פתרון - studenteen

‫אוניברסיטת בר אילן‪ ,‬הפקולטה למתמטיקה‪.‬‬
‫קורס‪ ,88-235-02 :‬אנליזת פורייה והתמרות אינטגרליות‪.‬‬
‫מרצה‪ :‬מיכאל מיכאלי‪.‬‬
‫פתרון מועד א'‪ ,‬סמסטר קיץ‪ ,‬תשס"ח‪.‬‬
‫שאלה ‪1‬‬
‫]‪ C 1 [a, b‬הוא מרחב הפונקציות הגזירות ברציפות בקטע ]‪. [a, b‬‬
‫לכל ]‪ f , g ∈ C 1 [a, b‬נגדיר פעולה הבאה‪:‬‬
‫‪b‬‬
‫‪( f , g ) = ∫ f ′(x )g ′(x )dx‬‬
‫‪a‬‬
‫האם פעולה זו מהווה מכפלה פנימית?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫נתבונן למשל ב ‪: f ≡ 1‬‬
‫‪f ∈ C 1 [a, b] .1‬‬
‫‪f ≠ 0 .2‬‬
‫ובכל זאת‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪( f , f ) = ∫ f ′(x ) f ′(x )dx = ∫ 0dx = 0‬‬
‫לכן זו איננה מכפלה פנימית‪.‬‬
‫אוניברסיטת בר אילן‪ ,‬הפקולטה למתמטיקה‪.‬‬
‫קורס‪ ,88-235-02 :‬אנליזת פורייה והתמרות אינטגרליות‪.‬‬
‫מרצה‪ :‬מיכאל מיכאלי‪.‬‬
‫פתרון מועד א'‪ ,‬סמסטר קיץ‪ ,‬תשס"ח‪.‬‬
‫שאלה ‪2‬‬
‫נתונה פונקציה ‪ f ( x ) = sin x ⋅ sin 2 x‬בקטע ] ‪ , [− π , π‬כאשר‬
‫∞ ‪a0‬‬
‫] ‪+ ∑ [a n cos nx + bn sin nx‬‬
‫‪2 n =1‬‬
‫הינו הטור פוריה שלה בקטע זה‪.‬‬
‫∞‬
‫הוכח‪/‬י כי ‪. ∑ (− 1) nbn = 0‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n =1‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫נציין את תכונות הפונקציה ‪ f ( x) = sin x ⋅ sin 2 x‬בקטע ] ‪: [− π , π‬‬
‫‪ f (x) .1‬היא פונקציה רציפה ואי זוגית בקטע ] ‪. [− π , π‬‬
‫‪. f (−π ) = f (π ) = 0 .2‬‬
‫‪ .3‬הנגזרת )‪ f ′(x‬היא פונקציה רציפה למקוטעין וזוגית‬
‫‪f ′(0) = f ′(π ) = f ′(−π ) = 0‬‬
‫‪ .4‬בנקודה‬
‫‪π‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x = ±‬לנגזרת )‪ f ′(x‬יש קפיצה כי‬
‫⎞ ‪⎛ ⎛ π ⎞+‬‬
‫⎞ ‪⎛ ⎛ π ⎞−‬‬
‫‪f ′⎜ ⎜ ⎟ ⎟ = − f ′⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ≠ 0‬‬
‫⎟ ⎠ ‪⎜⎝ 2‬‬
‫⎟ ⎠ ‪⎜⎝ 2‬‬
‫⎝‬
‫⎠‬
‫⎝‬
‫⎠‬
‫‪+‬‬
‫⎞ ⎞ ‪⎛⎛ π‬‬
‫⎞ ‪⎛ ⎛ π ⎞−‬‬
‫⎜‬
‫⎟‬
‫‪f ′ ⎜ − ⎟ = − f ′⎜ − ⎜ ⎟ ⎟ ≠ 0‬‬
‫⎟ ⎠ ‪⎜⎝ 2‬‬
‫⎟ ⎠‪⎜ ⎝2‬‬
‫⎝‬
‫⎠‬
‫⎝‬
‫⎠‬
‫בגלל ש‪ f (x) -‬היא פונקציה אי‪-‬זוגית‪ ,‬טור פורייה שלה בקטע ] ‪ [− π , π‬הוא מהצורה‬
‫∞‬
‫‪, f ( x) ~ ∑ bn sin nx‬‬
‫‪n =1‬‬
‫כל התנאים של משפט הגזירה מתקיימים‪ ,‬ולכן הטור פורייה של הנגזרת )‪ f ′(x‬הוא‬
‫∞‬
‫‪f ′( x) ~ ∑ nbn cos nx‬‬
‫‪n =1‬‬
‫על פי התכונות של )‪ f (x‬ו‪ f ′(x) -‬נוכל להציב ‪ x = π‬ונקבל כי‪:‬‬
‫‪nbn = f ′(π ) = 0‬‬
‫∞‬
‫‪n‬‬
‫)‪∑ (−1‬‬
‫‪n =1‬‬
‫אוניברסיטת בר אילן‪ ,‬הפקולטה למתמטיקה‪.‬‬
‫קורס‪ ,88-235-02 :‬אנליזת פורייה והתמרות אינטגרליות‪.‬‬
‫מרצה‪ :‬מיכאל מיכאלי‪.‬‬
‫פתרון מועד א'‪ ,‬סמסטר קיץ‪ ,‬תשס"ח‪.‬‬
‫שאלה ‪3‬‬
‫מצא‪/‬י את טור פורייה של ‪ f (x ) = x‬בקטע ] ‪. [− π , π‬‬
‫∞‬
‫‪1‬‬
‫מהו סכום הטור ‪? ∑ 4‬‬
‫‪n =1 n‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪π 2 ∞ 4(− 1)n‬‬
‫∑‪+‬‬
‫‪cos nx‬‬
‫‪3 n =1 n 2‬‬
‫~ ‪x2‬‬
‫על פי שוויון פרסבל נקבל כי‬
‫‪1 π4‬‬
‫=‬
‫∑‬
‫‪4‬‬
‫‪90‬‬
‫‪n =1 n‬‬
‫∞‬
‫)הערה‪ :‬פתרון מלא נמצא בספרו של סמי זעפרני ואלן פנקס "טורי פורייה והתמרות אינטגרליות"‪ ,‬עמ' ‪(.67 ,43‬‬
‫אוניברסיטת בר אילן‪ ,‬הפקולטה למתמטיקה‪.‬‬
‫קורס‪ ,88-235-02 :‬אנליזת פורייה והתמרות אינטגרליות‪.‬‬
‫מרצה‪ :‬מיכאל מיכאלי‪.‬‬
‫פתרון מועד א'‪ ,‬סמסטר קיץ‪ ,‬תשס"ח‪.‬‬
‫שאלה ‪4‬‬
‫נתונה בעיית שטורם ליוביל הבא‪:‬‬
‫‪⎧ y ′′ + λy = 0, 0 < x < π‬‬
‫⎪‬
‫‪⎨ y ′(0) = 0‬‬
‫‪⎪ y (π ) = 0‬‬
‫⎩‬
‫מצא‪/‬י את הערכים העצמיים )הממשיים( ואת הפונקציות העצמיות המתאימות לכל ערך‬
‫עצמי‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫נחלק למקרים‪:‬‬
‫מקרה א'‪. λ = 0 :‬‬
‫‪y′′ = 0 ⇒ y′ = c1 ⇒ y = c1 x + c2‬‬
‫נציב תנאי שפה ונקבל כי ‪ , c1 = c2 = 0‬כלומר אין פתרון לא טריביאלי לבעיה‪.‬‬
‫מקרה ב'‪) . λ > 0 :‬הערה‪ :‬עבור ‪ λ < 0‬תנאי שפה לא מתקיימים(‪.‬‬
‫במקרה זה נקבל משוואה אופיינית הבאה‪:‬‬
‫‪k 2 + λ = 0 ⇒ k 2 = −λ‬‬
‫‪⇒ k1, 2 = ±i λ‬‬
‫ופתרון הכללי יהיה מהצורה הבאה‪:‬‬
‫‪y (x ) = C1 cos λ x + C2 sin λ x‬‬
‫‪⇒ y′( x ) = − λ C1 sin λ x + λ C2 cos λ x‬‬
‫כעת נציב את תנאי השפה‪:‬‬
‫‪y′(0) = − λ C1 sin 0 + λ C2 cos 0 = 0 ⇒ C2 = 0‬‬
‫‪C1 ≠ 0 ⇒ cos λ π = 0‬‬
‫‪(2n + 1)π‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y (π ) = 0 ⇒ y (π ) = C1 cos λ π = 0‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪⇒ λπ‬‬
‫⎞ )‪⎛ (2n + 1‬‬
‫⎜= ‪⇒λ‬‬
‫⎟‬
‫⎠ ‪⎝ 2‬‬
‫⎞ ‪⎛ 2n + 1‬‬
‫⎜ = ‪ , λn‬והפונקציות העצמיות‬
‫לסיכום קיבלנו כי סדרת הערכים העצמיים היא ⎟‬
‫⎠ ‪⎝ 2‬‬
‫‪2n + 1‬‬
‫‪. n = 0,1,2,... , ϕ n = cos‬‬
‫המתאימות לכל ערך עצמי הן‪x :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫אוניברסיטת בר אילן‪ ,‬הפקולטה למתמטיקה‪.‬‬
‫קורס‪ ,88-235-02 :‬אנליזת פורייה והתמרות אינטגרליות‪.‬‬
‫מרצה‪ :‬מיכאל מיכאלי‪.‬‬
‫פתרון מועד א'‪ ,‬סמסטר קיץ‪ ,‬תשס"ח‪.‬‬
‫שאלה ‪5‬‬
‫נתונה פונקציה ) ‪ f ∈ G (R‬כך שהתמרת פורייה שלה היא‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1+ ω‬‬
‫= ) ‪. F [ f ](ω‬‬
‫∞‬
‫חשב‪/‬י את האינטגרל הבא‪dx :‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪∫ ( f ∗ f ′)(x‬‬
‫‪ .‬נמק‪/‬י את תשובתך‪.‬‬
‫∞‪−‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1+ ω‬‬
‫‪iω‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1+ ω‬‬
‫‪F‬‬
‫→⎯⎯ )‪f ( x‬‬
‫= ) ‪F (ω‬‬
‫‪F‬‬
‫→⎯⎯ )‪f ′( x‬‬
‫= ) ‪iω ⋅ F (ω‬‬
‫על פי משפט קונבולוציה נקבל כי‪:‬‬
‫‪2πiω‬‬
‫) ‪(1 + ω‬‬
‫‪3 2‬‬
‫=‬
‫‪iω‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1+ ω‬‬
‫⋅‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1+ ω‬‬
‫‪F‬‬
‫→⎯⎯ )‪( f ∗ f ′)( x‬‬
‫⋅ ‪2π‬‬
‫כעת נשתמש במשפט פלנשראל ונקבל כי‪:‬‬
‫‪dω‬‬
‫‪3ω 2‬‬
‫∞‬
‫) ‪∫ (1 + ω‬‬
‫‪3 4‬‬
‫‪0‬‬
‫‪8π 2‬‬
‫‪3‬‬
‫= ‪dω‬‬
‫‪4π 2ω 2‬‬
‫) ‪(1 + ω‬‬
‫‪3 4‬‬
‫∞‬
‫∫ ‪dω = 2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4π 2 ω‬‬
‫) ‪(1 + ω‬‬
‫‪3 4‬‬
‫∞‬
‫∫‬
‫‪2‬‬
‫= ‪dω‬‬
‫∞‬
‫)‬
‫‪2‬‬
‫∞‪−‬‬
‫(‬
‫נבצע הצבה‪ , 1 + ω 3 = t :‬ונקבל כי ‪ , 3ω 2 dω = dt‬ולכן‬
‫∞‬
‫∞‬
‫∞‬
‫⎤ ‪16π 3 dt 16π 3 ⎡ t −3‬‬
‫‪16π 3‬‬
‫‪′‬‬
‫(‬
‫()‬
‫)‬
‫∗‬
‫=‬
‫⋅‬
‫=‬
‫⋅‬
‫=‬
‫‪f‬‬
‫‪f‬‬
‫‪x‬‬
‫‪dx‬‬
‫⎢‬
‫⎥‬
‫∫‬
‫‪3 ∫0 t 4‬‬
‫‪3 ⎣ − 3⎦0‬‬
‫‪9‬‬
‫∞‪−‬‬
‫‪2‬‬
‫∞‬
‫‪1‬‬
‫‪2πiω‬‬
‫‪2‬‬
‫∫ = ‪⋅ ∫ ( f ∗ f ′)( x ) dx‬‬
‫‪3‬‬
‫∞‪2π −‬‬
‫‪−∞ 1 + ω‬‬
‫אוניברסיטת בר אילן‪ ,‬הפקולטה למתמטיקה‪.‬‬
‫קורס‪ ,88-235-02 :‬אנליזת פורייה והתמרות אינטגרליות‪.‬‬
‫מרצה‪ :‬מיכאל מיכאלי‪.‬‬
‫פתרון מועד א'‪ ,‬סמסטר קיץ‪ ,‬תשס"ח‪.‬‬
‫שאלה ‪6‬‬
‫מצא‪/‬י פתרון למשוואה הבאה‪:‬‬
‫⎧‬
‫‪⎪⎪ f ′′(t ) + 2 f (t ) = 3∫ (t − z ) f ( z )dz,‬‬
‫‪0‬‬
‫⎨‬
‫‪⎪ f (0) = 0, f ′(0) = 1‬‬
‫⎩⎪‬
‫‪t‬‬
‫‪t≥0‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫נשים לב כי מדובר במשוואה‪ . f ′′(t ) + 2 f (t ) = 3t ∗ f (t ) :‬התמרת לפלס של המשוואה‬
‫מתקבלת באופן הבא‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪s2‬‬
‫⋅‬
‫‪F‬‬
‫(‬
‫‪s‬‬
‫)‬
‫⇒‬
‫‪F‬‬
‫(‬
‫‪s‬‬
‫)‬
‫=‬
‫‪s2‬‬
‫)‪( s 2 − 1)( s 2 + 3‬‬
‫⋅ ‪s 2 F ( s ) − sf (0) − f ' (0) + 2 F ( s ) = 3‬‬
‫כעת נפרק את התוצאה לשברים חלקיים‪:‬‬
‫‪s2‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪3 1‬‬
‫=‬
‫‪−‬‬
‫‪+‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪( s − 1)( s + 3) 8 s − 1 8 s + 1 4 s 2 + 3‬‬
‫= )‪F (s‬‬
‫נחשב התמרה הפוכה ונקבל‪:‬‬
‫) (‬
‫‪1 1‬‬
‫‪3 1 ⎞ 1 t 1 −t‬‬
‫‪3‬‬
‫‪⎛1 1‬‬
‫‪−‬‬
‫‪+‬‬
‫⎜ ‪f (t ) = F −1‬‬
‫‪sin 3t‬‬
‫‪⎟= e − e +‬‬
‫‪2‬‬
‫‪8‬‬
‫‪4‬‬
‫‪⎝ 8 s −1 8 s +1 4 s + 3 ⎠ 8‬‬
‫אוניברסיטת בר אילן‪ ,‬הפקולטה למתמטיקה‪.‬‬
‫קורס‪ ,88-235-02 :‬אנליזת פורייה והתמרות אינטגרליות‪.‬‬
‫מרצה‪ :‬מיכאל מיכאלי‪.‬‬
‫פתרון מועד א'‪ ,‬סמסטר קיץ‪ ,‬תשס"ח‪.‬‬
‫שאלה ‪7‬‬
‫‪⎧1 x < 1‬‬
‫נתונה פונקציה‬
‫⎨ = ) ‪. g (x‬‬
‫‪⎩0 x ≥ 1‬‬
‫א‪ .‬חשב‪/‬י את ) ‪. g ( x ) ∗ g ( x‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪x <2‬‬
‫‪x ≥2‬‬
‫‪⎧2 − x‬‬
‫‪⎩ 0‬‬
‫⎨ = ) ‪(g ∗ g )(x‬‬
‫ב‪ .‬חשב‪/‬י את התמרת פורייה ) ‪. F [g (x ) ∗ g (x )](ω‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫נחשב את התמרת פורייה בעזרת משפט הקונבולוציה‪:‬‬
‫‪sin ω sin ω 2 sin 2 ω‬‬
‫‪F [g ( x ) ∗ g ( x )](ω ) = 2πF [g ( x )](ω ) ⋅ F [g ( x )](ω ) = 2π‬‬
‫⋅‬
‫=‬
‫‪2‬‬
‫‪πω‬‬
‫‪πω‬‬
‫‪πω‬‬
‫∞‬
‫‪sin 4 x‬‬
‫ג‪ .‬חשב‪/‬י את ‪. ∫ 4 dx‬‬
‫‪x‬‬
‫∞‪−‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫נשתמש במשפט פלנשראל‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫⎤ ‪π ⎡ (2 − x )3‬‬
‫‪2π‬‬
‫= ⎥‬
‫‪3‬‬
‫‪⎦0‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫⎣⎢ ⋅ ‪∫ (2 − x ) dx = 4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪−2‬‬
‫‪2‬‬
‫∞‬
‫⎞ ‪⎛ 2 sin 2 ω‬‬
‫‪π2 1‬‬
‫⎟‬
‫⎜‬
‫=‬
‫⋅‬
‫‪ω‬‬
‫‪d‬‬
‫⎠⎟ ‪∫ ⎜ πω 2‬‬
‫‪4 2π‬‬
‫⎝∞‪−‬‬
‫∞‬
‫‪π2‬‬
‫‪sin 4 x‬‬
‫=‬
‫‪dx‬‬
‫‪∫ x4‬‬
‫‪4‬‬
‫∞‪−‬‬