Fiktive krefter
29.04.2015
FYS-MEK 1110
29.04.2015
1
Eksempel: Gyroskop
z

y

x
spinn i x retning: L  I



L
r


gravitasjon: G  mg kˆ





G

angrepspunkt: rG  r iˆ

kraftmoment:   rG  G  r iˆ  ( mg kˆ)  rmg ˆj
d 
L
spinnsats:  
dt

 presesjon om z aksen med vinkelhastighet 
y

L(t  t )

L (t )

L

x


1 L 

rmg

   

t t L
I
L
FYS-MEK 1110
29.04.2015
2
Fiktive krefter
problem: Newtons lover gjelder bare i inertialsystemer
hvordan analyserer vi en bevegelse i et akselerert system?
z
z
x
y
x
y
transformasjon
transformasjon
upraktisk å bruke et inertialsystem
for å beskrive pendelen på FI
(eller skyene i atmosfæren)
FYS-MEK 1110
29.04.2015
bruk
Newtons
lover
?
vi kan bruke akselererte
referansesystemer,
men det oppstår fiktive
krefter
3
http://pingo.upb.de/
access number: 8178
Du sitter på en buss som svinger til
høyre og bremser. Du føler en kraft
som er rettet:
1.
2.
3.
4.
5.
FYS-MEK 1110
Bakover og mot venstre
Bakover og mot høyre
Fremover og mot venstre
Fremover og mot høyre
Du føler ingen kraft
29.04.2015
4
Eksempel: du sitter i en bil som bremser
koordinatsystem S: festet til gaten
koordinatsystem S’: festet til bilen
  
r  R  r
  
v  V  v
  
a  A  a

v din hastighet mot gaten

v  din hastighet mot bilen

V hastighet til bilen
er system S et inertialsystem?
egentlig ikke på grunn av jordens rotasjon,
men i dette tilfelle er effektene neglisjerbar
vi kan bruke Newtons lover i system S





F

m
a

m
A

m
a



 

ma   F  mA   F  FA


hvis vi introdusere den fiktive kraften FA  mA
så kan vi bruke Newtons andre lov også i systemet S’
FYS-MEK 1110
29.04.2015
5
Bilen kjører rund en sving
akselerasjon til bilen som
kjører med konstant hastighet v
i en kurve med radius 𝜌:

v2
A   uˆr

  
r  R  r
  
v  V  v
  
a  A  a
𝜌
y
sentripetalakselerasjon
x




v2
i system S’: ma   ma  mA   F  m uˆr

passasjeren føler en fiktiv kraft

v2
FA   m uˆr

sentrifugalkraft
FYS-MEK 1110
29.04.2015
6
fri legeme
diagram
i system S

N

f
𝜌

G
(bilen er en del av omgivelsen)
friksjonskreftene mellom passasjer
og sete fungerer som sentripetalkraft,
passasjer beveger seg i en sirkelbane
fri legeme
diagram
i system S’

N

f

FA

G
FYS-MEK 1110
29.04.2015
normalkraft og gravitasjon kompenserer hverandre
sentrifugalkraft og friksjon mellom kroppen og setet
kompenserer hverandre
 passasjer sitter i ro
det kan være et kraftmoment på grunn av
sentrifugalkraften
7
http://pingo.upb.de/
access number: 8178
To personer står på en skive som
roterer som vist i figuren.
Person A kaster en ball mot person B.
Fra A’s perspektiv
B
A
1. går ballen forbi B på venstre
2. treffer ballen B
3. gar ballen forbi B på høyre
FYS-MEK 1110
29.04.2015
8
B
A
person A kaster en
ball mot person B
mens person C
observerer
B
A
C
C
B
B
A
A
C
C
han bommer fordi person B
har dreiet seg ut av skuddlinjen
mens ballen beveger seg mot ham
FYS-MEK 1110
29.04.2015
han bommer fordi en
mysteriøst kraft har
avledet ballen
9
Corioliskraft
sett utenfra beveger ballen
seg på en rett linje
i det roterende referansesystem
virker en fiktiv kraft som avleder ballen:
Corioliskraft
FYS-MEK 1110
29.04.2015
10
Corioliskraft
Harvard Natural Sciences Lecture Demonstrations
http://www.youtube.com/watch?v=7TjOy56-x8Q
FYS-MEK 1110
29.04.2015
11
Roterende referansesystemer
eksempel: punkt i ro
𝑧
𝜔
𝑟 = 𝑟𝑖
systemet roterer med 𝜔 om 𝑧 aksen
𝑎
𝑥
𝑣 = 𝜔 × 𝑟 = 𝜔𝑘 × 𝑟𝑖 = 𝜔𝑟𝑗
𝑣2
𝑎 = 𝜔 × 𝑣 = 𝜔𝑘 × 𝜔𝑟𝑗 = −𝜔 𝑟𝑖 = − 𝑖
𝑟
2
𝑦
𝑣
sentripetalakselerasjon
system S i ro, system S’ roterer med 𝜔
𝑟 ′ = 𝑥′𝑖′ + 𝑦′𝑗′ + 𝑧′𝑘′
𝑑𝑟 ′
= 𝑥 ′𝑖′ + 𝑦′𝑗′ + 𝑧′𝑘′ + 𝑥′𝑖′ + 𝑦′𝑗′ + 𝑧′𝑘′ = 𝑣′ + 𝜔 × 𝑟′
𝑑𝑡
𝑑𝑣 ′
= 𝑥 ′𝑖′ + 𝑦′𝑗′ + 𝑧′𝑘′ + 𝑥 ′𝑖′ + 𝑦′𝑗′ + 𝑧′𝑘′ = 𝑎′ + 𝜔 × 𝑣′
𝑑𝑡
FYS-MEK 1110
29.04.2015
12
Akselererte koordinatsystemer
system S’ beveger seg
relativ til system S
 d 2R
med lineær akselerasjon A 
2
dt
system S er et
inertialsystem
system S’ roterer om en
vilkårlig akse med  d
vinkelakselerasjon  
dt
FYS-MEK 1110
29.04.2015
13
Akselererte referansesystemer
𝑟 = 𝑅 + 𝑟′
𝑣=
𝑑𝑟 𝑑𝑅 𝑑𝑟′
=
+
= 𝑉 + 𝑣 ′ + 𝜔 × 𝑟′
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑎=
𝑑𝑣 𝑑𝑉 𝑑𝑣′ 𝑑
=
+
+
𝜔 × 𝑟′
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡 𝑑𝑡
=𝐴+
𝑎′
+ 𝜔
× 𝑣′
𝑑𝜔
+
× 𝑟′
𝑑𝑡
𝑑𝑟′
+ 𝜔×
𝑑𝑡
= 𝐴 + 𝑎 ′ + 𝜔 × 𝑣 ′ + 𝛼 × 𝑟′ + 𝜔 × 𝑣 ′ + 𝜔 × 𝑟 ′
= 𝐴 + 𝑎 ′ + 2 𝜔 × 𝑣 ′ + 𝛼 × 𝑟′ + 𝜔 × 𝜔 × 𝑟′
𝑎 ′ = 𝑎 − 𝐴 − 𝛼 × 𝑟′ − 2 𝜔 × 𝑣 ′ − 𝜔 × 𝜔 × 𝑟′
Coriolisakselerasjon
FYS-MEK 1110
29.04.2015
Sentrifugalakselerasjon
14
Akselererte referansesystemer
𝑘
𝜔
𝑎 ′ = 𝑎 − 𝐴 − 𝛼 × 𝑟′ − 2 𝜔 × 𝑣 ′ − 𝜔 × 𝜔 × 𝑟′
Coriolisakselerasjon
𝑘′
𝑗′
Sentrifugalakselerasjon
𝑗
𝑖
𝑖′
for et jevnt roterende koordinatsystem: 𝐴 = 0, 𝛼 = 0
𝑚𝑎′ = 𝑚𝑎 − 2𝑚 𝜔 × 𝑣 ′ − 𝑚𝜔 × 𝜔 × 𝑟′ =
Corioliskraft:

 
FC  2m  v 
er hastighetsavhengig
virker på en masse som beveger
seg i et roterende referansesystem


FC  
 
FC  0
𝐹𝑒𝑥𝑡 + 𝐹𝐶 + 𝐹𝑆
Sentrifugalkraft:

  
FS  m  (  r )
er posisjonsavhengig
(avstand fra rotasjonsaksen)


FC  v 
 

v
hvis
FYS-MEK 1110
29.04.2015
15

Sentrifugalkraft
R
sentripetalkraften holder
massen på sirkelbanen
m
z
y
x
z'
en observatør i det roterende
system ser massen i ro
sentripetalkraften virker som
motkraft til sentrifugalkraften


  
FS  m  (  r )
R
m
y'
 m kˆ  ( kˆ  R ˆj)
 m 2 R kˆ  ( iˆ)
 m 2 R ˆj
FYS-MEK 1110
29.04.2015
x'
16
Corioliskraft
to masser beveger
seg på en plate
rotasjon om z aksen:
y

v2
 
v1  v iˆ
 
v2  v ˆj

v1
x



   k̂

 
FC ,1  2m  v1
y'
 2m v kˆ  iˆ
x'
 2m v ˆj



FC , 2  2m v kˆ  ˆj  2m v iˆ
y'

   k̂
x'
FYS-MEK 1110
29.04.2015
17
Corioliskraft og været
uten rotasjon
luft strømmer inn til
et område med lavt trykk
FYS-MEK 1110
29.04.2015
med rotasjon
skyggene dreier
seg i motsatt retning
på den sørlige
halvkule
18
http://pingo.upb.de/
access number: 8178


Du står på ekvator og dropper
en masse fra en høyde h.
Corioliskraften avleder massen
y'
y'
1.
2.
3.
4.
5.
mot nord
mot vest
mot sør
mot øst
har ingen effekt
koordinatsystem som roterer med jorden:
z'
x'
z'
x'
Corioliskraft:

 
FC  2m  v 
iˆ øst
ˆj  nord
kˆ vertikal opp

v   v kˆ

jordens rotasjonsakse:    ˆj 
massen faller nedover:
 2m ˆj  (vkˆ)
 2m v( ˆj  kˆ)
 2m v iˆ
Corioliskraften avleder massen mot øst.
FYS-MEK 1110
29.04.2015
19
http://pingo.upb.de/
access number: 8178
Du måler vekten til en masse i Oslo og på et sted ved ekvatoren.
På grunn av sentrifugalkraften er vekten i Oslo:
1.
2.
3.
mindre enn ved ekvator
den samme som ved ekvator
større enn ved ekvator
  

aS    (  r )
  kˆ  ( kˆ  ( R cos  iˆ  R sin  kˆ))
  kˆ  ( kˆ  R cos  iˆ)



FS

𝑘′
𝑖′
R
  2 R cos  ( kˆ  ˆj)
  2 R cos  iˆ
FYS-MEK 1110
29.04.2015
20