‫מבוא לשיטות מתמטיות‪ ,‬תרגול ‪#6‬‬
‫‪ 30‬בנובמבר ‪2015‬‬
‫משפטים על פונקציות רציפות וגזירות‬
‫משפט ערך הביניים‬
‫אם ‪ f‬רציפה וממשית בקטע ]‪ [a, b‬ו‪ u‬נמצא בין )‪ f (a‬ל )‪ ,f (b‬אזי קיים ]‪ c ∈ [a, b‬כך ש ‪.f (c) = u‬‬
‫משפט רול‬
‫אם ‪ f‬רציפה וממשית בקטע ]‪ [a, b‬וגזירה ב)‪ (a, b‬ו)‪ ,f (a) = f (b‬אזי קיים )‪ c ∈ (a, b‬כך ש ‪.f 0 (c) = 0‬‬
‫משפט הערך הממוצע‬
‫אם ‪ f‬רציפה וממשית בקטע ]‪ [a, b‬וגזירה ב)‪ (a, b‬ו)‪ ,f (a) = f (b‬אזי קיים )‪ c ∈ (a, b‬כך ש‬
‫)‪f (b) − f (a‬‬
‫‪b−a‬‬
‫= )‪f 0 (c‬‬
‫‪.‬‬
‫תרגיל‬
‫הראה כי לפונ׳ ‪ f (x) = 5x3 + 14x + 2‬שורש ממשי אחד בדיוק‪.‬‬
‫פתרון‬
‫נראה תחילה כי קיים לפחות שורש אחד‪.‬‬
‫נשים לב כי ‪.f (−1) = −17, f (1) = 21‬‬
‫מכיוון ש)‪ f (x‬פולינום‪ ,‬והיא רציפה‪ ,‬לפי משפט ערך הביניים קיים מספר ‪ ,−1 < c < 1‬עבורו ‪) f (c) = 0‬כלומר‪,‬‬
‫קיים שורש ממשי למשוואה(‪.‬‬
‫נניח בשלילה כי קיימים לפחות שני שורשים‪ ,‬כלומר כי קיימים שני מספרים ‪ a, b‬עבורם ‪.f (a) = f (b) = 0‬‬
‫ממשפט רול‪ ,‬קיים ‪ a < c < b‬כך ש ‪ ,f 0 (c) = 0‬אך במקרה שלנו ‪ ,f 0 = 15x2 + 14 > 0‬כלומר חיובית תמיד‪,‬‬
‫בסתירה למשפט רול )לפיו קיים ‪ c‬עבורו ‪ ,(f 0 (c) = 0‬מכאן שקיים רק שורש אחד‪.‬‬
‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫פונקציות בשלושה משתנים‬
‫משטחי רמה‬
‫בהנתן פונקציה )‪ w = f (x, y, z‬משטחי הרמה מוגדרים באנלוגיה לקווי הגובה‪.f (x, y, z) = w0 ,‬‬
‫המישור המשיק למשטח הרמה בנקודה ) ‪ ~r0 = (x0 , y0 , z0‬מוגדר על ידי המשוואה‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫ ‪∂f‬‬
‫ ‪∂f‬‬
‫ ‪∂f‬‬
‫‪(x − x0 ) +‬‬
‫‪(y − y0 ) +‬‬
‫‪(z − z0 ) = 0‬‬
‫‪∂x ~r0‬‬
‫‪∂y ~r0‬‬
‫‪∂z ~r0‬‬
‫או‪ ,‬בצורה מקוצרת‬
‫‪· (~r − ~r0 ) = 0‬‬
‫‬
‫ ~‬
‫‪∇f‬‬
‫~‬
‫‪r0‬‬
‫כלומר‪~ ,‬‬
‫‪ ∇f‬ניצב למישור המשיק למשטח הרמה‪ .‬או במילים אחרות‪ ,‬הנורמל למשטח הרמה הוא וקטור בכיוון‬
‫‪~ /|∇f‬‬
‫הגרדיאנט | ~‬
‫‪.n̂ = ∇f‬‬
‫דוגמא‬
‫נסתכל על משטחי הרמה של הפונקציה ‪.f (x,√y, z) = x2 + y 2 + z 2 − 4‬‬
‫עבור ‪ ,f (x, y, z) = −1‬נקבל ‪ .x2 + y 2 + z 2 = 3‬כדור ברדיוס ‪. 4‬‬
‫המישור המשיק למשטח הרמה בנקודה )‪ ~r0 = (1, 1, 1‬מחושב בצורה הבאה‬
‫)‪(2x, 2y, 2z‬‬
‫=‬
‫~‬
‫‪∇f‬‬
‫=‬
‫) ‪~ (~r = r~0‬‬
‫‪∇f‬‬
‫)‪(2, 2, 2‬‬
‫)‪(1, 1, 1‬‬
‫√‬
‫= ̂‪n‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n̂ · (~r − ~r0 ) = √ (x − 1 + y − 1 + z − 1) = 0‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x+y+z = 3‬‬
‫מישור המשיק לגרף הפונקציה‬
‫באמצעות הפורמליזם הנ״ל קל מאוד לקבל את משוואת המישור המשיק לגרף הפונקציה )‪.z = f (x, y‬‬
‫פשוט מגדירים פונקציה חדשה ‪w(x, y, z) = f (x, y) − z = 0‬‬
‫הגרדיאנט הוא‬
‫‬
‫‬
‫‪~ = ∂f , ∂f , −1‬‬
‫‪∇w‬‬
‫‪∂x ∂y‬‬
‫לכן‪ ,‬משוואת המישור המשיק היא‬
‫‪0‬‬
‫=‬
‫) ‪~ · (~r − ~r0‬‬
‫‪∇w‬‬
‫‪0‬‬
‫=‬
‫‪∂f‬‬
‫‪∂f‬‬
‫‪(x − x0 ) +‬‬
‫) ‪(y − y0 ) − (z − z0‬‬
‫‪∂x‬‬
‫‪∂y‬‬
‫אינטגרלים כפולים ומשולשים‬
‫בהנתן תחום ‪ R‬ופונקציה )‪ ,f (x, y‬האינטגרל הכפול מסומן‬
‫‪Z Z‬‬
‫‪Z Z‬‬
‫= קרטזיות = ‪f (x, y)dA‬‬
‫= ‪f (x, y)dxdy‬‬
‫‪R‬‬
‫‪R‬‬
‫‪f (xi , yi )∆Ai‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪lim‬‬
‫‪∆A →0‬‬
‫=‬
‫משמעויות‬
‫‪Z Z‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ .1‬שטח התחום ‪dA ,R‬‬
‫‪R‬‬
‫‪Z Z‬‬
‫= ‪ V‬מכיוון ש )‪ f (x, y‬הוא גובה הצורה‪∆Ai f (xi , yi ) ) ,‬‬
‫‪ .2‬נפח ‪f (x, y)dA‬‬
‫‪R‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫= ‪i ∆Vi‬‬
‫= ‪.(V‬‬
‫סדר אינטגרציה‬
‫תרגיל‬
‫חשב את שטח המשולש שקדקדיו )‪ (−1, −2), (2, 0), (0, 0‬באמצעות אינטגרל כפול‪.‬‬
‫החלף את סדר האינטגרציה וחשב שוב‪.‬‬
‫פתרון‬
‫‪Z Z‬‬
‫‪dydx‬‬
‫‪Z Z‬‬
‫=‬
‫‪dxdy‬‬
‫‪R‬‬
‫!‬
‫‪dy‬‬
‫‪0‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪R‬‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫‪−y/2‬‬
‫‪2‬‬
‫‬
‫‪dx‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪Z Z‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪dxdy‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪R‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪dy‬‬
‫‪Z Z‬‬
‫= ‪dydx‬‬
‫‪−2x‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪R‬‬
‫• גבולות האינטגרל הפנימי נקבעים לפי נקודת התחלה וסיום יחסיות‪.‬‬
‫• גבולות האינטגרל החיצונים הם אבסולוטיים‪.‬‬
‫איך לקבוע גבולות‬
‫אינטגרציה לפי ‪ y‬תחילה‪:‬‬
‫‪ .1‬עבור ‪x‬קבוע מגדילים את ‪ .y‬הנקודה )‪ (x, y‬יוצרת קו אנכי‪.‬‬
‫‪ .2‬גבולות האינטגרציה של ‪ y‬הן מהנקודה בה הקו נכנס לתחום עד לנקודה בה הקו יוצא מהתחום‪.‬‬
‫‪ .3‬גבולות האינטגרציה של ‪ x‬הן מהערך הנמוך ביותר של ‪ x‬בתחום עד לערך הגדול ביותר של ‪ x‬בתחום‪.‬‬
‫תרגיל‬
‫חזור על התרגיל הקודם עבור התחום המוגדר על ידי ציר ‪ ,x‬הישר ‪ y = x‬ומעגל שרדיוסו ‪ 2‬ומרכזו בראשית‪.‬‬
‫‪Z √4−y2‬‬
‫‪dy‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪4−x2‬‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫‪y‬‬
‫√‬
‫‪2‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪dy‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪Z‬‬
‫√‬
‫√‬
‫‪Z‬‬
‫‪Z Z‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Z‬‬
‫√‬
‫‪0‬‬
‫‪Z Z‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪dy +‬‬
‫‪dx dy‬‬
‫‪R‬‬
‫= ‪dy dx‬‬
‫‪R‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫בקונפיגורסיה השניה נאלצנו לפרק את האינטגרל לשני תחומים‪.‬‬
‫הערות‬
‫• לבחור בצורה מושכלת את סדר האינטגרציה כדי לא לעבוד יותר מדי קשה‪.‬‬
‫‪RR‬‬
‫‪RR‬‬
‫= ‪. R f (x, y)dxdy‬‬
‫• תמיד אפשר להחליף את סדר האינטגרציה‪ ,‬גם כאשר יש אינטגרנד ‪f (x, y)dydx‬‬
‫‪R‬‬
‫• אפשר לבצע בדיקה עבור ‪.f = 1‬‬
‫תרגיל‬
‫חשב את האינטגרל ‪xdA‬‬
‫‪RR‬‬
‫‪R‬‬
‫כאשר ‪ R‬הוא התחום המוגבל ע״י הצירים והישר ‪.2y + x = 2‬‬
‫פתרון‬
‫נשרטט את התחום‬
‫‪−2y+2‬‬
‫ ‪x2‬‬
‫= ‪dy‬‬
‫‪2 0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−2y+2‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪Z‬‬
‫= ‪xdxdy‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‬
‫‪2y 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪(2y − 4y + 2)dy‬‬
‫= ‪− 2y + 2y‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(−2y + 2‬‬
‫= ‪dy‬‬
‫‪2‬‬
‫או בסדר הפוך‬
‫= ‪dx‬‬
‫‪−x‬‬
‫‪2 +1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪−x‬‬
‫‪2 +1‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪xy|0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Z‬‬
‫= ‪xdy‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪Z‬‬
‫=‬
‫‪Z‬‬
‫=‬
‫‪dx‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪x3‬‬
‫ ‪x2‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪(− + x)dx = − +‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6‬‬
‫‪2 0‬‬
‫‪3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Z‬‬
‫=‬
‫‪0‬‬
‫‪A‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪Z‬‬
‫=‬
‫‪0‬‬
‫‪A‬‬
‫בוחן אמצע ‪2015‬‬
‫‪ .1‬מצא את החיתוך בין הקונוס ‪x2 + y 2‬‬
‫שאובייקט זה מתאר?‬
‫‪p‬‬
‫= ‪ z‬והמישור ‪3z = 1‬‬
‫√‬
‫‪ .−y +‬מהי הצורה הגיאומטרית‬
‫‪ .2‬מצא פרמטריזציה לאובייקט הגיאומטרי שמצאת בשאלה ‪ 1‬כמסילה סגורה שכיוונה נגד כיוון השעון ביחס‬
‫לציר ה ‪ z‬החיובי‪ .‬מצא ביטוי לעקמומיות ולפיתול של המסילה‪ .‬צייר איכותית את ערכם כפונקציה של‬
‫פרמטר המסילה והסבר את תשובתך‪.‬‬
‫פתרון‬
‫‪.1‬‬
‫‪!2‬‬
‫‪= 1‬‬
‫‪y − 1/2‬‬
‫‪p‬‬
‫‪3/4‬‬
‫‪!2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪x‬‬
‫‪p‬‬
‫‪1/2‬‬
‫היטל האליפסה על מישור ‪ x − y‬נתון על ידי המשוואה זו‪ .‬מרכזה‬
‫כלומר‪ ,‬אליפסה נטויה ביחס √‬
‫לציר ‪z‬׳‪√ ,‬‬
‫בנקודה )‪ (0, 1/2‬וציריה ‪.a = 1/ 2, b = 3/2‬‬
‫‪ .2‬הפרטמטריזציה בשלושה מימדים נתונה על ידי המשוואה‬
‫))‪(x(t), y(t), z(t‬‬
‫‪1‬‬
‫‪√ cos t‬‬
‫‪2‬‬
‫√‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪+‬‬
‫‪sin t‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫))‪√ (1 + y(t‬‬
‫‪3‬‬
‫)‪~r(t‬‬
‫=‬
‫= ‪x‬‬
‫=‬
‫‪y‬‬
‫=‬
‫‪z‬‬
‫את העקמומיות ניתן לחשב מהנוסחא‬
‫√‬
‫|‪|~r˙ × ~¨r‬‬
‫‪4 2‬‬
‫=‬
‫‪(3 + cos 2t)3/2‬‬
‫‪|~r˙ |3‬‬
‫=‬
‫)‪κ(t‬‬
‫והיא מחזורית שכן המסילה מתארת מסלול מחזורי‪ .‬הפיתול הוא אפס מכייוון שהתנועה מתרחשת במישור אחד‪.‬‬
‫‪κ‬‬
‫‪2.0‬‬
‫‪1.8‬‬
‫‪1.6‬‬
‫‪1.4‬‬
‫‪1.2‬‬
‫‪1.0‬‬
‫‪0.8‬‬
‫‪t‬‬
‫‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬