‫תנועה בשני מימדים — בליסטיקה‬ ‫כאשר מנתחים תנועה של גופים הנעים בשני מימדים יש צורך לעבור לתיאור וקטורי של המהירות‬ ‫והמיקום‪ .‬למהירות ולמיקום יהיו בכל זמן שני רכיבים — רכיב אופקי ‪ x‬ורכיב אנכי ‪ . y‬ניתן להפריד את‬ ‫התנועה של הגוף לשתי תנועות בשני כיוונים מאונכים אלו‪ .‬‬ ‫כוח המשיכה של כדה״א פועל תמיד כלפי מטה ואנו מניחים שהוא קבוע בגודלו‪ .‬לכן ישנה תאוצה‬ ‫‪m‬‬ ‫קבועה בכיוון מטה שגודלה‬ ‫‪s2‬‬ ‫‪) a = g = 9.8‬ייכתב במינוס כאשר ציר ה‪ y -‬מכוון כלפי מעלה(‪.‬‬ ‫בציר ה‪ x -‬אין תאוצה‪ .‬זאת בהנחה שמזניחים את החיכוך עם האוויר — ישנה תנועה במהירות קבועה‬ ‫כי אין אף כוח בכיוון זה‪.‬‬ ‫ניתן לכתוב את משוואות התנועה לכל ציר בנפרד‪:‬‬ ‫נפרק תחילה את המהירות ההתחלתית לרכיבים — מהירות התחלתית בציר ה‪ x -‬ומהירות התחלתיתי‬ ‫בציר ה‪ : y -‬‬ ‫‪v0 x = v0 cosθ ; v0 y = v0 sin θ‬‬ ‫משוואות התנועה‪:‬‬ ‫ציר ‪y‬‬ ‫ציר ‪x‬‬ ‫‪vx = v0 x‬‬ ‫‪vy = v0 y − gt‬‬ ‫‪x = x0 + v0 x t‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪y = y0 + v0 yt − gt 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫המהירות הכוללת בכל זמן היא וקטור‪:‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫!‬ ‫‪v = vx ,vy‬‬ ‫ניתן גם לכתוב את המהירות בהצגה פולרית )גודל וכיוון(‪:‬‬ ‫גודל‪:‬‬ ‫‪v = vx 2 + vy 2‬‬ ‫⎞ ‪⎛v‬‬ ‫כיוון‪θ = tg −1 ⎜ y ⎟ :‬‬ ‫⎠ ‪⎝ vx‬‬ ‫‪y‬‬ ‫מעבר מפולרי לקרטזי )פירוק לרכיבים(‪:‬‬ ‫‪vx = v cosθ‬‬ ‫‪vy = vsin θ‬‬ ‫‪v0‬‬ ‫זה נכון גם בפרט בזמן ‪: t = 0‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫‪v0 y‬‬ ‫!‬ ‫‪) v0 = v0 x ,v0 y‬וההצגה הפולרית בהתאם(‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫‪v0 x‬‬ ‫צורת המסלול היא פרבולה‪:‬‬ ‫) ‪θ (t 2‬‬ ‫)‪i (x, y‬‬ ‫) ‪θ (t1‬‬ ‫‪θ0‬‬ ‫‪θ0‬‬ ‫התנועה היא סימטרית‬ ‫• זמן כולל באוויר שווה פעמיים זמן לשיא גובה‪.‬‬ ‫• גודל וכיוון המהירות בזמן הפגיעה בקרקע שווים לאלה של המהירות ההתחלתית )הזווית היא במינוס(‬ ‫כיוון התנועה‬ ‫כיוון התנועה של גוף הוא בכיוון המהירות‪ .‬את הזווית של וקטור המהירות בכל זמן ניתן לקבל מהביטוי‪:‬‬ ‫⎞ )‪⎛ v (t‬‬ ‫⎟ ‪θ (t) = tg −1 ⎜ y‬‬ ‫⎠ ‪⎝ vx‬‬ ‫והסימון מדגיש את העובדה שכיוון התנועה תלוי בזמן בגלל שהמהירות בציר האנכי תלויה בזמן‪.‬‬ ‫ניתן לקבל את כיוון התנועה כתלות בזמן מפורשות ע״י הצבת הביטויים למהירויות‪:‬‬ ‫⎞ ‪⎛ v − gt‬‬ ‫‪θ ( t ) = tg −1 ⎜ 0 y‬‬ ‫⎠⎟ ‪⎝ v0 x‬‬ ‫כאשר יעבור הגוף את שיא הגובה תתחיל הזוית לקבל ערכים שליליים )זווית מתחת לציר ה‪ x -‬החיובי(‪,‬‬ ‫מה שמעיד על תנועה כלפי מטה‪.‬‬ ‫זמן כולל באוויר‬ ‫את זמן התעופה הכולל ניתן לחשב מהתנועה בציר האנכי‪:‬‬ ‫נשתמש במשוואה עבור המיקום כתלות בזמן‪ ,‬כאשר הזמן הוא הנעלם‪ .‬המיקום ‪ y0‬הוא נקודת‬ ‫ההתחלה וב‪ y -‬נציב את נקודת הפגיעה בקרקע‪.‬‬ ‫דוגמא ‪1‬‬ ‫כדור נזרק במהירות ‪ 20 ms‬בזווית ‪ 37‬מעלות מעל האופק‪ .‬הקרקע היא ישרה ואופקית‪.‬‬ ‫‪ .1‬מצאו את רכיבי המהירות ההתחלתית‪.‬‬ ‫‪ .2‬מצאו כמה זמן יישהה הכדור באוויר‪.‬‬ ‫פתרון ‪1‬‬ ‫‪ .1‬נפרק את וקטור המהירות בזמן ‪ :0‬‬ ‫!‬ ‫רכיב ‪ v0 x = v0 cos(θ ) = 20 cos(37 ) = 15.97 ms : x‬‬ ‫רכיב ‪v0 y = v0 sin(θ ) = 20sin(37! ) = 12.04 ms : y‬‬ ‫‪ .2‬נכתוב את משוואת המיקום כתלות בזמן‪ :‬‬ ‫‪y = y0 + v0 yt − 12 ⋅ 9.8t 2‬‬ ‫‪0 = 0 + 12.04t − 4.9t 2 → t1 = 0 , t 2 = 2.46s‬‬ ‫ ‬ ‫ניתן גם להשתמש בשיקולי סימטריה — המהירות בזמן הנחיתה שווה למהירות ההתחלתית בסימן‬ ‫הפוך‪ :‬‬ ‫‪vy = v0 y − 9.8t‬‬ ‫‪= 2.46s‬‬ ‫‪2⋅12.04‬‬ ‫‪9.8‬‬ ‫= ‪−v0 y = v0 y − 9.8t → 2v0 y = 9.8t → t‬‬ ‫יש לשים לב שכאשר נקודת ההתחלה ונקודת הסיום אינן באותו הגובה לא ניתן להשתמש בשיקולי‬ ‫סימטריה‪.‬‬ ‫שיא הגובה‬ ‫בנקודה זו מתאפסת המהירות האנכית )ציר ‪ .( y‬המהירות האופקית לא מתאפסת — היא תמיד קבועה‪.‬‬ ‫כפי שצויין‪ ,‬המהירות היא וקטור בעל שני רכיבים ולכן בשיא הגובה‪:‬‬ ‫!‬ ‫) ‪v = ( vx ,0‬‬ ‫נקבל שגודל המהירות שווה למהירות בציר ה‪ x -‬וכיוונה !‪) 0‬במקביל לציר ה‪.( x -‬‬ ‫דוגמא ‪2‬‬ ‫שוער בועט כדור בזווית ‪ 50‬מעלות מעל האופק במהירות ‪ . 25 ms‬הכדור נבעט מגובה של ‪ 1.2‬מטרים ונוחת‬ ‫על הדשא‪.‬‬ ‫‪ .1‬מצאו את הזמן הכולל שהכדור שהה באוויר‪.‬‬ ‫‪ .2‬מצאו את הגובה המקסימלי אליו הגיע הכדור‪.‬‬ ‫‪ .3‬מצאו את מהירות הפגיעה בקרקע )גודל וכיוון(‪.‬‬ ‫‪ .4‬מהו מרחקה האופקי של נקודת הפגיעה בקרקע מהשוער?‬ ‫פתרון‬ ‫‪v0 x = 25 cos(50) = 16.07 ms‬‬ ‫‪v0 y = 25sin(50) = 19.15 ms‬‬ ‫‪0 = 1.2 + 19.15t − 4.9t 2 → t = 3.97s .1‬‬ ‫‪ .2‬שיא גובה‪ :‬ניתן להשתמש במשוואה השלישית ולהציב במהירות ‪ :0‬‬ ‫‪0 − v0 y 2‬‬ ‫‪19.15 2‬‬ ‫‪y = y0 −‬‬ ‫= ‪→ ymax‬‬ ‫‪= 18.71m‬‬ ‫‪19.6‬‬ ‫‪19.6‬‬ ‫‪ .3‬מצאנו בסעיף ‪ 1‬את הזמן הכולל באוויר ‪ . t = 3.97s‬‬ ‫נציב אותו במשוואת המהירות של ציר ה‪ : y -‬‬ ‫‪ vy (3.97) = 19.15 − 9.8 ⋅ 3.97 = −19.76 ms‬‬ ‫המהירות בכיוון ‪ x‬נשארת קבועה‪ vx = v0 x = 16.07 ms :‬‬ ‫נרכיב גודל וכיוון משני הרכיבים‪ :‬‬ ‫גודל‪vx 2 + vy 2 = 16.07 2 + (−19.76)2 = 25.47 ms :‬‬ ‫⎞ ‪⎛v‬‬ ‫⎞ ‪⎛ −19.76‬‬ ‫⎜ ‪θ = tan −1 ⎜ y ⎟ = tan −1‬‬ ‫כיוון‪= −50.9! :‬‬ ‫⎟‬ ‫⎠ ‪⎝ 16.07‬‬ ‫⎠ ‪⎝ vx‬‬ ‫‪ .4‬זמן כולל באוויר‪ t = 3.97s :‬‬ ‫ ‬ ‫לכן‪ :‬‬ ‫‪x − x0 = v0 x t = 16.07 ⋅ 3.97 = 63.8m‬‬ ‫= ‪ v‬‬