Statikk og likevekt Elastisitetsteori 11.05.2015 FYS-MEK 1110 11.05.2015 1 uke 20 forelesning: elastisitetsteori gruppe: gravitasjon+likevekt innlev. oblig 10 11 man 12 tir ons forelesning: spes. relativitet gruppe: gravitasjon+likevekt 14 15 fre forelesning: spes. relativitet gruppe: spes. relativitet 25 20 forelesning: repetisjon gruppe: spes. relativitet 1 ingen forelesning orakel 14-16 FØ394 2 gruppe: repetisjon 27 ingen forelesning gruppe: repetisjon 28 3 EKSAMEN 4 gruppe: repetisjon gruppe: spes. relativitet 29 datalab 11 – 14 FV329 23 Pinse gruppe: spes. relativitet 22 ingen datalab 22 26 21 Himmelfart tor 18 19 gruppe: gravitasjon+likevekt 13 21 5 datalab 11 – 14 FV329 Eksamen: Onsdag, 3. Juni, 14:30 – 18:30 Tillatte hjelpemidler: Øgrim og Lian: Størrelser og enheter i fysikk og teknikk eller* Angell, Lian, Øgrim: Fysiske størrelser og enheter: Navn og symboler* Rottmann: Matematisk formelsamling* Elektronisk kalkulator av godkjent type. * ikke nødvendig Formelark er del av oppgaveteksten. Tidligere eksamensoppgaver: http://www.uio.no/studier/emner/matnat/fys/FYS-MEK1110/v15/eks/eks.html FYS-MEK 1110 11.05.2015 3 F2 Eksempel: stige krefter: gravitasjon G normalkreftene N1, N2 friksjonskreftene F1, F2 x retning: y retning: N2 O N 2 F1 0 G N1 F2 G 0 y kraftmoment: L 2 O N1L cos F1L sin G cos 0 x F1 N1 3 ligninger men 4 ukjente: N1, N2, F1, F2 problemet er ubestemt Når begynner stigen å skli? begge sider må begynne å skli samtidig FYS-MEK 1110 11.05.2015 4 F2 Eksempel: stige stigen sklir når 𝐹1 = 𝜇1 𝑁1 og 𝐹2 = 𝜇2 𝑁2 x retning: N 2 F1 y retning: 1 N1 N1 F2 G 0 N1 G N1 2 N 2 N1 2 1 N1 kraftmoment: N1L cos F1L sin G L cos 0 2 G N1 F1 tan 0 2 G N1 F1 tan 1 N1 tan 2 tan 1 1 N2 O G 1 12 1 12 21 G 21 G 1 1 2 G y x F1 N1 tan glatt gulv: 𝜇1 = 0 90 hvis vinkelen er mindre begynner stigen å skli (uavhengig av vekten til stigen) FYS-MEK 1110 11.05.2015 1 2 1 glatt vegg: 𝜇2 = 0 5 http://pingo.upb.de/ access number: 8178 En stige (S) med masse 𝑀 står mot veggen. Friksjon mellom veggen og stigen er neglisjerbar. En person (P) med masse 𝑚 klatrer opp stigen. Faren for at stigen sklir blir N2 1. større 2. mindre 3. er det samme GS y GP x F1 N1 kraftmoment om kontaktpunkt på gulvet: person klatrer opp større kraftmoment fra gravitasjon (positiv) trenger større kraftmoment fra 𝑁2 for at 𝜏 = 0 normalkraften 𝑁2 fra veggen øker friksjonskraften 𝐹1 øker slik at 𝐹𝑥 = 0 faren for at stigen sklir øker FYS-MEK 1110 11.05.2015 6 http://pingo.upb.de/ access number: 8178 En kiste står på et skråplan. Massesenteret er markert med et punkt. I hvilken av de fire tilfeller velter kisten (hvis i det hele tatt)? 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. FYS-MEK 1110 A B C D A og C C og D alle er stabilt 11.05.2015 7 b Eksempel: kiste på skråplan En homogen kiste med masse m, bredde b og høyde h står på et skråplan med vinkel 𝛼. Hva er betingelser for likevekt? krefter på kisten: gravitasjon G h normalkraft N x retning: 𝑓 − 𝑚𝑔 sin 𝛼 = 0 y retning: 𝑁 − 𝑚𝑔 cos 𝛼 = 0 friksjon f 𝑦 N 𝑥 G O c f kraftmoment om O: ℎ 𝑏 𝑁𝑐 + 𝑚𝑔 sin 𝛼 − 𝑚𝑔 cos 𝛼 = 0 2 2 ℎ 𝑏 𝑐 + tan 𝛼 − = 0 2 2 1 𝑐 = (𝑏 − ℎ tan 𝛼) 2 FYS-MEK 1110 11.05.2015 kisten kan enten skli eller velte hvis den velter er O den eneste kontaktpunkt og 𝑐 = 0 betingelse for at kisten velter: 𝑏 tan 𝛼 = ℎ 8 b Eksempel: kiste på skråplan N mg cos f mg sin c 1 (b h tan ) 2 h f N kisten begynner å skli hvis: N mg sin mg cos kritisk vinkel: kisten begynner å velte hvis: samtidlig må være: b eksempel: 0.5 h FYS-MEK 1110 11.05.2015 O tan samtidlig må være: c 0 c0 b tan h kritisk vinkel: f N G tan c f ellers har kisten allerede veltet b tan h ellers har kisten allerede sklidd 0.4 kisten sklir ved 0.6 kisten velter ved acrit arctan acrit arctan( ) 21.8 b 26.6 h 9 Elastisitetsteori Hvordan blir faste stoffer deformert når de påvirkes av krefter? Vi har så langt modellert deformasjoner med fjærkrefter: x x F k x FYS-MEK 1110 11.05.2015 10 bjelke i likevekt: F1 F2 F1 vi tenker oss en imaginær snittflate F2 F F F F vi tenker oss en snittflate på en atomær skala x0 kraft mellom to atomer i x retning: fjærkraft F k ( x x0 ) bra tilnærming for små ∆𝑥 kubisk krystall FYS-MEK 1110 11.05.2015 11 kraft på en snittflate med areal A N y l N z l F k ( x x0 ) N y N z F A F k x k A l l l spenning E k l materialegenskap E FYS-MEK 1110 11.05.2015 x l tøyning Elastisitetsmodul Youngs modul enhet: N Pa 2 m Hookes lov 12 Elastisitetsmodul eksempler: stål 2 1011 Pa = 200 GPa = 200 kN/mm2 bly 19 GPa silikon 0.05 GPa Eksempel Et lodd på 1 kg henger i en ståltråd med 1 mm diameter og lengden 1 m. Hva er forlengelsen av tråden? F mg 1 kg 9.81 m/s 2 spenning: 2 1.25 107 Pa -4 2 2 A r (5 10 ) m E x L 1.25 107 Pa -5 x L 1 m 6 . 25 10 m 62.5 m 11 E 2 10 Pa FYS-MEK 1110 11.05.2015 13 Spennings-tøyningskurve plastisk deformasjon sammentrekning brudd elastisk deformasjon Hookes lov: E FYS-MEK 1110 11.05.2015 14 tøyning i x retning: x x x x E tøyning i y retning: y y x x y E x tverrkontraksjonstall Poissons tall volumendring: V ( x x)( y y)( z z) xyz xy (z) x(y) z (x) yz V x y z x (1 2 ) V x y z x FYS-MEK 1110 11.05.2015 0.5 volum er konstant 0.20.3 for de fleste materialer 15 Skjærdeformasjon normalspenning: xx Fx x E Ax x skjærspenning: xy Fx x G Ay y G: skjærmodul skjærmodulen G er relatert til elastisitetsmodulen E og tverrkontraksjonstallet for isotrope materialer: G E 2(1 ) FYS-MEK 1110 11.05.2015 16 Vridning to motsatte kraftmomenter 𝜏 vrir en tråd om en vinkel 𝜑 torsjonsmodul: Dr 𝐹 relatert til skjærdeformasjon Dr FYS-MEK 1110 GR 4 2l 11.05.2015 𝐹 G: skjærmodul 17 Bøying av en bjelke midtlinjen: den nøytrale linjen ovenfor komprimeres bjelken nedenfor forlenges bjelken forlengelsen l i avstand x fra den nøytrale linjen: l x l R l ( R x) R x x Hookes lov: ( x) E l R l x E l R spenning i bjelken FYS-MEK 1110 11.05.2015 18 en bjelke med høyde h og bredde b: nettokraft er null, men det virker et kraftmoment om 𝑂 h ri Fi r dF b i x ( x)dA A I A x 2 dA E 2 E x dA IA R A R flatetreghetsmoment A bøyningen er gitt ved: 1 R I AE 𝜏: kraftmoment fra ytre krefter 𝐸: materialegenskap 𝐼𝐴 : geometrisk jo større flatetreghetsmoment, jo større motstand mot bøyning FYS-MEK 1110 11.05.2015 ( x) E l x E l R 𝑥: avstand fra nøytral linje 19 Eksempel: flatetreghetsmoment for en 24 cm trevirke: F 1 h3 1 h3 bh3 I A y dA b y dy b 3 8 3 8 12 A h / 2 h/2 2 2 y x h b to orienteringer: 4 23 8 I1 cm 4 cm 4 12 3 F 2 43 32 I2 cm 4 cm 4 4 I1 12 3 FYS-MEK 1110 11.05.2015 20 http://pingo.upb.de/ access number: 8178 En massiv bjelke og en I-bjelke av samme material og dimensjon er innspent i den ene enden og den andre enden er fri. Hvilen bjelke bøyes mest? 1. massiv bjelke 2. I-bjelke 3. det samme for begge FYS-MEK 1110 11.05.2015 tverrsnitt av bjelkene h b b 21 H h H b 2 B IA B H 10 cm b 9.4 cm h 8 cm 1 BH 3 12 B IA 1 ( BH 3 bh3 ) 12 I A 833 cm 4 I A 432 cm 4 A 100 cm 2 A 24.8 cm 2 1 R I AE FYS-MEK 1110 11.05.2015 22
© Copyright 2024