Bevegelse i én dimensjon (2)
26.01.2015
Gruppeundervisning begynner denne uken.
Oppgaver finner du på semestersiden:
http://www.uio.no/studier/emner/matnat/fys/FYS-MEK1110/v15/materiale/materiale15.html
FYS-MEK 1110
26.01.2015
1
Bevegelsesligninger
a(t ) 
Vi starter fra definisjonen av akselerasjonen:
t
t
t
dv
a
(
t
)
dt

0
0 dt dt  v(t )  v(0)

v(t )  v0   a(t ) dt
0
Vi integrerer hastigheten for å finne posisjonen:
t
dv
dt
t
dx
v(t ) 
dt
dx
0 v(t ) dt  0 dt dt  x(t )  x(0)
t


x(t )  x0   v(t ) dt  x0    v0   a(t ) dt  dt
0
0
0

t
t
t t
x(t )  x0  v0 t    a(t ) dt dt
0 0
Vi kan finner hastigheten og posisjonen som funksjon av tiden
dersom vi kjenner akselerasjonen a(t) og initialbetingelsene v0 og x0.
Integrasjon utføres analytisk eller numerisk.
FYS-MEK 1110
26.01.2015
2
http://pingo.upb.de/
access number: 8178
Du kaster en ball oppover med initial hastighet v0. Etter å ha nådd
sitt høyeste punkt faller ballen ned igjen. I det høyeste punktet er
akselerasjonen
 positiv
 null
 negativ
FYS-MEK 1110
26.01.2015
y
v0
3
http://pingo.upb.de/
access number: 8178
Du kaster en ball oppover med initial hastighet v0. Ballen bruker
en tid t for å nå sitt høyeste punkt. Hvis du buker en dobbelt so
stor hastighet 2v0, hvor mye tid tar det?
1
 2
t

t
2

t

t 2
2t

FYS-MEK 1110
26.01.2015
y
v0
4
Generell løsningsmetode
Identifiser:
Modeller:
Løs:
Analyser:
Hvilket objekt
beveger seg?
Finn kreftene som
påvirker objektet.
Løs bevegelsesligningen
.
2
Er resultatene for
x(t) og v(t) fornuftig?
.
Hvordan måler vi?
Definer et
koordinatsystem.
Beskriv kreftene
med en modell.
med initialbetingelser
(analytisk eller numerisk).
Bruk resultatene for
a svare på spørsmålet.
Finn hastighet og
posisjon.
Interpreter resultatene.
Finn
initialbetingelsene.
FYS-MEK 1110
Bruk Newtons andre
lov for å finne
akselerasjonen.
26.01.2015
d x
 dx 
 a  x, , t 
2
dt
 dt 
5
Eksempel: bevegelse med konstant akselerasjon
Du står på en klippe og kaster en ball oppover fra en punkt 4 m over bakken
med en hastighet på 10 m/s. Tyngdeakselerasjon er g = 9.8 m/s2.
a) Hva er maksimale høyden til ballen?
b) Hvor lang tar det for å treffe bakken?
Først lage vi en tegning og
definere koordinatsystemet.
Identifiser:
Hvilket objekt
beveger seg?
Initialbetingelser:
Hvordan måler vi?
Definer et
koordinatsystem.
y (t0 )  4 m
v(t0 )  10 m/s
Finn
initialbetingelsene.
0
Vi kaster ballen ved tiden t0 = 0 s.
FYS-MEK 1110
26.01.2015
6
Modeller:
Ballen er påvirket av tyngdeakselerasjon,
som virker nedover mot bakken og er
konstant med g = 9.8 m/s2.
Finn kreftene som
påvirker objektet.
Beskriv kreftene
med en modell.
Bruk Newtons andre
lov for å finne
akselerasjonen.
Vi ser bort fra andre krefter som påvirker ballen,
f. eks. luftmotstand.
Vi velger et forenkelt modell;
resultatene er tilnærminger.
a(t )  a0   g  9.8 m/s 2
FYS-MEK 1110
26.01.2015
7
Løs:
Løs bevegelsesligningen
.
2
d2y
 a0   g
Vi må løse differensialligningen:
2
dt
d x
 dx 

a
 x, , t 
dt 2
 dt 
med initialbetingelser
(analytisk eller numerisk).
Finn hastighet og
posisjon.
Vi kan bruke resultatene for bevegelser
med konstant akselerasjon:
v(t )  v0  a0t  v0  gt
1
1
y(t )  y0  v0t  a0t 2  y0  v0t  gt 2
2
2
Du trenger ikke å huske det,
du kan lett finne resultatet ved integrasjon.
FYS-MEK 1110
26.01.2015
8
Analyser:
Er resultatene for
x(t) og v(t) fornuftig?
.
Bruk resultatene for
a svare på spørsmålet.
t 0 
v(t )  v0  gt
1
y(t )  y0  v0t  gt 2
2
v(0)  v0
y(0)  y0
Hva er maksimale høyden til ballen?
I det høyeste punktet må hastigheten være null.
Interpreter resultatene.
Matematisk: Funksjonen y(t) har et ekstremverdi for
dy
 v(t )  0
dt
v0
g
Ballen kommer til den
høyeste punkt ved tid t1
v(t1 )  v0  gt1  0 m/s  t1 
Ved tid t1 er høyden:
v0 1 v02
1 v02
1 2
y(t1 )  y0  v0t1  gt1  y0  v0  g 2  y0 
g 2 g
2 g
2
1 (10 m/s ) 2
y (t1 )  4 m 
 9.1 m
2 9.8 m/s 2
Den maksimale høyden til ballen er 9.1 m.
FYS-MEK 1110
26.01.2015
9
Hvor lang tar det for å treffe bakken?
Ballen treffer på bakken (y=0) ved tid t2:
1
y(t2 )  y0  v0t2  gt22  0 m
2
Vi må løse en andregradsligning:
t22 
2v0
2y
t2  0  0
g
g
v0
v02 2 y0
t2  

g
g2
g
2
 10 m/s 
10 m/s
4m


t2 


2
 9.8 m/s 2 
9.8 m/s 2
9.8 m/s 2


Vi får to løsninger: t2  2.38 s eller t2  0.34 s.
Vi har startet klokken ved ballkast;
bare den positive løsningen er meningsfylt.
Ballen treffer på bakken 2.38 s etter kastingen.
FYS-MEK 1110
26.01.2015
10
http://pingo.upb.de/
access number: 8178
Du kaster en ball oppover med initial hastighet v0. Ballen bruker
en tid t for å nå sitt høyeste punkt. Hvis du buker en dobbelt so
stor hastighet 2v0, hvor mye tid tar det?
1
 2
t

t
2

t

t 2
2t

y
v0
I det høyeste punktet er hastigheten null:
t
v(t )  v0   a dt  v0  gt  0
0
FYS-MEK 1110
26.01.2015
11
Numerisk integrasjon:
Akselerasjon er definert som:
hvis t er små
Gitt at vi kjenner a(t) og hastighet v(t0),
så kan vi gå framover i tiden og finner
hastighet ved alle tider:
v(t1 )  v(t0  t )  v(t0 )  a(t0 ) t
v(t 2 )  v(t1  t )  v(t1 )  a(t1 ) t

Tilsvarende finner vi posisjonen fra hastigheten:
FYS-MEK 1110
26.01.2015
12
Vi har funnet en metode for å
finne x(t) og v(t) hvis vi kjenner:
 akselerasjonen: a(t)
 initialbetingelser: x(t0), v(t0)
Leonhard Euler
(1707–1783)
Euler metode:
v(ti 1 )  v(ti  t )  v(ti )  ati , x(ti ), v(ti )  t
x(ti 1 )  x(ti  t )  x(ti )  v(ti ) t
Vi må bruke små t og mange skritt for å nå en god presisjon.
Vi kan redusere feilen med en liten forbedring:
Istedenfor hastigheten i begynnelsen av tidsintervallet
bruke vi hastigheten på slutten for å finne posisjonen.
Euler-Cromer metode:
v(ti 1 )  v(ti  t )  v(ti )  ati , x(ti ), v(ti )  t
x(ti 1 )  x(ti  t )  x(ti )  v(ti  t ) t  x(ti )  v(ti 1 ) t
FYS-MEK 1110
26.01.2015
13
Eksempel for numerisk integrasjon:
Du utvikler ”The Rocket”, en ny attraksjon ved en fornøyelsespark.
Du har festet et akselerometer til en test-vogn for å finne hastigheten og posisjonen.
Dette er målingen din:
t [s] a [m/s2]
Vi kjenner akselerasjonen a(ti) for ti = 0.0s, 0.1s, 0.2s, ...
Du kjenner initialbetingelser: ”The Rocket” starter i ro:
x(t0) = x0 = 0m, v(t0) = v0 = 0m/s
Vi bruker Euler metoden
med tidsskritt t = 0.1s:
FYS-MEK 1110
26.01.2015
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
0.27
1.44
2.67
4.24
5.65
6.95
8.42
9.74
11.20
12.64
14.11
v(ti  t )  v(ti 1 )  v(ti )  a(ti ) t
x(ti  t )  x(ti 1 )  x(ti )  v(ti ) t
14
ascii fil ”therocket.dat”
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
...
0.27
1.44
2.67
4.24
5.65
6.95
...
”arrays”:
therocket: (n  2) matrise
t, a, v, x: (n  1) matriser
alltid husk label og enhet
FYS-MEK 1110
26.01.2015
15
FYS-MEK 1110
26.01.2015
16
Eksempel: sandkorn i vannet
Et sandkorn synker i vann med akselerasjon a(t) = a0  cv(t),
hvor a0 = 6.2 m/s2 og c = 1.8 s-1.
Hvor lang tid tar det for å synke fra overflaten til bunnen på 2 m dybde?
initialbetingelser:
x(t0 )  x0  2 m
v(t0 )  v0  0 m/s
t0  0 s
Vi kjenner akselerasjonen:
a(t )  a0  cv(t )
Vi må løse differensialligningen:
d 2x
dx


a

c
0
dt 2
dt
dv
 a0  cv
dt
FYS-MEK 1110
26.01.2015
17
Numerisk løsning med Euler metode:
v(ti 1 )  v(ti )  a(ti ) t
x(ti 1 )  x(ti )  v(ti ) t
FYS-MEK 1110
26.01.2015
18
Resultater og interpretasjon:
Sandkornet treffer bunnen
etter 1.053 s.
Hastigheten nedover øker rask
og går mot en konstant verdi
etterpå.
a(t )  a0  cv(t )
Akselerasjon nedover blir mindre
fordi friksjonen øker med hastighet.
Akselerasjonen går mot null.
FYS-MEK 1110
26.01.2015
19
”The Rocket”:
Vi kjenner a(t) for diskrete tidspunkter
fra malinger som vi leser fra en datafil.
Tidsskritt er bestemt fra målingen.
Sandkorn i vannet:
Vi kjenner funksjonen a(t) fra et modell.
Vi må beregner a(ti) for hver tidsskritt.
Vi kan velge tidsskritt t.
Siden vi kjenner funksjonen a(t),
kan vi løse problemet analytisk?
FYS-MEK 1110
26.01.2015
20
analytisk:
a (t ) 
dv
 a0  cv (t )
dt
u  a0  cv
dv
 dt
a0  cv
du  cdv
du
 cdt
u
u (t )
t
du
   cdt

u
u (0)
0
ln u (t )  ln u (0)  ln
u (t )
 ct
u (0)
u(t )  u(0)e ct
u(t )  a0  cv (t )  (a0  cv0 )e ct
v(t )  
a0 a0
 (  v0 )e ct
c
c
t  0  v(t )  v0
t    v (t )  
FYS-MEK 1110
20.01.2014
a0
 vT
c
terminalhastighet
21
v (t )  
a0
a
 ( 0  v0 )ect  vT  (v0  vT )ect
c
c
x(t )  x(0)   v(t )dt   vT  (v0  vT )e ct dt
t
t
0
0
 vT t  (v0  vT )  e ct dt
t
0
 vT t 
x(t )  x0  vT t 
(v0  vT ) ct

e  1
c
(v0  vT ) ct
e  1
c
t  0  x(t )  x0  0 
(v0  vT )
1  1  x0
c
Vi har funnet en funksjon som beskriver posisjon,
men vi kan ikke løse ligningen x(t) = 0 analytisk.
(Vi kunne gjøre det numerisk.)
FYS-MEK 1110
20.01.2014
22
Generell løsningsmetode
Identifiser:
Modeller:
Løs:
Analyser:
Hvilket objekt
beveger seg?
Finn kreftene som
påvirker objektet.
Løs bevegelsesligningen
.
2
Er resultatene for
x(t) og v(t) fornuftig?
.
Hvordan måler vi?
Definer et
koordinatsystem.
Beskriv kreftene
med en modell.
med initialbetingelser
(analytisk eller numerisk).
Bruk resultatene for
a svare på spørsmålet.
Finn hastighet og
posisjon.
Interpreter resultatene.
Finn
initialbetingelsene.
Bruk Newtons andre
lov for å finne
akselerasjonen.
neste skritt:
identifiser kreftene
kraftmodeller
FYS-MEK 1110
26.01.2015
d x
 dx 

a
 x, , t 
dt 2
 dt 
Sandkorn i vannet:
Numerisk løsning er rett frem og ikke mer vanskelig
enn for en bevegelse med konstant akselerasjon.
Analytisk løsning krever litt matematikk.
23
Hva er kraft ?
Vi har en intuitivt idé om hva kraft er.
Vi kan kvantifisere en kraft
med elongasjon av en fjær.
Hva hvis vi bruker et tau i stedet ?.
FYS-MEK 1110
26.01.2015
24
Bok på bordet
ingen bevegelse – ingen kraft ?
uten bord vil boken falle ned  kraft virke på boken  gravitasjon
på bordet: hvorfor faller boken ikke ?
er gravitasjon borte ?
gravitasjonen virker fortsatt på boken,
men bordet hindrer boken å falle ned.
 det må være en kraft fra bordet på boken som kompenserer gravitasjonskraften
fjær mellom boken og bordet:
 boken dytter på fjæren som dytter på bordet
 fjæren blir komprimert og dytter tilbake på boken
mikroskopisk deformasjon i overflaten
normalkraft
kraft er normal (vinkelrett) til overflaten
gravitasjon: langtrekkende eller fjernkraft
normalkraft: kontaktkraft
FYS-MEK 1110
26.01.2015
25