1. No category

Bevegelsesmengde og kollisjoner
Flerpartikkelsystemer
16.03.2015
FYS-MEK 1110
16.03.2015
1
Midtveiseksamen: 26.03. kl.10 – 13
 6 oppgaver av samme type som ukesoppgaver
(ikke stor prosjektoppgave som i obligene)
 en oppgave krever et lite stykk Matlab eller Python kode
(ikke et fullstendig program, bare den vesentlige delen)
 Tillate hjelpemidler (uten at det er behov…):
 Øgrim og Lian: Størrelser og enheter i fysikk og teknikk eller
 Angell, Lian, Øgrim: Fysiske størrelser og enheter: Navn og symboler
 Rottmann: Matematisk formelsamling
 Elektronisk kalkulator av godkjent type.
 Formelark i vedlegg
 Husk å forklare hva du gjør.
FYS-MEK 1110
16.03.2015
2
Kollisjoner
bevaring av bevegelsesmengde:




p A,0  pB,0  p A,1  pB,1
elastisk kollisjon  bevaring av energi
1
1
1
1
mAv A2 ,0  mB vB2 ,0  mAv A2 ,1  mB vB2 ,1
2
2
2
2
v A,1 
(mA  mB )v A,0  2mB vB ,0
vB ,1 
mA  mB
(mB  mA )vB ,0  2mAv A,0
mA  mB


fullstendig uelastisk kollisjon: v A,1  vB ,1
v A,1  vB ,1 
uelastisk kollisjon:
restitusjonskoeffisient:
FYS-MEK 1110
16.03.2015
r
mAv A,0  mB vB ,0
mA  mB
vB ,1  v A,1
v B , 0  v A, 0
3
Eksempel
Hva er maksimal høyde h1 for ball B ?
(vi antar at alle kollisjoner er elastisk)
Fase 1: begge baller faller
energibevaring:
mgh0 
1 2
mv0
2
v0  2gh0
Fase 2: ball A kolliderer med gulvet
bevaring av energi og bevegelsesmengde: hastigheten snur  v0  v0
Fase 3: ball A kolliderer med ball B
momentant støt  små impuls fra gravitasjon
 bevaring av bevegelsesmengde
elastisk støt: bevaring av energi
FYS-MEK 1110
16.03.2015
mAv0  mB v0  mAvA  mB vB
1
1
1
1
mAv02  mB v02  mAv A2  mB vB2
2
2
2
2
4
bevaring av energi
1
1
1
1
mAv02  mB v02  mAv A2  mB vB2
2
2
2
2
mA (v02  v A2 )  mB (vB2  v02 )
mA (v0  vA )(v0  vA )  mB (vB  v0 )(vB  v0 )
bevaring av bevegelsesmengde:
mAv0  mB v0  mAvA  mB vB

mA (v0  vA )  mB (v0  vB )
v0  v A  vB  v0
v A  vB  2v0
vi setter inn:
mA (v0  (vB  2v0 ))  mB (v0  vB )
(3mA  mB )v0  (mA  mB )vB
vB 
FYS-MEK 1110
3mA  mB
v0
mA  mB
16.03.2015
hvis mA  mB
vB 
3mA
v0  3v0
mA
5
Eksempel
Hva er maksimal høyde h1 for ball B ?
(vi antar at alle kollisjoner er elastisk)
Fase 1: begge baller faller
energibevaring:
mgh0 
1 2
mv0
2
v0  2gh0
Fase 2: ball A kolliderer med gulvet
bevaring av energi og bevegelsesmengde: hastigheten snur  v0  v0
Fase 3: ball A kolliderer med ball B
vB 
3mA
v0  3v0
mA
Fase 4: begge baller spretter opp:
energibevaring for ball B
hB 
FYS-MEK 1110
16.03.2015
mB ghB 
1
mB vB2
2
1 2
1 2 9
vB 
9v0 
2 gh0  9h0
2g
2g
2g
6
Ikke-sentralt støt

vi kan velge et koordinatsystem slik at vB ,0  0
 
bevegelsen etter kollisjonen er todimensjonal i et plan dannet av v A,1 , vB ,1



hvis det virker ingen ytre krefter er bevegelsesmengde bevart: mAv A,0  mAv A,1  mB vB,1
vi kan se separat på x og y retning: mAv A,0, x  mAv A,1, x  mB vB,1, x
mAv A,0, y  mAv A,1, y  mB vB,1, y
hvis kollisjonen er elastisk er energi bevart:
1
1
1
mAv A2 ,0  mAvB2 ,0  mB vB2 ,1
2
2
2
3 ligninger, men 4 ukjente: v A,1, x , v A,1, y , vB,1, x , vB,1, y
vi trenger mer informasjon om kreftene for a bestemme hastighetene etter kollisjonen.
FYS-MEK 1110
16.03.2015
7
vi kan modellere kollisjonen:
2 kuler med radius R
avstand mellom sentrene:


r  rB (t )  rA (t )
avstand mellom overflatene:
r  2 R
realistisk modell for kontaktkraft mellom kulene:
(med dempning)


N3L: Ffra A på B   Ffra B på A
N2L:

3 r

  k r  2 R 2
  v
F 
r

0
r  2 R
r  2 R


Ffra A på B  mB aB


Ffra B på A  mAa A
numerisk løsning:
Euler-Cromer
for begge kuler
FYS-MEK 1110
16.03.2015
8
mA  mB
FYS-MEK 1110
16.03.2015
9
mA  mB
FYS-MEK 1110
16.03.2015
10
mA  mB
FYS-MEK 1110
16.03.2015
11
mA  mB
mA  5mB
1
mA  mB
5
samme posisjoner ved t0
samme hastigheter ved t0 (vB,0 = 0)
forskjellige masser
FYS-MEK 1110
16.03.2015
12
http://pingo.upb.de/
access number: 8178
Regn faller ned i en åpen vogn som triller på et
rett, friksjonsfritt spor. Hastigheten til vognen vil
A.
B.
C.
D.
øke
være uforandret
minke
vet ikke
massen øker med regn som samles i vogn
 hastigheten minker
FYS-MEK 1110
16.03.2015
13
En regndråpe faller og adsorberer vanndamp
før:



p(t )  mv  mu



etter: p(t  t )  (m  m)(v  v )







 mv  mv  mv  mv  mv  mv  mv
 

  
p  p(t  t )  p(t )  mv  (v  u )m
Newtons andre lov:




dp p
v   m
 Fext  dt  t  m t  (v  u ) t
for et kort tidsintervall og en kontinuerlig adsorpsjon:



dp
dv   dm
 Fext  dt  m dt  (v  u ) dt

 
relativhastighet vrel  u  v
FYS-MEK 1110
16.03.2015
rakettligning

 dm

F
 ext  vrel dt  ma
14
Rakett i verdensrom
ingen ytre krefter

gass strømmer ut med hastighet vrel
relativ til raketten

v


 dm
dv
 Fext  vrel dt  m dt
v ( t1 )
i x retning:
dm
dv
 vrel
m
dt
dt
dv
1 dm
 vrel
dt
m dt
t1
t
1
dv
1 dm
dt


v
dt
rel 
t dt
m
dt
t0
0
 dv  vrel
v ( t0 )
m ( t1 )
dm
 m
m ( t0 )
v(t1 )  v(t0 )  vrel ln m(t1 )  ln m(t0 )
 m(t1 ) 

v(t1 )  v(t0 )  vrel ln 
m
(
t
)
0 

 m(t0 ) 

v(t1 )  v(t0 )  vrel ln 
 m(t1 ) 
masse blir mindre og hastighet øker
FYS-MEK 1110
16.03.2015
15
http://pingo.upb.de/
access number: 8178
En tankvogn triller på et rett, friksjonsfritt spor.
Undersiden av vogn er utett slik at væsken
renner ut. Hastigheten til vognen vil
A.
B.
C.
D.
øke
være uforandret
minke
vet ikke



dp
dv   dm
 Fext  dt  m dt  (v  u ) dt
væsken som renner ut har samme horisontalhastighet som vogn
 hastigheten til vogn forandrer seg ikke
FYS-MEK 1110
16.03.2015
16
Flerpartikkelsystemer

Fij

F ji
y

ri
system: N partikler

rj

F jext
 ext
Fi


d ri
hastighet: vi (t ) 
dt


bevegelsesmengde: pi (t )  mi vi (t )

posisjon: ri (t )
 ext
ytre kraft på partikler: Fi

indre kraft fra partikkel j på partikkel i : F ji
x
 net  ext

d 

pi
F

F

F
nettokraft på partikkel i : i

i
ji
dt
j i
(N2L)
 net
 ext

d 
bevegelse for hele systemet:  Fi   Fi   Fji   pi
i
i
i j i
i dt


Fji   Fij
(N3L)
 ext d

d 
F

p

i i dt i i dt P
bevegelsesmengde for hele systemet:



P   pi   mi vi
i
FYS-MEK 1110
16.03.2015
(N2L for et flerpartikkelsystem)
i
17
 1
R
M
Massesenter

m r
i i
i
eksempel:
vi finner massesenteret separat for x og y retning:
X
Y
1
M
 mi xi 
1
M
m y
i
i
i
i

ma  2ma  3ma
 2a
3m
ma  ma  ma
a
3m

R  2a iˆ  a ˆj
FYS-MEK 1110
16.03.2015
18
http://pingo.upb.de/
access number: 8178
Hva er massesenteret for dette systemet?
A.
B.
C.
D.
E.
xcm=1a
xcm=3/2a
xcm=5/4a
xcm=13/8a
Vet ikke
X
FYS-MEK 1110
1
M
m x 
i i
i
16.03.2015
y
m
2m
a
5m
x
a
2ma  5m2a 3
 a
8m
2
19
Flerpartikkelsystem
 ext d 
i Fi  dt P
N2L:



bevegelsesmengde: P   pi   mi vi
i
masse:
i
M   mi
i
massesenter:
 1
R
M

m
r
 ii
obs:


R   ri
i
 d  1
hastighet: V  R 
dt
M
i


 mi vi

obs: V   vi
i
i




 P   pi   mi vi MV
i
i
 d  d2  1
akselerasjon: A  V 
R
dt
dt 2
M

m
a
 ii
i

 ext d  d

F

P

M
V

M
A
i i dt dt
FYS-MEK 1110
16.03.2015
N2L for flerpartikkelsystem
20