‫סילבוס‬
‫משוואות דיפרנציאליות וטורי פורייה ‪11122 - -‬‬
‫סמסטר חורף‬
‫תשע׳׳ז‬
‫‪ 4‬נ״ז‪ ,‬שלוש שעות הרצאה‪ ,‬שעתיים תרגול‪ 13-14 ,‬שבועות‬
‫מרצה‪ :‬פרופ‪ .‬לביא קרפ ‪ ,e-mail: [email protected]‬טל‪04 9901974 .‬‬
‫מתרגל‪:‬‬
‫ד״ר יעקב לוצקי ‪ ,e-mail: [email protected]‬טל‪04-9086432 .‬‬
‫דרישות הקורס ורקע נדרש‪ :‬פונקציות מרוכבות ‪) 11123‬ניתן ללמוד במקביל(‪ ,‬משוואות‬
‫דיפרנציאליות רגילות ‪.11121‬‬
‫תיאור הקורס ומטרותיו‪ :‬משוואות דיפרנציאליות חלקיות הן כלי חשוב בתחומי ההנדסה‬
‫והמדע‪ .‬בעזרתן ניתן להבין מודלים מתמטיים שמתארים מערכות הנדסיות ותופעות טבע‪.‬‬
‫פתרונן מאפשר ניתוח כמותי ואיכותי של מערכות אלו‪ .‬טורי פורייה צמחו מהצורך לפתור‬
‫משוואות דיפרנציאליות חלקיות ולכן הנושאים האלו נלמדים בקורס אחד‪ .‬כיום ישנם יישומים‬
‫רבים לטורי והתמרות פרוייה במגוון רחב של תחומים בהנדסת אלקטרוניקה‪ .‬הקורס הנוכחי‬
‫ייתן את הבסיס התאורטי ליישומים אלו‪.‬‬
‫בחינות ומדיניות ציונים‪ :‬מבחן אמצע ‪ 25%‬מגן‪ ,‬מבחן סופי ‪.75%‬‬
‫תכנית הקורס‬
‫‪ .1‬משוואות מסדר ראשון ומיון משאוות מסדר שני‬
‫‪Strauss: 1.1, 1.2,1.6‬‬
‫א‪ .‬מבוא‪ :‬הבדל ביין משוואות רגילות וחלקיות‪ ,‬דוגמאות של משוואות לינאריות ולא‬
‫לינאריות‪ ,‬מהו פתרון‪.‬‬
‫ב‪ .‬משוואות מסדר ראשון עם מקדמים קבועים‪ ,‬משוואת העברה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מיון משוואות מסדר שני‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .2‬משוואת הגל החד ממדית‬
‫‪Strauss: 1.3, 2.1, 2.2, 3.2, 3.4‬‬
‫א‪ .‬מודל של מיתר נע‪.‬‬
‫ב‪ .‬מיתר אינסופי‪ ,‬נוסחת ד׳אלמבר‪.‬‬
‫ג‪ .‬משוואת הגל הלא הומוגנית‪ ,‬הערכת הפתרונות‪ .‬מושג של בעיה מוגדרת היטב‪.‬‬
‫ד‪ .‬מיתר חצי אינסופי )קריאה עצמית(‪.‬‬
‫ה‪ .‬אנרגיה‪ ,‬ושימור אנרגיה של משוואת הגל‪.‬‬
‫‪ .3‬בעיות שפה‪-‬התחלה‪ ,‬הפרדת משתנים‬
‫‪Strauss: 1.3, 2.3, 4.1, 4.2, 4.3‬‬
‫א‪ .‬רעיון הפרדת המשתנים לבעיית שפה התחלה למשוואות הגל והחום‪.‬‬
‫ב‪ .‬פתרון בעיית ערכים עצמיים דירכלה‬
‫‪.X 0 (0) = X 0 (L) = 0 ,X 00 + X = 0‬‬
‫ג‪ .‬תנאי שפה רובין‪a0 X (0) = 0 :‬‬
‫‪= 0‬‬
‫‪,X 00 + X‬‬
‫‪= 0‬‬
‫)‪X (L‬‬
‫=‬
‫)‪ X (0‬וניומן‬
‫)‪ X 0 (L) + aL X (L) = 0 ,X 0 (0‬ומשמעותם‪.‬‬
‫ד‪ .‬עקרון המקסימום למשוואת החום ויחידות הפתרון‪.‬‬
‫‪ .4‬טורי פורייה‬
‫‪ ,Strauss: 5.1-5.5‬זעפרני ופינקוס‪ :‬פרק ‪ 2‬ללא סעיף ‪5‬‬
‫א‪ .‬מכפלה פנימית‪ ,‬אורתוגונליות ונורמה‪ .‬דוגמאות למערכות אורתוגונליות‪.‬‬
‫ב‪ .‬חישובי מקדמי פורייה בטורים טריגונומטריים‪ ,‬מרוכבים‪ ,‬סינוסים וקוסינוסים‪ .‬שימושם‬
‫לפתרון משוואות חלקיות‪.‬‬
‫ג‪ .‬פונקציות מחזוריות והרחבה מחזורית‪ .‬משפט דירכלה להתכנסות נקודתית של טורי‬
‫פורייה‪.‬‬
‫ד‪ .‬טורי פורייה בקטע ] ‪ .[ P; P‬שירטוט הגרפים על סמך משפט דירכלה במקרים אלו‪.‬‬
‫ה‪ .‬התכנסות בנורמה של טורי פורייה‪ .‬אי‪-‬שוויון בסל‪ ,‬הקירוב הטוב ביותר באמצעות‬
‫מקדמי פורייה‪ .‬זהות פרסבל ושימושיה לחישוב טורים מספריים‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .5‬בעיות שפה התחלה לא הומוגניות‬
‫‪,Strauss: 5.6‬‬
‫א‪ .‬משוואות הגל והחום הלא הומוגניות‪.‬‬
‫‪ .6‬התמרת פורייה‬
‫זעפרני ופינקוס‪ :‬פרק ‪3‬‬
‫א‪ .‬הגדרת התמרת פורייה והשוואתה עם טורי פורייה‪ .‬חישוב התמרת פורייה של מספר‬
‫פונקציות פשוטות‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪ .‬תכונות התמרת פורייה וחישוב התמרת פורייה של פונקציית גאוס ‪.e x‬‬
‫ג‪ .‬התמרת פורייה הפוכה ושימושיה‪ .‬קונבולוציה ויישומיה להתמרת פורייה וחישוב של‬
‫מסננים‪ .‬נוסחאת פלנשראל‪.‬‬
‫ד‪ .‬יישומים של התמרת פורייה לבעיית התחלה למשואת החום על כל הישר ומשפט‬
‫הדגימה של שנון‪.‬‬
‫‪ .7‬פונקציות הרמוניות ומשוואת לפלס במישור‬
‫‪Strauss: 6.1, 6.2, 6.3‬‬
‫א‪ .‬מקור למשוואת לפלס‪ ,‬בעיית דירכלה וניומן‪.‬‬
‫ב‪ .‬פונקציות הרמוניות‪ ,‬תכונת הממוצע ועקרון המקסימום‪ .‬יחידות בעיית דירכלה‪.‬‬
‫ג‪ .‬בעיית דירכלה וניומן בתחומים מעגליים‪ .‬לפלסיאן בקואורדינטות קוטביות )קריאה‬
‫עצמית(‪ .‬פתרון בעיית דירכלה באמצעות הפרדת משתנים‪.‬‬
‫ספרות‬
‫ספרות עיקרית‪:‬‬
‫‪1. W.A. Strauss, Partial Differential Equations, An Introduction, John Wiley & Sons, Inc.‬‬
‫‪1992.‬‬
‫‪ .2‬ס‪ .‬זעפרני‪ ,‬א‪ .‬פינקוס‪ ,‬טורי פוריה והתמרות אינטגרליות‪ ,‬הטכניון‪ ,‬הפקולטה למתמטיקה‪,‬‬
‫‪.1997‬‬
‫ספרות נוספת‪:‬‬
‫‪3‬‬
.‫ סיכומי הרצאות )קרפ( באתר הקורס‬.3
4. J. Brown and R. Churchill , Fourier Series and Boundary Value Problems, McGraw–
Hill, New York, 1993.
5. S.J. Farlow, Partial Differential Equations for Scientists and Engineers, Dover
Publications, New York 1993.
6. A. Vretblad, Fourier Analysis and Its Applications, Springer, New York, 2003.
(‫)נמצא גם בגריסה אלקטרונית‬
7. H. Weinberger, A First Course in Partial Differential Equations, John Wiley &
Sons, 1965.
,‫ טכניון‬,‫ מבוא למשוואות דיפרנציאליות חלקיות‬,‫ יהודה פינצ׳בר ויעקוב רובנשטיין‬.8
.‫תשס׳׳א‬
,‫ הפקולטה למתמטיקה‬,‫ הטכניון‬,‫ טורי פורייה והתמרות אינטגרליות‬,‫ פענח‬.‫ ב‬.9
.2007
4