‫חדו״א ‪ 2‬־ תרגיל מס׳ ‪1‬‬ ‫סמסטר ב׳‪ ,‬תשע״ה ‪2015‬‬ ‫הערה חשובה‪ :‬אמנם התרגילים אינם להגשה‪ ,‬אבל הפעם מומלץ במיוחד לפתור את כל התרגילים )כבר השבוע‪ ,‬ולא לקראת‬ ‫המבחן(‪ .‬יהיה לכם קשה מאוד הסמסטר מבלי שתרגישו בנוח עם פתרון האינטגרלים‪.‬‬ ‫תרגילים להגשה‬ ‫‪ .1‬מהו אוסף הפונקציות הקדומות של הפונקציה ‪ f‬המוגדרת על הקבוצה ‪ A‬במקרים הבאים‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪sin x x < π/4‬‬ ‫= )‪A = R, f (x‬‬ ‫)א(‬ ‫‪cos x x ≥ π/4‬‬ ‫)ב( )‪.f (x) = x2 ,A = (0, 1) ∪ (2, 3‬‬ ‫‪ .2‬חשבו את האינטגרלים הבאים‪ .‬אם הפתרון תקף רק לתחום הגדרה מסויים‪ ,‬ציינו מהו התחום‪.‬‬ ‫)א(‬ ‫)ב(‬ ‫)ג(‬ ‫)ד(‬ ‫‪q‬‬ ‫ ˆ‬ ‫√‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x xdx‬‬ ‫‪1− 2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ˆ √ 4‬‬ ‫‪x + x−4 + 2‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪x5‬‬ ‫‪ˆ 2‬‬ ‫‪x +5‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪x2 + 1‬‬ ‫‪ˆ p‬‬ ‫‪1 − cos2 (x)dx‬‬ ‫‪2x+1 − 5x−1‬‬ ‫)ה( ‪dx‬‬ ‫‪10x‬‬ ‫)ו( ‪a > 0‬‬ ‫)ז( ‪dx‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪dx,‬‬ ‫‪− x2‬‬ ‫‪a2‬‬ ‫)רמז‪ :‬זווית כפולה(‪.‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪ .3‬השתמשו באינטגרציה בחלקים )ובשיטות נוספות( כדי לחשב את האינטגרלים הבאים‪.‬‬ ‫ˆ‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪1+x‬‬ ‫‪x ln‬‬ ‫)ג( ‪dx‬‬ ‫‪1−x‬‬ ‫‪ˆ p‬‬ ‫)ד( ‪1 − x2 dx‬‬ ‫)א( ‪xe−2x dx‬‬ ‫ˆ‬ ‫)ב( ‪sin(ln x)dx‬‬ ‫‪ .4‬השתמשו באינטגרציה בחלקים ומצאו נוסחה רקורסיבית ל ‪ Im‬במקרים הבאים‪.‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪dx‬‬ ‫= ‪. Im‬‬ ‫)א(‬ ‫‪(x2 + a2 )m‬‬ ‫ˆ‬ ‫)ב( ‪ Im = xα lnm xdx‬כאשר ‪.α 6= −1‬‬ ‫‪ .5‬חשבו את האינטגרלים הבאים ע״י הצבה או בכל דרך אחרת‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫√‬ ‫ˆ‬ ‫‪sin x‬‬ ‫)‪2(1 + cos x‬‬ ‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫‪ ,‬בתחום ‪.x ≤ 0‬‬ ‫‪x7‬‬ ‫)א( ‪dx‬‬ ‫‪1 − x4‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)ב( ‪1 + x3 dx‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫)ג(‬ ‫|‪x ln |x‬‬ ‫‪ex + 2‬‬ ‫)ה( ‪dx‬‬ ‫‪ex + 4 + 7e−x‬‬ ‫ˆ‬ ‫)ו( ‪cot(x)dx‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪x2‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪ex‬‬ ‫)ד( ‪√ dx‬‬ ‫‪ex + ex‬‬ ‫ˆ‬ ‫)ח( ‪dx‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪2‬‬ ‫√‬ ‫‪e‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪x‬‬ ‫)ט( ‪xe cos xdx‬‬ ‫ˆ‬ ‫)ז( ‪x3 e−x dx‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪ ,‬בתחום ‪.x ≤ 0‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫√‬ ‫)י(‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a + x2‬‬ ‫)נסו‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪a2‬‬ ‫√‬ ‫‪(.t = x +‬‬ ‫‪ .6‬יהי )‪ P (x‬פולינום ממעלה ‪ .n‬הוכיחו ש‬ ‫ˆ‬ ‫‪P (x)ex dx = Q(x)ex + C‬‬ ‫כאשר )‪ Q(x‬אף הוא פולינום ממעלה ‪.n‬‬ ‫תרגילים נוספים‬ ‫‪ .1‬חשבו את האינטגרלים הבאים )שימו לב לתחומי ההגדרה!(‬ ‫‪2‬‬ ‫ ˆ‬ ‫‪1−x‬‬ ‫)א( ‪dx‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ˆ‬ ‫)ב( ‪(1 − x)(1 − 2x)(1 − 3x)dx‬‬ ‫ˆ‬ ‫)ג( ‪(3x − 7)12 dx‬‬ ‫‪ .2‬השתמשו באינטגרציה בחלקים )ובשיטות נוספות( כדי לחשב את האינטגרלים הבאים‪.‬‬ ‫ˆ‬ ‫)א( ‪x ln2 xdx‬‬ ‫ˆ‬ ‫)‪ln (x‬‬ ‫)ב( ‪dx‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫ˆ‬ ‫)ג( ‪e2x sin (3x) dx‬‬ ‫ˆ‬ ‫)ד( ‪xn ln xdx‬‬ ‫‪ .3‬חשבו את האינטגרלים הבאים ע״י הצבה או בכל דרך אחרת‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)א( ‪dx‬‬ ‫‪1−x‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪1‬‬ ‫)ב( ‪dx‬‬ ‫‪(x − 1)2‬‬ ‫‪arctan2 x‬‬ ‫)ג( ‪dx‬‬ ‫‪1 + x2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫‪x2‬‬ ‫)ד( ‪ , xe− 2 dx‬בתחום ‪x ≥ 0‬‬