‫אוניברסיטת בר אילן‪ ,‬הפקולטה למתמטיקה‪.‬‬ ‫קורס‪ ,88-235-02 :‬אנליזת פורייה והתמרות אינטגרליות‪.‬‬ ‫מרצה‪ :‬מיכאל מיכאלי‪.‬‬ ‫פתרון מועד א'‪ ,‬סמסטר קיץ‪ ,‬תשס"ח‪.‬‬ ‫שאלה ‪1‬‬ ‫]‪ C 1 [a, b‬הוא מרחב הפונקציות הגזירות ברציפות בקטע ]‪. [a, b‬‬ ‫לכל ]‪ f , g ∈ C 1 [a, b‬נגדיר פעולה הבאה‪:‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪( f , g ) = ∫ f ′(x )g ′(x )dx‬‬ ‫‪a‬‬ ‫האם פעולה זו מהווה מכפלה פנימית?‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫נתבונן למשל ב ‪: f ≡ 1‬‬ ‫‪f ∈ C 1 [a, b] .1‬‬ ‫‪f ≠ 0 .2‬‬ ‫ובכל זאת‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪( f , f ) = ∫ f ′(x ) f ′(x )dx = ∫ 0dx = 0‬‬ ‫לכן זו איננה מכפלה פנימית‪.‬‬ ‫אוניברסיטת בר אילן‪ ,‬הפקולטה למתמטיקה‪.‬‬ ‫קורס‪ ,88-235-02 :‬אנליזת פורייה והתמרות אינטגרליות‪.‬‬ ‫מרצה‪ :‬מיכאל מיכאלי‪.‬‬ ‫פתרון מועד א'‪ ,‬סמסטר קיץ‪ ,‬תשס"ח‪.‬‬ ‫שאלה ‪2‬‬ ‫נתונה פונקציה ‪ f ( x ) = sin x ⋅ sin 2 x‬בקטע ] ‪ , [− π , π‬כאשר‬ ‫∞ ‪a0‬‬ ‫] ‪+ ∑ [a n cos nx + bn sin nx‬‬ ‫‪2 n =1‬‬ ‫הינו הטור פוריה שלה בקטע זה‪.‬‬ ‫∞‬ ‫הוכח‪/‬י כי ‪. ∑ (− 1) nbn = 0‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n =1‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫נציין את תכונות הפונקציה ‪ f ( x) = sin x ⋅ sin 2 x‬בקטע ] ‪: [− π , π‬‬ ‫‪ f (x) .1‬היא פונקציה רציפה ואי זוגית בקטע ] ‪. [− π , π‬‬ ‫‪. f (−π ) = f (π ) = 0 .2‬‬ ‫‪ .3‬הנגזרת )‪ f ′(x‬היא פונקציה רציפה למקוטעין וזוגית‬ ‫‪f ′(0) = f ′(π ) = f ′(−π ) = 0‬‬ ‫‪ .4‬בנקודה‬ ‫‪π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ x = ±‬לנגזרת )‪ f ′(x‬יש קפיצה כי‬ ‫⎞ ‪⎛ ⎛ π ⎞+‬‬ ‫⎞ ‪⎛ ⎛ π ⎞−‬‬ ‫‪f ′⎜ ⎜ ⎟ ⎟ = − f ′⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ≠ 0‬‬ ‫⎟ ⎠ ‪⎜⎝ 2‬‬ ‫⎟ ⎠ ‪⎜⎝ 2‬‬ ‫⎝‬ ‫⎠‬ ‫⎝‬ ‫⎠‬ ‫‪+‬‬ ‫⎞ ⎞ ‪⎛⎛ π‬‬ ‫⎞ ‪⎛ ⎛ π ⎞−‬‬ ‫⎜‬ ‫⎟‬ ‫‪f ′ ⎜ − ⎟ = − f ′⎜ − ⎜ ⎟ ⎟ ≠ 0‬‬ ‫⎟ ⎠ ‪⎜⎝ 2‬‬ ‫⎟ ⎠‪⎜ ⎝2‬‬ ‫⎝‬ ‫⎠‬ ‫⎝‬ ‫⎠‬ ‫בגלל ש‪ f (x) -‬היא פונקציה אי‪-‬זוגית‪ ,‬טור פורייה שלה בקטע ] ‪ [− π , π‬הוא מהצורה‬ ‫∞‬ ‫‪, f ( x) ~ ∑ bn sin nx‬‬ ‫‪n =1‬‬ ‫כל התנאים של משפט הגזירה מתקיימים‪ ,‬ולכן הטור פורייה של הנגזרת )‪ f ′(x‬הוא‬ ‫∞‬ ‫‪f ′( x) ~ ∑ nbn cos nx‬‬ ‫‪n =1‬‬ ‫על פי התכונות של )‪ f (x‬ו‪ f ′(x) -‬נוכל להציב ‪ x = π‬ונקבל כי‪:‬‬ ‫‪nbn = f ′(π ) = 0‬‬ ‫∞‬ ‫‪n‬‬ ‫)‪∑ (−1‬‬ ‫‪n =1‬‬ ‫אוניברסיטת בר אילן‪ ,‬הפקולטה למתמטיקה‪.‬‬ ‫קורס‪ ,88-235-02 :‬אנליזת פורייה והתמרות אינטגרליות‪.‬‬ ‫מרצה‪ :‬מיכאל מיכאלי‪.‬‬ ‫פתרון מועד א'‪ ,‬סמסטר קיץ‪ ,‬תשס"ח‪.‬‬ ‫שאלה ‪3‬‬ ‫מצא‪/‬י את טור פורייה של ‪ f (x ) = x‬בקטע ] ‪. [− π , π‬‬ ‫∞‬ ‫‪1‬‬ ‫מהו סכום הטור ‪? ∑ 4‬‬ ‫‪n =1 n‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪π 2 ∞ 4(− 1)n‬‬ ‫∑‪+‬‬ ‫‪cos nx‬‬ ‫‪3 n =1 n 2‬‬ ‫~ ‪x2‬‬ ‫על פי שוויון פרסבל נקבל כי‬ ‫‪1 π4‬‬ ‫=‬ ‫∑‬ ‫‪4‬‬ ‫‪90‬‬ ‫‪n =1 n‬‬ ‫∞‬ ‫)הערה‪ :‬פתרון מלא נמצא בספרו של סמי זעפרני ואלן פנקס "טורי פורייה והתמרות אינטגרליות"‪ ,‬עמ' ‪(.67 ,43‬‬ ‫אוניברסיטת בר אילן‪ ,‬הפקולטה למתמטיקה‪.‬‬ ‫קורס‪ ,88-235-02 :‬אנליזת פורייה והתמרות אינטגרליות‪.‬‬ ‫מרצה‪ :‬מיכאל מיכאלי‪.‬‬ ‫פתרון מועד א'‪ ,‬סמסטר קיץ‪ ,‬תשס"ח‪.‬‬ ‫שאלה ‪4‬‬ ‫נתונה בעיית שטורם ליוביל הבא‪:‬‬ ‫‪⎧ y ′′ + λy = 0, 0 < x < π‬‬ ‫⎪‬ ‫‪⎨ y ′(0) = 0‬‬ ‫‪⎪ y (π ) = 0‬‬ ‫⎩‬ ‫מצא‪/‬י את הערכים העצמיים )הממשיים( ואת הפונקציות העצמיות המתאימות לכל ערך‬ ‫עצמי‪.‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫נחלק למקרים‪:‬‬ ‫מקרה א'‪. λ = 0 :‬‬ ‫‪y′′ = 0 ⇒ y′ = c1 ⇒ y = c1 x + c2‬‬ ‫נציב תנאי שפה ונקבל כי ‪ , c1 = c2 = 0‬כלומר אין פתרון לא טריביאלי לבעיה‪.‬‬ ‫מקרה ב'‪) . λ > 0 :‬הערה‪ :‬עבור ‪ λ < 0‬תנאי שפה לא מתקיימים(‪.‬‬ ‫במקרה זה נקבל משוואה אופיינית הבאה‪:‬‬ ‫‪k 2 + λ = 0 ⇒ k 2 = −λ‬‬ ‫‪⇒ k1, 2 = ±i λ‬‬ ‫ופתרון הכללי יהיה מהצורה הבאה‪:‬‬ ‫‪y (x ) = C1 cos λ x + C2 sin λ x‬‬ ‫‪⇒ y′( x ) = − λ C1 sin λ x + λ C2 cos λ x‬‬ ‫כעת נציב את תנאי השפה‪:‬‬ ‫‪y′(0) = − λ C1 sin 0 + λ C2 cos 0 = 0 ⇒ C2 = 0‬‬ ‫‪C1 ≠ 0 ⇒ cos λ π = 0‬‬ ‫‪(2n + 1)π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y (π ) = 0 ⇒ y (π ) = C1 cos λ π = 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪⇒ λπ‬‬ ‫⎞ )‪⎛ (2n + 1‬‬ ‫⎜= ‪⇒λ‬‬ ‫⎟‬ ‫⎠ ‪⎝ 2‬‬ ‫⎞ ‪⎛ 2n + 1‬‬ ‫⎜ = ‪ , λn‬והפונקציות העצמיות‬ ‫לסיכום קיבלנו כי סדרת הערכים העצמיים היא ⎟‬ ‫⎠ ‪⎝ 2‬‬ ‫‪2n + 1‬‬ ‫‪. n = 0,1,2,... , ϕ n = cos‬‬ ‫המתאימות לכל ערך עצמי הן‪x :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫אוניברסיטת בר אילן‪ ,‬הפקולטה למתמטיקה‪.‬‬ ‫קורס‪ ,88-235-02 :‬אנליזת פורייה והתמרות אינטגרליות‪.‬‬ ‫מרצה‪ :‬מיכאל מיכאלי‪.‬‬ ‫פתרון מועד א'‪ ,‬סמסטר קיץ‪ ,‬תשס"ח‪.‬‬ ‫שאלה ‪5‬‬ ‫נתונה פונקציה ) ‪ f ∈ G (R‬כך שהתמרת פורייה שלה היא‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1+ ω‬‬ ‫= ) ‪. F [ f ](ω‬‬ ‫∞‬ ‫חשב‪/‬י את האינטגרל הבא‪dx :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪∫ ( f ∗ f ′)(x‬‬ ‫‪ .‬נמק‪/‬י את תשובתך‪.‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1+ ω‬‬ ‫‪iω‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1+ ω‬‬ ‫‪F‬‬ ‫→⎯⎯ )‪f ( x‬‬ ‫= ) ‪F (ω‬‬ ‫‪F‬‬ ‫→⎯⎯ )‪f ′( x‬‬ ‫= ) ‪iω ⋅ F (ω‬‬ ‫על פי משפט קונבולוציה נקבל כי‪:‬‬ ‫‪2πiω‬‬ ‫) ‪(1 + ω‬‬ ‫‪3 2‬‬ ‫=‬ ‫‪iω‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1+ ω‬‬ ‫⋅‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1+ ω‬‬ ‫‪F‬‬ ‫→⎯⎯ )‪( f ∗ f ′)( x‬‬ ‫⋅ ‪2π‬‬ ‫כעת נשתמש במשפט פלנשראל ונקבל כי‪:‬‬ ‫‪dω‬‬ ‫‪3ω 2‬‬ ‫∞‬ ‫) ‪∫ (1 + ω‬‬ ‫‪3 4‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪8π 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= ‪dω‬‬ ‫‪4π 2ω 2‬‬ ‫) ‪(1 + ω‬‬ ‫‪3 4‬‬ ‫∞‬ ‫∫ ‪dω = 2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4π 2 ω‬‬ ‫) ‪(1 + ω‬‬ ‫‪3 4‬‬ ‫∞‬ ‫∫‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪dω‬‬ ‫∞‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫(‬ ‫נבצע הצבה‪ , 1 + ω 3 = t :‬ונקבל כי ‪ , 3ω 2 dω = dt‬ולכן‬ ‫∞‬ ‫∞‬ ‫∞‬ ‫⎤ ‪16π 3 dt 16π 3 ⎡ t −3‬‬ ‫‪16π 3‬‬ ‫‪′‬‬ ‫(‬ ‫()‬ ‫)‬ ‫∗‬ ‫=‬ ‫⋅‬ ‫=‬ ‫⋅‬ ‫=‬ ‫‪f‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫⎢‬ ‫⎥‬ ‫∫‬ ‫‪3 ∫0 t 4‬‬ ‫‪3 ⎣ − 3⎦0‬‬ ‫‪9‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫∞‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2πiω‬‬ ‫‪2‬‬ ‫∫ = ‪⋅ ∫ ( f ∗ f ′)( x ) dx‬‬ ‫‪3‬‬ ‫∞‪2π −‬‬ ‫‪−∞ 1 + ω‬‬ ‫אוניברסיטת בר אילן‪ ,‬הפקולטה למתמטיקה‪.‬‬ ‫קורס‪ ,88-235-02 :‬אנליזת פורייה והתמרות אינטגרליות‪.‬‬ ‫מרצה‪ :‬מיכאל מיכאלי‪.‬‬ ‫פתרון מועד א'‪ ,‬סמסטר קיץ‪ ,‬תשס"ח‪.‬‬ ‫שאלה ‪6‬‬ ‫מצא‪/‬י פתרון למשוואה הבאה‪:‬‬ ‫⎧‬ ‫‪⎪⎪ f ′′(t ) + 2 f (t ) = 3∫ (t − z ) f ( z )dz,‬‬ ‫‪0‬‬ ‫⎨‬ ‫‪⎪ f (0) = 0, f ′(0) = 1‬‬ ‫⎩⎪‬ ‫‪t‬‬ ‫‪t≥0‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫נשים לב כי מדובר במשוואה‪ . f ′′(t ) + 2 f (t ) = 3t ∗ f (t ) :‬התמרת לפלס של המשוואה‬ ‫מתקבלת באופן הבא‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪s2‬‬ ‫⋅‬ ‫‪F‬‬ ‫(‬ ‫‪s‬‬ ‫)‬ ‫⇒‬ ‫‪F‬‬ ‫(‬ ‫‪s‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪s2‬‬ ‫)‪( s 2 − 1)( s 2 + 3‬‬ ‫⋅ ‪s 2 F ( s ) − sf (0) − f ' (0) + 2 F ( s ) = 3‬‬ ‫כעת נפרק את התוצאה לשברים חלקיים‪:‬‬ ‫‪s2‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪3 1‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪( s − 1)( s + 3) 8 s − 1 8 s + 1 4 s 2 + 3‬‬ ‫= )‪F (s‬‬ ‫נחשב התמרה הפוכה ונקבל‪:‬‬ ‫) (‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪3 1 ⎞ 1 t 1 −t‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪⎛1 1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪+‬‬ ‫⎜ ‪f (t ) = F −1‬‬ ‫‪sin 3t‬‬ ‫‪⎟= e − e +‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪⎝ 8 s −1 8 s +1 4 s + 3 ⎠ 8‬‬ ‫אוניברסיטת בר אילן‪ ,‬הפקולטה למתמטיקה‪.‬‬ ‫קורס‪ ,88-235-02 :‬אנליזת פורייה והתמרות אינטגרליות‪.‬‬ ‫מרצה‪ :‬מיכאל מיכאלי‪.‬‬ ‫פתרון מועד א'‪ ,‬סמסטר קיץ‪ ,‬תשס"ח‪.‬‬ ‫שאלה ‪7‬‬ ‫‪⎧1 x < 1‬‬ ‫נתונה פונקציה‬ ‫⎨ = ) ‪. g (x‬‬ ‫‪⎩0 x ≥ 1‬‬ ‫א‪ .‬חשב‪/‬י את ) ‪. g ( x ) ∗ g ( x‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪x <2‬‬ ‫‪x ≥2‬‬ ‫‪⎧2 − x‬‬ ‫‪⎩ 0‬‬ ‫⎨ = ) ‪(g ∗ g )(x‬‬ ‫ב‪ .‬חשב‪/‬י את התמרת פורייה ) ‪. F [g (x ) ∗ g (x )](ω‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫נחשב את התמרת פורייה בעזרת משפט הקונבולוציה‪:‬‬ ‫‪sin ω sin ω 2 sin 2 ω‬‬ ‫‪F [g ( x ) ∗ g ( x )](ω ) = 2πF [g ( x )](ω ) ⋅ F [g ( x )](ω ) = 2π‬‬ ‫⋅‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪πω‬‬ ‫‪πω‬‬ ‫‪πω‬‬ ‫∞‬ ‫‪sin 4 x‬‬ ‫ג‪ .‬חשב‪/‬י את ‪. ∫ 4 dx‬‬ ‫‪x‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫נשתמש במשפט פלנשראל‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫⎤ ‪π ⎡ (2 − x )3‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫= ⎥‬ ‫‪3‬‬ ‫‪⎦0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫⎣⎢ ⋅ ‪∫ (2 − x ) dx = 4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫∞‬ ‫⎞ ‪⎛ 2 sin 2 ω‬‬ ‫‪π2 1‬‬ ‫⎟‬ ‫⎜‬ ‫=‬ ‫⋅‬ ‫‪ω‬‬ ‫‪d‬‬ ‫⎠⎟ ‪∫ ⎜ πω 2‬‬ ‫‪4 2π‬‬ ‫⎝∞‪−‬‬ ‫∞‬ ‫‪π2‬‬ ‫‪sin 4 x‬‬ ‫=‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪∫ x4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫∞‪−‬‬