑣′ 𝑑𝑡 FYS-MEK 1110 29.04.2015 12 Akselererte koordinatsystemer system S’ beveger seg relativ til system S d 2R med lineær akselerasjon A 2 dt system S er et inertialsystem system S’ roterer om en vilkårlig akse med d vinkelakselerasjon dt FYS-MEK 1110 29.04.2015 13 Akselererte referansesystemer 𝑟 = 𝑅 + 𝑟′ 𝑣= 𝑑𝑟 𝑑𝑅 𝑑𝑟′ = + = 𝑉 + 𝑣 ′ + 𝜔 × 𝑟′ 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑎= 𝑑𝑣 𝑑𝑉 𝑑𝑣′ 𝑑 = + + 𝜔 × 𝑟′ 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 =𝐴+ 𝑎′ + 𝜔 × 𝑣′ 𝑑𝜔 + × 𝑟′ 𝑑𝑡 𝑑𝑟′ + 𝜔× 𝑑𝑡 = 𝐴 + 𝑎 ′ + 𝜔 × 𝑣 ′ + 𝛼 × 𝑟′ + 𝜔 × 𝑣 ′ + 𝜔 × 𝑟 ′ = 𝐴 + 𝑎 ′ + 2 𝜔 × 𝑣 ′ + 𝛼 × 𝑟′ + 𝜔 × 𝜔 × 𝑟′ 𝑎 ′ = 𝑎 − 𝐴 − 𝛼 × 𝑟′ − 2 𝜔 × 𝑣 ′ − 𝜔 × 𝜔 × 𝑟′ Coriolisakselerasjon FYS-MEK 1110 29.04.2015 Sentrifugalakselerasjon 14 Akselererte referansesystemer 𝑘 𝜔 𝑎 ′ = 𝑎 − 𝐴 − 𝛼 × 𝑟′ − 2 𝜔 × 𝑣 ′ − 𝜔 × 𝜔 × 𝑟′ Coriolisakselerasjon 𝑘′ 𝑗′ Sentrifugalakselerasjon 𝑗 𝑖 𝑖′ for et jevnt roterende koordinatsystem: 𝐴 = 0, 𝛼 = 0 𝑚𝑎′ = 𝑚𝑎 − 2𝑚 𝜔 × 𝑣 ′ − 𝑚𝜔 × 𝜔 × 𝑟′ = Corioliskraft: FC 2m v er hastighetsavhengig virker på en masse som beveger seg i et roterende referansesystem FC FC 0 𝐹𝑒𝑥𝑡 + 𝐹𝐶 + 𝐹𝑆 Sentrifugalkraft: FS m ( r ) er posisjonsavhengig (avstand fra rotasjonsaksen) FC v v hvis FYS-MEK 1110 29.04.2015 15 Sentrifugalkraft R sentripetalkraften holder massen på sirkelbanen m z y x z' en observatør i det roterende system ser massen i ro sentripetalkraften virker som motkraft til sentrifugalkraften FS m ( r ) R m y' m kˆ ( kˆ R ˆj) m 2 R kˆ ( iˆ) m 2 R ˆj FYS-MEK 1110 29.04.2015 x' 16 Corioliskraft to masser beveger seg på en plate rotasjon om z aksen: y v2 v1 v iˆ v2 v ˆj v1 x k̂ FC ,1 2m v1 y' 2m v kˆ iˆ x' 2m v ˆj FC , 2 2m v kˆ ˆj 2m v iˆ y' k̂ x' FYS-MEK 1110 29.04.2015 17 Corioliskraft og været uten rotasjon luft strømmer inn til et område med lavt trykk FYS-MEK 1110 29.04.2015 med rotasjon skyggene dreier seg i motsatt retning på den sørlige halvkule 18 http://pingo.upb.de/ access number: 8178 Du står på ekvator og dropper en masse fra en høyde h. Corioliskraften avleder massen y' y' 1. 2. 3. 4. 5. mot nord mot vest mot sør mot øst har ingen effekt koordinatsystem som roterer med jorden: z' x' z' x' Corioliskraft: FC 2m v iˆ øst ˆj nord kˆ vertikal opp v v kˆ jordens rotasjonsakse: ˆj massen faller nedover: 2m ˆj (vkˆ) 2m v( ˆj kˆ) 2m v iˆ Corioliskraften avleder massen mot øst. FYS-MEK 1110 29.04.2015 19 http://pingo.upb.de/ access number: 8178 Du måler vekten til en masse i Oslo og på et sted ved ekvatoren. På grunn av sentrifugalkraften er vekten i Oslo: 1. 2. 3. mindre enn ved ekvator den samme som ved ekvator større enn ved ekvator aS ( r ) kˆ ( kˆ ( R cos iˆ R sin kˆ)) kˆ ( kˆ R cos iˆ) FS 𝑘′ 𝑖′ R 2 R cos ( kˆ ˆj) 2 R cos iˆ FYS-MEK 1110 29.04.2015 20
© Copyright 2024