מבוא לשיטות מתמטיות, תרגול #6
מבוא לשיטות מתמטיות ,תרגול #6 30בנובמבר 2015 משפטים על פונקציות רציפות וגזירות משפט ערך הביניים אם fרציפה וממשית בקטע ] [a, bו uנמצא בין ) f (aל ) ,f (bאזי קיים ] c ∈ [a, bכך ש .f (c) = u משפט רול אם fרציפה וממשית בקטע ] [a, bוגזירה ב) (a, bו) ,f (a) = f (bאזי קיים ) c ∈ (a, bכך ש .f 0 (c) = 0 משפט הערך הממוצע אם fרציפה וממשית בקטע ] [a, bוגזירה ב) (a, bו) ,f (a) = f (bאזי קיים ) c ∈ (a, bכך ש )f (b) − f (a b−a = )f 0 (c . תרגיל הראה כי לפונ׳ f (x) = 5x3 + 14x + 2שורש ממשי אחד בדיוק. פתרון נראה תחילה כי קיים לפחות שורש אחד. נשים לב כי .f (−1) = −17, f (1) = 21 מכיוון ש) f (xפולינום ,והיא רציפה ,לפי משפט ערך הביניים קיים מספר ,−1 < c < 1עבורו ) f (c) = 0כלומר, קיים שורש ממשי למשוואה(. נניח בשלילה כי קיימים לפחות שני שורשים ,כלומר כי קיימים שני מספרים a, bעבורם .f (a) = f (b) = 0 ממשפט רול ,קיים a < c < bכך ש ,f 0 (c) = 0אך במקרה שלנו ,f 0 = 15x2 + 14 > 0כלומר חיובית תמיד, בסתירה למשפט רול )לפיו קיים cעבורו ,(f 0 (c) = 0מכאן שקיים רק שורש אחד. מ.ש.ל. 1 פונקציות בשלושה משתנים משטחי רמה בהנתן פונקציה ) w = f (x, y, zמשטחי הרמה מוגדרים באנלוגיה לקווי הגובה.f (x, y, z) = w0 , המישור המשיק למשטח הרמה בנקודה ) ~r0 = (x0 , y0 , z0מוגדר על ידי המשוואה ∂f ∂f ∂f (x − x0 ) + (y − y0 ) + (z − z0 ) = 0 ∂x ~r0 ∂y ~r0 ∂z ~r0 או ,בצורה מקוצרת · (~r − ~r0 ) = 0 ~ ∇f ~ r0 כלומר~ , ∇fניצב למישור המשיק למשטח הרמה .או במילים אחרות ,הנורמל למשטח הרמה הוא וקטור בכיוון ~ /|∇f הגרדיאנט | ~ .n̂ = ∇f דוגמא נסתכל על משטחי הרמה של הפונקציה .f (x,√y, z) = x2 + y 2 + z 2 − 4 עבור ,f (x, y, z) = −1נקבל .x2 + y 2 + z 2 = 3כדור ברדיוס . 4 המישור המשיק למשטח הרמה בנקודה ) ~r0 = (1, 1, 1מחושב בצורה הבאה )(2x, 2y, 2z = ~ ∇f = ) ~ (~r = r~0 ∇f )(2, 2, 2 )(1, 1, 1 √ = ̂n 3 1 n̂ · (~r − ~r0 ) = √ (x − 1 + y − 1 + z − 1) = 0 3 x+y+z = 3 מישור המשיק לגרף הפונקציה באמצעות הפורמליזם הנ״ל קל מאוד לקבל את משוואת המישור המשיק לגרף הפונקציה ).z = f (x, y פשוט מגדירים פונקציה חדשה w(x, y, z) = f (x, y) − z = 0 הגרדיאנט הוא ~ = ∂f , ∂f , −1 ∇w ∂x ∂y לכן ,משוואת המישור המשיק היא 0 = ) ~ · (~r − ~r0 ∇w 0 = ∂f ∂f (x − x0 ) + ) (y − y0 ) − (z − z0 ∂x ∂y אינטגרלים כפולים ומשולשים בהנתן תחום Rופונקציה ) ,f (x, yהאינטגרל הכפול מסומן Z Z Z Z = קרטזיות = f (x, y)dA = f (x, y)dxdy R R f (xi , yi )∆Ai N X i=1 lim ∆A →0 = משמעויות Z Z . .1שטח התחום dA ,R R Z Z = Vמכיוון ש ) f (x, yהוא גובה הצורה∆Ai f (xi , yi ) ) , .2נפח f (x, y)dA R P P = i ∆Vi = .(V סדר אינטגרציה תרגיל חשב את שטח המשולש שקדקדיו ) (−1, −2), (2, 0), (0, 0באמצעות אינטגרל כפול. החלף את סדר האינטגרציה וחשב שוב. פתרון Z Z dydx Z Z = dxdy R ! dy 0 Z R 2 = −y/2 2 dx Z dx Z Z Z dxdy 0 0 R Z dy Z Z = dydx −2x −1 R • גבולות האינטגרל הפנימי נקבעים לפי נקודת התחלה וסיום יחסיות. • גבולות האינטגרל החיצונים הם אבסולוטיים. איך לקבוע גבולות אינטגרציה לפי yתחילה: .1עבור xקבוע מגדילים את .yהנקודה ) (x, yיוצרת קו אנכי. .2גבולות האינטגרציה של yהן מהנקודה בה הקו נכנס לתחום עד לנקודה בה הקו יוצא מהתחום. .3גבולות האינטגרציה של xהן מהערך הנמוך ביותר של xבתחום עד לערך הגדול ביותר של xבתחום. תרגיל חזור על התרגיל הקודם עבור התחום המוגדר על ידי ציר ,xהישר y = xומעגל שרדיוסו 2ומרכזו בראשית. Z √4−y2 dy dx 4−x2 2 = y √ 2 Z dy dx 0 2 x Z √ √ Z Z Z 2 Z √ 0 Z Z Z dx dy + dx dy R = dy dx R 0 0 בקונפיגורסיה השניה נאלצנו לפרק את האינטגרל לשני תחומים. הערות • לבחור בצורה מושכלת את סדר האינטגרציה כדי לא לעבוד יותר מדי קשה. RR RR = . R f (x, y)dxdy • תמיד אפשר להחליף את סדר האינטגרציה ,גם כאשר יש אינטגרנד f (x, y)dydx R • אפשר לבצע בדיקה עבור .f = 1 תרגיל חשב את האינטגרל xdA RR R כאשר Rהוא התחום המוגבל ע״י הצירים והישר .2y + x = 2 פתרון נשרטט את התחום −2y+2 x2 = dy 2 0 1 −2y+2 Z Z = xdxdy 0 1 2y 3 2 2 = (2y − 4y + 2)dy = − 2y + 2y 3 3 0 0 1 Z 2 0 2 (−2y + 2 = dy 2 או בסדר הפוך = dx −x 2 +1 2 −x 2 +1 Z xy|0 2 Z = xdy 0 1 Z = Z = dx 0 2 x2 x3 x2 2 = (− + x)dx = − + 2 6 2 0 3 0 2 Z = 0 A 0 1 Z = 0 A בוחן אמצע 2015 .1מצא את החיתוך בין הקונוס x2 + y 2 שאובייקט זה מתאר? p = zוהמישור 3z = 1 √ .−y +מהי הצורה הגיאומטרית .2מצא פרמטריזציה לאובייקט הגיאומטרי שמצאת בשאלה 1כמסילה סגורה שכיוונה נגד כיוון השעון ביחס לציר ה zהחיובי .מצא ביטוי לעקמומיות ולפיתול של המסילה .צייר איכותית את ערכם כפונקציה של פרמטר המסילה והסבר את תשובתך. פתרון .1 !2 = 1 y − 1/2 p 3/4 !2 + x p 1/2 היטל האליפסה על מישור x − yנתון על ידי המשוואה זו .מרכזה כלומר ,אליפסה נטויה ביחס √ לציר z׳√ , בנקודה ) (0, 1/2וציריה .a = 1/ 2, b = 3/2 .2הפרטמטריזציה בשלושה מימדים נתונה על ידי המשוואה ))(x(t), y(t), z(t 1 √ cos t 2 √ 3 1 + sin t 2 2 1 ))√ (1 + y(t 3 )~r(t = = x = y = z את העקמומיות ניתן לחשב מהנוסחא √ ||~r˙ × ~¨r 4 2 = (3 + cos 2t)3/2 |~r˙ |3 = )κ(t והיא מחזורית שכן המסילה מתארת מסלול מחזורי .הפיתול הוא אפס מכייוון שהתנועה מתרחשת במישור אחד. κ 2.0 1.8 1.6 1.4 1.2 1.0 0.8 t 6 5 4 3 2 1
© Copyright 2024