1. No category

Matematiikan peruskurssi: kaavoja tenttiin1
———————————————————————————————————
Kaavoja lukujono- ja korkolaskuista
n
.
Aritmeettinen lukujono ai = a1 + (i − 1)d ja summa Sn = n a1 +a
2
1−q n
i−1
Geometrinen lukujono ai = a1 q
ja summa Sn = a1 1−q .
p n
K0 ja alkupeKasvanut pääoma n:n korkojakson kuluttua on Kn = 1 + 100
räinen pääoma K0 = 1+Kpn n .
( 100 )
n
p
1 + 100·m
· p
n 100·m ,
Tasaerälaina: tasaerä = A = N ·
p
1 + 100·m − 1
missä N = lainan määrä, p = korkokanta, n = takaisinmaksuerien lukumäärä
ja m = takaisinmaksuerien lukumäärä korkojakson aikana.
———————————————————————————————————
Lineaarialgebraan liittyviä laskusääntöjä
(AT )T = A
AA = A−1 A = I
−1
(rA)T = rAT
det A−1 = det1 A
(A + B)T = AT + B T
(A−1 )−1 = A
(AC)T = C T AT
(AB)−1 = B −1 A−1
———————————————————————————————————
Derivoimissääntöjä
Dxr = rxr−1
Dex = ex
D ln x = x1
D sin(x) = cos(x) D cos(x) = − sin(x) D tan(x) = 1 + tan(x)2
(f g)0 (x) = f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x)
0
0
(x)g 0 (x)
f
(x) = f (x)g(x)−f
g
g(x)2
Dg(f (x)) = (g ◦ f )0 (x) = (g 0 ◦ f )(x)f 0 (x) = g 0 (f (x))f 0 (x)
———————————————————————————————————
Integroimissääntöjä
R r
R
R
1
x dx = r+1
xr+1 + C kun r 6= −1, x1 dx = ln |x| + C, ex dx = ex + C,
R
R
sin(x)dx = − cos(x) + C, cos(x)dx = sin(x) + C
R
R
Osittaisintegrointi: f 0 (x)g(x)dx = f (x)g(x) − f (x)g 0 (x)dx
Integrointi
sijoituksen
R
R avulla:
R
R
g(f (x)) f 0 (x)dx = g(t)dt = G(f (x)) tai f (|{z}
x ) |{z}
dx = f (g(t))g 0 (t)dt.
|{z} | {z }
0
=t
g(t)
=dt
Rb
g (t)dt
.b
F (x) = F (b) − F (a)
.b
Rb
Rb
-osittaisintegroinnilla a f 0 (x)g(x)dx = f (x)g(x) − a f (x)g 0 (x)dx
a
Rb
R g−1 (b)
-sijoituksella a f (x)dx = g−1 (a) f (g(t))g 0 (t)dt.
———————————————————————————————————
Differentiaaliyhtälöiden ratkaisuun
y 0 (x) = f (x) → y(x) = F (x) + C
g(x)
y 0 (x) = h(y(x))
→ H(y(x)) = G(x) + C, C ∈
R F (x)
0
y (x) + f (x)y(x) = g(x) → y(x) =
e
g(x)dx + C e−F (x) , C ∈
Määrätty integraali:
a
f (x)dx =
a
R
1 Tämä
kaavakokoelma tulee olemaan tentissä kysymyspaperin kääntöpuolella
R