9. טורי פורייה III - התכנסות בנורמה וזהות פרסבל
טורי פורייה III
מכללת אורט בראודה -המחלקה למתמטיקה
משוואות דיפרנציאליות חלקיות וטורי פורייה 11122
יעקב לוצקי ולביא קרפ
דף תרגילים מספר 9
טורי פורייה III־ התכנסות בנורמה וזהות פרסבל
הגדרות
יהי Vאוסף הפונקציות שרציפות למקוטעין בקטע ].[a; b
Rb
• מכפלה פנימית) :עבור פונקציות ממשיות( ,hf; g i = c f (x)g (x)dxכאשר cקבוע.
a
Rb
• מכפלה פנימית) :עבור פונקציות מרוכבות( ,hf; g i = c f (x)g (x)dxכאשר cקבוע.
a
• נורמה :הנורמה של פונקציה )וקטור(
•
Rb
s
fמוגדרת עח ידי hf; f i = c jf (x)j dx
מרחק :המרחק ביין שתי פונקציות gk
2
p
a
= .kf k
.kf
• אורתוגונליות :הפונקציות )וקטורים( אורתוגונליות אם .hf; g i = 0
f'g1נקראת מערכת אורתונורמלית ביחס למכפלה פנימית
• מערכת אורתונורמליתk=0( :
נתונה ,אם ; k 6= m
1; k = m
0
= .h'k ; 'm i
• מקדמי פורייה ck = hf; 'k i :נקרא מקדם פורייה של .f
P1
P
. 1
• טור פורייה :טור פורייה של k=0 ck 'k = k=0 hf; 'k i'k ,f
• סכום חלקי:
PN
k=0 ck 'k
= ] SN [fנקרא סכום חלקי של .f
• התכנסות בנורמה :טור פורייה מתכנס בנורמה לפונקציה fאם
2
v
u
u Zb
u
t
kf SN [f ]k = Nlim
c f (x) SN [f ](x) dx = 0:
N !1
!1
= lim
a
c
לוצקי וקרפ
1
k
'hf; 'k i
N
X
k=0
f
N !1
lim
טורי פורייה III
תרגילים
.1תהי fפונקציה במרחב מכפלה פנימית .Vבתרגיל הזה נראה כמה תכונות בסיסיות של
מרחב מכפלה פנימית.
א .הראה
jck j :
N
X
2
kf k
2
k=0
2
=
jck j kf k
2
kf SN [f ]k
2
ב .הסק מסעיף א׳ את אי-השווין
ג .הסק מסעיף ב׳ את אי-השווין בסל )(Bessel
PN
k=0
jck j kf k :
2
2
)(1
.
1
X
)(2
k=0
ד .הסק מסעיף ג׳ את הלמה של רימן ולבג :אם fck gמקדמי פורייה של פונקציה
פנימית אז .limk!1 ck = 0
מכפלה
במרחב
P1
ה .האם sin kx
k=1 sin kטור פורייה מסוג סינוס של פונקציה מסוימת שרציפה
2
למקוטעין בקטע ] ;?[0
.2בתרגיל הזה נראה שהקירוב הטוב ביותר לפונקציה fבמרחב מכפלה פנימית ניתן
באמצעות מקדמי פורייה .לשם פשטות נניח כי המרחב ממשי .הבעיה נובעת מכך
שבפועל לא ניתן לכתוב פונקציה עלי ידי טור אינסופי ,לכן אנו מבררים כיצד ניתן
לקרב פונקציה מסוימת על ידי צירוף לינארי סופי של חלק מהמערכת האורתונורמלית.
כלומר ,בהינתן מספר טבעי ,Nמה הם הסקלרים ft0 ; t1 ; : : : ; tN gכך שהצירוף הלינארי
P
Nיקרב את fבאופן הטוב ביותר .לפיכך אנו עוסקים בבעיית מינימיזציה
k=0 tk 'k
k
N
X
tk ' :
א .הראה
t2k :
N
X
k=0
ck tk +
ב .הראה
jtk ck j :
2
N
X
k=0
f
k=0
N
X
k=0
c2k +
2
N
X
min
ft0 ;:::;tN gR
kf k
2
2
k=0
=
kf k
2
k
' tk
=
2
k
N
X
k=0
' tk
f
N
X
k=0
f
ג .הסק מסעיף ב .שלכל אוסף של סקלרים ft0 ; : : : ; tN gמתקיים
kf SN [f ]k :
c
לוצקי וקרפ
=
k
' ck
2
N
X
k=0
k
tk ' f
N
X
k=0
f
)(3
טורי פורייה III
ד .בטא מילולית את המשמעות של אי-שוויון ).(3
.3
א .מצא ; ; 2 Rכך שהפונקציה
2
Z
+ sin x + sin 2x] dx
x
[
1
= ) ; ;( F
תהיה מינימלית.
ב .מצא ; ; 2 Rכך שהפונקציה
2
sin x + sin(2x) + sin(3x)] dx
x
[
Z
cos
0
2
= ) ; ;( F
תהיה מינימלית.
התכנסות בנורמה וזהות פרסבל
מהזהות )(1
נובע שטור פורייה מתכנס בנורמה ,כלומר SN [f ]k = 0
,limN !1 kfאם
ורק יש שוויון באי-שווין בסל .כלומר מתקיים
kf k :
2
2
=
jck j
1
X
)(4
k=0
השוויון ) (4נקרא זהות פרסבל .ניתן להראות שלכל פונקציה fשהיא רציפה למקוטעין
יש התכנסות בנורמה במערכות האורתנורמליות הבאות :הטריגונומטרית ,סינוס וקוסינוס,
המרוכבת וכן מערכת של פונקציות עצמיות של בעיית ערכים עצמיים.
.4השתמש בזהות ) (4בכדי להראות את הנוסחאות של זהות פרסבל במערכות
האורתונורמליות הבאות:
א .המערכת הטריגונומטרית בקטע ]:[ L; L
jf (x)j dx:
ZL
2
L
1
=
L
jbnj
2
+
janj
2
1
X
n=1
2
+
ב .המערכת המרוכבת בקטע ]:[ L; L
jf (x)j dx:
ZL
2
c
לוצקי וקרפ
3
L
1
L
2
=
jcnj
2
1
X
1
=n
ja j
0
2
טורי פורייה III
ג .המערכת הקוסינוס בקטע ]:[0; L
jf (x)j dx:
ZL
2
0
2
L
=
2
1
janj
X
n=1
2
+
ja j
0
2
ד .המערכת הסינוס בקטע ]:[0; L
jf (x)j dx:
ZL
2
0
2
L
=
jbnj
2
1
X
n=1
.5השתמש בזהות פרסבל בכדי לחשב את הטורים הבאים:
הערה :רצוי להשתמש בחישובים של טורי פורייה מדפי התרגילים הקודמים.
P
1
1על סמך טור טריגונומטרי של x2בקטע ] ; [.
אn=1 n4 .
P
1
1על סמך טור סינוס של f (x) = 1בקטע ] ;.[0
ב2 .
)(2n 1
ג.
ד.
.6
1)2
1
n2
n=1
n=1
(4n2
P
1
n=1 n2
1
P
על סמך טור סינוס של f (x) = cos xבקטע ] ;.[0
על סמך טור מרוכב של f (x) = xבקטע ] ; [.
א .הראה את ההטענה הבאה :תהי fפונקציה רציפה בקטע ] .[ L; Lאם מקדמי
1
fbn g1כולם אפס ,אז f (x) = 0לכל ].x 2 [ L; L
פורייה של fan gn=0 fו n=1
ב .האם קיימת פונקציה fרציפה למקוטעין ושאינה שווה אפס לכל ] x 2 [ L; Lאשר
כלה מקדמי פורייה שלה הם אפס?
.7יהי 1 an cos nx + bn sin nx
n=1
P
a0 +
2
טור פורייה של
x
x<0
0
;
; x +
(
=
)f ( x
בקטע ] ; [ .חשב את הטור 1 a2
n=1 n
רמז :בטא את מקדמיי פורייה של ) g (x) = f (x) + f ( xבאמצעות מקדמי פורייה של .f
P
+
2
. a20
.8נתונה סדרת פונקציות .n = 0; 1; 2 : : : ,n (x) = cos (n + 21 )x
fn g1היא פתרון בעיית ערכים עצמיים
א .וודא שסדרת הפונקציות n=0
;Y 00 = Y
Y 0 (0) = Y () = 0:
)(5
מה הם הערכים העצמיים?
fn g1אורתוגונליות
ב .השתמש בבעיית השפה ) (5בכדי להראות שסדרת הפונקציות n=0
במכפלה הפנימית
Z
hf; gi = f (x)g(x)dx:
0
c
לוצקי וקרפ
4
2
)(6
טורי פורייה III
)R ( 1 +n
1
1
, 0 2הראה שסדרת הפונקציות
ג .בהסתמך על החישוב cos2 (t)dt = 2 2 + n
fn g1היא מערכת אורתונורמלית במכפלה הפנימית ).(6
n=0
ד .נתון ש
1
X
1
x :
)
2
Bn cos (n +
חשב את המקדמים .Bn
ה .השתמש בזהות פרסבל לחישוב הטור
+
1
52
n=0
+
1
32
=1
.1 +
.9הפונקציה ) u(x; tמייצגת טמפרטורה של מוט גלילי באורך ועם מעטפת מבודדת .בקצה
השמאלי המוט מבודד ואילו בימני הטמפרטורה היא אפס .בזמן t = 0הטמפרטורה היא
. 2 x2הטמפרטורה uמקיימת את בעיית שפה התחלה
:
< x < ; 0 < t
;ut uxx = 0
;ux (0; t) = u(; t) = 0
; u(x; 0) = 2 x2
0
t
0x
0
א .קבע את הטמפרטורה עבור .t > 0
R
ב .חשב את האנרגיה .E (t) = 0 u2 (x; t)dx
c
לוצקי וקרפ
5
8
>
<
>
:
טורי פורייה III
תשובות
3
5
א = 2 , = 0 .ו
ב = 83 , = 0 .ו
1
4
א. 90 .
2
7
2
= .
. = 0
2
ג. 64 .
ב. 8 .
2
ד.
6
)חושב לראשונה על ידי אוילר בשנת .(1735
. 76
8
א.n = ( 12 + n)2 .
9
א.
n
) (1+2n
n)x :
+
1
2
ב .מכיוון שהפונקציות n)x g
!
:
c
לוצקי וקרפ
= .Bn
)4( 1
ד.
2
2( 1
2 +n) t
e
(
2
ה. 8 .
cos
1
(2 +
1
2
(1
2 +n) t
fcos
e
n=0 ( 12 + n)3
= )u(x; t
אורתונורמלית ,אז
1
X
42
2 n=0 ( 12 + n)6
6
1
1
X
4
2
= u2 (x; t)dx
Z
0
= )E (t
טורי פורייה III
פתרונות מלאים
2
א.
tj 'j i
t2k :
N
X
k=1
tk ck +
N
X
k=1
2
2
kf k
=
N
X
j =1
h'k ; 'j i
= 0; k
6 j
}
;k = j
tk tj
|
(
{z
tk ' k ; f
N
X
k;j =1
N
X
k=1
tj cj +
hf
=
N
X
2
k
' tk
tk ck
j =1
N
X
k=1
N
X
k=1
f
2
kf k
=
=
1
ב.
c2
tc
)2 k k + k
t2
( k
N
X
k=1
c2k +
N
X
k=1
t2k = kf k2
N
X
k=1
jtk ck j :
2
2
tk ck +
N
X
k=1
N
X
2
k=1
N
X
c2k +
k=1
kf k
2
kf k
2
k
tk ' kf
SN [f ]k:
N
X
k=1
' tk
k=1
f
=
' N t
fיהיה מינימלי כאשר
ג .מסעיפים א׳ ו ב׳ נובע k=1 k k
וזה מתקיים אם ורק אם .tk = ckולפיכך
P
=
2
k
N
X
=0
2
jtk ck j
PN
k=1
f
ד .הקירוב הטוב ביותר של fמתת-המרחב spanf'1 ; : : : ; 'N gמתקבל כאשר המקדמים
ft1 ; : : : ; tN gהם מקדמי פורייה.
הערה :האי-שוויון מעלה נקרא קירוב במובן של שיטת הריבועיים המזעריים.
c
לוצקי וקרפ
7
© Copyright 2024