1. No category

Kinematikk i to og tre dimensjoner
04.02.2015
Har du hentet boken men ikke betalt?
FYS-MEK 1110
04.02.2015
1
Eksempel:
En masse m = 1 kg er festet til en fjær med fjærkonstant
k = 100 N/m og kan bevege seg på et bord uten friksjon og
luftmotstand. Massen beveger seg med v0 = 1 m/s ut fra
likevektsposisjon.
kontaktkrefter:
 kraft F fra fjær til massen
 normalkraft N fra bordet til massen
langtrekkende kraft:
 gravitasjonskraft G
Normalkraft kompenserer gravitasjon:
 ingen bevegelse i y retning.
kraft F fra fjær til massen:


N  G
F  kL
vi definerer x = 0 i likevektsposisjon;
hvis x > 0 trekker kraften i negativ x retning:
N2L:
 Fx F  kx  ma  a  
FYS-MEK 1110
04.02.2015
k
x
m
F  kx
initialbetingelser:
x(t0 )  0 m
v(t0 )  1 m/s
2
Numerisk løsning med Euler-Cromer:
massen svinger frem og tilbake
vi leser fra diagrammet:
xmax =  0.1 m
vmax = 1 m/s ved x = 0 m
Hva er perioden for svingning?
FYS-MEK 1110
04.02.2015
3
F  kx
Analytisk:
initialbetingelser:
x(t0 )  0 m
v(t0 )  1 m/s
d 2x
k
a 2  x
dt
m
x(t )  A sin( t )  B cos( t )
ansatz:
v(t ) 
dx
  A cos( t )   B sin( t )
dt
dv d 2 x
a(t ) 
 2   2 A sin( t )   2 B cos( t )   2 x(t )
dt dt
x(0)  B  0
k
100 N/m


 10 s 1
m
1 kg
v(0)  A  v0  A 
frekvens:
stiv fjær eller liten masse
 rask svingning
x(t ) 
v0

sin(t )
v0


1 m/s
 0.1 m
10 s -1
amplitude:
høy initialhastighet
 stor amplitude
v(t )  v0 cos(t )
FYS-MEK 1110
04.02.2015
4
Eksempel: bungee jump
En person av masse m = 70 kg hopper med en strikk av lengde d = 50 m fra
en bro av høyde h = 100 m. Vi kan beskrive strikken med en fjærkonstant
k = 200 N/m og en viskøs koeffisient kv = 30 kg/s. For luftmotstanden kan vi
bruke D = 0.22 kg/m. Treffer han bakken?
Vi beskriver bevegelsen til hopperen.
Vi måler posisjonen med x(t) oppover fra bakken.
Initialbetingelser: x(t )  x  100 m
0
0
v(t0 )  v0  0 m/s
t0  0 s
Kontaktkrefter:
 kraft F fra strikken til hopperen
 luftmotstand FD
langtrekkende krefter:
 gravitasjon G
FYS-MEK 1110
04.02.2015
5
Kraftmodell:
gravitasjon:

G  -mg iˆ
luftmotstand:

FD  -Dv v iˆ
Kraften fra strikken virker bare hvis den er stram.
elongasjon:
fjærkraft:
L  (h  d )  x
  kL iˆ
FS  
 0
L  0
L  0
viskøs kraft avhenger av endingsraten for L:
 k (h  d  x) iˆ  kv v iˆ
F 
0

N2L:
d
d
dx
L  (h  d  x)    v
dt
dt
dt
x  hd
x  hd
  
F  G  FD  F ( x, v) iˆ  mg iˆ  Dv v iˆ  ma iˆ
FYS-MEK 1110
04.02.2015
6
FYS-MEK 1110
04.02.2015
7
Når slutter bevegelsen ?
FYS-MEK 1110
04.02.2015
8
http://pingo.upb.de/
access number: 8178
I hvilket tilfelle er tauspenningen større?



Snordraget i tau 1 er større enn i tau 2
Snordraget i tau 1 er like stort som i tau 2
Snordraget i tau 1 er mindre enn i tau 2
FYS-MEK 1110
04.02.2015
9
Newtons tredje lov:
Enhver virkning har alltid og tilsvarende en
motvirkning, eller den gjensidige påvirkning av to
legemer på hverandre er alltid lik, og motsatt
rettet.


Ffra A på B   Ffra B på A
Newtons tredje lov forbinder krefter mellom legemer:
Hvis jeg dytter på veggen, dytter veggen
tilbake på meg med like stor kraft.
 essensiell for å beskrive systemer som består av flere legemer
 krefter kommer i par: kraft og motkraft
 kreftene i paret virker på forskjellige legemer
FYS-MEK 1110
04.02.2015
10
Eksempel:
En kloss ligger i ro på bakken.
N fra J på K
kloss
Oppskrift:
 tegn alle legemer som separate systemer
Wfra K på J
 finn alle krefter på alle objekter
 uttrykk kreftene som FA på B
 finn kraft – motkraft par
 sjekk: hver kraft har en unik motkraft
Wfra J på K
jorden
N fra K på J
FYS-MEK 1110
04.02.2015
11
Eksempel: Mann som går
bevegelse fremover på grunn av friksjonskraft:
 mannen dytter jorden bakover
 jorden dytter mannen fremover
FYS-MEK 1110
04.02.2015
12
kinematisk betingelse:
biler er i kontakt
Eksempel:
xB  x A  L
vB  v A  v
aB  a A  a
En bil dytter en lastebil
med konstant kraft F.
y
x
A
NA
FB på A
WA
F
N3L:
y
 mAa y  0  N A  mA g
x
 mA a x  F  FB på A


FB på A   FA på B
FA på B
WB
N2L for B:
N2L for A:
F
F
NB
B
F
F
y
 mB a y  0  N B  mB g
x
 mB a x  FA på B
(mA  mB )ax  F  FB på A  FA på B  F
System oppfører seg som ett legeme med masse mA+mB
Vi trenger ikke se på indre krefter,
bare på krefter mellom systemet og omgivelsen.
FYS-MEK 1110
04.02.2015
13
http://pingo.upb.de/
access number: 8178
En kvinne trekker med F = 100 N i en 6-kilos eske som igjen
er forbundet med en 4-kilos eske med en lett strikk. Begge
strikkene forblir stramm og overflaten er friksjonsfritt.
Sammenliknet med 6-kilos esken er 4-kilos esken:



FYS-MEK 1110
utsatt for en større netto kraft.
utsatt for samme netto kraft.
utsatt for en mindre netto kraft.
04.02.2015
14
strikkene forblir stramm 
v1  v2 ; a1  a2
vi ser bare på horisontale krefter:
m2 = 6 kg
m1 = 4 kg
T1
F = 100 N
T1
x
x
tauspenning T1:
T1  m1a
F  T1  m2 a
F  (m1  m2 )a  (m1  m2 )
T1 
T1
m1
m1
4
F  F  40 N
m1  m2
10
F T1  60 N
FYS-MEK 1110
04.02.2015
15
Bevegelse i to og tre dimensjoner
FYS-MEK 1110
04.02.2015
16
Bevegelsesdiagram i to dimensjoner
her er bevegelsen todimensjonal
vi kan beskrive posisjon med
 x(t ) 

ˆ
ˆ

r (t )  x(t )i  y (t ) j  
y
(
t
)


med enhetsvektorer iˆ, ˆj
iˆ  iˆ  ˆj  ˆj  1
iˆ  ˆj  0
posisjonsvektor i tre dimensjoner:
 x(t ) 



r (t )  x(t )iˆ  y (t ) ˆj  z (t )kˆ   y (t ) 
 z (t ) 


iˆ  iˆ  ˆj  ˆj  kˆ  kˆ  1
iˆ  ˆj  ˆj  kˆ  kˆ  iˆ  0
FYS-MEK 1110
04.02.2015
17
todimensjonal
bevegelsesdiagram:
vi analysere
bevegelsen videre:
 hastighet?
 akselerasjon?
vi kan se på x(t) og y(t) hver for seg
 x(t ) 

ˆ
ˆ

r (t )  x(t )i  y (t ) j  
y
(
t
)


hastighet og akselerasjon i x og y retning:
vx (t ) 
d
d
x(t ) , v y (t )  y(t )
dt
dt
 vx (t ) 

ˆ
ˆ

v (t )  vx (t )i  v y (t ) j  

 v y (t ) 
d
d
ax (t )  vx (t ) , a y (t )  v y (t )
dt
dt
 ax (t ) 

ˆ
ˆ

a (t )  a x (t )i  a y (t ) j  

 a y (t ) 
FYS-MEK 1110
04.02.2015
18
4s
3s
5s
6s
7s
-v0
2s
v1 - v0
0s
v0
v1
1s



v (ti 1 )  v (ti )
a (ti ) 
t
FYS-MEK 1110
04.02.2015
19
hastighetsvektor:



dr

r (t  t )  r (t )

v (t )  lim
t 0
dt
t


d
x(t ) iˆ  y (t ) ˆj  z (t ) kˆ
dt

dx ˆ dy ˆ dz ˆ
i
j k
dt
dt
dt

hastighet:
 vx (t ) iˆ  v y (t ) ˆj  vz (t ) kˆ
akselerasjonsvektor:
fart:

v (t )

v(t )  v (t )




v (t  t )  v (t )
dv
a (t )  lim

t 0
t
dt


d
vx (t ) iˆ  v y (t ) ˆj  vz (t ) kˆ
dt

dvx ˆ dv y ˆ dvz ˆ

i
j
k
dt
dt
dt
 ax (t ) iˆ  a y (t ) ˆj  az (t ) kˆ
FYS-MEK 1110
04.02.2015
20
Bevegningsligninger i tre dimensjoner



La oss anta at vi har gitt a (t ) og v (t0 )  v0
FYS-MEK 1110
04.02.2015
akkurat de samme som i én dimensjon
bare at vi må bruke vektorer
og det er gyldig for hver komponent
21
http://pingo.upb.de/
access number: 8178
En pendel svinger frem og tilbake med et maksimalutslag på 45°
fra vertikalen. Hvilken pil angir retningen på akselerasjonen til
pendelloddet i punktet Q (det laveste punktet i banen)?
 Pil #2
 Pil #4
 Enten pil #1 eller pil #3
avhengig av hvilken vei
pendelen svinger
45° 45°
#2
P
R
Q
#1
#3
#4
FYS-MEK 1110
04.02.2015
22
http://pingo.upb.de/
access number: 8178
En pendel svinger frem og tilbake med et maksimalutslag på 45°
fra vertikalen. Hvilken pil angir retningen på akselerasjonen til
pendelloddet i punktet P (punktet lengst til venstre i banen)?






Pil #1
Pil #2
Pil #3
Pil #4
Pil #5
akselerasjonen i P er null
45° 45°
#1
#2
P
R
Q
#5
#3
#4
FYS-MEK 1110
04.02.2015
23
Skalarer og vektorer
notasjon:
skalar: størrelse, men ingen retning
eksempel: masse, temperatur, lengde, fart, ...
m, T , l , v
vektor: størrelse og retning
eksempel: posisjon, hastighet, akselerasjon, kraft, ...
   
r , v , a, F
i kartesisk koordinatsystem:
vektorkomponenter:
y
Ay
 Ax 

 
ˆ
ˆ
ˆ
A  Ax i  Ay j  Az k   Ay 
A 
 z

A
Ax
x
Az

A  Ax2  Ay2  Az2
z
Vi kommer å bruke også sfæriske og
sylindriske koordinatsystemer senere.
FYS-MEK 1110
04.02.2015
1
 
ˆi   0 
0
 
0
 
ĵ   1 
0
 
0
 
k̂   0 
1
 
24
Regne med vektorer:
addisjon:
   
a b  b a
assosiativ:


c

a

c
kommutativ:
  
a b  c

b
 

a

b

  
  
a  b c  a b c
multiplikasjon med en skalar:
i Matlab:


b  2a

a

a

b
FYS-MEK 1110
04.02.2015
25
Skalarprodukt (=indreprodukt)
   
a  b  a b cos 


      
a  b c  a c  b c
   
kommutativ: a  b  b  a
lineær:



ax  a  iˆ, a y  a  ˆj, az  a  kˆ
i komponenter:
 
a  b  axbx  a y by  az bz
i Matlab:

 
a  a a
FYS-MEK 1110
04.02.2015
26
tidssekvenser av vektorer  matriser
v: 3d-vektor konstant over tiden  (1x3) matrise
n: antall tidsskritter  skalar
r: 3d-vektor evaluert ved n tider  (nx3) matrise
t: skalar evaluert ved n tider  (nx1) matrise
r(1,:) første tid (linje) i (nx3) matrise = 3d-vektor
dt: tidsskritt  skalar
linje i (nx3) matrise = vektor = vektor + vektor * skalar
linje i (nx1) matrise = skalar = skalar + skalar
FYS-MEK 1110
04.02.2015
27
http://pingo.upb.de/
access number: 8178
Du kaster en ball i en vinkel på 45 i forhold til horisontal.
Vi ser bort fra luftmotstanden. Hvilket utsagn er riktig i
høyeste punkt på banen?
y
x
A.
B.
C.
D.
Fart og akselerasjon er null.
Farten er på et minimum, men ikke null, og akselerasjonen er konstant.
Farten er null, og akselerasjonen er konstant, men ikke null.
Farten er på et minimum, men ikke null, og akselerasjonen øker.

v  v  vx2  v y2
eneste kraft: gravitasjon
fart:

a   g ˆj
ingen kraft i x retning: vx  v0, x  0
i høyeste punkt:
FYS-MEK 1110
04.02.2015
vy  0
28