‫פרק ‪ -6‬האינטגרל‬
‫‪ 6.1‬מבוא‬
‫האינטגרל הוא הפעולה ההפוכה לפעולה הגזירה‪ .‬האינטגרל מאפשר לנו למצוא את הפונקציה הקדומה של הפונקציה‬
‫עליה אנו מבצעים את הפעולה‪ ,‬כלומר‪ ,‬אם נגזור את הפונקציה הקדומה אנו אמורים לקבל את הפונקציה עליה ביצענו‬
‫אינטגרציה‪.‬‬
‫למשל‪ :‬הפונקציה הקדומה של ‪ f ( x)  3 x‬היא (באופן אינטואיטיבי) ‪. F ( x )  x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ 6.2‬האינטגרל הלא מסוים‬
‫הגדרה‪ -‬אם ל‪ f ( x ) -‬קיימת פונקציה קדומה ) ‪ F ( x‬אז אוסף כל הפונקציות הקדומות ‪ F ( x )  c‬נקרא האינטגרל הלא‬
‫מסוים של ) ‪ f ( x‬ונסמן אותו ע"י ‪:‬‬
‫‪ f ( x)dx  F ( x)  c‬‬
‫הסימון ‪ dx‬מסמן את העובדה שמשתנה האינטגרציה (המשתנה התלוי איתו אנו עובדים) הוא ‪.X‬‬
‫את הקבוע ‪ C‬מוסיפים כיוון שכאשר נגזור את הפונקציה הקדומה הוא "ייפול"‪ ,‬כלומר‪ ,‬יכולים להיות אינסוף קבועים שייצרו‬
‫אינסוף פונקציות קדומות אשר מתאימות לפונקציה עליה ביצענו את האינטגרציה‪.‬‬
‫למשל‪ :‬לפונקציה ‪ f ( x)  3 x‬יכולות להתאים גם הפונקציות הקדומות ‪ F ( x)  x  2‬או ‪. F ( x)  x  1000‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫תכונות‪:‬‬
‫‪ .1‬אם ) ‪f ( x‬‬
‫גזירה אז ‪ f '( x)dx  f ( x)  c‬‬
‫‪ .2‬ניתן להוציא קבועים אל מחוץ לסימן האינטגרל‪ af ( x)dx  a  f ( x)dx :‬‬
‫‪ . 3‬האינטגרל של הסכום או ההפרש של פונקציות שווה לסכום או ההפרש של האינטגרלים‪:‬‬
‫‪ [ f ( x)  g ( x)]dx   f ( x)dx   g ( x)dx‬‬
‫אינטגרלים מידיים‪:‬‬
‫זהו אוסף של אינטגרלים שאנו יכולים לפתור מתוך היכרות עם הנגזרות של הפונקציות הקדומות‪.‬‬
‫‪x n 1‬‬
‫‪c‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪6. x 1dx  ln x  c‬‬
‫‪7. e x dx  e x  c‬‬
‫‪8. cot dx  ln sin x  c‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ arctan  c‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪2‬‬
‫‪9.‬‬
‫‪1. x n dx ‬‬
‫‪2. sin xdx   cos x  c‬‬
‫‪3. cos xdx  sin x  c‬‬
‫‪4. tan xdx   ln cos x  c‬‬
‫‪x‬‬
‫‪c‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ arcsin‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪a2  x2‬‬
‫‪5.‬‬
‫‪ 6.3‬האינטגרל המסוים‬
‫האינטגרל המסוים עבור פונקציה חיובית ) ‪ f ( x‬המוגדרת בקטע סופי )‪ (a,b‬הוא מספר השווה לשטח הכלוא בין ציר ה‪X -‬‬
‫לגרף הפונקציה‪ ,‬בין קצות הקטע‪.‬‬
‫עבור פונקציה חיובית ) ‪ , f ( x‬האינטגרל המסוים ‪f ( x)dx‬‬
‫‪b‬‬
‫‪‬‬
‫‪a‬‬
‫הוא השטח ‪ S‬הכלוא מתחת לגרף‪.‬‬
‫‪ a,b‬נקראים גבולות האינטגרציה‪.‬‬
‫) ‪f ( x)dx  F (b)  F (a‬‬
‫ובאופן כללי‪:‬‬
‫‪b‬‬
‫‪‬‬
‫‪a‬‬
‫דוגמא‪ :‬מהו השטח הכלוא מתחת לפרבולה ‪ y  x‬בתחום ‪? 0  x  2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪8‬‬
‫‪3‬‬
‫‪s‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬
‫‪ 0 ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x3‬‬
‫‪x dx ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ 6.4‬השימוש בפעולת האינטגרל בקינמטיקה‪:‬‬
‫כעת כשאנו יודעים לבצע את פעולת האינטגרציה על פונקציה נוכל ליישם אותה בכדי לנתח תנועה של גוף באופן רחב‬
‫יותר‪.‬‬
‫בפרק הקודם למדנו שהתאוצה היא נגזרת של המהירות והמהירות היא נגזרת של ההעתק‪ .‬כלומר‪ ,‬המהירות היא‬
‫הפונקציה הקדומה של התאוצה וההעתק הוא הפונקציה הקדומה של המהירות‪.‬‬
‫זאת אומרת שאם ידועה לנו רק תאוצתו של גוף אנו יכולים על ידי פעולה מתמטית פשוטה לדעת את מהירותו ואת אופי‬
‫תנועתו‪.‬‬
‫למשל‪ ,‬אם נתונה מהירות של גוף כלשהו‪ v(t ) -‬נוכל לחלץ ביטוי להעתק על ידי‪:‬‬
‫) ‪v(t )dt  x(t2 )  x(t1‬‬
‫‪t2‬‬
‫‪‬‬
‫מכאן ש‪-‬‬
‫‪t1‬‬
‫‪t2‬‬
‫‪x(t2 )  x(t1 )   v(t )dt‬‬
‫‪t1‬‬
‫ואם נתונה תאוצתו ) ‪ a (t‬נוכל לחלץ ביטויים למהירותו ולאחר מכן להעתקו‪ ,‬על ידי‪:‬‬
‫) ‪a(t )dt  v(t2 )  v(t1‬‬
‫‪t2‬‬
‫‪‬‬
‫‪t1‬‬
‫מכאן ש‪-‬‬
‫‪a(t )dt‬‬
‫‪t2‬‬
‫‪‬‬
‫‪t1‬‬
‫‪, v(t2 )  v(t1 ) ‬‬
‫‪t2‬‬
‫‪x(t2 )  x(t1 )   v(t )dt‬‬
‫‪t1‬‬
‫נשים לב שאם נבחר את ‪ t1  0‬אז נחזור ונקבל את הנוסחאות והקשרים המוכרים לנו מלימודי התיכון‪.‬‬
‫*העשרה‪ -‬אינטגרציה על וקטור‪:‬‬
‫אינטגרציה היא פעולה הפוכה לפעולת הגזירה‪ ,‬לכן אם גוזרים וקטור לפי רכיבים‪ ,‬גם אינטגרציה מבצעים בנפרד‪ ,‬לפי‬
‫רכיבים‪.‬‬
‫‪ Fdt  xˆ  F dt  yˆ  F dt‬‬
‫‪y‬‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫‪yˆ  C‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ (3xˆ  4tyˆ )dt  3txˆ  2t‬‬
‫מאחר שהאינטגרציה אינה מסוימת מוסיפים וקטור קבוע כלשהו שאינו ידוע‪.‬‬