1. No category

Betinget bevegelse og friksjon
18.02.2015
FYS-MEK 1110
18.02.2015
1
Betinget bevegelse

bevegelse: r (t )

bane: r (s)
bevegelse langs banen: s(t )



dr dr ds

 uˆT v(t )
hastighet: v (t ) 
dt ds dt

dr
 uˆT s(t ) 
tangensialvektor:
ds

fart langs veien: v(t )  v (t ) 
akselerasjon:
FYS-MEK 1110
ds
dt

dv
duˆT dv
v2
a (t )  uˆT  v
 uˆT  uˆ N
dt
dt
dt

tangensialakselerasjon: aT 
dv
dt
sentripetalakselerasjon: a N 
v2
18.02.2015

forandring av farten
langs banen
forandring av
bevegelsesretning
2
Sirkelbane med konstant fart v.
farten er konstant:
v
ds s 2 R


dt t
T
v

d
dt

R
ds d
d
 R (t )   R
 R
dt dt
dt
vinkelhastighet, enhet:
her er vinkelhastigheten konstant:
rad
s

d  2


dt
t
T
 dv
v2
v2
a  uˆT  uˆ N  uˆ N
dt
R
R
konstant fart  ingen tangensialakselerasjon
 v2
a   R 2
R
FYS-MEK 1110
sentripetalakselerasjon
18.02.2015
3
http://pingo.upb.de/
access number: 8178
Jeg snurrer en jo-jo i et horisontalt plan om hånden
min. Hvilken av følgende baner er mulige:
B
A
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
FYS-MEK 1110
C
Bane A
Bane B
Bane C
Bane A og B
Bane A og C
Bane B og C
Alle tre
18.02.2015
4
A:  > 90
B:  = 90
C:  < 90
gravitasjon W
snordraget T
y

T
y
W
W
x
T

x

T
y
W
x
nettokraft nedover
 horisontal bane
ikke mulig
FYS-MEK 1110
18.02.2015
nettokraft nedover
 horisontal bane
ikke mulig
snordraget kan
kompenserer gravitasjon
 nettokraft innover
 sentripetalakselerasjon
5
Konisk pendel
langtrekkende kraft: gravitasjon W
kontaktkraft: snordraget T
vi ser bort fra luftmotstanden
T
T cos

 F T  T sin( )  ma
 F T  W  T cos( )  mg  ma
x
y
x
T
T sin
W
y
N2L:

W
Tx  T sin( )
x
Ty  T cos( )
x
y
y
bevegelse i horisontal plan
ingen bevegelse i y retning:
snordraget: T 
mg
cos( )
ay  0
T cos( )  mg
  0  T  mg
  90  T  
FYS-MEK 1110
18.02.2015
6
T cos
Konisk pendel
N2L:
F
T cos( )  mg  0
y
T
F
x
trenger sentripetalakselerasjon
for å holde sirkelbane:

y
mg
cos( )
T
T sin
x
W
Tx  T sin( )  max
v 2 (R) 2
ax  
 R 2  L sin( ) 2
R
R
T sin( )  mL sin( ) 2
T

mg
 mL 2
cos( )
g
L cos( )
  90 krever uendelig stor vinkelhastighet og snordrag
FYS-MEK 1110
18.02.2015
7
http://pingo.upb.de/
access number: 8178
Person A flytter en kiste på høykant over en horisontal flate
med konstant fart v. Person B flytter en identisk kiste
liggende på siden med samme fart. Hvem må bruker mer
kraft for å kompensere friksjon?
1.
2.
3.
Person A bruker mer kraft.
Person B bruker mer kraft.
Begge bruker den samme kraften.
A
FYS-MEK 1110
18.02.2015
B
8
Friksjon
Hvorfor kan vi dytte en liten masse, men ikke en stor?
stor masse: jeg dytter og massen dytter tilbake etter N3L
hvordan det ?
Normalkraft: mikroskopiske deformasjoner
modell: ”kiste og gulvet limt sammen med små fjærer”
vertikal: gravitasjonskraft dytter på fjærene som dytter tilbake  normalkraft
N  mg  may  0  N  mg
lite normalkraft
lite friksjon
horisontal: jeg dytter og fjærene dytter tilbake
dytter jeg for sterk rives fjærene
stor normalkraft
stor friksjon
i modellen er friksjon koblet til normalkraften
empirisk lov for statisk friksjon: 𝒇𝒔 < 𝒇𝒔,𝐦𝐚𝐱 = 𝝁𝒔 𝑵
kompliserte prosesser
bare tilnærming !
FYS-MEK 1110
18.02.2015
s: statisk friksjonskoeffisient
(dimensjonsløs)
9
Friksjon
statisk fall: ingen bevegelse
vertikal:

   
 
F

N

G

F

f

m
a
0
 ext
N  G  may  0  N  G  mg
horisontal: F  f  max  0 
f F
friksjonskraft er like stor som kraften F
fra mann på kisten, men bare hvis: F  f s ,max   s N
hvis:
F  f s ,max
 F  f s ,max  max  0
kisten beveger seg til høyre
Vi har brukt betingelsen at kisten er i ro,
når kisten beveger seg er statisk friksjonslov ikke lenger gyldig!
FYS-MEK 1110
18.02.2015
10
Dynamisk friksjon:
Mann øker kraften frem til kisten begynner å skli
hvis han stopper å dytte vil kisten også stopper
 det er fortsatt en friksjonskraft som bremser
 dynamisk friksjon
empirisk lov for dynamisk friksjon: 𝒇𝒅 = 𝝁𝒅 𝑵
kraft virker motsatt bevegelsesretning
d   s
igjen: tilnærming
FYS-MEK 1110
18.02.2015
11
http://pingo.upb.de/
access number: 8178
Person A flytter en kiste på høykant over en horisontal flate
med konstant fart v. Person B flytter en identisk kiste
liggende på siden med samme fart. Hvem må bruker mer
kraft for å kompensere friksjon?
1.
2.
3.
Person A bruker mer kraft.
Person B bruker mer kraft.
Begge bruker den samme kraften.
A
konstant fart  dynamisk friksjon
B
f d  d N
N  mg
FYS-MEK 1110
18.02.2015
12
http://pingo.upb.de/
access number: 8178
Du flytter en kiste med masse M over en horisontal flate
med konstant fart v. Hvis du bruker dobbelt så stor fart,
så er friksjonskraften:
1.
2.
3.
4.
bare halvparten så stor
den samme
dobbelt så stor
fire ganger så stor
f d  d N


v
f d   d N 
v
FYS-MEK 1110
18.02.2015
friksjonskraft avhengig av bevegelsesretning
men uavhengig av fart
13
N
N
N
T
fs
ingen horisontal kraft
ingen friksjon
f
små kraft T
kiste forblir i ro
statisk friksjon:
f s  f s ,max  s N
v
T
fs
G
G
N
T
fd
G
G
større kraft T
kiste begynner
å skli når:
f s  f s ,max  s N
kiste sklir
dynamisk friksjon:
f d  d N
T  fd
T  fd
T  fd
f s ,max  s N
akselerasjon
konstant fart
kiste bremser
f d  d N
0
FYS-MEK 1110
kiste i ro
18.02.2015
kiste beveger seg
T
14
http://pingo.upb.de/
access number: 8178
Du trekker en kiste med masse M over en horisontal
flate med kraft T, og kisten beveger seg med konstant
fart v. Hvis du trekker med den samme kraften T på en
kiste med masse 2M som står i ro på den samme
overflaten, så vil denne
v=?
v
M
1.
2.
3.
4.
FYS-MEK 1110
T
T
2M
forbli i ro
akselerere inntil farten når 0.5 v
beveger seg med konstant fart v
ingen av de ovennevnte
18.02.2015
15
Du trekker en kiste med masse M over en horisontal flate
med kraft T, og kisten beveger seg med konstant fart v.
konstant fart  akselerasjon null
N
T
F
F
x
 T  fd  0
y
 N G  0
N  Mg
T  f d   d N   d Mg
fd
G
Hvis du trekker med den samme kraften T på en kiste med masse 2M
som står i ro på den samme overflaten, så vil denne...
for å bevege kisten må være:
F
y
 N G  0
T  f s ,max
 N  2Mg
statisk og dynamisk friksjonskoeffisienter:
 s  d
f s ,max  s N  s 2Mg  d 2Mg  2T
kiste forblir i ro.
FYS-MEK 1110
18.02.2015
16
http://pingo.upb.de/
1.
2.
3.
FYS-MEK 1110
access number: 8178
den lille
den store
begge sklir samtidig
18.02.2015
17
Eksempel:
bok på skråplan: hvor stor må vinkelen være for at boken sklir?
kontaktkrefter:
 normalkraft N
 friksjonskraft f
langtrekkende kraft:
 gravitasjon G
fri-legeme
diagram:
vi velger x aksen
langs planen.
vi antar at boken ikke sklir.

  
 
F

N

G

f

m
a
0
 ext
y retning:
N  Gy  N  mg cos( )  may  0
N  mg cos( )
x retning:
små vinkel: G sin() er små
 friksjon f er små
stor vinkel: G sin() er stor
 friksjon f er (for) stor
betingelse for at
boken ikke sklir:
f  s N
mg sin( )  s mg cos( )
f  Gx  f  mg sin( )  max  0
tan( )   s
f  mg sin( )
det er lett å måle s
FYS-MEK 1110
18.02.2015
18
http://pingo.upb.de/
access number: 8178
Du trekker en kiste på en horisontal overflate med
konstant hastighet. Det er friksjon mellom kisten og
overflaten (d > 0). Er det bedre å trekke horisontal
eller med en vinkel?
1.
2.
3.
FYS-MEK 1110
bedre horisontal
bedre med en vinkel
det spiller ingen rolle
18.02.2015
19
N
T

fd
gravitasjon G = mg
normalkraft N
snordraget T
dynamisk friksjon fd = dN
G
ingen bevegelse i vertikal retning:
N  T sin( )  mg  0
konstant hastighet i vertikal retning: T cos( )  d N  0
T cos( )
d
T
finn ekstremverdi:
N
T cos( )
d
 T sin( )  mg
d mg
cos( )   d sin( )
dT
 d mg
 sin( )  d cos( )  0

2
d cos( )  d sin( ) 
d  tan( )
FYS-MEK 1110
18.02.2015
20
eller plot funksjon T 
d mg
i Matlab eller Python
cos( )   d sin( )
d = 0.1
T [N]
d = 0.7
T [N]
T [N]
d = 0.4



her brukte jeg m = 10 kg
ville resultatet være forskjellig for en annen masse?
d  tan( )
FYS-MEK 1110
18.02.2015
21
Eksempel:
En bil kjører med konstant fart v gjennom en sving med kurveradius R.
ingen bevegelse i z retning:
N  mg  maz  0
N  mg
bilen kjører med konstant fart i y retning:
f y  D  may  0
Friksjon fra veien fy er kraften som akselererer bilen
fremover i y retning. For å holde farten konstant må
fremdrivende friksjon kompensere luftmotstanden D.
v2
for å ta svingen trenger bilen sentripetalakselerasjonen: a x  
R
Friksjon fra veien fx er kraften som akselererer bilen rund svingen:
betingelse for at bilen ikke sklir:
D
v2
f x  max  m
R
f x  s N
v2
m   s mg
R
v   s gR
FYS-MEK 1110
18.02.2015
uavhengig av massen til bilen
22
Du kjører bil gjennom en svinge med radius R = 100 m.
I tørre forhold er den statiske friksjonskoeffisienten mellom
dekk og veien s = 0.7. Hvor fort kan du kjøre gjennom
svingen?
v  s gR  0.7  9.81 m/s 2 100 m  26.2 m/s  94.3 km/h
Hva hvis veien er våt og friksjonskoeffisienten redusert til s = 0.4?
v  s gR  0.4  9.81 m/s 2 100 m  19.8 m/s  71.3 km/h
FYS-MEK 1110
18.02.2015
23